Một số phương pháp lặp và điểm bất động

Các phương pháp giải gần đúng, mà tiêu biểu là các phương pháp lặp, là cơ sở để tìm lời giải số cho nhiều bài toán trong toán học và trong khoa học, kỹ thuật.Trong việc tìm kiếm nghiệm c

NGUYỄN ĐỨC TƯỞNG

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI, 2013

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới Tiến sĩ Nguyễn Vãn Hùng, người thầy đã hướng dấn, chỉ bảo tận tình đế tôi hoàn thành luận văn này.

Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ tạo điều kiện của Trung tâm giáo dục thường xuyên Huyện Bát Xát, Sở Giáo dục - Đào tạo tỉnh Lào Cai nơi tôi công tác và Ban giám hiệu Trường ĐHP Hà Nội 2.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp xác đảng của các thầy giáo phản biện đế luận văn hoàn thiện hơn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn sự động viên, khích lệ của gia đình và bạn bề trong suốt quá trình làm luận văn.

Hà Nội, thảng 6 năm 2013

rri ' _ _• 2.

Tác giả

Nguyễn Đức Tưởng

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan kết quả đạt được của luận văn là trung thực, chưa từng được công bố trong các công trình nghiên cứu nào khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận vẫn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dân trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Tác giả

Nguyễn Đức Tường

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐÀU

1 Lý do chọn đề tài.

Các phương pháp giải gần đúng, mà tiêu biểu là các phương pháp lặp, là cơ sở

để tìm lời giải số cho nhiều bài toán trong toán học và trong khoa học, kỹ thuật.Trong việc tìm kiếm nghiệm của phương trình, phương pháp lặp sử dụng dự đoánban đầu để tạo ra các xấp xỉ có thể hội tụ tới nghiệm của bài toán Cách làm này

là cách làm ngược so với phương pháp trực tiếp là cố gắng giải quyết vấn đềbằng dãy hữu hạn các phép tính Khi không có sai số thì phương pháp trực tiếp sẽđưa ra nghiệm chính xác nhưng với phương pháp lặp ta vẫn chỉ có nghiệm gầnđúng Tuy nhiên, phương pháp trực tiếp sẽ rất tốn kém (và trong một số trườnghọp là không thể) ngay cả với khả năng tính toán tốt nhất có sẵn

Hiện nay, việc nghiên cứu các phương pháp lặp một cách tống quát nhờ ápdụng các kết quả và phương pháp giải tích hàm không những chỉ cho cái nhìnmột cách bản chất nhiều phương pháp của giải tích số mà còn cho phép đề ranhiêu thuật toán mới có hiệu quả trong các lĩnh vực khác nhau của toán học, nhưđại số tuyến tính, phương trình vi phân, lý thuyết xấp xỉ hàm số, giải tích phituyến Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các phương pháp này, tôi đã chọn

đề tài nghiên cứu “ Một số phương pháp lặp và điếm bất động”.

2 Mục đích nghiên cứu.

- Tìm hiếu một số phương pháp lặp trong việc giải các bài toán tìm nghiệmcủa một số phương trình trong toán học

3 Nhiệm vụ nghỉên cứu.

- Hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về lý thuyết điểm bất động

- Trình bày các phương pháp lặp trong việc giải một số phương trình

4 Đối tượng và phạm vi nghỉên cứu.

Các vấn đề của lý thuyết điểm bất động, các phương pháp lặp đơn, Kantorovich, dây cung và một số vấn đề mở rộng

Nevvton-5 Phương pháp nghỉên cứu.

Nghiên cứu dựa trên cơ sở của giải tích hàm, giải tích số, phương trình viphân, phương trình tích phân và đại số

6 Những đóng góp mới của đề tài.

- Đề tài luận văn được trình bày một cách có hệ thống một số phương pháplặp hay được sử dụng khi giải phương trình toán tử mà sự hội tụ của nóđều liên quan đến ánh xạ co

Các phương pháp lặp được trình bày có thể được nghiên cứutiếp để mở rộng cho các không gian trùn tượng hơn

Chương 1 Kiến

thức chuẩn bi

1.1 Không gian metric, không gian metric đầy đủ.

Định nghĩa 1.1.1 Cho X ^0, ta gọi là một metric trong X một ánh

xạ d từ tích Descartes XxX vào tập số thực R thỏa mãn 3 tiên

đề sau: /)(Vx,ye X) d{x,y)>Q,d(x,y) = §<í>x = y

• d(x,ỵ) là khoảng cách giữa hai phần tửx,yeX

• Các phần tử của X gọi là các điểm

Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metrỉc(X,d).

o(V£>0)(3n0eW*) (Vw > w0) (Vp&N*) thì d(x n+p ,x n )<£

hay là dãy cơ bản <=> lim d(x m ,x n ) = 0

m,n —»00

hoặc limd(x ,xn) =0 Vp = 1,2,

n->x F

Không gian đủ: Không gian metric mà mọi dãy cơ bản đều hội tụ

được gọi là không gian metric đủ

1.2 Tô pô trong không gian metric Định nghĩa

1.2.1.

Cho không gian (X,d), r > 0, a eX

mở tâm a, bán kính r.

Hình cầu đóng:Ta gọi B’(a, r) - {X e X: cl(x,a) <r } là hình cầu

đóng tâm a, bán kính r.

Định nghĩa 1.2.2 Cho không gian (X,d), A czX

Tập mở: A được gọi là tập mở nếu Vx <E A thì X là điềm trong của A.

c= A.

Quy ước 0, X vừa là tập đóng vừa là tập mở.

Định lý 1.2.1 Trong không gian metric, hình cẩu đóng là tập

Định nghĩa 1.3.1 Ảnh xạf: X —> Y từ không gian metric (X,d x ) vào

không gian metric ợ,dy ) được gọi là liên tục tại Xo nếu (Vs> 0),

(Bô> 0) (Vx £ X): d ỵ (x,x ữ ) < ổ thì dy(f(x),f(x ữ ))<£.

Ánh xạ liên tục tại mọi điểm thuộc A aX thì ta nói / liên tục trên A czX.

Định nghĩa 1.3.2 Ảnh xạ f: X —> Y từ không gian metric (X,d x )vào không gian metric (Y,dy) được gọi là liên tục đều trên A aX nếu ( Ve >

Hiển nhiên ánh xạ/ liên tục đều thì liên tục

1.4 Tập hợp compact và bị chặn

Định nghĩa 1.4.1 Không gian compact

Không gian metric (X,d) là không gian compact nếu với môi dãy

Tập compact: Tập A dX là tập compact nếu không gian con A là

Định lý 1.4.1 (Định lý về tính chất của ánh xạ liên tục trên tập compact)

gian metric (Y,dy) K là tập compact trong X thế thì:

1 f liên tục đều trên K

hạn hoặc vô hạn Neu Ỏ(A) <oothì A được gọi là tập hợp bị

chặn Từ đó suy ra A bị chặn <^>BB(a,R): A <^B(a,R).

1.5 Không gian vectơ (không gian tuyến tính)

Định nghĩa Giả sử X là một tập hợp, K là một trường (K = R V c)

8) ].x = xA \/xGX

với 1 là phẩn tử đơn vị của phép nhân trên trường K.

Khỉ đỏ Xđược gọi là không gian vectơ trên

trường K Ví dụ.

Cla b] = ịx(t) liên tục trên [a,b ] } được trang bị hai phép toán

Khi đó nó là không gian vectơ

1.6 Không gian định chuẩn - không gỉan Banach Định nghĩa 1.6.1.

Không gian định chuân:

Giả sử X là không gian vectơ (không gian tuyến tính), ánh xạ ||.||: X —»

Định nghĩa 1.6.3 Dãy cơ bản:

<^> (Ve> 0) (3n 0 e N*): (V/2 >n 0 ) (Vp = 1,2 thì

Định nghĩa 1.6.4 Không gian định chuân X là không gian Banach

nêu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

Định lý 1.6.1 Cho không gian định chuấn X, với mọi x,ỵ G X thì:

a) |||*||-||)|<||*-;y||.

b) Đặt d(x, y) = ||x- ỵ\\ thì d là metric trong X gọi là metrỉc sình bởi

( h a y m e t r i c t ư ơ n g t h í c h ) v ớ i c h u ấ n

Nhận xét:

• Trong không gian Banach, một dãy là hội tụ nếu nó là dãy Cauchy

• Không gian Banach cũng là một không gian định chuẩn đầy đủ

Định nghĩa 1.6.5 Cho X, Y là các không gian định chuẩn trên trường

K, McìX Khỉ dỏ toán tử A: M —> Y dược gọi là liên tục theo dãy diểm

1.7 Sai số và số gần đúng

1.7.1 Sai số tuyệt đối, sai số tưong đối

Trong tính toán, ta thường phải làm việc với các giá trị gần đúng của các

đại lượng Ta nói a là số gần đúng của a\ nếu a không sai khác ả nhiều Đại lượng À:= a-a gọi là sai số thật sự của a Do không biết a nên ta

cũng không biết A Tuy nhiên, ta có thế tìm được Aa >0, gọi là sai số tuyệt đối của a , thỏa mãn điều kiện:

a - ầ < A a

hay a — ầa<a <a + Aa

Đương nhiên, Aa thỏa mãn điều kiện trên càng nhỏ càng tốt Sai số tương đối của a là Sa := —Ỵ.

Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác "0" và cả "0", nếu nó kẹp giữa hai chữ

số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữ lại

Ví dụ а = 0.0030140 Ba chữ số "0" đầu không có nghĩa.

Mọi chữ số có nghĩa ß của a = ±(/? 10p + + /? _â10*’_ĩ) gọi là chữ số

chắc, neu Aß < сох 10'.

trong đó (ứ là tham số cho trước Tham số (0 được chọn để một chữ số vốn đã

chắc sau khi thu gọn vẫn là chữ số chắc Giả sử chữ số chắc cuối cùng của a trước khi thu gọn là ß Đe Д+1 và các chữ số trước nó vẫn chắc, phải có

là một ánh xạ co nếu tồn tại một số a thỏa mãn 0 < a < 1 sao cho với bất kỳ hai điểm X, ỵ G X ta có

Định lý 2.1 (Banach) NeuAỉà ánh xạ co, đi từ không gian metric

đủ(X,p) vào chính nó thì A có duy nhất một điếm bất động và điếm đó có thế nhận được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp với xấp xỉ ban đầu tùy

Tính duy nhất được suy ra từ điều kiện (2.1) Giả sử sao cho

Khi đó theo (2.1)

nên yơ(x*,3?*) = 0 (do <2 < 1) hay là x* = y*.

Chú ý 2.1 Ánh xạ A thỏa mãn điều kiện

Thông thường người ta xét các ánh xạ co xác định trên toàn không gian X

hoặc trong hình cầu 5 c X Trong trường hợp ánh xạ co được xét trong hình cầu

s , định lý 2.1 thường được phát triển dưới dạng sau đây.

Định lý 2.2 Giả SỬA là ánh xạ co trong hình cẩu

Ngoài ra giả thiết

Đe chứng minh định lý 2.2 ta chỉ cần kiểm tra AS d s Vì với xeS ta có p( Ax,

yữ) < p( Ax, Ay 0 ) + p{ Ay ữ , y0) < ap(x, ya) + (l - a)r < r

suy ra AS a s Hình cầu đóng s là không gian con đủ trong X nên có thể áp dụng

ф(х) = yơ(x, Ax).

Gọi là dãy cực tiểu nào đó của ф(*), khi đó

limOÍx )= inf =йХ' ^ n/ л-еЬ(Ф) v ’

Tính duy nhất được chứng minh tương tự như trên

Chú ý 2.2 Trong chú ý 2.1 ta đã thấy nếu A chỉ thỏa mãn điều kiện (2.2)

thì định lý 2.1 chưa chắc đúng Tuy vậy nếu miền giá trị của A là tập compact thì

định lý vẫn đúng

Định lý 2.3 Giả sử A ánh xạ tập đỏng M của không gian metrỉc đủ X vào

tập compact M và thỏa mãn điều kiện (2.2) Khi đỏ ảnh xạ A có điếm bât động duy nhất trong M

Chứng minh Đe chứng minh ta lại xét phiếm hàm

<D(x) = yơ(jc, A x )

Vì đó là phiếm hàm liên tục, không âm nên tại một điểm X * nào đó trong tập

compact M nó sẽ đạt giá trị cực tiểu Giá trị cực tiếu đó bằng 0, vì nếu ngược lại

ta có

điều đó vô lý Bởi vậy 0(x*) = 0 và do đó X* là điểm bất động của ánh xạ A

Tính duy nhất được chứng minh tương tự như ở định lý 2.2

Chú ý 2.3 Ánh xạ A thỏa mãn điều kiện của định lý 2.3 không nhất thiết

là ánh xạ co trên M cũng như trên A ( M ) Có thể thấy điều đó qua ví dụ đơn

giản sau đây:

Ánh xạ

A x = X - —

2biến đoạn [0,1] vào chính nó và thỏa mãn các điều kiện của định lý 2.3; tuy vậy

nó không phải là ánh xạ co

Dưới đây ta nêu lên mà không chứng minh một định lý quan trọng về sựtồn tại của điểm bất động, định lý Schauder

Định lý 2.4 Giả sử ánh xạ liên tục A ánh xạ tập đóng, lồi M của

không gian Banach X vào chính nó và A(M)ỉà compact Khỉ đó ảnh xạ A

có điểm bất động cỉuy nhất trong M

Trong nhiều trường họp việc đưa vào một tham biến mới làm đơn giảncách giải bài toán và sau đó nghiệm của phương trình xuất phát được xem như làmột giá trị của nghiệm bài toán mới ứng với một giá trị cố định của tham biến Vìthế việc xét tính liên tục của nghiệm phụ thuộc vào tham biến trong trường hợpnày rất quan trọng Khái niệm về ánh xạ co đều có lợi cho việc xét các vân đêtrên

Giả sử có hai không gian Banach X X ] và s là hình cầu ||jt-jt0||< r trong X

vầSị là hình cầu ||z-z0||<^ trong X Ị Toán tử A(x;z) tác dụng trong không gian X

và phụ thuộc vào tham biến z e Sị được gọi là ánh xạ co đều nếu với mọi z e Sị

ta có

trong đó 0 < a < 1 và không phụ thuộc z

Ta có định lý sau đây :

Định lý 2.5 Giả sử ánh xạ A(jc;z) liên tục theo z với mỗi xcố định và

với môi z G Sị biến cầu s vào trong nó Neu A [ x \ z ) là ánh xạ co đều trong s thì

phương trình

Chủng minh Định lý 2.1 đã khắng định sự tồn tại và duy nhất của

nghiệm đó Ta chỉ cần chứng minh tính liên tục theo z Thực vậy, theo (2.4) ta có

(z0);z0) - A(x* (z0);z)|| + IỊẩCx* (z0);z) - A(x* (z);z)|| <||

A(x*(z0);z0)-A(x*(z0);z)|| + «||a:*(z0)-x;ì;(z)||

Dưới đây ta sẽ chứng minh định lý tổng quát hơn trong không gian metric

Giả sử X là không gian metric với metric p(x , ỵ ), ánh xạ A được gọi là ánh xạ

co suy rộng nếu

với ỵ(u) là một hàm liên tục, dương khi u > 0 thì A là ánh xạ co suy rộng.

Ta có định lý sau đây

Định lý 2.6 Giả sử ánh xạ co suy rộng A ánh xạ không gian metric

đủ X vào chỉnh nổ Khi đỏ phương trình

đó là dãy không tăng

dãy Neu a *>0 thì với N đủ lớn và mọi m = 1,2, tacó bấtđắng thức(cũng do điều kiện (2.6))

a N* m ^[<7(a*,a*+l)]”(a*+l)

Điều đó mâu thuẫn, do đó a n —» 0 Giả sử cho số s > 0, chọn N sao cho

ta sẽ chứng tỏ rằng ánh xạ A biến hình cầu p(x,x N ) < 8 vào trong nó, từ đó suy ra

dãy (2.10) là dãy cơ bản

Giới hạn X* của dãy (2.10) sẽ là điểm bất động của ánh xạ A Tính duy nhất củagiới hạn đó là rõ ràng Định lý được chứng minh

trong mỗi hình cầu p{x,x*) < r.

Hai metric p(x, ỳ) và (x, y) trong không gian X được gọi là tương đương nếu

mỗi dãy cơ bản theo metric này cũng là dãy cơ bản theo metric kia

Định lý 2.7 Giả sử A ảnh xạ không gian metric đủ X đường kính hữu

về điêm đó.

chuyến sang metric đó A trở thành ảnh xạ co:

p{Ax,Ay)<qp(x,y), (0<C/<1)

Định lý này quan trọng, vì như vậy khi biết nghiệm của phương trình nào

đó có thể thu được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp thì có thể tìm được mộtmetric tương đương sao cho khi sử dụng metric đó ta có thể áp dụng nguyên lýánh xạ co

(2.11)

Bây giờ giả sử rằng A là liên tục, ánh xạ không gian metric đủ, giới nội vào trong nó và có trong X một điểm bất động duy nhất X * Giả thiết rằng

dãy xấp xỉ x n = A n x 0 hội tụ về X* vơỉ bất kỳ x0 e X .Có phảỉ dãy đó Iuốn

luôn hội tụ đều về X* tương ứng với x0 e X hay không?

Câu trả lời là phủ định ngay cả khi X là compact Có thể xét ví dụ: X là

tương ứng mỗi điểm Ọ Q với giá trị của nghiệm của phương trình vi phân = (2K

dt

2.2 Phương pháp lặp đơn

Xét phương trình dạng

với toán tử A tác dụng trong không gian metric đủ X Giải phương trình (2.12)

có nghĩa là tìm phần tử xe D(A) bất động với toán tử A

2.2.1. Phương pháp lặp, miền hội tụ

Phương pháp đơn giản để xác định các nghiệm gần đúng của phương trình(2.12) là xuất phát từ một phần từ (tùy ý) Xq e D(A) xác định liên tiếp các phần

tử gần đúng theo X ị , x 2 , , x n theo công thức

Các vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên và xét xem với điều kiện nào của

toán tử A quá trình lặp có thế tiến hành vô hạn và dãy {x(jỊ hội tụ tới nghiệm củaphương trình (2.12), đồng thòi xét tốc độ của sự hộ tụ đó

Nói chung sự hội tụ phụ thuộc vào cách chọn phần tử ban đầu x0 Với điếmbất động X *, tập hợp tất cả các phần tử , mà dãy {x;Ị} tương ứng hội tụ về phầntủ’ X *, được gọi là miền hội tụ của điểm X * Điểm X * được gọi là hút nếu cómột lân cận nào đó của * * nằm hoàn toàn trong miền hội tụ của nó Nếu như tồntại một lân cận nào đó của điểm bất động X* không chứa một điểm nào đó của

miền hội tụ trù’ chính điếm X * thì * * được gọi là điểm bất động đẩy.

Trong trường hợp A là ánh xạ co, Đ(A) đóng và D(A) d D thì theo

định lý 2.1 dãy xấp xỉ liên tiếp (2.13) với giá trị tùy ý x0 e D(A) hội tụ về

nghiệm duy nhất x*của phương trình (2.12) và dĩ nhiên trong trường hợp đóđiểm X* là điểm bất động hút Tốc độ hội tụ được đặc trưng bằng bất đẳng thức

có nghiệm duy nhất X * và là giới hạn của quá trình lặp

x H+ì =B-\y-Ax a ) (2.17)

Điều đó được thấy rõ nếu đặt B~ ] A = -Ạ, B~ ] y = y, vì lúc đó phương trình (2.17)

tương đương với phương trình

x — A ] x=y ] (2.17’)với II /4, ll< 1, trở về trường hợp của phương trình (2.15)

Nhận xét 2.3.Giả sử Ae£(X,X) trong đó X là một không gian

Hilbert Neu toán tử A cónghịch đảo tuyến tính bên trái A~ ] thìphương trình

Ax = ỵ,(ỵeX) (2.18)

tương đương với phương trình

trong đó A* là toán tử liên hợp của A .

Quả vậy, rõ ràng nghiệm (2.18) là nghiệm của (2.19) Ta còn cần chứng

minh điều ngược lại Giả sử X là nghiệm của phương trình (2.19) Lúc đó

Vì A có nghịch đảo trái nên tồn tại một số m > 0 sao cho

từ đó X = X* Đó là điêu phải chứng minh.

Như vậy trong trường hợp đó để giải phương trình (2.18), ta có thể giảiphương trình (2.19) Mặt khác dễ dàng thấy phương trình (2.19) tương đương vớiphương trình loại 2 sau đây:

x-ự- kA* A)x = kA*y (2.20)

Nếu chon 0 < k < —, ta có IIAII

((/ — kA* A)x,x) = (x,x) - k(A*Ax,x) = (x,x ) - k(Ax ,

Bằng một cách nào nó ta đưa phương trình (2.21) về một dạng tương

đương

Giả sử ạ>(x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz

I <p(x7) - (p(Xị) l< K\ x 2 - X Ị I

với hằng số K < 1 và ánh xạ đoạn [a,b] vào trong nó Khi đó (p{x) là một ánh xạ

co và theo định lý 2.1 dãy các giá trị

Với phương trình (2.21) ta giả thiết f(a).f(b ) < 0 và 0 < kị < f\x ) < k trên

[a,b] Khi đó nói chung có thể xét hàm

thức đồng thời được thực hiện

Ví dụ Tìm nghiệm của đa thức

và 1 - — < (p'{x) < 1 hay là — < ọ'(x) <— trên đoan [1, 2].

10

11

12 IX* - X, к —.0,0625

« 0,038 105

13 Nghiệm chính xác tới 4 chữ số lẻ là X* = 1,6203 hay X* - x 2 = 0,0341

2.2.3 Phưong pháp lặp để giải phương trình vi phân thường

a) Xét phương trình vi phân thường

kiện (2.24) được gọi là bài toán Cauchy

miền phang G nào đó

khoảng \x-x 0 \<d nào đó tồn tại duy nhất nghiệm ỵ = ạ>(x) của phương trình

(2.23) thỏa mãn điều kiện (2.24)

23 Đe chứng minh định lý đó chú ý rằng bài toán Cauchy(2.23), (2.24)tương đương với phương trình tích phân

(2.25)

26 Vì / liên tục nên \ f(x,ỵ)\<K trong miền G'czG chứa điểm (x0,;y0) Chọn d

> 0 sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

1) (x,y) e ơ'nếu lx-x() l< d ,1 ỵ - y ữ \< Kd.

2) L.d < 1

27Gọi c* là không gian các hàm liên tục ọ, xác định trên IX - x0 \< d và sao

cho I ạ>(x) - ỵ 0 \< Kd với metric ) = max I (x) - (x) I Rõ ràng c* là

32 trong đó \ x-x 0 \<d Ánh xạ A biến không gian đủ c* vào trong nó và là

ánh xạ co Thực vậy, giả sử (p G c*, khi đó

41 y „ M = % + í; f ( t , y„_, ( t ) ) d t , y a (x) = y 0

43 Dãy y n (x) hội tụ đều về nghiệm ạ?(x) của bài toán với tốc độ hội tụ

được đặc trưng bởi hàm

b) Với bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân ta cũng có kết quả

55 với các điều kiện ban đầu

56

64 Xét không gian c *các vectơ <p = (<pị, ,(p n ) trong đó Ọị xác định và liên tục

với \x-x 0 \<d và sao cho I <Pị(x)- y0| I< Kd Metric được xác định bởi công thức

70 là ánh xạ co biến C*vào trong nó Từ đó suy ra rằng phương trình toán tử ạ> =

Aọ có nghiệm duy nhất trong c*.

71 PhưoTLg pháp xấp xỉ liên tiếp do đó có thể áp dụng để giải bài toánCauchy cho hệ phương trình vi phân Quá trình lặp được cho bởi công thức

xỉ liên tiếp để giải phương trình tích phân

74 Trước khi xét cụ thế cho từng loại tích phân ta xét một loại mở rộng nguyên lý ánh xạ co, ta có mệnh đề sau:

duy nhất một điếm bất động (hay phương trình x = Ax có nghiệm duy nhất).

76 Thực vậy, giả sử X* là điểm bất động của toán tủ’ в nghĩa là X* = Bx*

77 khi đóAx* = ABx* = = AB k x* = B k Ax* = B k x 0 với JC0 = Ax*.

78 Nhưng do в là toán tử co nên BkxQ —» X* khi к —»00, do đó ta có Ax* =x*.

Điểm bất động đó là duy nhất bởi vì mọi điểm bất động của toán tử A đều là bất động

đối với toán tử co A n = В .

a) Phương trình tích phân Volterra Phương trình tích phân Volterra loại 2

chứng tỏ rằng một lũy thừa nào đấy của A sẽ là toán tử

85 co Giả sử ợ>ì 9ợ>2e C[a,b\ khi đó

(2.33)

94 và lúc đó A n sẽ là toán tử co Do đó phương trình tích phân Volterra (2.33)

với Ằ tùy ý sẽ có nghiệm duy nhất.

95 Nghiệm của phương trình (2.33), do đó có thể nhận được như là

giới hạn của dãy xấp xỉ liên tiếp

121 nêu nhân K(x, y) và hàm f(x) thổa man một sô điêu kiện nàỡ đây thì có thê

122 đưa được về phương trình Volterra loại hai Chẳng hạn nếu К(х,х)ф 0 với

131 Cho hệ phương trình đại

sốtuyến tính

(2.40)

chiều cần tìm, b là vectơ cho

135 A = (a.j); x = (x v x 2 , ,x n ) T ; b = (b v b 2 , ,b n ) T

136 Trong đó ký hiệu T biểu thị đó là vectơ cột

137 Xét ba cách khác nhau xác định metric trong R n :

a) Với cách đặt:

138 Pì (x,y) = max I xi - y, I,

139 I </<«

141 p, (Ax', Ax") = max I 142^ữịj(x' - x'j) 1^ max I ũị. IIX - x"I

164 toán tử A sẽ là toán tử co.

165 Như vậy, nếu một trong ba điều kiện (2.41) - (2.43) được thỏa mãn thì hệ

phương trình đại số tuyến tính (2.40) có duy nhất một nghiệm với véctơ b tùy

thuộc/?" Dãy xấp xỉ liên tiếp được xác định bởi công thức:

166 ^ ’ = Ёа9хГ) +^ ; í=1,2, ,/!, к=1,2,

168 với vectơ gần đúng ban đầu (x((0)) tùy ý thuộc R n .

kiện nói trên là điều kiện cần cho việc áp dụng phương pháp xâp xỉ liên tiêp.

170 Với hệ phương trình đại số tuyến tính, rất nhiều dạng của phương pháp lặp đãđược xét

175 Dễ dàng kiểm tra lại các điều kiện đủ nói trên đều thỏa mãn

176 Lấy x(0) = (0,0,0) ta được lần lượt

=0,626178; ta thấy sai số mắc phải sau 7 bước lặp là khoảng 1 o-4

2.3 Một số phương pháp lặp để giải hệ phương trình đại số tuyến tính

181 Ngoài phương pháp lặp được nêu trong 2.3.5 để giải hệ phương trình đại

số tuyến tính, người ta đã xây dựng một lớp khá phong phú các phép lặp khác nhau.Trong mục này trình bày một số phương pháp lặp thường dùng

2.3.1 Phương pháp Zeidel

Phương pháp Zeidel khác phương pháp lặp đơn ở chỗ các xấp xỉ cho từng thành phầncủa vectơ nghiệm được sử dụng ngay cho việc tìm xấp xỉ của thành phần tiếp theotrong mỗi bước lặp

185 Cụ thể, các xấp xỉ tiếp theo được xác định từ hệ phương trình sau:

186í (k+\) (Ả-) , , (k) _ 1 au x\ +a ị2 x 2 +”'+ữ Ịn x n > =b ]

187 a 2\ x \ + a 22 x 2 + a 23 x 3 "* + a 2n X n (2 45)

192 tiếp theo cho tới khi xác định được xl k+])

193 Neu ta biểu diễn ma trận A dưới dạng tổng của hai ma trận, B và c trongđó:

194195

a \ 1960 1970 198• 0 ' 199 200" 201a 202a \3 203

206

a 2 2

221

224

226 Từ (2.46) ta thấy rằngphương pháp Zeidel tương đương

với phương pháp lặp đơn ma trận —B~ x c Vì vậy, điều kiện cần và đủ đế phương pháp

Zeidel hội tụ là tất cả mọi giá trị riêng của ma trận -Zr'c đều bé hơn 1 theo môđun

227 Vì tất cả mọi nghiệm của phương trình:

228 det(/l/ + zr'c) = 0

229 trùng với các nghiệm của phương trình

231 nên ta có định lý sau:

232 Định lý 2.7 Điểu kiện cần và đủ đế phương pháp Zeidel hội tụ là mọi

nghiệm của phương trình

233

nhau Điều đó có nghĩa là có những ma trận mà phương pháp Zeidel áp dụng cho nó sẽhội tụ nhưng phương pháp lặp đon lại không hội tụ và ngược lại

237 Ta có điều kiện đủ sau đây để phương pháp Zeidel hội tụ

10

245 Lấy (2.46) trừ đi (2.48) ta được phương trình cho sai số

246 Be (k+]) +Ce {k) = 0, e(t) = (e1(t),e<*), -,e<*))7’

-Ọc)

(2.50)

l€* +l l<a lle' +l II +p II€

a

265 Và do đó

266lk<*+l) l l , < — I l 6( t ) ll^glk'*0 II,

toàn khi nhân các hàng hoặc các cột của ma trận A với những số nào đó Điều nhậnxét đó trong nhiều trường hợp làm đơn giản việc xét tính hội tụ của phương pháp

269 Đe hiểu rõ hơn bản chất của phương pháp ta thử hình dung ý nghĩa hình học

của nó Ký hiệu 71] là siêu phăng

chuyển song song theo trục Xi cho đến lúc gặp siêu phang Щ.

274 Đặc biệt trong trường hợp ma trận Ẩ đối xứng ta có:

275 Định lý 2.9 Giả sử ma trận A thực, đoi xứng và xác định dương Khi

đỏ phương pháp Zeidel hội tụ.

276 Có thể chứng minh định lý 2.9 nhờ một kết quả quen thuộc của đại số đượcphát biểu dưới dạng bổ đề sau:

277 Bổ đề 2.1 Gọi F và G là những ma trận, trong đó F không suy

biến sao cho F + G , F - G* là nhũng ma trận Hermit (Hermite) xác định

278 Áp dụng bổ đề này với G = с và F = в Theo giả thiết của định lý ta có F = в

= С* + D trong đó D là ma trận đường chéo của A cũng xác định dương Từ đózr'c

có tất cả các giá trị riêng nằm trong vòng tròn đơn vị và do đó phương pháp Zeidel

áp dụng cho phương trình (2.44) hội tụ

279 Chửng minh bố đề 2.1 Gọi lần lượt X và X là giá trị riêng và vectơ riêng của khi đó F ] G X = tai, hay Gx = ẲFx, x*Gx = Ẳx*Fx Từ đó