“HƯỚNG dẫn học SINH sử DỤNG PHƯƠNG PHÁP hàm số để GIẢI một số DẠNG TOÁN về PHƯƠNG TRÌNH, bất PHƯƠNG TRÌNH ở TRƯỜNG THPT”

Một số kiến thức cơ bản liên quan giữa hàm số, PT và BPT Trước hết ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản về hàm số và PT, BPT thường được sửdụng khi áp dụng phương pháp hàm số để giải các

Đối tượng học sinh bồi dưỡng: lớp 12

Số tiết dự kiến bồi dưỡng: 10 tiết

Họ và tên: Hoàng Trung Hiếu

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THPT Sáng Sơn

Sông Lô, 2014 DẠY HỌC GIẢI TOÁN PT VÀ BẤT PT BẰNG PHƯƠNG PHÁP

HÀM SỐ Ở TRƯỜNG THPT

I Một số kiến thức cơ bản liên quan giữa hàm số, PT và BPT

Trước hết ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản về hàm số và PT, BPT thường được sửdụng khi áp dụng phương pháp hàm số để giải các bài toán về PT và BPT Các kiến thức này

đã được nêu trong sách giáo khoa và một số tài liệu tham khảo Ở đây, chúng tôi hệ thống lạimột số kiến thức cơ bản có liên quan đến vấn đề nghiên cứu và có chứng minh một số mệnh

đề sẽ được sử dụng

1 Nếu hàm số yf x( ) liên tục trên đoạn a b thì hàm số đó đạt GTLN; GTNN; 

trên đoạn a b GTLN và GTNN của hàm số ;  yf x( ) trên đoạn a b kí hiệu là:; 

Các điểm x x1; ; ;2 x là các điểm tới hạn của hàm số n yf x( ) trên đoạn a b ; 

4 Nếu hàm số yf x( ) liên tục trên đoạn a b và ( ) ( ) 0;  f a f b  thì  x0 a b; 

sao cho f x  ( ) 00

5 Nếu hàm số yf x( ) liên tục trên đoạn a b và có đạo hàm trên khoảng; 

a b thì tồn tại điểm ;  ca b;  sao cho ( )f b  f a( )f c b a'( ).(  )

6 Nếu hàm số yf x( ) liên tục trên đoạn a b , có đạo hàm trên khoảng ;  a b; 

và ( )f a f b( )thì tồn tại điểm ca b;  sao cho '( ) 0f c 

7 Nếu hàm số yf x( ) có đạo hàm trên a b và PT '( ) 0;  f x  có nghiệm duy

nhất trên đoạn a b thì trên đoạn ;  a b , PT ( ) 0;  f x  không thể có quá hai nghiệm.

8 Giả sử các hàm số yf x( ) và yg x( ) liên tục trên miền D và giả thiết rằngtồn tại các GTLN và GTNN của các hàm số trên miền đó Khi đó, ta có các mệnh đề sau:

Mệnh đề 1 PT ( ) f x  có nghiệm trên D khi và chỉ khi

min ( ) m ax ( )

Chứng minh:

+) Giả sử PT ( )f x  có nghiệm trên D Ta chứng minh m  M

Thật vậy, do ( )f x  có nghiệm trên D nên  x0 D f x: ( )0 

Mặt khác, ta có  x D m: f x( )M

Vậy mf x( )0 M hay m  M

+) Giả sử m  M Ta chứng minh PT ( )f x  có nghiệm trên D

Thật vậy, giả sử PT ( )f x  vô nghiệm trên D Khi đó, ta có  x D f x: ( ),tức là  không thuộc tập giá trị m M của hàm số ( );  f x , có nghĩa là  m hoặc

M

  , trái với giả thiết m  M

Vậy PT ( )f x  có nghiệm trên D

Mệnh đề 2

a) Nếu hàm số ( )f x đồng biến (nghịch biến) trên D thì nghiệm của PT ( ) f x 

(nếu có) là duy nhất

b) Nếu hàm số ( )f x đồng biến (nghịch biến) trên D còn hàm ( ) g x nghịch biến

(đồng biến) trên D thì nghiệm của PT ( )f x g x( ) (nếu có) là duy nhất

c) Nếu m ax ( ) min ( )D f x  D g x hoặc min ( ) m ax ( )D f x  D g x và tồn tại x0D thỏamãn f x( )0 g x( )0 thì x là nghiệm duy nhất của PT ( )0 f x g x( ), hơn nữa, ta có

0max ( ) min ( ) ( )

D

D f x  g x f x hoặc min ( ) max ( ) ( )0

Mệnh đề 3

a) BPT ( )f x  có nghiệm trên D khi và chỉ khi M m ax ( )D f x  

b) BPT ( )f x  nghiệm đúng x D  khi và chỉ khi mmin ( )D f x  

c) BPT ( )f x  có nghiệm trên D khi và chỉ khi mmin ( )D f x  

d) BPT ( )f x  nghiệm đúng x D  khi và chỉ khi M m ax ( )D f x  

Chứng minh

a) Giả sử BPT ( )f x  có nghiệm trên D Ta chứng minh M 

Thật vậy, do ( )f x  có nghiệm trên D nên  x0 D f x: ( )0 

Mặt khác, ta có  x D M, f x( )

Do đó M f x( )0  (đpcm)

Đảo lại, giả sử M  Ta chứng minh BPT ( )f x  có nghiệm trên D

Thật vậy, giả sử minh BPT ( )f x  vô nghiệm trên D, suy ra, ( )

     (Trái với giả thiết)

Vậy BPT ( )f x  có nghiệm trên D

b) Hiển nhiên

c) Giả sử BPT ( )f x  có nghiệm trên D Ta chứng minh m

Thật vậy, do f x( ) có nghiệm trên D nên  x0 D f x: ( )0 

Mặt khác, ta có  x D m, f x( )

Do đó m  f x ( )0   (đpcm)

Đảo lại, giả sử m Ta chứng minh BPT f x( ) có nghiệm trên D

Thật vậy, giả sử minh BPT f x( ) vô nghiệm trên D, suy ra, ( )

     (Trái với giả thiết)

Vậy BPT f x( ) có nghiệm trên D

Mệnh đề 5 Giả sử x x1, , ,2 xn là các điểm tới hạn của hàm số y f x( ) Cácđiểm tới hạn x ii (  1, 2, , ) n sắp thứ tự chia tập xác định của hàm số thành cáckhoảng, trên mỗi khoảng đó đạo hàm f x'( ) không đổi dấu.

Chú ý: Cho BPT f x ( )  g x ( ) với tập xác định của BPT là D Trên cùng hệ trụctọa độ vẽ đồ thị hai hàm số y f x( ) và y g x ( ) Sau đó tìm những phần mà đồ thịhàm số y f x( ) nằm trên đồ thị hàm số y g x ( ), lấy hình chiếu của phần đồ thị ấytrên trục hoành thì giao của nó với tập D là nghiệm của BPT

Định lý: BPT f x ( )  g x ( ) nghiệm đúng  x D khi và chỉ khi trên miền D đồthị hàm số y f x( ) luôn nằm trên đồ thị hàm số y g x ( )

Sau này ta thường áp dụng mệnh đề 5 để xét dấu của đạo hàm f x'( ) Chẳng hạn,

muốn xét dấu f x'( ) trên khoảng  x xi; i1 với xi  xi1 là hai điểm tới hạn kề nhau củahàm số f x( ), ta lấy bất kì x0  x xi; i1, dấu của f x'( ) trong khoảng  x xi; i1 là dấu

của f x '( )0 Trong trường hợp f x'( ) là tam thức bậc hai hoặc nhị thức bậc nhất thì việc

xét dấu f x'( ) dựa vào quy tắc xét dấu tam thức bậc hai và dấu nhị thức bậc nhất Nếu'( )

f x không phải là tam thức bậc hai hoặc nhị thức bậc nhất thì việc xét dấu '( )f x dựa

vào mệnh đề 5 sẽ thuận tiện hơn Ngoài ra, ta có thể xét dấu '( )f x bằng cách giải BPT.

II Vận dụng các kết quả nghiên cứu hàm số để giải các bài toán về PT và hệ PT

Khi hướng dẫn HS giải các bài toán về PT ta thường gặp các PT mà ta không thểtrực tiếp áp dụng các phép biến đổi đồng nhất hoặc nếu biến đổi thì rất phức tạp Những

PT này ta thường gọi là “PT không mẫu mực” Với những PT dạng này thì phương pháphàm số tỏ ra có hiệu quả Ý tưởng chung của phương pháp này có thể tóm tắt như sau:Chúng ta quy bài toán đã cho về việc xét một hàm số yf x( ) trên một tập D nào đó.Dựa vào việc khảo sát một vài tính chất đặc biệt nào đó của hàm số yf x( ) để dẫn đếnkết luận nghiệm cho PT, hệ PT đang xét Để thấy rõ nội dung phương pháp này với hiệuquả của nó trong việc giải PT, hệ PT và BPT ta xét một số bài toán sau:

II.1 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải PT, hệ PT, BPT

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải PT, hệ PT, BPT, chúng ta thường sửdụng các kết quả sau:

1) Định lí 1: Nếu hàm số yf x( ) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liêntục trên D thì số nghiệm của PT ( )f x k trên D không nhiều hơn một và f(x) = f(y)  x

= y với mọi x, y  D.

Chứng minh.

a) Giả sử PT ( )f x k có nghiệm x a tức là ( )f a k

Nếu x a thì ( )f x  f a( )k suy ra PT vô nghiệm

Nếu x a thì ( )f x  f a( )k suy ra PT vô nghiệm

Vậy PT ( )f x k có nghiệm duy nhất x a

b) Nếu x > y thì f(x) > f(y) suy ra PT f(x) = f(y) vô nghiệm.

Nếu x < y thì f(x) < f(y) suy ra PT f(x) = f(y) vô nghiệm.

2) Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm

số y = g(x) luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm của

PT f(x) = g(x) không nhiều hơn một

Chứng minh Giả sử PT f(x) = g(x) có nghiệm x = a tức là f(a) = g(a).

Nếu x > a thì f(x) > f(a) = g(a) > g(x) suy ra PT vô nghiệm.

Nếu x < a thì f(x) < f(a) = g(a) < g(x) suy ra PT vô nghiệm.

Vậy PT f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất x = a

3) Định lí 3: Nếu đồ thị hàm số y = f(x) lồi (lõm) trên khoảng (a;b) thì PT f(x) = 0

nếu có nghiệm thì có tối đa 2 nghiệm

Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải PT, hệ PT và BPT, chúng ta thường

áp dụng theo ba dạng sau:

- Dạng 1 Thực hiện theo các bước sau:

+ Bước 1 Chuyển PT đã cho về dạng: ( )f x  (1)

+ Bước 2 Xét hàm số yf x( ) Dùng lập luận khẳng định hàm số yf x( ) làhàm số đơn điệu, sau đó suy ra PT (1) có không quá 1 nghiệm

+ Bước 3 Nhận xét f x( )0  , sau đó kết luận PT (1) có nghiệm duy nhất x x 0

- Dạng 2 Thực hiện theo các bước sau:

+ Bước 1 Chuyển PT đã cho về dạng: ( )f x g x( ) (2)

+ Bước 2 Xét hàm số yf x( ), yg x( ) Dùng lập luận khẳng định hàm số( )

yf x đồng biến ( nghịch biến), còn hàm số yg x( ) nghịch biến (đồng biến hoặchàm hằng) Xác định x sao cho 0 f x( )0 g x( )0

+ Bước 3 Kết luận PT (2) có nghiệm duy nhất x x 0

- Dạng 3 Thực hiện theo các bước sau:

+ Bước 1 Chuyển PT đã cho về dạng: ( )f u f v( ) (3)

+ Bước 2 Xét hàm số yf x( ) Dùng lập luận khẳng định hàm số yf x( ) làhàm số đơn điệu

x  Cách 2 (Sử dụng phương pháp hàm số)

Nhận xét: Qua hai cách giải trên ta thấy, cách giải thứ hai hay và tự nhiên hơn so

với cách giải đầu Chúng tôi cũng đã kiểm nghiệm PT này trên nhiều lớp ôn thi đại học

và nhận thấy đa phần HS giải theo cách thứ hai Đây là bài toán khó đối với HS, các emgặp khó khăn trong việc sử dụng các phương pháp khác để giải PT này Vì vậy, việc bồidưỡng cho HS năng lực tư duy hàm là một việc làm rất cần thiết của người GV Từ đó,hình thành ở HS tư duy linh hoạt trong giải toán, để HS có đủ “sức đề kháng” trước cácbài toán lạ

Ví dụ 2: Giải PT: 5x3 13 2x 1  (2)x 4

Nhận xét Quan sát vế trái của PT (2), ta thấy khi x tăng thì giá trị của biểu thức

trong căn bậc hai cũng tăng Từ đó, ta thấy vế trái là hàm đồng biến và vế phải bằng 4 làhàm hằng Đây là điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn điệu

Lời giải: TXĐ: D = [ 31 , )

5  .Xét hàm số f(x) = 5x3 13 2x 1 trên D x

Suy ra, hàm số f(x) đồng biến trên 31 ;

Vậy, PT (6) có đúng hai nghiệm x = 0 và x = 1.

Bài tập áp dụng: Giải các PT sau

Vậy, hàm số f(t) đồng biến trên 

Giả sử x max x y z{ , , } hay x y và x z 

Suy ra, ta có x f y f z  y và xf y  f x  .z

Từ đó, ta có y z và y x

Suy ra f y f z  hay z x

Do đó x  y z x.

Khi sử dụng GTLN và GTNN của hàm số để tìm giá trị tham số m để PT, BPT, hệ

PT nào đó có nghiệm, chúng ta thưởng sử dụng các kết quả sau :

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b)

1) Định lý 1 PT f x  m có nghiệm thuộc đoạn [a;b] khi và chỉ khi

 ;   ; 

2) Định lý 2 BPT f x mcó nghiệm thuộc đoạn [a;b] khi và chi khi

Sau đây ta sẽ xét một số ứng dụng của đạo hàm vào việc tìm GTLN, GTNN củahàm số trong các bài toán về PT, hệ PT và BPT

a) Dùng đạo hàm để xét số nghiệm của PT chứa tham số

Ví dụ 9: Tìm m để PT mx22mx 3 0  có nghiệm x 1;2

Lời giải: PT được viết lại dạng: x22x m 3   (1)

Ta có x = 0 không là nghiệm của PT (1)

Với x ≠ 0, chia hai vế PT ta được 2 3

Suy ra, f(x) là hàm số giảm trên đoạn 1;2

t

m t

27

   1

Ta có PT (1) có nghiệm khi (3) có nghiệm t 1;  \ 3

4

 

  Dựa vào bảng biến thiên ta được: 1 1



Xét hàm số ( ) 2 1

Dựa vào bảng biến thiên, số nghiệm của PT phụ thuộc vào giá trị của m như sau:

Với m ≤ -1 hoặc m > 2 thì PT vô nghiệm

Với -1< m ≤ 1 hoặc m = 2 thì PT có một nghiệm

Với 1 < m < 2 thì PT có hai ngiệm phân biệt

Ví dụ 12: Biện luận theo m số nghiệm của PT: x m m x  21

Dễ thấy x = 0 là một nghiệm của PT (1)

Với x ≠ 0, chia hai vế của PT (1) cho x2 và rút gọn, ta được:

2 1 1

x

m x

Với -1 ≤ m ≤ 1 thì PT(1) vô nghiệm

Ví dụ 13: Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, PT sau luôn có

hai nghiệm thực phân biệt: x22x 8 m x(  2).

Lời giải Do m > 0 nên ta có điều kiện để PT tồn tại là: x 2

Với x  ta có 2 x22x 8 0  , bình phương hai vế PT ta được:

Dựa vào bảng biến thiên, dễ thấy với m > 0 đồ thị hàm số y = m cắt đồ thị y = f(x)tại một điểm duy nhất Do đó, với m > 0 thì PT (2) luôn có nghiệm duy nhất.

Vậy, với m > 0 thì PT đã cho có đúng hai nghiệm thực dương phân biệt

Nhận xét: Những bài toán tương tự thế này HS thường mắc lỗi khi không xác

định giá trị giới hạn của hàm số khi x tiến ra  hoặc x tiến đến giá trị không xác định của hàm số Do đó, ta cần nhấn mạnh phải kiểm tra giới hạn của hàm số trước khi lập bảng biến thiên.

6 2 9max ( ) (3) 3; min ( ) (3 2)

22( )

4'( )

2 4

3 x 1m x 1 2 x  1 (1)

Lời giải: Điều kiện xác định : x ≥ 1

Ta có 3 x 1m x 1 24 x2 1 1 4 1

m

Ta có biển đổi PT theo ẩn t là : 2

m 3t 2t (2) Xét hàm số f(t) = -3t2 + 2t trên tập 0;1 ; 

Ta có f’ t  6t 2 Do đó f’ t   0 1

3

t

Bảng biến thiên:

t

0 1

3 1

f’(t) + 0

-f(t)

1 3 0 -1

Do vậy, PT(1) có nghiệm khi và chỉ khi PT(2) có nghiệm trên nửa khoảng 0;1 

Dựa vào bảng biến thiên, điều đó có khi 1 1

3

m

Ví dụ 17: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để PT:

2

(m1)log (x 2) ( m 5)log (x 2)m1 0 (1)

có hai nghiệm thoả mãn điều kiện 2x1x2 4

Lời giải: Điều kiện xác định: x > 2.

2 log ( 2)

t  x Với 2 x4 ta có t   1

Ta có PT(1) biến đổi theo PT ẩn t là:

m 1 t – m 5 t m 1 0  2       

2 2

1

m



  (2)

Xét hàm số

2 2

PT (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả 2x1x2 4 khi và chi khi PT (2) có hainghiệm t1, t2 thoả mãn -1< t1≤t2 Dựa bào bảng biến thiên ta được -3≤ m <1

Xét hàm số

f(t)

647

4

PT (1) có nghiệm khi và chỉ khi PT (2) có nghiệm t thuộc đoạn 3;9 

Dựa vào bảng biến thiên, ta được 4 64

7

m

Ví dụ 19: Tìm m để PT 2cos cos 2 cos3 x x x m 7cos 2x (*) có nhiều hơn một

nghiệm thuộc đoạn 3 ;

2

f(t)

7 2 12



7 2 12

cos x sin xcos 2x 0

Ta có (*)

23

Để PT (1) có nghiệm thì PT (2) có nghiệm t thuộc khoảng 1;1

Vì t = 0 không là nghiệm của PT(2) nên ta có (2)

 

  1

8Dựa vào bảng biến thiên, ta có : với 1

8

m  thì PT có nghiệm.

2log xlog x  3m(log x  3)

9/ Tìm m để PT sau có duy nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;

(4 6 )sin m x3(2m 1)sinx2(m 2)sin xcosx (4m 3)cosx0

b) Dùng đạo hàm để xét số nghiệm của BPT chứa tham số

Ta có BPT biển đổi theo ẩn t là:

22( )

  khi và chỉ khi PT (2) có nghiệm trên

đoạn 1;2 Điều đó có khi 

 1;2 

2max ( ) (2)

Suy ra h(x) là hàm số đồng biến trên tập 1; 

mt2 + 4(m - 1)t + m - 1 > 0  (t2 + 4t +1)m > 4t + 1Với t > 0 thì t2 + 4t + 1 > 0 Chia hai vế của BPT trên với t ta được

2

4t+1

m >

t + 4t +1Xét hàm số f(t)= 2 4t+1

Ví dụ 24: Tìm các giá trị của tham số m để BPT sau nghiệm đúng với mọi x thoả

x x t

Dễ thấy t = 1 là một nghiệm của BPT (2)

Với t > 1, chia hai vế của BPT(2) cho t 1 2 ta được

21

t m

3/ Tìm m để các BPT sau nghiệm đúng với mọi x

c) Dùng đạo hàm để xét nghiệm của hệ PT, hệ BPT chứa tham số

Ví dụ 25: Chứng minh rằng với m ≠ 0, hệ PT sau có nghiệm duy nhất

2 2

2 2

22

m

y m

2 2

22

m

y m

  Vậy m0 hệ PT luôn có nghiệm duy nhất

Ví dụ 26: Tìm giá trị của tham số m để hệ PT sau có nghiệm

t2 - 5t + 8 - m = 0  t2 - 5t + 8 = m (1)Xét hàm số f(t) = t2 - 5t + 8 trên tập   ; 2  2;.

Ta có PT biến đổi theo ẩn t là: t2 - 5t - m = 0  t2 - 5t = m (3)

-6 -6  254

Dựa vào bảng biến thiên ta có: PT(2) có hai nghiệm thuộc (1; 3) khi và chỉ khi

PT(3) có một nghiệm thuộc (2; 3) Điều đó có khi 25

2 2

Định lý Lagrange: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn a; b và có đạo hàm

trên khoảng (a; b) thì tồn tại c  (a; b) sao cho f c'( ) f b( ) f a( )

f t    và f t "( ) 3 ln 3 2 ln 2 0t 2  t 2 Suy ra f’(t) = 0 có nhiều nhất một nghiệm Do đó, f(x) = 0 có nhiều nhất hainghiệm

Vậy t 0;t 1 là 2 nghiệm của PT