Ứng dụng của lý thuyết nevanlinna cho phương trình vi phân và điểm bất động của hàm nguyên siêu việt

Khoái [4] đã nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna nhiều biến, và đã chứng minh mối liên hệ về số khuyết của các siêu phẳng trong vị trí tổng quát.Cherry-Yang [13] đã mô tả một số tập xác định

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TAO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP Hồ CHÍ MINH

ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYÉT NEVANLMA

B [ r }

BẢNG KÍ HIỆU

: Trường số p-adic

: Bao đóng đại số của

: Trường đầy đủ hóa của

: Giá trị tuyệt đối p-adic

Hàm trị của / đối với 0

Gần đây, lý thuyết Nevanlinna đã trở thành một trong những lĩnh vực toán học

p-adic của hai “định lí chính” và mối quan hệ về số khuyết của lý thuyếtNevanlinna cổ điển Khoái [4] đã nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna nhiều biến, và

đã chứng minh mối liên hệ về số khuyết của các siêu phẳng trong vị trí tổng quát.Cherry-Yang [13] đã mô tả một số tập xác định duy nhất với số phần tử hữu hạncủa các hàm nguyên p-adic Có hai “định lí chính” và các mối quan hệ về sốkhuyết, chúng đóng vai trò trọng tâm trong lý thuyết Nevanlinna Những kết quảnày đóng góp quan trọng trong việc nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyếtNevanlinna

Trong giải tích phức, một trong những ứng dụng nổi bật của lý thuyếtNevanlinna là ứng dụng trong phương trình vi phân đại số Cụ thể, lý thuyếtNevanlinna được sử dụng trong việc nghiên cứu tính chất nghiệm là hàm nguyênhay hàm phân hình của phương trình vi phân Chẳng hạn, lý thuyết Nevanlinnađược sử dụng để chứng minh định lí MalmquisCs và một ví dụ điển hình trong số

nguyên tố cùng nhau trong vành đa thức một biến với hệ so trong trường các

p ( f )

Trong luận văn này, tôi đã trình bày các phưong trình vi phân đại số p-adicdạng:

n(z,w,w', ,w{ n )) = R ( Z , W ) ,

Trọng tâm của phần này là tập trung vào việc nghiên cứu các tính chất nghiệm

của phuơng trình vi phân đại số, cụ thể, ta sẽ chỉ ra rằng một số phuơng trình viphân đại số không có nghiệm phân hình siêu việt chấp nhận đuợc Hơn nữa, cáckết quả còn đuợc mở rộng trong các trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn nhưđịnh lí Malmquist-type (I), định lí Malmquist-type (II) và nghiên cứu nghiệmchấp nhận được của một số phương trình vi phân cụ thể Các kết quả này là nội

Chương 1: LÝ THƯYÊT NEVANLINNA

Trong chưcmg này, tôi sẽ trình bày các kết quả quan trọng và cần thiết của lý thuyết

Nevanlinna của hàm phân hình p-adic, các kiến thức này sẽ bổ trợ cho phần trọngtâm của luận văn này là chuông 2 và 3

1.1 Lý thuyết Nevanlinna của hàm phân hình p-adic:

Cho p là một số nguyên tố, gọi là trường các số adic, và là đầy đủ hóa

p-Định nghĩa “ bán kính hội tụ p ” bởi

00

n=0

được xác định tôt khi

, hàm /(z) được gọi là hàm nguyên p-adic trên p

Bố đề 1.1.2: C h ỉ s ổ t â m v ( r , f ) tăng khi r —» p, và thỏa mãn công thức:

log ụ { r j ) = log fly(0>/)| d t + u ( 0 , f ) \ o g r (o < r < p )

là hàm số liên tục trên (o,p).

Bố đề 1.1.4: (ỊVeierstrass Preparation Theorem): Tồn tại duy nhất đa thức p bậc

u [ r , f ) và một hàm giải tích p-adỉc g trên B [ r ] sao cho f = g P , ở đỏ

Hon nữa, g không có bất kì không điếm nào trong Bịr], và p có đủng v [ r , f )

không diêm, kê cả bội trong B ị r Ỵ

được gọi là đa giác Newton của hàm f (z) Điểm t tại đỉnh của y ( t , f ) được gọi là đỉnh tới hạn của f ( z ) Một đoạn hữu hạn [«,/?] chỉ chứa một số hữu hạn các điểm tới hạn Rõ ràng nếu t là một điểm tới hạn, thì khi đó hàm /(z) có ít nhất hai số ự ( r , f ) = p M t ’ f )

V h )

rír,n/.ì<^M).Bằng cách sử dụng kí hiệu trên, ta có

I f t ( r j ) = \ f ( z \

n ( r , f ) = n ị r , ^ \ , N ( r , f ) = N

công thức Jensen cho g và /, ta thu đuợc công thức Jensen cho hàm phân

-Af(r,/) = log/y(r,/)-C/

là hằng số chỉ phụ thuộc vào / Định nghĩa

ra (r,/) = logV /=1 J +//(r,/) = max {i =1 0, log//(r,/)}.V Ĩ=1 / i=i

hằng trong B ( p ) - Với mỗi số nguyên dưong n bất kì, ta cỏ

( y(") ^

trong B ( p ) v à g ọ i a x , a 2 , , a là các số đôi một khác nhau trong Khi đó

1 >

{ < j - l ) T ( r , f ) < N { r , f ) + ỵ N /•,—Ị

-j = i y ý d -j J

1.2 Cấp tăng của hàm phân hình p-adic:

c/ỉớ ứ G u{ooj, gọ/ /7“(z0) l à b ộ i s ố c ủ a f g i á t r ị a t ạ i

a = co

Bổ đề 1.2.2: FÓÝ z „ 6 , w(z0) = 00, t a c ó :

Hệ quả 1.2.9: Một hàm phân hình p-adic f trên là một hàm hữu tỉ bậc d nếu

và chỉ nếu, với mọi hàm nguyên p-adic khác hằng w trên , ta có

Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỔ p-ADIC

Trong chưong này, tôi sẽ trình bày tương tự phi archimedean định lí

Malmquist-type trong phương trình vi phân

2.1 Phương trình vi phân đại số p-adic:

Định nghĩa 2.1.1: Phưong trình vi phân đại số p-adic là phưong trình có dạng

(ỉ) Q (z,w,w', ,w{ n )) = R(z,w)

( 2 ) nỊz,w,u/, ,w (,,) ) = X c ỹ° i w 't -( w(,,) )”

iel

, ,i n) là các chỉ số nguyên không âm, I là tập hữu hạn, CịGM| V

R ( z , w ) là một hàm phân hình p-adỉc trên 2

<teg(n) = maxj£i 1, r(n) = maxị Ỳ(a + l)«„ f> r(íì) = max|ấ

Kết hợp cả hai trường hợp ta được:

Mâ(zo)^ ix(z0) + maxjlT^|lX (z0) + 2X(zo)

x ’ B y z , w )

v ’ B [ z , w )

Định nghĩa 2.1.5: Một nghiệm w của (ỉ) với R ( z , w ) được xác định bởi (6) được

gọi là chấp nhận được nếu W GM Ị thỏa mãn (ỉ) với

Hệ quả 2.1.7: Cho Q ( Z , W , W ', , W ^ j là một đa thức vỉ phân với hệ số trong

(z) nên theo hệ quả 1.2.10 ta có:

Kết họp các kết quả trên ta được:

^ì^^ì + En^) + tr(r,a,) + oÍấr(r,è,)

Định lí 2.3.2: Neu tồn tại một nghiệm w của (10) với R [ z , w ) được xác định bởi

r(r,<p)<min{r(<l)),deg(í>) + r(a))(l-0„(oo))}7’(r,w) + o(r(r,w))Suy ra

Chứng minh tương tự như trên ta cũng thu được:

2.4 Nghiệm chấp nhận được của một số phương trình vi phân

Trong phần này, ta sẽ bàn đến phưong trình vi phân sau đây

trong đó p là đơn thức vỉ phân của w và Q là đa thức vi phân của w với

thỏa mãn điều kiện của định lí 2.4.2 nên hệ quả đuợc chứng minh.

Hệ quả 2.4.4: Neu n> k và nếu n-k không là ước so của n, khỉ đó (15) với hệ

Chứng minh:

Mặt khác:

w(z) + b = (z-z 0 Ỵ w ữ (z), w0(z0 ) * 0

suy ra

w'(z) = a(z-z 0 Ỵ~ ỉ w 0 (z) + (z-z 0 Ỵ W ữ (z), w0(z0)*0

n(a -1) = ka => (n - k)a - n

Điều này mâu thuẩn với giả thiết

Hệ quả đuợc chứng minh

Giả thuyết 2.4.5: Phương trình (15) không có nghiệm phân hình siêu việt chấp

là ước của n.

Chứng minh:

n(a +1) = ka

nên w là điều này mâu thuẩn do n > k, chứng tỏ w không có cực điểm trên

hàm nguyên, và theo hê quả 2.4.4 mỗi không điểm của w+b có bôi số là / = ———,

n-k

Đặt a - Al, ta có

Bổ đề 2.4.7: Giả sử

(17) €l(z,w,w' = B(z,w)p[z,w,w' , ,w{n)^ + Q{z,w,w'

pỊ/ấo) và là các đa thức vi phân của w, và trong đó B(z,\v)

PỊ^oj và Q^oj là các đa thức vi phân của w với

Định lí 2.4.9: Giả sử rằng Q được định nghĩa bởi (18) với q > r(ộ) + 3 Khi đó

(14) không có nghiệm phân hình khác hằng chấp nhận được vói mọi sổ nguyên

Chương 3: ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA HÀM NGUYÊN P-ADIC

Trong chương này, tôi sẽ trình bày tưong tự p-adic của định lí Baker trong giảitích phức

nếu /(z0) = z0 Tổng quát hon, ta gọi điểm z0 là điểm bất động cấp n nếu

thỏa mãn f n (z0) = z0

Định nghĩa 3.2: Cho a và / là hai hàm phân hình trên D(yơ) Hàm ứ(z) được

gọi là tiến chậm đối với hàm f nếu

Định lí 3.3: Nếu f là một hàm nguyên siêu việt p-adỉc và vói mọi sổ nguyên

và n sao cho k <n, khi đó ta có:

/”(z) = /o o/(z)

Chứng minh:

T { r J) ú Ỵ J N r '~r_ -logr + 5(r),

hay

T(rJ t ) = o{T{r,r)).

phân hình phân biệt trên Khi đó

3 y

r,-V a 2 ~ a 3 y

+ r(r,ứ!) + 2r(r,íỉ3) + ơ(l)

\

Nhận thấy rằng, các phương trình Y^) = 0,1,00 có các nghiệm chỉ khi

N ( r , ^ ) + N

3

í

j=1

f nr,-

phân hình phân biệt trên Neu dj (ý = 1,2,3) tiến chậm đoi với hàm f, khi đó

ta có T ( r J ) < ± N [ r , - ± - \ + o ự { r J ) )

Chứng minh: Theo định lí 3.4 ta có

3 _( 1 ì

hơn nữa, vì / là hàm phân hình siêu việt trên

p

k - a

Định lí 3.6: ( Tương tựp-adic của định lí Baker) Nếu f là hàm nguyên siêu việt

trên , khi đó f sở hữu vô hạn điếm bất động đủng cấp n, trừ nhiều nhất một giả trị của n.

Chứng minh:

chỉ có một số hữu hạn các điểm bất động đúng cấp k, và gọi chúng

là a ị ,a 2 , ,a q , và giả sử n > k Nếu phuơng trình /”(z)-/”_/:(z) = 0 có mộtnghiệm z0, khi đó z0 thỏa mãn:

A í

72-1

= 0

/

nên từ bất đẳng thức trên suy ra hàm / sở hữu vô hạn điểm bất động đúng cấp n,

và vì thế có nhiều nhất một giá trị k mà hàm f chỉ có một số hữu hạn các điểm bất động đúng cấp k.

= 7’(r,/"(z)-z) + 0(l)

= T

Trong luận văn này, tôi đã trình bày các kết quả tuơng tự p-adic của các định líMalmquist-type (I), (II), nghiên cứu các tính chất nghiệm của một số phương trình

vi phân và tưoug tự p-adic của định lí Baker về điểm bất động của hàm nguyên siêuviệt Qua luận văn này, tôi đã học tập đuợc khả năng tự học và làm quen dần vớikhả năng tự nghiên cứu Trong quá trình làm luận văn, vẫn còn một số vấn đề dobản thân mình đặt ra nhung tôi chưa đủ khả năng giải quyết được, chẳng hạn nhưgiả thuyết 2.4.4 Hy vọng rằng, trong bậc học cao hơn sau này, tôi sẽ có đủ điềukiện và khả năng để tiếp tục nghiên cứu các vấn đề còn bỏ ngỏ và tiếp tục nghiêncứu sâu hơn nữa các ứng dụng rộng lớn của lý thuyết Nevanlinna

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Trường ĐHSP tp.HCM,

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 A Boutabaa, A Escassult and L Haddad, On uniqueness of p-adic entire

ýunctions, Indag Math 8 (1997), 145-155.

2 H H Khoái and M V Tu, P-adic Nevanlỉnna-Cartan theorem, Intemat J.