ứng dụng của lý thuyết nevanlinna cho phương trình vi phân và điểm bất đông

Trong giải tích phức, một trong những ứng dụng nổi bật của lý thuyết Nevanlinna là ứng dụng trong phương trình vi phân đại số.. Cụ thể, lý thuyết Nevanlinna được sử dụng trong việc nghiê

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009

MỞ ÐẦU

Gần đây, lý thuyết Nevanlinna đã trở thành một trong những lĩnh vực toán học năng động Chẳng hạn, Khoái [3], Khoái-Quang [6] đã chứng minh tương tự p-adic của hai “định lí chính” và mối quan hệ về số khuyết của lý thuyết Nevanlinna cổ điển Khoái [4] đã nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna nhiều biến, và

đã chứng minh mối liên hệ về số khuyết của các siêu phẳng trong vị trí tổng quát Cherry-Yang [13] đã mô tả một số tập xác định duy nhất với số phần tử hữu hạn của các hàm nguyên p-adic Có hai “định lí chính” và các mối quan hệ về số khuyết, chúng đóng vai trò trọng tâm trong lý thuyết Nevanlinna Những kết quả này đóng góp quan trọng trong việc nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna

Trong giải tích phức, một trong những ứng dụng nổi bật của lý thuyết Nevanlinna là ứng dụng trong phương trình vi phân đại số Cụ thể, lý thuyết Nevanlinna được sử dụng trong việc nghiên cứu tính chất nghiệm là hàm nguyên hay hàm phân hình của phương trình vi phân Chẳng hạn, lý thuyết Nevanlinna được sử dụng để chứng minh định lí Malmquist’s và một ví dụ điển hình trong số

các kết quả của định lí kiểu Malmquist là: “Nếu P X và   Q X là các phần tử  

nguyên tố cùng nhau trong vành đa thức một biến với hệ số trong trường các hàm hữu tỉ theo biến z với hệ số phức và phương trình vi phân  

 

P f f

Q f

  có

một nghiệm phân hình siêu việt f, khi đó Q là một đa thức bậc không theo biến X

và P có bậc tối đa bằng 2” Kết quả trên là nền tảng để xây dựng các định lí kiểu

Malmquist tổng quát hơn sau này trong giải tích phức Về sau, các kết quả trong giải tích phức thường được xây dựng tương tự trong giải tích p-adic; vì vậy, ý tưởng nghiên cứu tính chất nghiệm của các phương trình vi phân đại số, đặc biệt

là các kết quả kiểu Malmquist tương tự p-adic là điều tất yếu

Trong luận văn này, tôi đã trình bày các phương trình vi phân đại số p-adic dạng:

Trong chương 3, tôi đã trình bày tương tự p-adic của định lí Baker trong giải tích phức, định lí nghiên cứu điểm bất động của hàm nguyên siêu việt, đó là:

“Nếu f là hàm nguyên siêu việt trên p , khi đó f sở hữu vô hạn điểm bất động cấp n, trừ nhiều nhất một giá trị của n”

Chương 1: LÝ THUYẾT NEVANLINNA CỦA HÀM PHÂN HÌNH p-ADIC

Trong chương này, tôi sẽ trình bày các kết quả quan trọng và cần thiết của lý thuyết Nevanlinna của hàm phân hình p-adic, các kiến thức này sẽ bổ trợ cho phần trọng tâm của luận văn này là chương 2 và 3

1.1 Lý thuyết Nevanlinna của hàm phân hình p-adic:

Cho p là một số nguyên tố, gọi p là trường các số p-adic, và p là đầy đủ hóa adic của bao đóng đại số p của p Giá trị tuyệt đối p trong p được chuẩn hóa sao cho 1

p-p

p  p Ta cũng dùng kí hiệu ord z p  logp z p Nhắc lại rằng, trong không gian mêtric đầy đủ có được nhờ chuẩn phi Archimedean, mỗi tổng vô hạn hội tụ nếu và chỉ nếu số hạng tổng quát tiến dần về không Khi đó biểu diễn dưới dạng:

1

1lim sup n

n p

Khi đó chuỗi hội tụ nếu z p  và phân kì nếu  z p  Cũng vì thế hàm  f z 

được gọi là hàm giải tích p-adic trên B  , ở đó

B   z z  Nếu    , hàm f z được gọi là hàm nguyên p-adic trên   P

Cho f là hàm giải tích p-adic khác hằng trên B   0   Ta định nghĩa số  

Hệ quả 1.1.3: r f,  là hàm số liên tục trên 0,

Bổ đề 1.1.4: (Weierstrass Preparation Theorem): Tồn tại duy nhất đa thức P bậc

r f, 

 và một hàm giải tích p-adic g trên B r  sao cho f gP , ở đó

B r  z z r Hơn nữa, g không có bất kì không điểm nào trong B r , và P có đúng r f, 

không điểm, kể cả bội trong B r 

Gọi n r,1

f

  là số không điểm ( tính cả bội ) của hàm f với trị tuyệt đối r và

định nghĩa hàm trị của f đối với 0 bởi:

Tính chất 1.1.5: Nếu t ord z p  không là điểm tới hạn, khi đó

,

t f p

f z  p  r f

Định nghĩa 1.1.6: Hàm biểu diễn dưới dạng thương f g

h

 của hai hàm giải tích

p-adic g v hà sao cho g v hà không có nhân tử chung trong vành các hàm giải tích p-adic trên B  được gọi là hàm phân hình f trên B 

ở đó C f là hằng số chỉ phụ thuộc vào f Định nghĩa

 ,  log  ,  max 0,log  ,  

Tính chất 1.1.10: Cho w M  p Khi đó với  là số nguyên dương tùy ý, ta có

Định lí 1.1.12: ( Tính chất đạo hàm logarit ) Cho f là một hàm phân hình khác

hằng trong B  Với mỗi số nguyên dương n bất kì, ta có

1.2 Cấp tăng của hàm phân hình p-adic:

Gọi M p là không gian các hàm phân hình p-adic trên p Định nghĩa

0

j j

Bổ đề 1.2.6: Cho z0 p , Nếu B z0  thì 0 R z0 A z0 B z0 Trong trường hợp B z0  ta có 0 R z0 A z0 B z0

Hệ quả 1.2.9: Một hàm phân hình p-adic f trên p là một hàm hữu tỉ bậc d nếu

và chỉ nếu, với mọi hàm nguyên p-adic khác hằng w trên p , ta có

r

T r f

d r

r

T r f r

  

Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ p-ADIC

Trong chương này, tôi sẽ trình bày tương tự phi archimedean định lí type trong phương trình vi phân

Malmquist-2.1 Phương trình vi phân đại số p-adic:

Định nghĩa 2.1.1: Phương trình vi phân đại số p-adic là phương trình có dạng

và i i i0 1, , ,i n là các chỉ số nguyên không âm, I là tập hữu hạn, c iM p ,

và R z w ,  là một hàm phân hình p-adic trên 2

Theo định nghĩa của    

 , trong đó A z w v B z w ,  à  ,  là các đa thức nguyên tố

cùng nhau đối với w và    

0

j j

B z w b z w



với a0, , , , ,a b k 0 b qM p ,a k 0,b q  Ta có kết quả sau: 0

Bổ đề 2.1.4: Cho w M  p là một nghiệm của (1), trong đó Nếu q k  , khi đó

  đối với mọi hàm phân hình p-adic f )

Bất đẳng thức này đúng trong trường hợp z p  với z thỏa mãn điều kiện chọn r

ban đầu, nhưng do tính chất liên tục của hàm  nên bất đẳng thức trên cũng đúng cho mọi r Suy ra 0

n

i

q i

j q

q q k

Định nghĩa 2.1.5: Một nghiệm w của (1) với R z w được xác định bởi (6) được  , 

gọi là chấp nhận được nếu w M  p thỏa mãn (1) với

w w z  z , khi đó R z w ,  là một đa thức theo w có bậc     

Chứng minh: Theo hệ quả 1.2.10, vì w w z   p z nên ta có:

limlog

r

T r f r

suy ra

log r o T r w,

Vì c i p z nên theo hệ quả 1.2.10 ta có:

nên w là một nghiệm chấp nhận được

Theo định lí 2.1.6 ta suy ra R z w ,  là một đa thức theo w có bậc:

Hệ quả 2.1.8: Cho R z w ,  là một hàm hữu tỉ của z và w Nếu có tồn tại một

hàm phân hình siêu việt w w z   trên p thỏa mãn

n

dw

R z w dz

nên w là nghiệm chấp nhận được

Theo định lí 2.1.6, suy ra R là một đa thức với

Ta có kết quả quan trọng sau đây:

Bổ đề 2.3.1: Cho R z w ,  được xác định như (6) và w là một nghiệm của (10) Nếu q k  , khi đó

q k

0 1

1

n

i

i i p

i I p

log , max log1,log , log ,

n

i

q i

q k

q k

q k

n n

i

i i

i i i i

q k

q k

             

w w

B A

q k

w w

B A

2.4 Nghiệm chấp nhận được của một số phương trình vi phân

Trong phần này, ta sẽ bàn đến phương trình vi phân sau đây

0

j j

z w w w a z w





đối với một số dạng đặc biệt của  Với w M  p , ta gọi z w w, , , , w n  là

đa thức vi phân của w nếu

W W

  0 Suy ra

0 1

1 0

w w

trong đó P là đơn thức vi phân của w và Q là đa thức vi phân của w với

Trường hợp k  là hiển nhiên 1

Giả sử ngược lại với k nào đó, 1 k l 

Khi đó    , hay 0 w v0 à w1 độc lập tuyến tính

Mặt khác: vì deg P deg Q và  P  Q nên

m T r w o T r w l

điều này là không thể xảy ra do k m 2 m 1 k do k 1

l l

  Định lí được chứng minh

Hệ quả 2.4.4: Nếu n k  và nếu n k  không là ước số của n , khi đó (15) với hệ

số hằng a j không có nghiệm phân hình khác hằng chấp nhận được

Điều này mâu thuẩn với giả thiết

Hệ quả được chứng minh

Giả thuyết 2.4.5: Phương trình (15) không có nghiệm phân hình siêu việt chấp

nhận được

Trong trường hợp các hệ số hằng, giả thuyết 2.4.5 được chứng minh như sau:

Định lí 2.4.6: Nếu phương trình (15) với hệ số hằng a j có một nghiệm phân hình khác hằng w, khi đó n k  là ước của n , và w viết được dưới dạng sau đây

trong đó n k  là ước của n

Giả sử z0 là cực điểm của w và  là bội số của nó suy ra w cũng nhận z0 là cực điểm và có bội số là  So sánh bội số cực điểm 1 z0 của hai vế trong đẳng thức (*) suy ra

n   k

điều này mâu thuẩn do n k  , chứng tỏ w không có cực điểm trên p nên w là

hàm nguyên, và theo hệ quả 2.4.4 mỗi không điểm của w b có bội số là l n

Suy ra

* 1 *

P Q B

trong đó

q B  Q  Q k k nên theo bổ đề 2.3.1, ta có:

 , *   ,  

m r P o T r w Theo bổ đề 1.2.4 ta có ước lượng:

Định lí 2.4.9: Giả sử rằng  được định nghĩa bởi (18) với q  Q  Khi đó 3.

(14) không có nghiệm phân hình khác hằng chấp nhận được với mọi số nguyên dương k và N

Chứng minh:

Giả sử (14) có nghiệm phân hình khác hằng chấp nhận được w

Đặt  1 w P z w w q  , , , , w n Q z w w , , , , w n  suy ra 1      

k N

Chương 3: ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA HÀM NGUYÊN P-ADIC

Trong chương này, tôi sẽ trình bày tương tự p-adic của định lí Baker trong giải tích phức

Định nghĩa 3.1: Cho f là hàm nguyên siêu việt p-adic, định nghĩa:

n

f z   f f z trong đó f được hợp thành n lần Điểm z0 được gọi là điểm bất động của hàm f nếu f z 0  Tổng quát hơn, ta gọi điểm z0 z0 là điểm bất động cấp n nếu

Định lí 3.3: Nếu f là một hàm nguyên siêu việt p-adic và với mọi số nguyên

dương k và n sao cho k n  , khi đó ta có:

Nhận thấy rằng, các phương trình  z 0,1, có các nghiệm chỉ khi

Mặt khác, vì a j j 1, 2,3 tiến chậm đối với hàm f nên S r o T r f  ,  ,

hơn nữa, vì f là hàm phân hình siêu việt trên p nên logr o T r f   ,  

Hệ quả được chứng minh

Định lí 3.6: ( Tương tự p-adic của định lí Baker ) Nếu f là hàm nguyên siêu việt

trên p , khi đó f sở hữu vô hạn điểm bất động đúng cấp n , trừ nhiều nhất một

giá trị của n

Chứng minh:

Giả sử rằng f chỉ có một số hữu hạn các điểm bất động đúng cấp k , và gọi chúng

là a a1, , ,2 a , và giả sử n k q  Nếu phương trình n  n k  0

f z  f  z  có một nghiệm z0, khi đó z0 thỏa mãn:

f   z  f  z  Khi đó

nên từ bất đẳng thức trên suy ra hàm f sở hữu vô hạn điểm bất động đúng cấp n ,

và vì thế có nhiều nhất một giá trị k mà hàm f chỉ có một số hữu hạn các điểm bất động đúng cấp k

Định lí 3.7: Nếu f là một hàm nguyên siêu việt trên p , khi đó f sở hữu một số

vô hạn các điểm bất động đúng cấp n với mọi n  1

Với n  , f sở hữu một số vô hạn các điểm bất động đúng cấp 1 1

Giả sử vớin  Vì hàm trị của các điểm bất động đúng cấp l n2  nhiều nhất là

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Trường ĐHSP tp.HCM, phòng KHCN&SĐH, các Thầy, Cô đã trực tiếp giảng dạy tôi trong suốt khóa học Đặc biệt, tôi xin được biết ơn sâu sắc PGS TS Mỵ Vinh Quang, người đã trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn và tận tình giúp đỡ tôi trong suốt khóa học này

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 A Boutabaa, A Escassult and L Haddad, On uniqueness of p-adic entire

functions, Indag Math 8 (1997), 145-155

2 H H Khoái and M V Tu, P-adic Nevanlinna-Cartan theorem, Internat J Math

6 (1995), 719-731

3 Hà, Huy Khoái, On p-adic meromorphic functions, Duke Math J.50(1983)

695-711

4 Hà, Huy Khoái, Heights for p-adic holomorphic functions of several variables,

Max-Plank Institut Fur Mathematik 89-83 (1989)

5 Hà, Huy Khoái & Mai, Van Tu, p-adic Nevanlinna-Cartan theorem International

J of Math 6(1995), 719-731

6 Hà, Huy Khoái & Mỵ, Vinh Quang, On p-adic Nevanlinna theory, Lecture Notes

in Math 1351(1988), 146-158, Springer-Verlag

7 Hu, P.C., Value distribution and admissible solutions of algebraic differential

equations, J of Shandong University (2)28(1993), 127-133

8 Hu, P.C & Yang, C.C Value distribution theory of p-adic, meromorphic

functions, Izvestiya Natsionalnoi Academii Nauk Armenii (National

Academy of Siences of Armenia) 32(3)(1997), 46-67

9 Hu, P.C & Yang, C.C., Malmquist type theorem and factorization of meromorphic

solutions of partial differential equations, Complex Variables 27(1995),

269-285

10 Hu, P.C & Yang, L.Z., Admissible solutions of algebraic differential equations,

J.C Shandong University (1)26(1991), 19-25

11 Koblitz, N p-adic analysis: a short course on recent work, Cambridge University, 1980

12 Pei-Chu Hu, Chung Chun Yang, Meromorphic functions over Non-Archimedean

Fields, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London

13 W.Cherry and C.C.Yang, Uniqueness of non-Archimedean entire functions

sharing sets of values counting multiplicity, Proc Amer Math Soc., to

appear