Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh trong không gian Banach

Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh trong không gian Banach

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - -

TèNG V¡N HUY

PH¦¥NG PH¸P LÆP T×M §IÓM BÊT §éng cña ¸nh x¹ gi¶ co m¹nh

trong kh«ng gian banach

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số : 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, 2013

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - -

Tèng v¨n huy

PH¦¥NG PH¸P LÆP T×M §IÓM BÊT §éng cña ¸nh x¹ gi¶ co m¹nh

trong kh«ng gian banach

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số : 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Ngưới hướng dẫn khoa học:

TS Nguyễn Thị Thu Thủy

Thái Nguyên – 2013

Mở đầu 3

1 Ánh xạ giả co và bài toán điểm bất động 6

1.1 Một số định nghĩa và ký hiệu 6

1.1.1 Không gian Banach lồi đều, trơn đều 6

1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 8

1.1.3 Ánh xạ giả co 8

1.2 Bài toán điểm bất động 10

1.2.1 Bài toán điểm bất động 10

1.2.2 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động 11

2 Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh 14 2.1 Xấp xỉ điểm bất động với dãy lặp chính xác 14

2.2 Xấp xỉ điểm bất động với dãy lặp có nhiễu 24

2.3 Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không xác định trên toàn không gian 28

Kết luận 42

Tài liệu tham khảo 44

Bảng ký hiệu

X Không gian Banach thực

X∗ Không gian liên hợp của X

J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J

A∗ Toán tử liên hợp của toán tử A

hx∗, xi Giá trị của phiếm hàm x∗ tại điểm x

D(A) Miền xác định của toán tử A

R(A) Miền ảnh của toán tử A

N (A) Tập các không điểm của toán tử A

F ix(A) Tập các điểm bất động của toán tử A

xn → x∗ Dãy {xn} hội tụ mạnh tới x∗

Một số định lý điểm bất động nổi tiếng xuất hiện từ đầu thế kỉ XX,trong đó phải kể đến nguyên lý điểm bất động Browder năm 1912

và nguyên lý ánh xạ co Banach năm 1922 Các kết quả này được mởrộng cho nhiều lớp ánh xạ khác nhau, chẳng hạn ánh xạ không giãn,ánh xạ giả co Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong lýthuyết tối ưu, bài toán cân bằng, bất đẳng thức biến phân Do đó,việc nghiên cứu phương pháp giải bài toán điểm bất động là vấn đềthời sự thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong nước

và trên thế giới

Mục đích của đề tài luận văn là nghiên cứu một số phương pháp xấp

xỉ điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh trong không gian Banachtrên cơ sở phương pháp lặp Mann và phương pháp lặp Ishikawa.Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương Chương

1 giới thiệu một số khái niệm về không gian Banach trơn đều, khônggian Banach lồi đều, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ giả co vàbài toán điểm bất động Một số phương pháp cổ điển xấp xỉ điểmbất động trong không gian Hilbert được đề cập trong phần cuối củachương Chương 2 trình bày một số định lý hội tụ mạnh của dãy lặpMann và dãy lặp Ishikawa về điểm bất động của ánh xạ giả co mạnhtrong không gian Banach Phần đầu của chương nghiên cứu sự hội tụcủa dãy lặp được cho chính xác Phần thứ hai nghiên cứu sự hội tụ

Mở đầu

của dãy lặp được cho có nhiễu Phần cuối của chương dành để trìnhbày các nghiên cứu về điều kiện để dãy lặp Mann và Ishikawa xác địnhkhi miền xác định của ánh xạ là một tập con chính thường của toànkhông gian

Đóng góp chính của tác giả là tìm đọc, dịch và tổng hợp các kiếnthức trong [1]-[4]

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Thị ThuThủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tậntâm và nhiệt tình của Cô trong suốt quá trình tác giả thực hiện luậnvăn.

Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo

sư, Phó Giáo sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thôngtin thuộc Viện Hàn lâm và Khoa học Việt Nam, các Thầy Cô trongĐại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thứcphục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản thân Từ đáy lòngmình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy Cô

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạoKhoa học và Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoahọc, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốtthời gian học tập tại trường

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn

vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốtnhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu

Tác giả

Tống Văn Huy

1.1 Một số định nghĩa và ký hiệu

Cho X là một không gian Banach thực, X∗ là không gian liên hợp của

X và hx∗, xi là ký hiệu giá trị của x∗ ∈ X∗ tại x ∈ X Ký hiệu 2X làmột họ các tập con khác rỗng của X Cho T là một ánh xạ với miềnxác định là D(T ) và miền giá trị là R(T ) và N (T ) là tập các khôngđiểm và F ix(T ) là tập điểm bất động của ánh xạ T tương ứng, nghĩalà

N (T ) = {x ∈ D(T ) : T x = 0},

F ix(T ) = {x ∈ D(T ) : T x = x}

Ký hiệu mặt cầu đơn vị của X là SX, trong đó SX ={x ∈ X : kxk = 1}

Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach X được gọi là không gian(i) lồi chặt nếu với x, y ∈ SX, x 6= y thì

k(1 − λ)x + λyk < 1, ∀λ ∈ (0, 1),

(ii) lồi đều nếu với mọi ε thỏa mãn 0 < ε ≤ 2, mọi x, y thỏa mãnkxk ≤ 1, kyk ≤ 1 và kx − yk ≥ ε suy ra tồn tại δ = δ(ε) ≥ 0 sao cho

x + y2

≤ 1 − δ

Chú ý rằng mọi không gian Banach lồi đều đều là không gian phản

xạ và lồi chặt

Định nghĩa 1.1.2 Không gian Banach X được gọi là

(i) có chuẩn khả vi Gâteaux (hoặc không gian trơn) nếu giới hạn

limt→0

kx + tyk − kxk

ttồn tại với mỗi x, y ∈ SX;

(ii) có chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu giới hạn trên đạt được đềuvới x ∈ SX

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử X là một không gian tuyến tính định chuẩnthực với số chiều lớn hơn hoặc bằng 2, và x, y ∈ X Mô đun trơn của

X được xác định bởi

ρX(τ ) := sup kx + yk + kx − yk

2 − 1 : kxk = 1, kyk = τ

 (1.1)

Ta có định nghĩa khác về không gian trơn đều như sau:

Định nghĩa 1.1.4 Một không gian Banach X được gọi là trơn đềunếu

Chương 1 Ánh xạ giả co và bài toán điểm bất động

Định nghĩa 1.1.5 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian Banach

Mệnh đề 1.1.1 Giả sử X là một không gian Banach Khi đó,

(i) J (x) là tập lồi, J (λx) = λJ (x), với mọi λ > 0;

(ii) J là ánh xạ đơn trị khi X∗ là không gian lồi chặt Trong trườnghợp X là không gian Hilbert thì J ≡ I-ánh xạ đơn vị trong X

Nếu X là không gian Banach trơn thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J

là đơn trị Nếu X là không gian Banach trơn đều thì ánh xạ đối ngẫuchuẩn tắc J liên tục đều trên các tập con bị chặn của X

Một bất đẳng thức đơn giản và thông dụng thường được dùng đểthiết lập mối quan hệ giữa ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J và chuẩn k.ktrong không gian Banach là bất đẳng thức Petryshyn [5]

Định lý 1.1.1 Cho X là một không gian Banach thực, J : X → 2X∗

là ánh xạ đối ngẫu của X Khi đó

kx + yk2 ≤ kxk2 + 2hy, j(x + y)i (1.4)

với mọi x, y ∈ X và j(x + y) ∈ J (x + y)

Bất đẳng thức (1.4) được gọi là bất đẳng thức Petryshyn

Định nghĩa 1.1.6 Cho T : D(T ) ⊂ X → X là một ánh xạ Ánh xạ

T được gọi là liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L nếu với mọi

(ii) Ánh xạ T được gọi là h-accretive (hemiaccretive) nếu với mỗi

x ∈ D(T ) và q ∈ N (T ), tồn tại j(x − q) ∈ J (x − q) sao cho

Chương 1 Ánh xạ giả co và bài toán điểm bất động

ở đây I là ánh xạ đồng nhất trong X

Chú ý rằng, bất đẳng thức (1.10) được viết dưới dạng

h(I − T )x − (I − T )y, j(x − y)i ≥ kk(I − T )x − (I − T )yk2 (1.11)

Trong không gian Hilbert, bất đẳng thức (1.10) và (1.11) tương đươngvới

kT x − T yk2 ≤ kx − yk2 + λk(I − T )x − (I − T )yk2, (1.12)

với mọi x, y ∈ D(T ) và λ = 1 − k < 1 Khi λ = 0 thì bất đẳng thức(1.12) có dạng

kT x − T yk ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ D(T ) (1.13)

Như vậy lớp các ánh xạ giả co chặt chứa lớp các ánh xạ không giãn

Ta có mối liên hệ giữa ánh xạ accretive và giả co như sau

Bổ đề 1.1.1 Cho T : D(T ) ⊂ X → X là một ánh xạ Khi đó,

(i) T là ánh xạ accretive khi và chỉ khi I − T là ánh xạ giả co;(ii) T là ánh xạ accretive mạnh khi và chỉ khi I − T là ánh xạ giả

co mạnh, ở đây I là ánh xạ đơn vị trong X

1.2 Bài toán điểm bất động

Định nghĩa 1.2.1 Phần tử x ∈ D(T ) trong không gian Banach Xđược gọi là một điểm bất động của ánh xạ T nếu x = T x

Ký hiệu tập các điểm bất động của ánh xạ T là F ix(T ) Chú ý rằngtập điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không gian Banachlồi chặt X nếu khác rỗng là một tập lồi và đóng Bài toán điểm bấtđộng được phát biểu như sau: Cho K là một tập con lồi của không

gian Banach X, T : K → K là một ánh xạ.

Hãy tìm phần tử x∗ ∈ K sao cho T x∗ = x∗ (1.14)

Việc tìm nghiệm của bài toán điểm bất động (1.14) tương đươngvới việc giải phương trình ánh xạ

Trong mục này chúng ta nhắc lại một số phương pháp xấp xỉ điểm bấtđộng cổ điển, đó là phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Ishikawa

Định lý 1.2.2 Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và T : X → X

là ánh xạ co Khi đó T có duy nhất điểm bất động q trong X và với mỗi

x0 ∈ X, dãy lặp {Tnx0} (dãy lặp {xn} được định nghĩa bởi xn+1 = T xn,với n ≥ 0) hội tụ tới q

Năm 1953, Mann [4] đã đưa ra một dãy lặp hội tụ mạnh đến điểmbất động của ánh xạ T

Định lý 1.2.3 Cho T là một ánh xạ liên tục từ tập compact [a, b] vàochính nó Khi đó dãy {xn} trong [a, b] được xác định bởi:

x0 ∈ [a; b] , xn+1 = T xn, xn =

nXk=1

xk

k , n ≥ 0. (1.16)

hội tụ tới một điểm bất động của T

Chương 1 Ánh xạ giả co và bài toán điểm bất động

Hầu hết các nghiên cứu về phương pháp lặp Mann với dãy {xn}được xác định bởi:

Định lý 1.2.4 Cho K là tập con compact lồi của không gian Hilbert

H và T : K → K là ánh xạ giả co, liên tục Lipschitz Khi đó, dãy lặp{xn} trong K xác định bởi:

Bổ đề 1.2.1 Cho {an}, {bn} và {cn} là dãy các số thực không âmthỏa mãn điều kiện:

cn < ∞ Khi đó an → 0 khi n → ∞

Việc nghiên cứu sự hội tụ mạnh của dãy lặp Mann và dãy lặpIshikawa với ánh xạ giả co mạnh được trình bày chi tiết trong Chương2

2.1 Xấp xỉ điểm bất động với dãy lặp chính xác

Cho L ≥ 1 và t > 1 tương ứng là hằng số Lipschitz và hằng số giả

co mạnh của ánh xạ T : K → K, ở đây K là một tập con lồi đóngkhác rỗng của không gian Banach X Đặt k = 1 − 1

t Cho r là hằng

số tùy ý nhưng cố định trong khoảng (0, k2) Sự hội tụ mạnh của dãylặp Ishikawa đến điểm bất động của ánh xạ T được trình bày trongđịnh lý sau đây

Định lý 2.1.1 Cho X là không gian Banach thực bất kỳ và K là tậpcon lồi đóng khác rỗng của X Cho T : K → K là ánh xạ liên tụcLipschitz và giả co mạnh Giả sử {αn} và {βn} là dãy số thực trong[0, 1] thỏa mãn các điều kiện sau:

i) βn ≤ k(1 − k)

L(1 + L), n ≥ 0.

ii) αn ≤ k

2 − rL(1 + L2), n ≥ 0.

hội tụ mạnh đến điểm bất động duy nhất của ánh xạ T

Chứng minh Vì T : K → K là ánh xạ Lipschitz và giả co mạnh nêntheo Định lý 1.2.1 ta suy ra T có duy nhất điểm bất động trong K

Ký hiệu điểm bất động của T là x∗ Nhận xét rằng:

||T xn+1 − T yn|| ≤ L||xn+1 − yn|| ≤ Kn||xn− x∗|| (2.3)

Tác động j(xn+1 − x∗) ∈ J (xn+1 − x∗) trong đẳng thức (2.2) ta nhậnđược

(2.4)

Chương 2 Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh

Ta thấy tồn tại j(xn+1 − x∗) ∈ J (xn+1− x∗) sao cho

hT xn+1 − T x∗, j(xn+1− x∗)i ≤ (1 − k)||xn+1 − x∗||2 (2.5)

Vì vậy thay thế (2.3) và (2.5) trong (2.4) ta được

||xn+1− x∗||2 ≤(1 − αn)||xn − x∗||.||xn+1 − x∗||

+ (1 − k)αn||xn+1− x∗||2+ Knαn||xn− x∗||.||xn+1− x∗||

αj



||x0 − x∗|| → 0,

(2.8)

khi n → ∞ Vậy định lý được chứng minh xong 

Hệ quả 2.1.1 Cho X, K, T và αn như trong Định lý 2.1.1 và địnhnghĩa dãy lặp Mann {xn} như sau:

Chứng minh Đặt βn = 0, ∀n ≥ 0 Khi đó từ Định lý 2.1.1 ta suy ra

Chứng minh Đặt αn = k

2 − rL(1 + L2), với ∀n ≥ 0, từ Hệ quả 2.1.1 ta

Định lý 2.1.2 Cho X là không gian Banach thực và K là tập con lồi,đóng, khác rỗng của X Cho T : K → K là ánh xạ liên tục Lipschitz

và giả co mạnh Giả sử {αn} và {βn} là hai dãy số thực trong [0, 1]thỏa mãn các điều kiện sau:

i) αn ≤ min



k2, 1(2 + k)(1 − k),

k(1 − k)2L(1 + L1)

, n ≥ 0

nXj=0

αj ||x0 − T x0||, n ≥ 0

Chương 2 Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh

Chứng minh Theo Định lý 1.2.1, ta suy ra T có duy nhất điểm bấtđộng, ký hiệu là q Vì T : K → K là ánh xạ giả co mạnh nên tồn tạij(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

≤(1 − αn)2||xn− q||2 + 2αn||T yn − T xn+1||.||xn+1− q||+ 2αn(1 − k)||xn+1− q||2

(2.11)

Áp dụng (2.9) ta nhận được

||T yn − T xn+1|| ≤ L||yn − xn+1||

≤L||(αn− βn)(xn− q) + αn(q − T yn)+ βn(T xn − q)||

Thay thế (2.12) vào (2.11) suy ra

||xn+1− q||2 ≤(1 − αn)2||xn− q||2 + 2αnLn||xn − q||.||xn+1 − q||

+ 2αn(1 − k)||xn+1 − q||2

≤[(1 − αn)2 + αnLn]||xn − q||2+ [2αn(1 − k) + αnLn]||xn+1 − q||2

≤(1 − kαn)||xn − q||2

≤exp − k

nXj=0

αj ||x0 − q||2 → 0,

khi n → ∞ vì

∞Pn=0

αn = ∞ Vì vậy ta có xn → q khi n → ∞ Hơn nữa

||xn+1− q|| ≤ 1

k

vuutexp − k

nXj=0

αj ||x0 − T x0||,

với ∀n ≥ 0 Định lý được chứng minh xong 

Hệ quả 2.1.3 Cho X, K, T và {αn} như trong Định lý 2.1.2 Vớibất kì giá trị x0 ∈ K, định nghĩa dãy lặp Mann {xn} bởi

Chương 2 Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh

Khi đó dãy lặp {xn} được xác định bởi (2.15) hội tụ mạnh đến điểmbất động duy nhất q của T Hơn nữa ta cũng có đánh giá sau:

||xn+1− q|| ≤ 1

k

vuutexp − k

nXj=0

αj ||x0 − T x0||,với ∀n ≥ 0

Sự hội tụ mạnh của dãy lặp Ishikawa tới điểm bất động duy nhấtcủa ánh xạ liên tục đều và giả co mạnh được nghiên cứu trong định

hội tụ mạnh đến điểm bất động duy nhất của T

Chứng minh Vì {xn}, {T xn} và {T yn} là các dãy bị chặn trong K,

ta có

yn − xn+1 = (αn− βn)xn+ βnT xn − αnT yn → 0,khi n → ∞ Sử dụng tính chất liên tục đều của ánh xạ T , ta suy ra

||T xn+1 − T yn|| → 0,

Sự hội tụ mạnh của dãy lặp Ishikawa trong không gian Banach thựctrơn đều được nghiên cứu trong định lý sau đây.

Định lý 2.1.4 Cho X là không gian Banach thực trơn đều, K là tậpcon lồi, bị chặn, khác rỗng của X và T : K → K là ánh xạ giả comạnh với tập điểm bất động F ix(T ) 6= ∅ Giả sử {αn} và {βn} là haidãy số thực trong (0, 1) thỏa mãn điều kiện sau:

Chương 2 Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh

hội tụ mạnh tới điểm bất động của T

Chứng minh Nếu F ix(T ) 6= ∅ thì F ix(T ) phải có một giá trị, giả

sử q là điểm bất động của T Vì T : K → K là ánh xạ giả co mạnh,nên tồn tạ một hằng số k = t − 1

Vì vậy thay thế (2.21) vào (2.20) ta được

||xn+1 − q||2 ≤(1 − αn)||xn − q||||xn+1 − q||

+ (1 − k)αn||xn − q||2 + o(αn)

≤1 − αn

2 (||xn− q||2 + ||xn+1 − q||2)+ (1 − k)αn||xn − q||2 + o(αn)

Suy ra xn → q khi n → ∞ Định lý được chứng minh xong 

Hệ quả 2.1.5 Cho X là không gian Banach thực, trơn đều và K làtập con lồi đóng, bị chặn, khác rỗng của X Cho T : K → K là ánh

xạ liên tục và giả co mạnh Cho {αn}, {βn} và {xn} như trong Định

lý 2.1.4 Khi đó kết luận của Định lý 2.1.4 được giữ nguyên

Chứng minh Sử dụng Định lý 1.2.1, ta suy ra T có điểm bất độngtrong K, do đó F ix(T ) 6= ∅ Phần còn lại của chứng minh được suy

Khi đó dãy {xn} hội tụ mạnh đến điểm bất động duy nhất của T

Chứng minh Sử dụng Định lý 2.1.4 với βn = 0 với mọi n ≥ 0 

Chương 2 Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh

2.2 Xấp xỉ điểm bất động với dãy lặp có nhiễu

Trong mục này ta nghiên cứu sự hội tụ mạnh của dãy lặp Mann vàdãy lặp Ishikawa xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh trongtrường hợp có nhiễu

Định lý 2.2.1 Cho X là không gian Banach thực, K là tập con lồi,đóng, khác rỗng và bị chặn của X Cho T : K → K là ánh xạ giả comạnh và liên tục đều Giả sử {αn}, {βn}, {γn}, { ˆαn}, { ˆβn} và {ˆγn}

là sáu dãy lặp trong [0, 1] thỏa mãn các điều kiện sau:

Ký hiệu tập điểm bất động ánh xạ T F ix(T ) Chú ý rằngtập điểm bất động ánh xạ không giãn T không gian Banachlồi chặt... ⊂ X → X ánh xạ Khi đó,

(i) T ánh xạ accretive I − T ánh xạ giả co; (ii) T ánh xạ accretive mạnh I − T ánh xạ giả

co mạnh, I ánh xạ đơn vị X

1.2 Bài toán điểm bất động

Định... data-page="24">

Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh< /small>

hội tụ mạnh tới điểm bất động T

Chứng minh Nếu F ix(T ) 6= ∅ F ix(T ) phải có giá trị, giả

sử q điểm bất động