Rèn luyện cho học sinh ứng dụng chiều biến thiên của hàm số để giải một số dạng phương trình.

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Trong quỏ trỡnh dạy mụn Toỏn ở trường THPT, tụi nhận thấy phương phỏp sử dụng đạo hàm xột chiều biến thiờn của hàm số cú vai trũ rất quan trọng, nú giỳp chỳng ta giải

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong quỏ trỡnh dạy mụn Toỏn ở trường THPT, tụi nhận thấy phương phỏp sử dụng đạo hàm xột chiều biến thiờn của hàm số cú vai trũ rất quan trọng, nú giỳp chỳng ta giải quyết được nhiều loại bài tập, thậm chớ cú nhiều bài nếu dựng những cỏch khỏc thỡ rất khú, vậy nờn nú là một phương phỏp quan trọng cần thiết đối với học sinh lớp 11, lớp 12 và cỏc em học sinh ụn thi ĐH, ụn luyện thi học sinh giỏi Nú giỳp chỳng ta hiểu và cú cỏi nhỡn thấu đỏo về nhiều hàm số và về quan hệ hàm số, là mối quan hệ phổ biến và quan trọng trong lý thuyết cũng như trong đời sống thực tiễn Nhỡn vào bảng biến thiờn của một hàm số ta cú thể thấy được toàn bộ về hàm số

đú, cả về định tớnh và định lượng, qua đú giỳp ta trả lời được nhiều cõu hỏi, giải quyết được nhiều yờu cầu liờn quan Tuy nhiờn trong thực tế cũng cũn nhiều học sinh thấy khú khăn khi học phần này và từ đú dẫn tới việc học chưa tốt, chưa đạt hiệu quả cao, vỡ những lớ do trờn nờn tụi viết đề tài này, nhằm rốn luyện cho cỏc em học sinh

cú thể nắm vững phương phỏp sử dụng chiều biến thiờn của hàm số, và cũng hỡnh thành được cỏc kỹ năng cần thiết để giải một số bài tập thuộc loại này

Nội dung đề tài này gồm ba mục:

I/ Ứng dụng giải phương trỡnh dạng f(x) = a trong đú a là hằng số, f(x) là hàm số liờn tục và đơn điệu

II/ Ứng dụng giải và biện luận phương trỡnh dạng f(x) = m trong đú m là tham số, f(x)

là hàm số liờn tục

III/ Ứng dụng giải phương trỡnh dạng f(u) = f(v), f(x) là hàm số liờn tục và đơn điệu Trong từng phần tôi đều nhắc lại kiến thức lý thuyết, đa ra một số ví dụ điển hình từ

dễ đến khó bắt đầu từ những bài tập rất cơ bản mức độ nh bài tập trong SGK sau đợc nâng dần lên mức độ bài toán thi ĐH, CĐ

PHẦN II: NỘI DUNG

Trong toàn bộ đề tài này ta chỉ xột cỏc hàm số liờn tục trờn tập xỏc định của nú.

I/ ứng dụng giải phơng trình dạng f(x) = a trong đó f(x) là hàm số liên tục và đơn điệu:

1/ Kiến thức lý thuyết:

Xột phương trỡnh f(x) = a (1) (a là hằng số) trờn tập D, trờn đú hàm số f(x) đơn điệu, khi đú phương trỡnh (1) cú khụng quỏ một nghiệm Nờn nếu ta tỡm được một nghiệm của (1) thỡ đú là nghiệm duy nhất Sau đõy là một số vớ dụ:

2/ Vớ dụ:

VD1: Giải phương trỡnh:

a) x 1  2x 5  3 (1)

b) 3x 1  x 7x 2  4 (2)

Bài giải: a) TXĐ D=[5/2;  )

Xột hàm số f(x)  x 1  2x 5 trờn D, ta cú 0

5 2

1 1

2

1 ) (









x x

x

thuộc khoảng (5/2;  ), suy ra hàm số f đồng biến trờn D Vậy (1) cú khụng quỏ một nghiệm

Hơn nữa ta thấy x=3 là nghiệm của (1), vậy đú là nghiệm duy nhất của phương trỡnh (1) đó cho

@ Ta cú thể giải phương trỡnh (1) bằng cỏch bỡnh phương hai vế của nú kốm theo điều kiện tương đương, đưa về phương trỡnh bậc hai, cỏch này được dựng nhiều ở lớp 10 Ngoài ra nếu khụng dựng cụng cụ đạo hàm, ta cú thể lập luận để được hàm

số f(x) là hàm số đồng biến dựa vào tớnh chất của hàm số bậc nhất và hàm số căn bậc hai.

b) TXĐ D=[7  257 ;  )

Xột hàm số f(x)  3x 1  x 7x 2 , ta cú f(x) là hàm số liờn tục trờn D và cú đạo

2 7 2

2 7 2

7 1

1 3 2

3 )

(















x x

x x

x

f

Với mọi x thuộc khoảng (

2

57

7  ;  ) nờn hàm số f(x) luụn đồng biến trờn D Mặt khỏc ta thấy f(1)=4 nờn x=1 là một nghiệm của phương trỡnh đó cho

Xột x>1 ta cú f(x)>f(1)=4 nờn phương trỡnh khụng cú nghiệm x>1

Xột tương tự ta cũng được kết luận phương trỡnh trờn khụng cú nghiệm trờn tập [

2

57

7  ; 1)

@ Nếu ta giải phương trỡnh (2) bằng cỏc cỏch khỏc như bỡnh phương hai vế của nú kốm điều kiện tương đương thỡ ta sẽ gặp khú khăn, ở đõy phương phỏp sử dụng đạo hàm tỏ ra ưu thế hơn.

VD2: Giải phơng trình:

a) x+sin x = 0 với x thuộc đoạn [0;  ] (1)

b) 3-x = 2+ log2 (2x+ 4) (2)

Bài giải: a) Xét hàm số f(x) = x+ sin x trên D = [0;  ], có f(x) là hàm số liên tục và

f ’(x)= 1+ cos x không âm với mọi x thuộc (0;  ) nên hàm số f(x) đồng biến trên D, suy ra phơng trình (1) có không quá một nghiệm và ta thấy ngay nó có nghiệm duy nhất là x = 0

b) Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình

log2 (2x+ 4) - 3 -x = 2 (2’) TXĐ D= (-2;  ); tơng tự các VD trên, xét hàm số vế trái của phơng trình (2’) ta

đ-ợc kết luận phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất là -1

@ Để đi tới kết luận vế trái của phơng trình (2 ) là hàm số đơn điệu ta có thể dùng ’

công cụ đạo hàm hoặc dựa vào tính chất của các hàm số.

@ Ta chú ý phơng trình dạng

h(x) = g(x) (*) trong đó một vế là hàm số đồng biến và vế kia là hàm số nghịch biến ta có thể đa ngay về phơng trình f(x) = a đã xét ở trên Ngoài ra dựa vào tính chất biến thiên của hàm số ta cũng chứng minh đợc phơng trình (*) có không quá một nghiệm.

VD3: CM phơng trình sau có nghiệm duy nhất: 5 2 2 1 0







 x x x

Bài giải:

@ Để chứng minh phương trỡnh f(x) cú nghiệm duy nhất trờn tập D ta cú thể làm như sau:

- Chứng minh phương trỡnh trờn luụn cú nghiệm, chẳng hạn ta chứng minh f(x)

là hàm số liờn tục trờn D và tồn tại 2 số a, b sao cho f(a) f(b) <0

- chứng minh f(x) là hàm số đơn điệu, từ đú suy ra nghiệm trờn là duy nhất.

Trở lại bài toỏn trờn, xột hàm số ( ) 5 2 2 1







x

và cú f(0).f(2) < 0 suy ra phương trỡnh f(x) = 0 luụn cú nghiệm, gọi nghiệm đú

0

5

0 x 2x1(x o 1)

x , suy ra x0  0  x05  1  x0 1 Vậy ta chỉ cần khảo sỏt hàm số f(x) với x 1 Ta cú:

1 0 )

1 ( 2 ) 1 ( 2 2 2 5

)

(





















x

khi x 1 Vậy phương trỡnh đó cho luụn cú nghiệm duy nhất

@ Chỳ ý:

i, Nếu chỳng ta khảo sỏt ngay hàm f(x) thỡ chỳng ta khụng thể cú được f(x) là hàm đồng biến, do vậy ta cần hạn chế miền xỏc định của x Điều này ta cú được là nhờ vào bản thõn của phương trỡnh.

ii, Để chứng minh phương trỡnh f(x)=0 cú nghiệm duy nhất trờn D ta cũn cú cỏch khỏc đú là khảo sỏt hàm f(x) trờn D, lập bảng biờn thiờn và từ bảng biến thiờn ta suy ra được đồ thị của hàm f(x) chỉ cắt trục Ox tại một điểm.

Qua cỏc bài toỏn trờn ta thấy việc ứng dụng tớnh đơn điệu vào giải một số dạng toỏn về phương trỡnh tỏ ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn Thụng qua cỏc vớ dụ đú hi vọng cỏc em cú thờm những kĩ năng giải phương trỡnh và nhận dạng được những dạng phương trỡnh nào cú thể dựng tớnh chất biến thiờn của hàm số

3/ Bài tập:

1 Giải phơng trình 3 x10 1 4x10

2 Giải phơng trình x

x

2 1

3 2  

3 Giải phơng trình 3 x 4 2 2x 4 13

4 Giải phơng trình log (3 4) log 3 0

2

2 2

1 x  x 

5 Giải phơng trình 25x  2 ( 3  x) 5x  2x 7  0(ĐH TCKT Hà Nội 1997)

6 Tìm hoành độ giao điểm hai đồ thị:

2

3 sin 2 1

; 12

y x



(HVCN BCVT 2000)

II/ Ứng dụng giải và biện luận phơng trình dạng f(x) = m:

1/ Kiến thức lý thuyết:

Xét phơng trình f(x) = m (*) với x thuộc D, hàm số f(x) liên tục, m là tham số Vế phải có thể là hàm số của m, khi đó ta có các mệnh đề:

i, Phơng trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số f(x)

Đặc biệt nếu trên D tồn tại min f = a; max f = b thì phơng trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc đoạn [a; b]

ii, Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f(x) trên D, ta có thể biện luận đợc số nghiệm của phơng trình (*); xác định đợc m để nghiệm của (*) thoả mãn điều kiện nào

đó;

2/ Ví dụ:

VD1: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 3 2





x x y

b) Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình x3  3x2m

Bài giải:

a) Kết quả khảo sát hàm số 3 3 2





x x y

2

-2

-4

y

x O

y=m

b) Dựa vào kết quả ở câu a) ta có kết luận nh sau:

+ m>4 hoặc m<0 phơng trình có đúng 1 nghiệm

+ m=4 hoặc m=0 phơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm kép

+ 0<m<4 phơng trình có 3 nghiệm phân biệt

Theo sau bài toán khảo sát trên ta có thể có các câu hỏi phụ khác ứng dụng chiều biến thiên của hàm số trên để giải, chẳng hạn nh sau:

VD1:

c) Tìm k để phơng trình 8x 3.2x k10 có đúng 1 nghiệm

Để giải câu này ta đặt t=2x thì đợc t>0 và đa về xét phơng trình 3 3 2 1









t>0 Dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị trên ta có đợc đáp số: -k+1>2 hoặc –k+1=0 tức là k<-1 hoặc k=1

VD2: Tìm m để phơng trình 3cos3x cosx 2m (1) có 5 nghiệm phân biệt thuộc

khoảng D=( ; )

2 





Bài giải:

Đặt t=cos x ta có t thuộc đoạn [-1; 1] và phơng trình (1) trở thành:

3t3 – t - 2 = m (2)

Ta có bảng biến thiên của t:

t=cosx

1

-1

Và đồ thị của hàm số f(t) = 3t3 – t – 2 là:

2

-2

-4

y

x

O 1 -1

Từ đó ta suy ra phơng trình (1) có 5 nghiệm phân biệt thuộc D khi và chỉ khi phơng trình (2) có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 1) và 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; 0), xảy ra khi và chỉ khi m thuộc khoảng (-20/9; -2) (f(1/3)=-20/9)

@ Chú ý: Thay vì khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số f(t) = 3t 3– – t 2 ta có thể chỉ cần lập bảng biến thiên của nó, từ đó ta cũng có đợc đáp số.

VD3: Tỡm m để phương trỡnh: x x x 12 m 5  x  4  x(1) cú nghiệm

Bài giải:

Điều kiện 0  x 4 Ta cú

12 2

1 2

3 ) ( '

; 0 ) ( 12 )















x x x

g x

g x

x x

x

g

) 4

; 0 ( 0 4

2

1 5

2

1 )

( '

; 0 ) ( 4

5 )























x x

x h x

h x x

x h

Suy ra: g x    0 và đồng biến, h x  > 0 vànghịch biếnhay  1 0

h x  vàđồng biến

    

 

g x

f x

h x

 đồng biến Suy ra phương trỡnh f x  m cú nghiệm

 

 

 

VD4: Giải phương trỡnh: 4 x 2  4 4 x 2

Bài giải:

Đặt f x  4 x 2  4 4 x với 2 x 4

3 0

) ( '

; ) 4 (

1 )

2 (

1 4

1

)

(

'























x x

x

f

Nhỡn vào bảng biến thiờn ta suy ra: f x  f  3   2 x 2, 4

 Phương trỡnh f x   4 x 2  4 4  x  2 cú nghiệm duy nhất x  3

VD5: (Đề TSĐH khối B, 2007): Chứng minh rằng: Với mọi m  , phương trỡnh0

x  x  m x luụn cú đỳng hai nghiệm phõn biệt

Bài giải:Điều kiện: x 2 Biến đổi phương trỡnh ta cú:

x  x  m x  x 2  x 6   m x  2   x 2 2 x 62 m x  2































m x

x x g

x m

x x

x

32 6

) (

2 0

) 32 6

)(

2

ycbt  g x  m cú đỳng một nghiệm thuộc khoảng 2;  Thật vậy ta cú:

g x  x x   x Do đú g x  đồng biến mà g x  liờn tục và

  2 0; lim  

x

 

  nờn ta cú bảng biến thiờn của hàm số g:

Suy ra phương trỡnhg x  m cú đỳng một nghiệm thuộc khoảng2; 

Vậy m 0, phương trỡnh x2  2x 8  m x  2  cú hai nghiệm phõn biệt

3/ Bài tập:

1 Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình 4 5 2 6 2 1







x

2 Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: x(x2  4 ) m

3 Tìm m để phơng trình ( 4 x)( 6  x) x2  2xm có nghiệm

4 Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt: 2 2 2 1







x

(ĐTTS B’2006)

5 Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thuộc đoạn [1; 3 3]:

0 1 2 1 log

3

2

3 x x  m  (ĐTTS A’2002)

6. Tỡm m để phương trỡnh 3 x 1m x  1 24 x2  1 cú nghiệm thực (ĐTTS A’2007)

x234 02

x2+0

7 Tỡm m để phương trỡnh sau cú đỳng hai nghiệm thực phõn biệt:

4 2x  2x 2 6 4  x 2 6  x m (ĐTTS A’2008)

III/ Ứng dụng giải phơng trình dạng f(u) = f(v), f(x) là hàm số liên tục và đơn điệu:

1/ Kiến thức lý thuyết:

Xét phương trỡnh dạng f(u) = f(v) (*) với x thuộc D, u=u(x) và v=v(x) là cỏc hàm số liờn tục trờn D, f là hàm số liờn tục và đơn điệu Khi đó phơng trình (*) nghiệm đúng khi và chỉ khi u(x) = v(x), bài toán đa về giải phơng trình này trên D

2/ Ví dụ:

VD1: Giải phơng trình x+2sinx cosx=sinx (1)

Bài giải:

@ Rõ ràng phơng trình này là phơng trình không mẫu mực và ta phải nghĩ tới việc sử dụng các phơng pháp đặc biệt để giải, trong đó phơng pháp đợc dùng nhiều là phơng pháp sử dụng các tính chất của hàm số.

Ta có (1)  2x+sin 2x=x+sin x (2)

Đặt f(t) = t + sin t thì phơng trình (2) là f(x) = f(2x)

Bây giờ ta xét tính chất biến thiên của hàm số f(t), ta có f’(t)=1 + cos t 0 t nên suy

ra hàm số f(t) đồng biến trên R, vậy phơng trình (2) tơng đơng với 2x=x hay x=0

KL phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x=0

VD2: Giải phơng trình 2 2  1 3 2 5 2  1 2 3  1 5  2









x

Bài giải:

@ Chú ý các hàm số xuất hiện ở 2 vế của phơng trình và đặc biệt là các biểu thức

mũ, ta nghĩ tới việc xét hàm số và hớng giải tơng tự nh VD trên:

Đặt f(t) = 2 3  1 5  2



 t t

t thì phơng trình đã cho là f(x) = f(2x-1) và hàm số f(t) là hàm số

đồng biến, từ đó giải ra ta đợc nghiệm duy nhất x=1

VD3: Giải phơng trình: 3 2

5 4 2

3

2

2







x x

x

2001)

Bài giải: Phơng trình trên xác định với mọi x

Nhận xột cỏc biểu thức tham gia trong phương trỡnh ta thấy:

2 3 )

3 (

)

5

4

2















0 , , 2 3 3

, 5 4























) ( ) ( log

log log3 v u 3u u 3v v f u f v

v

u

















trong đú f(t)  log3tt với t>0 Ta thấy f(t) là hàm liờn tục và đồng biến, do vậy































2

1 0

2 3 )

(

)

x

x x

x v u v

f

u

f

@ Nh vậy ta thấy nhiều phơng trình cha đợc cho ở dạng f(u) =f(v), để đa đựơc về dạng phơng trình này ta phải thực hiện một số phép biến đổi, thậm chí phải có kỹ năng nhất định mới làm đựơc.

VD 4: Giải phơng trình 3 x 2  3 x 1  3 2x2  1  3 2x2

Nhìn kĩ phương trình thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối liên hệ là x+2=(x+1)+1 và 2x2+1=(2x2)+1, do vậy nếu đặt u 3 x 1 ;v 3 2x2

thì phương trình đã cho trở thành: 3 u3 1 u3 v3 1 v

trong đó f(t) 3 t3 1 t là một hàm liên tục và có đạo hàm 1 0

) 1 ( ) ( '

2









t

t t

mọi t khác -1 nên hàm số f(t) luôn đồng biến Do đó





























2 1

1 1

2 )

(

)

x

x x

x v u v

f

u

f

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x=1, x=-1/2

3/Bµi tËp:

1 Giải phương trình: 3x 1 3x log3( 1 2x)









2 Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh: x mx x mx m x mx m







   



5 2 2 2 2 2 4 2 2 (§H Ngo¹i Th¬ng 2001)

3 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:















1 2

1 1

3

x

y

y y x

x

(§TTS §H A 2003)

4 CM víi mäi a>0 hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt:



















a

x

y

y x

e

e x y ln( 1 ) ln( 1 )

(§TTS §H D 2006)

Phần III: kết quả nghiên cứu và bài học kinh nghiệm 1/ Đối chiếu so sánh kết quả đạt đ ợc: Trong các năm học 2009 – 2010,

2010 2011tôi đã thực hiện giảng dạy chuyên đề kiến thức này bằng việc áp dụng đề tài nghiên cứu của mình trên các lớp tôi phụ trách So sánh với các khoá học trớc kia khi tôi cha áp dụng đề tài, kết quả thu đợc nh sau:

Nhóm học sinh

Nắm đợc phơng pháp

Nắm vững phơng pháp

Nắm vững

ph-ơng pháp và vận dụng tốt

Nắm vững phơng pháp và giải tốt bài tập nâng cao Khi cha áp

Khi áp dụng

Phần trăm

2/ Bài học kinh nghiệm: Qua quá trình dạy học và áp dụng đề tài khoa học của

mình tôi đã đúc rút đợc bài học kinh nghiệm sau đây:

Phơng pháp áp dụng đạo hàm xét chiều biến thiên của hàm số là phơng pháp khó

đối với nhiều học sinh, vậy nên để học sinh nắm vững đựơc phơng pháp này, giáo viên cần phải từng bớc giúp các em lĩnh hội đựơc kiến thức lý thuyết cũng nh hình thành

đựơc kỹ năng làm bài tập, thông qua việc áp dụng vào từng dạng bài tập từ dễ đến khó Hơn nữa phơng pháp này có ứng dụng rộng rãi vào việc giải nhiều lớp bài tập, trong đó có lớp bài tập khó dành cho học sinh khá hơn, một số bài tập xuất hiện trong các đề thi ĐH, CĐ nên việc làm cho học sinh nắm vững phơng pháp và biết cách vận dụng làm bài tập là điều cần thiết

Trên đây tôi đã trình bày đề tài khoa học của mình, ‘Rèn luyện cho học sinh ứng dụng chiều biến thiên của hàm số để giải một số dạng phơng trình’, qua ba mục đã đa

ra đợc ba dạng phơng trình thờng gặp trong lớp các bài tập ứng dụng chiều biến thiên của hàm số để giải, bạn đọc cũng đã có cơ sở lý thuyết và một số kỹ năng để giải các dạng phơng trình này Mặc dự bản thõn đó cố gắng nhiều đề hoàn thành đề tài được tốt nhất nhưng do hạn chế về mặt thời gian nờn khụng trỏnh khỏi cỏc thiếu sút hạn chế, rất mong nhận được sự quan tõm gúp ý của các thầy cô giáo và bạn đọc Tụi xin chõn thành cảm ơn!

Nga Sơn, ngày 25/04/2011 Tác giả