Một số ứng dụng về tính đơn điệu của hàm số

LỜI NÓI ĐẦU Phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức là các dạng toán luôn xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ của BGD hàng năm và trong các đề thi HSG các cấp.. Đối với nh

Một số ứng dụng về tớnh đơn điệu của hàm số

Sở giáo dục & đào tạo vĩnh phúc

Tr ờng thpt lê xoay

================

Chuyên đề :

một số ứng dụng về tính đơn điệu

của hàm số

Giáo viên: Nguyễn Minh Tú

Tổ : Toán - Tin

A LỜI NÓI ĐẦU

Phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức là các dạng toán luôn xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ của BGD hàng năm và trong các đề thi HSG các cấp Đối với nhiều học sinh đây được coi là các bài toán khó, thậm chí là câu khó nhất trong đề thi ĐH, CĐ

Qua quá trình dạy học sinh ôn thi ĐH, CĐ và đặc biệt là dạy bồi dưỡng HSG Tôi thấy khi gặp các loại toán này học sinh rất lúng túng, cần phải hướng dẫn học

sinh giải các loại toán này Vì vậy tôi viết chuyên đề “ Một số ứng dụng về tính đơn

điệu của hàm số” để giải quyết các vấn đề còn khó khăn hầu hết đối với học sinh.

Bài viết được chia làm 3 mục: Mở đầu là tóm tắt các kiến thức cơ bản trong SGK.Mục thứ hai là các ứng dụng về tính đơn điệu của hàm số cùng với các thí dụ minh họa Mục cuối cùng là hệ thống các bài tập để bạn đọc tham khảo

Chuyên đề dùng giảng dạy ôn thi ĐH, CĐ và ôn thi HSG lớp 12 Thời gian

giảng dạy chuyên đề này là 4 buổi.

Mặc dù rất tâm huyết với chuyên đề , nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên bài viết khó tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô, bạn bè đồng nghiệp và các em học sinh để chuyên đề được hoàn thiện hơn và trở thành tài liệu có ích trong giảng dạy và học tập

Vĩnh tường, tháng 03 năm 2014

Tác giả Nguyễn Minh Tú

Tổ Toán –Tin ,TrườngTHPT Lê Xoay

Một số ứng dụng về tính đơn điệu của hàm số

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1.Hàm số y  f (x) đồng biến / (a, b)  (x)  0 x(a, b) đồng thời (x)  0 tại

một số hữu hạn điểm  (a, b).

2.Hàm số y  f (x) nghịch biến / (a, b)  (x)  0 x(a, b) đồng thời (x)  0

tại một số hữu hạn điểm  (a, b).

Chú ý: Trong chương trình phổ thông, khi sử dụng 1., 2 cho các hàm số một quy tắc

có thể bỏ điều kiện (x)  0 tại một số hữu hạn điểm  (a, b).

II. MỘT SỐ ỨNG DỤNG VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

DẠNG 1: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ m ĐỂ HÀM SỐ y  f ( m x; ) ĐƠN ĐIỆU

TRÊN TẬP D.

Phương pháp: Hàm số y  f ( m x; )đồng biến(nghịch biến) trên tập D

Khi và chỉ khi y,  0 (y,  0 ), xD.Ta biến đổi bài toán về các dạng sau :

)

(x

g

m  hoặc mg(x),xD mMin D g(x) hoặc mMax D g (x)

Thí dụ 1:(ĐH KA-A1 /2013).Tìm m để hàm số 3 3 2 3 1









trên khoảng (  0 ; )

Giải:

Ycbt  y,  3x26x3m0,x0 mx2  2x,x0 mMin x 0 (x2  2x)

biến thiên của hàm số f(x) x2 2x



 trên (  0 ; )

x 0 1  f(x) 0 

-1

Từ bảng biến thiên ta có 0 ( )  1

 f x

Min

x Vậy m  1

Thí dụ 2:Tìm m để y mx2 6m 51x 2 1 3 m

x



 nghịch biến trên [1, )

Giải: Hàm số nghịch biến trên [1, )



 

2

2

1

mx mx

x



 mx2  2mx   7 0 m x 2  2x 7  x 1   

2

2





 

1

Min

x u x m



có:    

( 2 )

x





 u(x) đồng biến trên [1, )     

1

7

3

x





Thí dụ 3: Tìm m để 1 3  1 2  3 4

3

y x  m x  m x đồng biến trên (0, 3)

Giải Hàm số tăng trên (0,3)

 y  x2 2 m 1 x m 3     0 x 0, 3 (1)

Do y x   liên tục tại x  0 và x  3 nên (1)  y  0 x[0, 3]

 m x 2  1  x2  2x 3  x 0,3    2 2 3 0,3

2 1

x

 



   

0,3

Max

x g x m



  Ta có:  

2 2  

2 1

x



 g(x) đồng biến trên [0, 3]       

0,3

12

7

x



Thí dụ 4:Tìm m để 3  1 2 3 2 1

m

y x  m x  m x đồng biến trên 2, 

Giải: Hàm số tăng / 2,   y mx2 2 m 1 x 3 m 2     0 x 2 (1)

 m x  1 2 2 2x6 x 2   

 2

x

x

 

Ta có:    2 

g x

1

2

x x

x x

   

 

  

x g x

Từ BBT     

2

2

3

x g x g m

Thí dụ 5.Tìm m để hàm số

y x  mx  m  m x m m đồng biến /2, 

Giải: Hàm số tăng trên 2,   y  3x2  2mx 2m2  7m 7   0, x 2

Ta có V  7m2  3m 3 7  32 3 0

m

     

  nên y 0 có 2 nghiệm x1 x2

BPT g(x)  0 có sơ đồ miền nghiệm G là:

Ta có y x    0 đúng  x 2  2,   G

   2 

1 2

5 2

2 6

2

2 3

m



 

 





Thí dụ 6 Tìm m để y 2x2 1 m x 1 m

x m



 đồng biến trên 1, 

Giải: Hàm số đồng biến trên 1, 



 

2

2x 4mx m 2m 1 0 1

x m



1 0

m

x m





 



Cách 1: Phương pháp tam thức bậc 2

1

x x2

x2
_0+
0+
+
CT00+

Một số ứng dụng về tính đơn điệu của hàm số

Ta có:    2 m 1 2  0 suy ra g(x)  0 có 2 nghiệm x1 x2

BPT g(x)  0 có sơ đồ miền nghiệm G là:

Ta có g(x)  0 đúng x(1, )  1,   G

   2 

1 2

1

1, 0

3 2 2

2 1 2

m m











Cách 2: Phương pháp hàm số

Ta có: g(x)  4(x  m)  4(x  1) > 0 x > 1  g(x) đồng biến trên [1, )

Do đó    

  2

1

x

g x

m m







Thí dụ 7 Tìm m để y  4m 5 cos  x  2m 3 x m 2  3m 1 giảm với x  R

Giải: Yêu cầu bài toán  y,  ( 5  4m) sinx 2m 3 , xR

   5 4  2 3 0,  1;1

         Do đồ thị y g u u   ,   1;1 là một đoạn thẳng nên ycbt  1 6 8 0 1 4

3

m





Thí dụ 8 Tìm m để hàm số sin 1sin 2 1sin 3

y mx  x x x tăng với mọi x  R

 cos 12 cos2 1 14 cos3 3cos  0,

   

3 2

        , với u cosx  1,1

Ta có   4 2 2 2 2 1 0 1; 0

2

g u  u  u u u  u u

Lập BBT suy ra yêu cầu bài toán       

1,1

5

6

x g u g m

Thí dụ 9 Cho hàm số 1  1 3 2 1 2 3 2

3

y m x  m x  m x m

Tìm m để khoảng nghịch biến của hàm số có độ dài bằng 4

Giải Xét y  m 1 x2  2 2  m 1 x  3m 2   0 Do    7m2 m  3 0 nên y 0 có 2 nghiệm x1 x2 Khoảng nghịch biến của hàm số có độ dài bằng 4

 1 2 2 1

y x x x x x

       m  1 0 và x2  x1  4 Ta có

2 1 4

 

 

2

1 1

m m





4 m 1 2m 1 3m 2 m 1

6

kết hợp với m  1 0 suy ra 7 61

6

m 

1

x x2

DẠNG 2: ỨNG DỤNG TRONG PT, BPT, HỆ PT, HỆ BPT

Lưu ý: Ta thường sử dụng các kết quả sau đây

1/Nếu hàm f đơn điệu trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=0 có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b)

2/Nếu hàm f đơn điệu trên khoảng (a;b) thì u,v (a;b) ta có

v u v

f

u

f( )  ( )  

3/Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì pt f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b)

Thí dụ 1:Giải phương trình: x5 x3  1 3  x   4 0

Giải Điều kiện: x 13 Đặt f x  x5 x3  1 3  x  4 0 

Ta có:   5 4 3 2 3 0

2 1 3

x

  f (x) đồng biến trên  ,1

3

 



Mặt khác f (1)  0 nên phương trình f (x)  0 có nghiệm duy nhất x  1.

Thí dụ 2.Giải phương trình: x2  15 3  x 2  x2  8

Giải Bất phương trình  f x   3x 2  x2  8  x2  15  0 (1)

+ Nếu x 23 thì f (x) < 0  (1) vô nghiệm.

+ Nếu x 23 thì  

3

 f (x) đồng biến trên 2 , 

3  mà f (1)  0 nên (1) có đúng 1 nghiệm x  1

Thí dụ 3.Giải bất phương trình: x  1 3 5x 7  4 7x 5  5 13x 7 8  (*)

Giải Điều kiện x 57 Đặt f x   x  1 3 5x 7  4 7x 5  5 13x 7

Ta có:  

 2  3 5 4

f x

 f (x) đồng biến trên 5 , 

7

 

 Mà f (3)  8 nên (*)  f (x) < f (3)  x < 3

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là 5 3

7 x

Thí dụ 4.Giải PT: 5 4 3 2 1 1 1 2 3 5 2 7 17

x x x x

x x x x x x

x x x

x x x x

Ta có f (x) đồng biến và g(x)  6x2  10x  7 < 0 x  g(x) nghịch biến.

Nghiệm của f (x)  g(x) là hoành độ giao điểm của yf x  và y g x  

Do f (x) tăng; g(x) giảm và f   1 g  1  13 nên (*) có nghiệm duy nhất x  1.

Thí dụ 5.Tìm số m Max để msinx  cosx  1 sin 2x  sinx  cosx  2 x (*)

Giải Đặt t sinx  cosx   0 t2 sinx  cosx2   1 sin 2x  1 t2  2  1  t 2, khi

đó (*)  m t 1 t2  t 1   t 1, 2  

1

t t

1, 2

Min

t f t m

 

 

 Do  

 

2 2

2 0 1

t t

f t

t





Một số ứng dụng về tính đơn điệu của hàm số

nên f (t) đồng biến / 1, 2      

1, 2

3

2

t f t f

 

 

   m 32  Max 3

2

m 

Thí dụ 6.Giải phương trình 2008 sin 2x  2008 cos 2x  cos 2x

2008 x  2008 x  cos x sin x 2008 x  sin x 2008 x  cos x (*)

Xét f u   2008u u Ta có f u    2008 lnu u  1 0 Suy ra f u  đồng biến (*)

sin 2  cos 2  sin 2 cos 2 cos 2 0

4 2

k

x   k

Thí dụ 7 Tìm x y ,  0,   thỏa mãn hệ cotg 3x 5x y cotg 2 y x y 

  



Giải cotg x cotg y x y   x cotg x y  cotg y

Xét hàm số đặc trưng f u   u cotg ,u u  0,   Ta có  

2

1

sin

f u

u

Suy ra f u  đồng biến trên  0,   Khi đó     4

f x f y

x y

x y



  



Thí dụ 8 Giải hệ phương trình

3 2

3 2

3 2

2 1

2 1

2 1









(*)

Giải Xét f t  t3 t2 t với t ¡  f t    2t2  t 1 2  0  f (t) tăng

Không mất tính tổng quát giả sử x  y  z

 f x  f y f z   2z  1 2x  1 2y  1 z x y   x  y  z   1

Thí dụ 9 Giải hệ bất phương trình

2 3

3 1 0





  



3

x  x     x Đặt f x  x3  3x 1 Ta có:

  3  1   1  0

f x  x x   f x  giảm và    1 1 0,  1,1

f x  f     x

DẠNG 3: ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Thí dụ 1 Chứng minh rằng: 3 sin 3 5

x  x x   x > 0

3!

x

x  x x > 0   

3

sin 0 3!

x

f x   x x x > 0

Ta có  

2

1 cos 2!

x

f x    x  f x    x sinx  f  x   1 cosx 0 x > 0

 f  x đồng biến [0, +)  f  x f   0  0 x > 0

 f x   đồng biến [0, +)  f x   f   0 = 0 x > 0

 f x  đồng biến [0, +)  f(x) > f(0) = 0 x > 0  (đpcm)

 sin 3 5

3! 5!

x x

x x   x > 0  g(x) = 5 3 sin 0

5! 3!

x x

    x > 0

Ta có g(x) = 4 2 1 cos

4! 2!

x x

x

    g(x) = 3 sin

3!

x

  = f(x) > 0 x > 0

 g(x) đồng biến [0, +)  g(x) > g(0) = 0 x > 0

 g(x) đồng biến [0, +)  g(x) > g (0) = 0 x > 0  (đpcm)

Thí dụ 2 Chứng minh rằng: sin 2 0,

2

x

x   x  

Giải sinx 2x f x( ) sinx 2

x

2



  Xét biểu thức đạo hàm

( ) cos sin

( ) x x x g x

f x



   , ở đây kí hiệu g(x) = x cosx  sinx

Ta có g(x) = cosx  xsinx  cosx =  xsinx < 0 x 0,

2



 g(x) giảm trên 0,

2



   g(x) < g(0) = 0

  

2

( )

0

g x

f x

x

   x 0,

2



  f (x) giảm trên 0,

2



 f x  f  2 2

  sin 2 , 0,

2

x

x   x  

Thí dụ 3 Chứng minh rằng: x2 y lnx y x lny

 x > y > 0

Giải Do x > y > 0, lnx > lny  lnx  lny > 0, nên biến đổi bất đẳng thức



1

1

x

x

y





1

t t t



 

 với t x

y

 >1

 ( ) ln 2 1 0

1

t

f t t

t



 t >1 Ta có  

 

 

 

2

0

t

f t

t t t t



  t >1

 f(t) đồng biến [1, +)  f(t) > f(1) = 0 t >1  (đpcm)

Thí dụ 4 Chứng minh rằng: 1 ln ln 4

     x x y,y0,1



Giải Xét hai khả năng sau đây:

Một số ứng dụng về tính đơn điệu của hàm số

+ Nếu y > x thì (1)  ln ln 4 

y x

y x 

y   x 

+ Nếu y < x thì (1)  ln ln 4 

y x

y x 

y   x

Xét hàm đặc trưng f(t) = ln 4

1

t t

t 

 với t(0, 1)

2

(1 ) (1 )

t

f t



  t(0,1)  f(t) đồng biến (0, 1)

 f(y) > f(x) nếu y > x và f(y) < f(x) nếu y < x  (đpcm)

Thí dụ 5 Chứng minh rằng: a b b a a > b  e

Giải a b < b a  lna b < lnb a  blna < alnb  lna lnb

a  b

Xét hàm đặc trưng f(x) = ln x

x x  e

Ta có f x( ) 1 ln2 x 1 ln2 e 0

     f(x) nghịch biến [e, +)

 f(a) < f(b)  lna lnb

a  b  a b < b a

Thí dụ 6.Chứng minh rằng 2 1  2 1  , 0

1 4ab 1 4ba ln 1 4 ab ln 1 4 ba ln 1 4 a ln 1 4 b

Xét hàm số đặc trưng cho hai vế   ln 1 4 x

f x

x



 với x 0 Ta có

2

4 ln 4 1 4 ln 1 4 0

1 4

x

f x

x



 

f x

 giảm trên 0,    f a  f b 

Thí dụ 7 (Bất đẳng thức Nesbitt)

2

b c c a a b  a, b, c > 0 (1)

Giải Không mất tính tổng quát, giả sử a  b  c Đặt x = a  x  b  c > 0

Ta có (1)  f (x) = b c x c x b  x b c

   với x  b  c > 0



 2  2  2  2

f x

 f(x) đồng biến [b, +)  f x( ) f b( ) 2b c

b c



 (2)

Đặt x = b  x  c > 0, xét hàm số g(x) = 2x c x c

 với x  c > 0



 2

g x

x c

 c > 0 g(x) đồng biến [c, +)  ( ) ( ) 3

2

g x g c  (3)

B.KẾT LUẬN

Trên đây là nội dung chuyên đề “Một số ứng dụng về tính đơn điệu của hàm số” chuyên đề dùng cho học sinh lớp 12 và ôn thi đại học.Chuyên đề tập chung vào chủ yếu các bài toán khó như PT,BPT,BĐT thường xuyên có mặt trong đề thi ĐH,CĐ và HSG hàng năm.Từ đó cho học sinh thấy được sự ứng dụng đa dạng và rất tuyệt vời của tính đơn điêu của hàm số mà các vấn đề này trong SGK chưa được đề cập đến Thời gian dự kiến là 4 buổi

Chuyên đề đã được tác giả áp dụng giảng dạy ở các lớp 12A1,12A3,12A12 trong năm học 2012-2013 ở trường THPT Lê Xoay Trong đó lớp 12A1 Khá 70%+TB 30%.12A3 Khá (60%)+TB(40%).12A12 Khá (55%)+TB(45%)

Kết quả nhìn chung đã làm cho học sinh không còn lúng túng khi giải các loại toán này và đã tự tin hơn

Một số ứng dụng về tính đơn điệu của hàm số

C.TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.SGK ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH LỚP 12

2.CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ CỦA TRẦN PHƯƠNG

3.BÁO THTT

4.ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CỦA BỘ GD&ĐT

5.ĐỀ THI OLYMPIC CÁC NƯỚC.

III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1:Tìm m để các hàm số sau

a.y m x mx ( 3m 2 )x

3









b.y (m 3 )x ( 2m 1 ) cosx luôn đồng biến trên R

c 3 ( 1 ) 2 ( 2 1 ) 9











d 2(  4 1)

mx

m

x

y nghịch biến trên khoảng (  1 ; )

3













3













Bài 2: Chứng minh rằng các phương trình sau đây có nghiệm duy nhất

a 3 1 0





x

x

b.x5  2x3  x2 x 1  0

c.x5  x2  2x 1  0 (KD/ 04 )

d.x3 xa 0 , a

Bài3:

CMR pt sau không có nghiệm âm 2 3 3 6 5 2 1 6 0











x

Bài 4.Gpt,bpt sau

a x  1 3 5x 7  4 7x 5  5 13x 7 8 

b.( 4 2 1 ) ( 3 ) 5 2 0



















x

2

8 3

6







Bài 5: Giải các hệ pt sau:

a.





















7 4 3 2 4

0 2 5 ) 3 ( )

1

4

(

2

2

2

x y

x

y y

x x

b.















2 3

2 3

2 3

2 3

2 3

2 3

y y

z

x x

y

z z

x

c.(KA/2012)

























2

9 3 22

9

3

2

2

2 3 2

3

y x

y

x

y y y x

x

x

d.



























0 1 6 )

1 (

2

2 1

1

2 2

4 4

y y y

x

x

y y

x x

e



























0 4 6 )

1

(

2

1

1

2 2

2

2

2

2

y y

y

x

x

y

x

e y x

Bài 6: CM các BĐT sau

a.sinx  x x  0 b

2 1 cos

2

x

x  x  0 c

6 sin

3

x x

x  x  0

d.sinx tanx 2x )

2

; 0 ( 



x e

9

3 2

3

















3

3 , 0

x f

) 2 , (

2

x x o

x   

g.Cho tam giác ABC nhọn

Một số ứng dụng về tính đơn điệu của hàm số

CMR:    (sin  sin  sin )  

3

2 ) tan tan

(tan

3

1

C B A C

B A

h.Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện 2

4 ) )(

Tìn GTNN

c

b a c

a

b c

b

a P

2 2 3 3 3

3

) 3 (

32 )

3 (











Bài 7:Tìm a,b để hàm số yasinxbcosx 2x đồng biến trên R

Bài 8:Cho bốn số thực không âm a,b,c,d thỏa mãn a+b+c+d=4

CMR.5 3 2 5 3 2 5 3 2 5 3 2 12













d c

c b

b a

a

Bài 9:Cho a,b,c,d là các số thực dương sao cho a+b+c+d=1

CMR 6 (a3 b3 c3 d3 )  (a2 b2 c2 d2 ) 81

Bài 10:Cho a,b,c là các số thực dương và a+b+c=3

) ( 2

9 )

( 2

9 )

( 2

9

2 2

2 2

2

2 2

2

2

























b a c

c a

c b

b c

b a

a

Bài 11:Cho a,b,c là các số thực dương.CMR

8 ) ( 2

) 2

( ) ( 2

) 2

( )

(

2

)

2

(

2 2

2 2

2

2 2

2

2































b a c

b a c a

c b

a c b c

b

a

c

b

a

Bài 12:Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác CMR

) 1 1 1 ( 4 9

1

1

1

a c c b b a c b a

c

b

a          