Một số phương pháp lặp và điếm bất động

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2NGUYỄN ĐỨC TƯỞNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Ng

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN ĐỨC TƯỞNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng

1

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc củci mình tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã hướìĩg dân, chỉ bảo tận tình đế tôi hoàn thành luận văn này.

Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ tạo điều kiện của Trung tâm giáo dục thường xuyên Huyện Bát Xát, Sở Giáo dục - Đào tạo tỉnh Lào Cai nơi tôi công tác và Ban giám hiệu Trường ĐHP Hà Nội 2.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các ỷ kiến đóng góp xác đáng của các thầy giáo phản biện đê luận văn hoàn thiện hơn.

Hà Nội, tháng 6 năm 2013

Nguyễn Đức Tưởng

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan kết quả đạt được của luận văn là trung thực, chưa từng được công bo trong các công trình nghiên cứu nào khác Tỏi cũng xin cam đoan rang mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm

ơn và các thông tin trích dân trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 6 năm 2013

Nguyễn Đức Tường

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

LỜI CAM ĐOAN 2

LỜI NÓI ĐẦU 4

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Không gian metric, không gian metric đầy đủ 6

1.2 TÔ pô trong không gian metric 7

1.3 Á nh xạ liên tục 8

1.4 Tập hợp compact và bị chặn .9

1.5 Không gian véc tơ (không gian tuyến tính)

10

1.6 Không gian định chuấn, không gian Banach

11

1.7 Sai số và số gần đúng

12

Chương 2 Định lý điểm bất động và phương pháp lặp đơn 14

2.1 Định lý điểm bất động .14

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Các phương pháp giải gần đúng, mà tiêu biểu là các phương pháp lặp, là

cơ sở đế tìm lời giải số cho nhiều bài toán trong toán học và trong khoa học,

kỹ thuật Trong việc tìm kiếm nghiệm của phương trình, phương pháp lặp sửdụng dự đoán ban đầu để tạo ra các xấp xỉ có thế hội tụ tới nghiệm của bàitoán Cách làm này là cách làm ngược so với phương pháp trực tiếp là cốgắng giải quyết vấn đề bằng dãy hữu hạn các phép tính Khi không có sai sốthì phương pháp trực tiếp sẽ đưa ra nghiệm chính xác nhưng với phương pháplặp ta vẫn chỉ có nghiệm gần đúng Tuy nhiên, phương pháp trực tiếp sẽ rấttốn kém (và trong một số trường họp là không thê) ngay cả với khả năng tínhtoán tốt nhất có sẵn

Hiện nay, việc nghiên cứu các phương pháp lặp một cách tống quát nhờ ápdụng các kết quả và phương pháp giải tích hàm không nhừng chỉ cho cái nhìnmột cách bản chất nhiều phương pháp của giải tích số mà còn cho phép đề ranhiều thuật toán mới có hiệu quả trong các lĩnh vực khác nhau của toán học,như đại số tuyến tính, phương trình vi phân, lý thuyết xấp xỉ hàm số, giải tíchphi tuyến Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các phương pháp này, tôi

đã chọn đề tài nghiên cứu “ Một số phương pháp lặp và điếm bất động”.

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiếu một số phương pháp lặp trong việc giải các bài toán tìm nghiệmcủa một số phương trình trong toán học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về lý thuyết điềm bất động

- Trình bày các phương pháp lặp trong việc giải một số phương trình

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các vấn đề của lý thuyết điểm bất động, các phương pháp lặp đơn,Newton-Kantorovich, dây cung và một số vấn đề mở rộng

5 Phưong pháp nghiên cứu

Nghiên cứu dựa trên cơ sở của giải tích hàm, giải tích số, phương trình viphân, phương trình tích phân và đại số

6 Những đóng góp mới của đề tài

- Đe tài luận văn được trình bày một cách có hệ thống một số phương pháplặp hay được sử dụng khi giải phương trình toán tử mà sự hội tụ của nó đềuliên quan đến ánh xạ co

- Các phương pháp lặp được trình bày có thế được nghiên cứu tiếp đế mởrộng cho các không gian trừu tượng hơn

Chương 1

Kiến thức chuẩn bỉ

1.1 Không gian metric, không gian metric đầy đủ

Định nghĩa 1.1.1 Cho X ^0, ta gọi ỉà một metric trong X một ánh

xạ d từ tích Descartes XxX vào tập số thực R thoa mãn 3 tiên đề sau:

ỉ)(\/x,ye X) d(x,y)>0,d(x,y) = 0oX = y ii)(\/x,ye X) d(x, y) = d(y,x)

Ui)(Vx,y,zeX) d(x,y)<d(x,z) + d(z,y) Không gian metric là cặp (X,d) trong đó:

• X 0 được gọi là tập nền

• d là metric trong X

• d(x,y) là khoảng cách giữa hai phần tử X, y e X

• Các phần tử của X gọi là các điểm

(X,d)

Không gian đủ: Không gian metric mà mọi dãy cơ bản đều hội tụ được

gọi là không gian metric đủ

1.2 Tô pô trong không gian metric

Định nghĩa 1.2.1

Cho không gian (X,d), r > 0, a G X

Hình cầu mở: Ta gọi Bịa, r) - { X G X: d(x,a) < r j là hình cẩu mở tâm

Định nghĩa 1.3.2 Ánh xạ f: X —> Y từ không gian metrỉc (X,d x )vào không gian metric (Y,dy) được gọi là liên tục đều trên A cl nếu (Vs> 0), (3Ô> 0) ( Vx, x’ e X): d x (x,x') < ổ thì dy(f{x),f{x'))<£.

Hiền nhiên ánh xạ/ liên tục đều thì liên tục

1.4 Tập hợp compact và bị chặn

Định nghĩa 1.4.1 Không gian compact

Không gian metrỉc (X,d) là không gian compact nếu với moi dãy điếm

(x„}cX,3 x„t <={x„}:xni —>X eX (k —>co)

Tập compact: Tập A là tập compact nếu không gian con A là không gian compact nghĩa là 1/ fx n Ị czA, 3|xnỊ c= {xn} : xn -^xeA(k^oo)

Định lý 1.4.1 (Định lý về tính chất của ánh xạ liên tục trên tập compact)

Ánh xạ liên tục f: X —> Y từ không gian metric (X,d x ) vào không gian metric (Y,dy) K là tập compact trong X thế thì:

1 f liên tục đểu trên K

Từ đó suy ra A bị chặn <^>BB(a,R): A c B(a,R).

1.5 Không gian vectơ (không gian tuyến tính)

Định nghĩa Giả sử X là một tập hợp, K là một trường (K = R vC) trên

có hai phép toán ‘ d -\- ” và ” thỏa mãn 8 tiên đề sau:

1) V*,yeX :x + y = ỵ + x

2) Vx,y,zeX :(x + y) + z = x + (y + z)

3 ) \ / x e X e X : X + ỡ = X

5) Vxe X,\/a,j3e K :a(j3(x)) = (aj3)x

6) Vx,y e X,Va E K: a(x + y) = ax + ay

7) Vxe x,v a,p E K :(a + Ị3)x = ax + J3x

Khi đó nó là không gian vectơ

1.6 Không gian định chuẩn - không gian Banach

Định nghĩa 1.6.1

Không gian định chuân:

Giả sử X là không gian vectơ (không gian tuyến tính), ánh xạ : X —»• R ,

thỏa mãn các tính chât sau:

a) \/x e X : |x|| > 0; ||x|| = 0 <^> X = 0.

b) Viel, \/aeK: ||ajt|| = |a||bt||.

c) VJC, y e X : ||x + ỵ\\ < ||x|| + ịyị.

Khi đó ánh xạ ||.|| được gọi là một chuẩn xác định trên không gian vectơ

X Không gian X cùng với một chuãn xác định trên nó ỉà một không gian định chuẩn Kí hiệu là: (x,||.||), ||x|| là chuẩn của xe X.

Định nghĩa 1.6.2 Sự hội tụ:

Dãy điềm Ịx n Ị hội tụ đên a trong không gian định chuẩn X nếu

lim 11^ - a|| = 0<^>V£>0, 3n 0 : V/2 > n ữ thì \\x n —a\\ < 8.

n —>00

= a hay x n —>a (n —>0o)

o (Vs> 0) (3n 0 e N*): (Vn >n 0 ) (Vp = 1,2 thì < 8

Định nghĩa 1.6.4 Không gian định chuấn X là khống gian Banach nêu

Định lý 1.6.1 Cho không gian định chuẩn X, với mọi x,y e X thì: <1 x-yị

b) Đặt d(x, ỵ) = ||x- ỵ\\ thì d ỉà metric trong X gọi ỉà metric sinh bởi (hay metric tương thích) với chuân.

Nhận xét:

• Trong không gian Banach, một dãy là hội tụ nếu nó là dãy Cauchy

• Không gian Banach cũng là một không gian định chuấn đầy đủ

1.7 Sai số và số gần đúngTrong tính toán, ta thường phải làm việc với các giá trị gần đúng của

các đại lượng Ta nói a là số gần đúng của a , nếu a không sai khác a nhiều.

gọi là sai số thật sự của a Do không biết â nên ta cũng không biết A Tuy nhiên, ta có thế tìm được Aa >0, gọi là sai số tuyệt

đối của CI, thỏa mãn điều kiện:

*

a* < a + Aa

còn ổb = ^= 2% hay Ốb = l0ổa Hiển nhiên rằng phép đo a chính xác

hon hẳn phép đo b mặc dù Aa = Ab Như vậy độ chính xác của một phép đo

phản ánh qua sai số tương đối

1.7.2 Chữ số chắc

Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác "0" và cả "0", nếu nó kẹp giữa haichữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữ lại

Ví dụ a = 0.0030140 Ba chữ số "0" đầu không có nghĩa.

Mọi chữ số có nghĩa (3 của a = ±(fi l0P + + p _Ì0 P ~ S J gọi là chữ số

chắc, nếu Aa < co X10'.

là tham số cho trước Tham số co được chọn đế một chữ số vốn

đã chắc sau khi thu gọn vẫn là chữ số chắc Giả sử chữ số chắc cuối cùng của

a trước khi thu gọn là p Đế /?+1 và các chữ số trước nó vẫn chắc, phải có

Aa + Ta< coxìO i+l Suy ra cox 10' +0.5xl0/+l <íyxlO'+l

Ta sẽ gọi chữ số chắc theo nghĩa hẹp (rộng) nếu co = 0.5 (co = l).

9Khi viết số gần đúng, chỉ nên giữ lại một hai chữ số không chắc để khi

Hiển nhiên ánh xạ co là liên tục đều Điểm X* e X được gọi là điểm bất động

của A nếu ta có Ax* = X* Nói cách khác, điếm bất động của ánh xạ A chính

là nghiệm của phương trình Ax = X.

Định lý 2.1 (Banach) NeuAỉà ánh xạ co, đi từ không gian metric đủ(X ,p)vào chính nó thì A có duy nhất một điếm bất động và điếm đó cỏ thê nhận được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp với xấp xỉ ban đầu tùy ý

x0 e X

Chủng minh Lấy x() E X tùy ý Dãy {x;?) được xác định bởi công thức

x n = Ax n _J = = A"x0 là dãy Cauchy

m > n và theo (2.1), ta có

, A m x 0 ) < ap(A n - l x ữ ,A m - ] x Q )

p(xo,JC|)

ánh xạ nửa đường thẳng [l,oo) vào chính nó và thoa mãn (2.2) nhung không

có điếm bất động trên nửa đường thắng đó

Thông thường người ta xét các ánh xạ co xác định trên toàn không gian

X hoặc trong hình cầu s cz X Trong trường họp ánh xạ co được xét trong hình cầu s, định lý 2.1 thưòng được phát triến dưới dạng sau đây.

p( A y 0 ’y<>)^( ỉ - a ) r

tồn tại duy nhất một điếm bất động của A

Đế chứng minh định lý 2.2 ta chỉ cần kiểm tra AS a s Vì với X e s ta có

p(Ax,y ữ )< p(Ax,Ay 0 ) + p(Ay 0 ,y 0 )<ap(x,y 0 ) + (l-a)r<r

c= s Hình cầu đóng s là không gian con đủ trong X nên có thể ápdụng định lý 2.1

Dưới đây ta đưa ra một cách chứng minh định lý 2.1 đôi khi có lợi cho

việc xây dựng phưong pháp gần đúng

Giả sử o(x) là một phiếm hàm bị chặn dưới

m ) + p ( • , )

<<b(x n ) + <b(x m ) + ap(x n ,x m )

đủ nên tồn tại X* = lim<ĩ>(x ) = 0 hay X* = Ax*

n—> 00v 7

Tính duy nhất được chứng minh tương tự như trên

Chú ý 2.2 Trong chú ý 2.1 ta đã thấy nếu A chỉ thỏa mãn điều kiện

(2.2) thì định lý 2.1 chưa chắc đúng Tuy vậy nếu miền giá trị của A là tập

compact thì định lý vẫn đúng

Định lý 2.3 Giả sử A ánh xạ tập đóng M của không gian metrỉc đủ

X vào tập compact M và thỏa mãn điều kiện (2.2) Khi đó ánh xạ A cỏ điềm bất động duy nhất trong M

Chứng minh Đe chứng minh ta lại xét phiếm hàm

d>(v) = p(x, Ax).

Vì đó là phiếm hàm liên tục, không âm nên tại một điểm * * nào đó trong tập

0(A;r*) = yơ(Ax*, A2 X*) < >Ơ(X*,AJC*) = min<D(x)điều đó vô lý Bởi vậy 0(;r*) = 0 và do đó X* là điềm bất động của ánh xạ

A Tính duy nhất được chứng minh tưong tự như ở định lý 2.2

Chú ý 2.3 Ánh xạ A thoa mãn điều kiện của định lý 2.3 không nhất thiết là ánh xạ co trên M cũng như trên A(M ) Có thế thấy điều đó qua ví dụ

đơn giản sau đây:

Ax = X - —

2

biến đoạn [0.1] vào chính nó và thoa mẫn các điều kiện của định lý 2.3; tuy

vậy nó không phải là ánh xạ co

Dưới đây ta nêu lên mà không chứng minh một định lý quan trọng về

sự tồn tại của điểm bất động, định lý Schauder

Định lý 2.4 Giả sử ánh xạ liên tục A ánh xạ tập đóng, lồi M của không gian Banach X vào chính nó và A(A/ )/à compact Khi đó ảnh xạ A có

p(Ax, Ay)<q(a,j3)p(x, y), (a < p(x, y)<p) (2.6)

biến Vì thế việc xét tính liên tục của nghiệm phụ thuộc vào tham biến trong

trường họp này rất quan trọng Khái niệm về ánh xạ co đều có lợi cho việc xétcác vấn đề trên

Giả sử có hai không gian Banach X Xị và s là hình cầu ||x-x0||< r trong X và5j là hình cầu ||z-z0||<7j trong Xj Toán tử A(x;z) tác dụng trong không gian X và phụ thuộc vào tham biến z e Sj được gọi là ánh xạ co đều nếu với mọi z e S\ ta có

\\A(x; Z ) - A(y;z)II <a\\x- yII,X,y E s (2.4)

có trong hình cầu s nghiệm duy nhất x* = x*(z) liên tục theo z.

Chứng minh Định lý 2.1 đã khắng định sự tồn tại và duy nhất của

x*(z0)-**(z)|<-^—||A(x*(z0);z0)-A(x*(z0);z)||

19

liên tục theo z với mỗi X cố định nên ta suy ra x*(z) hên tục tại điếm

z 0 e Sị Định lý được chứng minh.

Dưới đây ta sẽ chứng minh định lý tổng quát hon trong không gian

metric Giả sử X là không gian metric với metric p(x, y), ánh xạ A được gọi

là ánh xạ co suy rộng nếu

là một hàm liên tục, dương khi u > 0 thì A là ánh xạ co suy rộng.

Ta có định lý sau đây

Định lý 2.6 Giả sử ánh xạ co suy rộng A ánh xạ không gian metric đủ

X vào chính nó Khi đó phương trình

Theo điều kiện (2.6) dãy số đó là dãy không tăng Gọi a* là giới hạn của

dãy Neu a*>0 thì với N đủ lớn và mọi ra = 1,2, ta có bất đắng thức

(cũng do điều kiện (2.6))

20

Điều đó mâu thuẫn, do đó a n —» 0 Giả sử cho số £ > 0, chọn N sao cho

ta sẽ chứng tỏ rằng ánh xạ A biến hình cầu p(x,x N ) < £ vào trong nó, từ đó

suy ra dãy (2.10) là dãy cơ bản

Thực vậy

Nếuyơ(x,x^)<-^- thì p(Ax,x N )< p(Ax,Ax N ) + a N < p(x,x N ) + a N <£’,

n )<£ thì p(Ax,x N )< p(Ax,Ax N ) +a N <q(— ,£)s + a N <£.

Giới hạn X* của dãy (2.10) sẽ là điếm bất động của ánh xạ A Tính duy nhất

của giới hạn đó là rõ ràng Định lý được chứng minh

Chú ý rằng dãy xấp xỉ (2.10) hội tụ đều tương ứng với các xấp xỉ ban đầu

trong mỗi hình cầu p(x,x*) < r.

p(x, ỳ) và Pị (x, ỵ) trong không gian X được gọi là tương đương

nếu mỗi dãy cơ bản theo metric này cũng là dãy cơ bản theo metric kia

Định lý 2.7 Giả sử A ảnh xạ không gian metric đủ X đường kính hữu hạn với metrỉc p ữ (x,y) vào trong nó Giả sử A cỏ trong X điềm bất động duy nhất và dãy (2.10) hội tụ đều tương ứng với các xấp xỉ ban đầu x0 e X về điểm đó.

Khỉ đó trong X có thế đưa vào metric tương đương p(x,y)sao cho khi

chuyên sang metric đó A trở thành ánh xạ co:

C ^~ - (2ĩĩ - (Ọ)(p, khi t = 1 thỏa mãn điều kiên ban đầu (p{ữ) = (Ọ ữ

dt

21

Bây giò’ giả sử rằng A là liên tục, ánh xạ không gian metric đủ, giới nội vào trong nó và có trong X một điếm bất động duy nhất X * Giả thiết rằng dãy xấp xỉ x n = A"x 0 hội tụ về X * với bất kỳ x0 e X Có phải dãy đó luôn

luôn hội tụ đều về X * tuơng ứng với I 0 GX hay không?

Câu trả lời là phủ định ngay cả khi X là compact Có thê xét ví dụ: X

là vòng tròn đon vị trên đó tọa độ là góc cực (p, (0 < cp < 2/r) với ánh xạ A đặt tuơng ứng mỗi điếm (p ữ với giá trị của nghiệm của phuong trình vi phân

2.2 Phương pháp lặp đơnXét phương trình dạng

A tác dụng trong không gian metric đủ X Giải phương trình

(2.12) có nghĩa là tìm phần tử X E D(A) bất động với toán tử A

2.2.1 Phương pháp lặp, miền hội tụPhương pháp đơn giản đế xác định các nghiệm gần đúng của phươngtrình (2.12) là xuất phát từ một phần từ (tùy ý) x0 e D(A) xác định liên tiếp các phần tử gần đúng theo x ] ,x 2 , ,x n theo công thức

x n+ì =Ax a (n = 0,1,2, ) (2.13)Các vấn đề được đặt ra một cách tự’ nhiên và xét xem với điều kiện nào

của toán tử A quá trình lặp có thế tiến hành vô hạn và dãy {*n} hội tụ tớinghiệm của phưong trình (2.12), đồng thời xét tốc độ của sự hộ tụ đó

Nói chung sự hội tụ phụ thuộc vào cách chọn phần tử ban đầu x 0 Với điểm bất động X*, tập hợp tất cả các phần tử x0, mà dãy {xn} tương ứng hội

tụ về phần tử X *, được gọi là miền hội tụ của điểm X * Điểm X * được gọi là hút nếu có một lân cận nào đó của X * nằm hoàn toàn trong miền hội tụ của

nó Neu như tồn tại một lân cận nào đó của điếm bất động X* không chứa

một điếm nào đó của miền hội tụ trừ chính điếm X * thì X * được gọi là điểm

bất động đẩy

Trong trưòng hợp A là ánh xạ co, D(A) đóng và D(A) d D thì theo

định lý 2.1 dãy xấp xỉ liên tiếp (2.13) với giá trị tùy ý x0 e D(A) hội tụ vềnghiệm duy nhất X * của phương trình (2.12) và dĩ nhiên trong trường hợp đóđiểm X* là điểm bất động hút Tốc độ hội tụ được đặc trung bằng bất đẳngthức

p(x*, xw ) < yơ(x,, x0) (2.14)

1 -a

Bất đắng thức (2.14) được suy ra từ bất đẳng thức trong định lý 2.1 khi

Nhận xét 2.1 Neu thay cho phưong trình (2.12) ta xét phương trình

đồng thời nghiệm duy nhất của phương trình (2.15) có thế tìm được bang

phương pháp xấp xỉ liên tiếp

*„+i =y+ Ax „

có nghiệm duy nhất X * và là giới hạn của quá trình lặp

Điều đó được thấy rõ nếu đặt B~'A = -A], B~ ] y = y, vì lúc đó phương trình

(2.17) tương đương với phương trình

vói II Aị Ik 1, trở về trường họp của phương trình (2.15)

Nhận xét 2.3 Giả sử Ae£(X,X) trong đó X là một không gian Hilbert Neu toán tử A có nghịch đảo tuyến tính bên trái A~ x thì phương trình

tương đương với phương trình

là toán tử liên hợp của A

Quả vậy, rõ ràng nghiệm (2.18) là nghiệm của (2.19) Ta còn cần

chứng minh điều ngược lại Giả sử X là nghiệm của phương trình (2.19) Lúc

đó

(A(x — x*),A(x —X*)) =11 A(x —X*) ll2> m 2 II X - X* II2

Đó là điều phải chứng minh

Như vậy trong trường hợp đó để giải phương trình (2.18), ta có thể giảiphương trình (2.19) Mặt khác dễ dàng thấy phương trình (2.19) tương đươngvới phương trình loại 2 sau đây:

Bằng một cách nào nó ta đưa phương trình (2.21) về một dạng tương

V)

) thỏa mãn điều kiện Lipschitz

I <;p(x2) - (p{x x )\< K\x^ -x { \

K < 1 và ánh xạ đoạn [a,b] vào trong nó Khi đó (p{x) là một ánh

xạ co và theo định lý 2.1 dãy các giá trị

trên [a,b] Khi đó nói chung có thế xét hàm

và trên đoạn [1, 2] ta có — < p (x) < 8 Do đó đê xác định ọ(x) trong (2.22)

0<Ẳ<— Chẳng hạn như có thể chọn à = — , khi đó phương

X = — (-X + 4x +10) rôi thử lai điêu kiện cho (p(x) Nêu lây xn = ^ ta được

lần lượt X, = 1,5625;X 2 = 1,5925; Sai số được ước lượng bởi bất đẳng thức

2.2.3 Phương pháp lặp để giải phương trình vi phân thuờng

a) Xét phương trình vi phân thường

dx

ư(x,y í )-f(x,y 2 )\<\y í

-Định lý Picard khắng định rằng với nhũng điều kiện đó trong một

khoảng \x-x 0 \<d nào đó tồn tại duy nhất nghiệm ỵ = (p{x) của phương

trình (2.23) thỏa mãn điều kiện (2.24)

Đe chứng minh định lý đó chú ý rằng bài toán Cauchy(2.23), (2.24)tương đương với phương trình tích phân

<p(x) = y ữ + y f(t,ẹ(t))dt. (2.25)

Jx 0

Vì / liên tục nên \ f(x,y)\< K trong miền G ' c z G chứa điếm (x0,y0) Chọn

d > 0 sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

1) (x, y) e G'nếu lx-x() \< d ,\ y - y {) \< Kd.

(p = y 0 + í f(t,ạ>ự))dt = A(p

X - x 0 ỉ< d Ánh xạ A biến không gian đủ c vào trong nó và là ánh

xạ co Thực vậy, giả sử cp G c , khi đó

I ọ(x) - y01= f f(t,ạ>(t))dt < Kd với \x — x 0 \<d,

1 đóng vai trò số a trong ánh xạ co Từ đó suy ra phương trình (Ọ — A<p,

tóc là phương trình (2.25), có nghiệm duy nhất trong c* Phương pháp xấp xỉ

liên tiếp Picard cho phép xác định liên tiếp các giá trị gần đúng của nghiệmcủa phương trình (2.25) hay của bài toán Cauchy xuất phát cũng vậy:

hội tụ đều về nghiệm (p{x) của bài toán với tốc độ hội tụ được đặc

w n (x) =1 ẹ(x)-y n (x)l< r \f( I ch (x) = I ạ>(x) - ỵ ữ I = (x - x0) I (pXệ) I, vì

I (pXẸ) 1=1 f(ệ,(p(ệ))\< K nên w0(x) < K(x — xữ) Áp dụng liên tiếp (2.27) ta

(2.28)

(/2 + 1)!

b) Với bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân ta cũng có kết quả

tương tự Giả sử cho hệ phương trình vi phân

y i ix ữ ) = y ữí , í = 1,2.

Jx 0 29

xác định và liên tục trong miền G d R n+] chứa điếm

(x 0 ,y0i, , y0/ỉ) và thỏa mãn điều kiện Lipschitz:

I y?) - f, (x, yị 2 \ , y™) l< max I yỹ - yf I

Hệ (2.29) với các điều kiện ban đầu (2.30) tương đương với hệ phương

trình tích phân

9 i ( x ) = y 0i + ị t\ ,ọ n ự))dt\ i = 1,2, ,/2 (2.31)

J x 0 liên tục nên giới nội trong miền G' cz G bởi hằng số K: I fị \< K Ta chọn

là ánh xạ co biến C,]vào trong nó Từ đó suy ra rằng phương trình toán tử

ạ> = Acp có nghiệm duy nhất trong c*.

Phưoưg pháp xấp xỉ liên tiếp do đó có thể áp dụng để giải bài toánCauchy cho hệ phương trình vi phân Quá trình lặp được cho bởi côngthức

(2.32)

2.2.4 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp đế giải phương trình tích phân

Trước khi xét cụ thế cho từng loại tích phân ta xét một loại mở rộng

nguyên lý ánh xạ co, ta có mệnh đề sau:

Giả sử A ỉà ánh xạ liên tục biến không gian metric đủ X vào trong nó sao cho một ỉũy thừa nào đây của A: B = A" là ánh xạ co, khỉ đó A có duy nhất một điếm bất động (hay phuơng trình x = Ax có nghiệm duy nhất).

Thực vậy, giả sử x* là điểm bất động của toán tử B nghĩa là X* = Bx khi đó Ax = ABx = = AB k x* - B k Ax = B k x () với x0 = Ax*.

Nhưng do B là toán tử co nên B k x 0 —> X* khi k —>00, do đó ta có Ax* =x*.

Điếm bất động đó là duy nhất bởi vì mọi điếm bất động của toán tử A đều là

bất động đối với toán tử co A n = B.

a) Phương trình tích phân Volterra Phương trình tích phân Volterra

được gọi là nhân của toán tử, Ẳ là tham số tùy ý Giả thiết

K ( x , y) và f ( x ) là những hàm liên tục trong hình vuông a < x , ỵ < b và do đó

I Ẫ"(x,y)I< M Ta sẽ chứng tỏ rằng một lũy thừa nào đấy của A sẽ là toán tử

co Giả sử <p ] ,ạ> 2 e C[a,b\ khi đó

Xét toán tử

Ả ll J K (x, y)(Ọị (y) - (p 2 {y))dy \<\Ầ\ M(x — a)max I ạ> ] (x) - cp 2 (x) I

\ A 2 Ọ\(x)-A 2 (p 2 (x)\ < \ Ầ \ 2 M2——^—max\ (Pị(x) -ọ 2 (x) I, và tổngquát

sẽ là toán tử co Do đó phưong trình tích phân Volterra (2.33)

với Ẳ tùy ý sẽ có nghiệm duy nhất.

Nghiệm của phưong trình (2.33), do đó có thể nhận được như là giới

hạn của dãy xấp xỉ liên tiếp

<p n (x) = Ằ,\ K(x,y)(p n _^y)dy + f ( x ) (2.34)

J c i

ta dễ dàng thu được công thức

nếu nhân Ả"(x, y) và hàm f(x) thoa mãn một số điều kiện nào đấy thì có thế

đưa được về phương trình Volterra loại hai Chẳng hạn nếu K(x,x)^ 0 với mọi x^[a,b] và các đạo hàm f\x),K r

x (x,y) tồn tại và liên tục trên [a,b] thì

phương trình (2.39) có thể đưa được về dạng (2.33) Thực vậy, lấy đạo hàm

cả hai vế theo X ta được:

K(x,x)ẹ(x) + J K' x {x,y)ẹ{y)dy = f’(x)

ỈM

K(x,x)

# * u *’

33

2.2.5 Phương pháp lặp đơn đề giải hệ phương trình đại số tuyến tính.

Cho hệ phương trình đại số tuyến tính

ma trận vuông cấp n, X là vectơ n chiều cần tìm, b là vectơ cho

A = (a ơ ); X = (x ì9 x 2 , ,x n ) T ; b = (b v b 2 , ,b n ) T

Trong đó ký hiệu T biểu thị đó là vectơ cột

Xét ba cách khác nhau xác định metric trong R n :

Như vậy, nếu một trong ba điều kiện (2.41) - (2.43) được thỏa mãn thì

hệ phương trình đại số tuyến tính (2.40) có duy nhất một nghiệm với véctơ b tùy thuộc R n Dãy xấp xỉ liên tiếp được xác định bởi công thức:

xf ] =Xứy*í*~1) +b i’ = k= 1,2,

j=1vói vectơ gần đúng ban đầu (xj0)) tùy ý thuộc R n

Các điều kiện (2.41) - (2.43) đều là những điều kiện đủ để A là toán tử

co (theo metric tương ứng), với điều kiện (2.40) có thế chứng tỏ rằng đó cũng

là điều kiện cần để A là toán tử co theo metric tương ứng Không một điều

kiện nào trong ba điều kiện nói trên là điều kiện cần cho việc áp dụng phươngpháp xấp xỉ liên tiếp

Với hệ phương trình đại số tuyến tính, rất nhiều dạng của phương pháp lặp đã

Sau khi chia ba phương trình tương ứng cho các phần tử trên đường chéo

chính của ma trận hệ số (ở đây các phần tử đó đều bằng 10) ta được

2.3.1 Phương pháp ZeidelXét hệ phương trình:

trong đó tất cả các phần tử trên đường chéo của ma trận A đều khác không

Phương pháp Zeidel khác phương pháp lặp đơn ở chỗ các xấp xỉ cho từngthành phần của vectơ nghiệm được sử dụng ngay cho việc tìm xấp xỉ củathành phần tiếp theo trong mỗi bước lặp

Cụ thể, các xấp xỉ tiếp theo được xác định từ hệ phương trình sau:

Từ phương trình thứ nhất trong (2.45) ta xác định JC,(*+1) , sau đó từ phương

trình thứ hai ta xác định jcị*+1)qua x\ k+i \xị k) , ,xị k) quá trình được thực hiện

tiếp theo cho tới khi xác định được x (

Vì tất cả mọi nghiệm của phương trình:

det(Ắ/ + £_,C) = 0

trùng với các nghiệm của phương trình

det(ZJ5 + C) = 0nên ta có định lý sau:

đều bé hơn ỉ theo moduỉ.

Miền hội tụ của phương pháp lặp đon và phương pháp Zeidel là giaonhau Điều đó có nghĩa là có nhũng ma trận mà phương pháp Zeidel áp dụngcho nó sẽ hội tụ nhung phương pháp lặp đon lại không hội tụ và ngược lại

Khi đó phương pháp Zeidel hội tụ và

là nghiệm của phương trình (2.44)

Chứng minh Ta có

Lấy (2.46) trừ đi (2.48) ta được phương trình cho sai số

Be {k+Ỉ) + Ce (k) = 0, e(*> =(€<*>,e<*v»,e<*))7' (2.49) ll,=k,ai) I, viết phương trình thứ 1 trong hệ (2.49) rồi giải nó

Chú ý 2.2 Dễ dàng thấy sự hội tụ của phương pháp Zeidel được bảo

toàn khi nhân các hàng hoặc các cột của ma trận A với nhừng số nào đó Điềunhận xét đó trong nhiều trường hợp làm đơn giản việc xét tính hội tụ của

x J -b i =0.

7=1

Việc nhận được xấp xỉ {x\ k+x \x { 2 +ì \ ,x\ k+l \x\ k

+ l, ,x^ ) ) từ xấp xỉ (Xị k+]) ,xị k+] \ ,x/a’+1),x/f]+l),, ,x^1+1),xJẮ:), chính là việc dịch chuyểnsong song theo trục Xi cho đến lúc gặp siêu phẳng 7Tị

Đặc biệt trong trường họp ma trận A đối xúng ta có:

Định lý 2.9 Giả sử ma trận A thực, đoi xứng và xác định dương Khỉ

đó phương pháp Zeideỉ hội tụ.

Có thế chứng minh định lý 2.9 nhờ một kết quả quen thuộc của đại số được

phát biểu dưới dạng bổ đề sau:

Bổ đề 2.1 Gọi F và G là những ma trận, trong đó F không suy biến

sao cho F + G , F - ơ* là những ma trận Hermit (Hermite) xác định dương Khi đó các giả trị riêng của F' G đều năm trong vòng tròn đơn vị.

Chứng minh bố đề 2.1 Gọi lần lượt X và X là giá trị riêng và vectơ

riêng của F X G, khi đó F ] G X = hí, hay Gx = ẲFx, X Gx = Ầx Fx Từ đó

Điều đó chứng tở Ẳ =5*-1 vì nếu không ta có JC*(F + Ơ) = 0 với x^o trong

khi theo giả thiết F + ơ là Hermit và xác định dương Từ đó:

2.3.2 Phương pháp giảm dư

Ngoài phương pháp lặp đơn và phương pháp Zeidel còn có nhiều

(2.52)

Trong thực hành với A>0 tốt nhất là chọn chỉ số giảm dư 0< P<1 Trong

trường họp đó, phương pháp được gọi là giảm dư trên (*) Với p = 0 trong

(2.52) ta được lại phương pháp Zeidel

Neu đặt 1+p = w hệ thức (2.52) được viết lại dưới dạng:

(*) lần đầu tiên được xét kỹ bởi Young (Young p M) Nó còn được gọi tắt là

phương pháp SOR: Sucessive - Over - Relaxation

Với ký hiệu F(y) như ở mục 2.3.2 và đặt

(y) = F(y) + (Ẩx5!!,x*) = (A(y-x'ií),y-x:") ta có —1< p< 1 các giá trị x(k)

được xác định từ (2.52) sẽ thỏa mãn điều kiện

F 0 ( x ( k + I > ) < F 0 ( x w ) khi x w * x \

Tham số giảm dư p có thế chọn phụ thuộc vào k và i.

Có thế chứng minh được rằng với điều kiện q <ì phương pháp giảm dư

hội tụ theo tốc độ cấp số nhân

Richardson đưa ra một cách lập dãy các vectơ xấp xỉ nghiệm bằng công thức

JC(*+,) = x m + a (2.54)

Neu chọn các tham số giảm dư ak phù hợp thì phương pháp Richardsonhội tụ nhanh hơn phương pháp Zeidel

Ký hiệu Ẹ {k) = Ax (k) -b là độ lệch (không khớp) của quá trình lặp Từ

(2.54) sau khi tác dụng toán tử A vào cả hai vế và trù’ đi b ta được phươngtrình của độ lệch:

ệ {k+]) =ợ +a k A)ệ {k) (2.55)

Trong đó I là toán tử đơn vị Áp dụng liên tiếp (2.55) ta có

Jfc+1

£<*+,)=nơ+«(/i)É(0) = P k+ M)ệ w \

PM(A) = n(/ + a,.A)

j=lGiả thiết rằng các giá trị riêng của ma trận A thỏa mãn điều kiện

0<a<Ẫj< p,

Và các vectơ riêng của A lập thành một cơ sở Khi đó từ điều kiện chọn ơj sao

cho II ệ {k) II, bé nhất ta đi tới bài toán: Tìm đa thức pk sao cho

p, (0) = 1 và max I p (Ă) I đạt min.

Dễ dàng thấy rằng T k (y) = cos(Ấ:arccos(y)) với I y \< 1 Ta biết rằng trên đoạn

-1 < y < 1 là xấp xỉ đều tốt nhất của hàm f(y) = 0 Các nghiệm của đa thức

' (J3 + a) ~(J3 - a)c os——K

2k 0

Như vậy đế thực hiện phương pháp trên, trước tiên cần xác định cận của phố

a(A), (3(A) rồi sau đó xây dựng dãy các giá trị tham số ơị theo công thức

_Ị -2

Trong đó k = k() là số bước trong một chu kỳ lặp; các giá trị ơj được chọn theo

(2.57) được gọi là các giá trị tối ưu của tham số giảm dư theo chu kỳ k0 bước