Tính đơn điệu fejér và một số thuật toán lặp tìm điểm bất động của toán tử không giãn

Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu, khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât v h¤n ch¸... Khæng gian Hilbert.. Khæng gian H l t¡ch ÷ñc n¸u nâ chùa mët cì sð trüc... ành lþ biºu di¹n Riesz-Fr²chet nâi r¬

TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2

KHOA TON

*************

PH„M THÀ LAN

TNH ÌN I›U FEJ’R V€ MËT SÈ THUŠT TON LP TœM IšM B‡T ËNG CÕA NH X„ KHÆNG GI‚N

KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P „I HÅC

Chuy¶n ng nh: Gi£i t½ch

H  Nëi - 2014

TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2

KHOA TON

*************

PH„M THÀ LAN

TNH ÌN I›U FEJ’R V€ MËT SÈ THUŠT TON LP TœM IšM B‡T ËNG CÕA NH X„ KHÆNG GI‚N

KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P „I HÅC

Chuy¶n ng nh: Gi£i t½ch

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc

ThS NGUY™N V‹N TUY–N

H  Nëi - 2014

LÍI CƒM ÌN

Em xin ÷ñc gûi líi c£m ìn tîi c¡c th¦y cæ gi¡o tr÷íng ¤i håcS÷ ph¤m H  Nëi 2, c¡c th¦y cæ gi¡o khoa To¡n ¢ gióp ï em trong qu¡tr¼nh håc tªp t¤i tr÷íng v  t¤o i·u ki»n cho em ho n th nh · t i khâaluªn tèt nghi»p

°c bi»t em xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi th¦y Nguy¹n V«nTuy¶n ¢ tªn t¼nh gióp ï em trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶ncùu v  ho n th nh khâa luªn n y

Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu, khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât v h¤n ch¸ K½nh mong nhªn ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y gi¡o,

cæ gi¡o v  to n thº b¤n åc º · t i ÷ñc ho n thi»n hìn

Em xin ch¥n th nh c£m ìn !

H  Nëi, ng y 2 th¡ng 5 n«m 2014

Sinh vi¶n

Ph¤m Thà Lan

LÍI CAM OAN

Em xin cam oan d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y gi¡o Nguy¹n V«nTuy¶n khâa luªn cõa em ÷ñc ho n th nh khæng tròng vîi b§t k¼ ·

Möc löc

1.1 Khæng gian Hilbert 3

1.1.1 K½ hi»u v  v½ dö 3

1.1.2 B§t ¯ng thùc v  c¡c çng nh§t thùc cì b£n 5

1.1.3 To¡n tû tuy¸n t½nh v  phi¸m h m tuy¸n t½nh 6

1.1.4 Tæpæ m¤nh v  y¸u 8

1.1.5 Sü hëi tö y¸u cõa d¢y 11

1.2 Tªp lçi 12

1.2.1 ành ngh¾a v  v½ dö 12

1.2.2 T½nh x§p x¿ tèt nh§t 13

1.2.3 T½nh ch§t tæpæ 20

1.2.4 C¡c ành lþ t¡ch 22

1.3 T½nh lçi v  t½nh khæng gi¢n 23

1.3.1 C¡c to¡n tû khæng gi¢n 231.3.2 Ph²p chi¸u l¶n c¡c tªp lçi 251.3.3 C¡c iºm b§t ëng cõa to¡n tû khæng gi¢n 271.3.4 C¡c to¡n tû khæng gi¢n trung b¼nh 32

2 T½nh ìn i»u Fej²r v  mët sè thuªt to¡n l°p t¼m iºm

2.1 D¢y ìn i»u Fej²r 372.2 Ph²p l°p Krasnosel'ski - Mann 412.3 C¡c thuªt to¡n cõa c¡c to¡n tû trung b¼nh 46

nâ câ ph¤m vi ùng döng r§t rëng d¢i Ph÷ìng ph¡p n y °c bi»t quantrång trong l¾nh vüc t½nh to¡n v  khæi phöc h¼nh £nh.

Vîi c¡c þ ngh¾a quan trång kº tr¶n, ÷ñc sü h÷îng d¨n cõa th¦yNguy¹n V«n Tuy¶n tæi ¢ chån · t i T½nh ìn i»u Fej²r v  mët

sè thuªt to¡n l°p t¼m iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n

l m khâa luªn tèt nghi»p Khâa luªn gçm 2 ph¦n:

• Ch÷ìng 1 tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì sð v· gi£i t½ch lçi Trongch÷ìng n y câ tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cì b£n v· khæng gian Hilbert,tªp lçi, h m lçi v  mët sè ki¸n thùc cì b£n ÷ñc sû döng trong Ch÷ìng2

• Ch÷ìng 2 tr¼nh b y v· t½nh ìn i»u Fej²r v  mët sè thuªt to¡nl°p t¼m iºm b§t ëng cõa c¡c to¡n tû khæng gi¢n Trong ch÷ìng n y

chóng tæi tr¼nh b y c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa mët d¢y ìn i»u Fej²r Ti¸ptheo â, chóng tæi tr¼nh b y thuªt to¡n l°p cõa Krasnosel'skiiMann v thuªt to¡n l°p èi vîi c¡c to¡n tû trung b¼nh º t¼m iºm b§t ëng cõac¡c to¡n tû khæng gi¢n.

Ð ph¦n n y, chóng tæi giîi thi»u c¡c ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v  tr¼nh

b y c¡c k¸t qu£ cì b£n trong khæng gian Hilbert

1.1.1 K½ hi»u v  v½ dö

Ph¦n bò trüc giao cõa tªp con C trong H, k½ hi»u l  C⊥, tùc l 

C⊥ = {u ∈ H | (∀x ∈ C) hx | ui = 0} (1.2)Mët tªp trüc giao C ⊂ H ÷ñc gåi l  mët cì sð trüc giao cõa H n¸uspanC = H Khæng gian H l  t¡ch ÷ñc n¸u nâ chùa mët cì sð trüc

giao ¸m ÷ñc Cho (xi)i∈I l  mët hå c¡c vectì thuëc H v  I l  lîp c¡ctªp con húu h¤n kh¡c réng cõa I, ÷ñc s­p thù tü bði quan h» bao h m

⊂ Khi â, (xi)i∈I l  kh£ têng n¸u tçn t¤i x ∈ H thäa m¢n Pi∈J(xi)J ∈Ihëi tö tîi x, tùc l 

(∀ε ∈ R++)(∃K ∈ I)(∀J ∈ I) J ⊃ K ⇒ x −X

i∈J

(xi) 6 ε (1.3)Khi â, ta vi¸t x = Pi∈I(xi) Hå (αi)i∈I x¡c ành tr¶n [0, +∞), ta câ

Khi I l  húu h¤n ta vi¸t ×i∈IHi thay cho Li∈IHi

Gi£ sû vîi ∀i ∈ I , fi : Hi → (−∞, +∞) v  n¸u I l  húu h¤n th¼infi∈I fi ≥ 0 Khi â

l2(I) = L

i∈IR vîi t½ch væ h÷îng (x, y) = ((ξi)i∈I, (ηi)i∈I) 7→ P

i∈I ξiηi.C¡c vectì ìn và chu©n (ei)i∈I cõa l2(I) ÷ñc x¡c ành

V½ dö 1.3 N¸u I = {1, 2, , N} ð V½ dö 1.2 ta thu ÷ñc khæng gianti¶u chu©n Ìclit Rn.

1.1.2 B§t ¯ng thùc v  c¡c çng nh§t thùc cì b£n

ành lþ 1.1 Cho x v  y thuëc H Khi â

Hìn núa, hx | yi = kxk kyk ⇔ (∃α ∈ R+) x = αy ho°c y = αx

Bê · 1.1 Cho x, y v  z thuëc H Khi â, ta câ c¡c m»nh · sau:

(i) kx + yk2

= kxk2 + 2 hx | yi + kyk2;(ii) kx + yk2

+ kx − yk2 = 2 kxk2 + 2 kyk2;(iii) 4 hx | yi = kx + yk2

− kx − yk2;(iii) kx − yk2

= 2 kz − xk2 + 2 kz − yk2 − 4 kz − (x + y)/2k2

Bê · 1.2 Cho x v  y thuëc H Khi â, ta câ c¡c m»nh · sau:

(i) hx|yi ≤ 0 ⇔ (∀α ∈ R+) kxk ≤ kx − αyk ⇔ (∀α ∈ [0, 1]) kxk ≤

kαx + (1 − α)yk2 + α(1 − α) kx − yk2 = α kxk2 + (1 − α) kyk2 (1.10)

1.1.3 To¡n tû tuy¸n t½nh v  phi¸m h m tuy¸n t½nh

Cho X v  Y l  khæng gian vectì ành chu©n thüc °t

B(X , Y) = T : X → Y | T l  to¡n tû tuy¸n t½nh v  li¶n töc ,

(1.11)

v  B(X ) = B(X , X ) Khi â

(∀T ∈ B(X , Y)) kT k = sup kT (B(0, 1))k = sup

x∈X kxk≤1

kT xk, (1.12)

B(X , Y) l  khæng gian vectì ành chu©n v  B(X , Y) l  khæng gian nach n¸u Y l  khæng gian Banach

Ba-ành lþ 1.2 Cho B(X , Y) l  khæng gian vectì ành chu©n thüc v  cho

T : X → Y l  tuy¸n t½nh Khi â, T l  li¶n töc t¤i mët iºm thuëc Xkhi v  ch¿ khi nâ l  li¶n töc Lipschitz tr¶n X

Bê · 1.4 Cho X l  khæng gian Banach thüc, Y l  khæng gian vectì

ành chu©n thüc, cho (Ti)i∈I l  mët hå c¡c to¡n tû trong B (X , Y) l  bàch°n iºm, tùc l 

(∀x ∈ X ) sup

i∈I

kTixk < +∞ (1.13)Khi â, supi∈IkTik < +∞

ành lþ biºu di¹n Riesz-Fr²chet nâi r¬ng b§t cù mët phi¸m h mtuy¸n t½nh li¶n töc tr¶n khæng gian Hilbert thüc H câ thº ÷ñc x¡c ànhb¬ng mët vectì trong H

ành lþ 1.3 Cho f ∈ B(H, R) Khi â, tçn t¤i duy nh§t mët vectì

u ∈ H thäa m¢n (∀x ∈ H)f(x) = hx | ui Hìn núa, kfk = kuk

N¸u K l  khæng gian Hilbert thüc v  T ∈ B(H, K), li¶n hñp cõa T

l  to¡n tû duy nh§t T∗ ∈ B(K, H) thäa m¢n

(∀x ∈ H)(∀y ∈ K) hT x | yi = hx | T∗yi (1.14)

ành lþ 1.4 Cho K l  khæng gian Hilbert thüc, T ∈ B(H, K) v  ker T ={x ∈ H|T x = 0} l  h¤t nh¥n cõa T Khi â, (i) T∗∗ = T

(ii) kT∗k = kT k = pkT∗T k

(iii) (ker T )⊥ = ranT∗

(iv) (ranT )⊥ = ker T∗

(v) ker T∗T = ker T v  ranT T∗ = ranT

ành lþ 1.5 Cho K l  khæng gian Hilbert thüc, T ∈ B(H, K) Khi â,ranT l  âng ⇔ ranT∗ l  âng ⇔ ranT T∗ l  âng ⇔ ranT∗T l  âng

⇔ (∃α ∈ R++)(∀x ∈ (ker T )⊥) kT xk ≥ α kxk

Gi£ sû u ∈ H \ {0} v  cho η ∈ R Mët si¶u ph¯ng âng trong H

câ d¤ng

{x ∈ H | hx | ui = η} , (1.15)mët nûa khæng gian âng vîi vectì ngo i u l  tªp hñp câ d¤ng

Ph¦n cuèi cõa möc n y, chóng tæi ÷a ra mët v½ dö v· mët phi¸m

h m tuy¸n t½nh khæng li¶n töc

V½ dö 1.4 Gi£ sû H l  væ h¤n chi·u v  cho H l  mët cì sð Hamel cõa

H, tùc l  mët tªp con lîn nh§t ëc lªp tuy¸n t½nh Khi â, H l  khæng

¸m ÷ñc Thªt vªy, n¸u H = Sn∈Nspan {hk}0≤k≤n vîi cì sð Hamel

H = {hn}n∈N, khi â mët sè kho£ng khæng gian con tuy¸n t½nh húu h¤nchi·u span {hk}0≤k≤n chùa ph¦n tû ∅, i·u â l  væ l½

Ph÷ìng ph¡p trüc giao Gram-Schmidt £m b£o sü tçn t¤i cõa mëttªp hñp trüc giao B = {en}n∈N v  tªp khæng ¸m ÷ñc C = {ca}a∈A saocho B S C l  mët cì sð Hamel cõa H V¼ vªy, måi iºm thuëc H l  c¡cph¦n tû húu h¤n tuy¸n t½nh trong B S C v  do â

ành l½ 2.4 °t yn = (xn − f (xn)e0)/ max {f (xn), 1} vîi (∀n ∈ N) Khi

â, (yn)n∈N n¬m trong C = {x ∈ H | f(x) = 0} v  yn → −e0 M°t kh¡c,

−e0 ∈ C/ v¼ f(−e0) = −1 V¼ vªy, si¶u ph¯ng C l  khæng âng

1.1.4 Tæpæ m¤nh v  y¸u

Tæpæ metric cõa (H, d) ÷ñc gåi l  tæpæ m¤nh (ho°c tæpæ chu©n)cõa H V¼ vªy, (xa)a∈A trong H hëi tö m¤nh ¸n x n¸u kxa − xk → 0, k½

hi»u xa → x Khi sû döng chó þ ¸n c¡c kh¡i ni»m tæpæ trong H (âng,

mð, l¥n cªn, li¶n töc, hëi tö, ) s³ ÷ñc sû döng nhi·u khi nâi ¸n tæpæm¤nh

ành lþ 1.6 Cho U v  V l  khæng gian con tuy¸n t½nh âng cõa H m 

V câ sè chi·u húu h¤n Khi â, U + V l  mët khæng gian con tuy¸n t½nh

âng

ành ngh¾a 1.1 Hå t§t c£ c¡c giao húu h¤n cõa c¡c nûa khæng gian

mð cõa H l  cì sð cõa tæpæ y¸u cõa H, k½ hi»u Hw

Bê · 1.5 Hw l  mët khæng gian Hausdorff

Nhªn x²t 1.1 Hëi tö m¤nh v  y¸u cõa mët tªp hñp (xa)a∈A trong Htîi mët iºm x ∈ H câ thº ÷ñc gi£i th½ch v· h¼nh håc xa → a câ ngh¾a

l  d{x}(xa) → 0, ng÷ñc l¤i xa * x câ ngh¾a l  dC(xa) → 0 vîi måi si¶uph¯ng âng C chùa x

V½ dö 1.5 Gi£ sû H væ h¤n chi·u, l§y (xn)n∈N l  d¢y trüc chu©n trong

H v  l§y u ∈ H Theo b§t ¯ng thùc Bessel Pn∈N|hxn|ui|2 v  do â

hxn| ui → 0 th¼ xn * 0 Tuy nhi¶n, kxnk = 1 v¼ vªy xn 9 0 Thüc sü(xn)n∈N khæng câ d¢y con Cauchy, cho hai sè d÷ìng ph¥n bi»t b§t k¼ n,

m, ta câ kxn − xmk2 = kxnk2 + kxmk2 = 2 i·u n y công cho ta th§yr¬ng h¼nh c¦u ìn và {x ∈ H | kxk = 1} l  âng nh÷ng khæng âng y¸utheo d¢y

Gi£ sû H l  væ h¤n chi·u, theo V½ dö 1.5 th¼ mët d¢y trüc chu©ntrong H khæng câ d¢y con hëi tö m¤nh, h¼nh c¦u ìn và âng cõa Hkhæng compact, t½nh ch§t n y mæ t£ khæng gian Hilbert væ h¤n chi·u

ành lþ 1.7 Ta câ c¡c m»nh · t÷ìng ÷ìng:

(i) H l  húu h¤n chi·u

(ii) H¼nh c¦u âng ìn và B (0, 1) cõa H l  compact.

(iii) Tæpæ y¸u cõa H tròng tæpæ m¤nh cõa nâ

(iv) Tæpæ y¸u cõa H metric hâa ÷ñc

ành lþ 1.8 (Banach - Alaoglu) H¼nh c¦u âng ìn và B (0, 1) cõa

H» qu£ 1.2 Cho C ⊂ H Khi â, ta câ c¡c m»nh · t÷ìng ÷ìng:

(i) C l  compact y¸u

(ii) C l  compact y¸u theo d¢y

(iii) C l  âng y¸u v  bà ch°n

Bê · 1.7 Cho C l  tªp con bà ch°n cõa H Khi â, C l  âng y¸u khi

v  ch¿ khi nâ âng y¸u theo d¢y

Nhªn x²t 1.2 C¡c tªp âng y¸u theo d¢y khæng nh§t thi¸t l  âng y¸u

Bê · 1.8 Cho T : H → K l  mët to¡n tû affine li¶n töc Khi â, T l li¶n töc y¸u

Bê · 1.9 H l  nûa li¶n töc d÷îi y¸u, tùc l  vîi måi l÷îi (xa)a∈A trong

H v  ∀x ∈ H, ta câ

xa * x ⇒ kxk ≤ lim kxak (1.21)

Bê · 1.10 Cho (xa)a∈A v  (ua)a∈A l  c¡c l÷îi trong H v  x, u ∈ H.Gi£ sû (xa)a∈A bà ch°n, xa * x, ua → u Khi â, hxa| uai → hx | ui

1.1.5 Sü hëi tö y¸u cõa d¢y

Bê · 1.11 Cho (xn)n∈N l  d¢y bà ch°n trong H Khi â, (xn)n∈N câmët d¢y con hëi tö y¸u

Bê · 1.12 Cho (xn)n∈N l  mët d¢y thuëc H Khi â, (xn)n∈N hëi töy¸u khi v  ch¿ khi nâ bà ch°n v  câ nhi·u nh§t mët iºm tö y¸u

Bê · 1.13 Cho (xn)n∈N l  d¢y trong H v  ∅ 6= C ⊂ H Gi£ sû, vîiméi x ∈ C, (kxn − xk)n∈N hëi tö v  måi iºm tö y¸u cõa d¢y (xn)n∈N

·u thuëc C Khi â, (xn)n∈N hëi tö y¸u ¸n mët iºm thuëc C

M»nh · 1.1 Cho (ei)i∈I l  mët hå ÷ñc s­p thù tü to n ph¦n trong Hthäa m¢n span {ei}i∈H = H v  (xn)n∈N l  mët d¢y trong H v  x ∈ H.Khi â, ta câ c¡c m»nh · t÷ìng ÷ìng sau:

(i) xn * x

(ii) (xn)n∈N l  bà ch°n v  (∀i ∈ I) hxn| eni → hx | eii khi n → +∞

Bê · 1.14 Cho (xn)n(∈N) v  (un)n∈N trong H v  x, u ∈ H Khi â

(i) xn * x, lim kxnk ≤ kxk ⇔ xn → x

(ii) Gi£ sû H l  húu h¤n chi·u Khi â, xn * x ⇔ xn → x

(iii) Gi£ sû xn * x v  un → u Khi â, hxn|uni → hx|ui

H» qu£ 1.3 Cho (xn)n∈N l  mët d¢y thuëc H v  x ∈ H Khi â,

xn → x ⇔ [xn * x, kxnk → kxk]

(ii) C l  mët khæng gian affine.

(iii) C l  mët nûa kho£ng

(iv) C = T

i∈I

Ci, trong â (Ci)i∈I l  mët hå c¡c tªp con lçi cõa H

ành ngh¾a 1.3 Cho C ⊂ H Bao lçi cõa C l  giao cõa t§t c£ c¡c tªpcon lçi cõa H chùa C, tùc l  c¡c tªp con lçi nhä nh§t cõa H chùa C

Nâ ÷ñc k½ hi»u l  conv C Bao lçi âng cõa C l  tªp con lçi âng nhänh§t cõa H chùa C K½ hi»u l  conv C

M»nh · 1.2 Cho C ⊂ H v  D l  tªp t§t c£ c¡c tê hñp lçi cõa c¡c

M»nh · 1.3 Cho K l  khæng gian Hilbert thüc, gi£ sû T : H → K l to¡n tû affine v  cho C v  D l¦n l÷ñt l  c¡c tªp con lçi cõa H v  K Khi

â T (C), T−1(D) l  c¡c tªp con lçi t÷ìng ùng cõa K v  H

M»nh · 1.4 Cho (Ci)i∈I l  mët hå húu h¤n ÷ñc s­p thù tü to n ph¦ncõa m c¡c tªp con lçi cõa H Khi â, ta câ c¡c m»nh · sau

i∈I

αixi l  tuy¸n t½nh

1.2.2 T½nh x§p x¿ tèt nh§t

ành ngh¾a 1.4 Cho C ⊂ H, gi£ sû x ∈ H, p ∈ C Khi â, p ÷ñc gåi

l  mët x§p x¿ tèt nh§t cõa x tîi C (ho°c mët h¼nh chi¸u cõa x l¶n C)n¸u kx − pk = dC(x) N¸u vîi måi iºm trong H câ ½t nh§t mët h¼nhchi¸u l¶n C th¼ C ÷ñc gåi l  tªp g¦n k· N¸u vîi måi iºm trong H câ

óng mët h¼nh chi¸u l¶n C th¼ C l  tªp Chebyshev Trong tr÷íng hñp

n y, ph²p chi¸u (ho°c to¡n tû chi¸u) l¶n C l  mët to¡n tû, k½ hi»u l  PC,

¡nh x¤ n y bi¸n méi iºm trong H th nh h¼nh chi¸u duy nh§t cõa nâl¶n C

V½ dö 1.7 Cho (ei)i∈I l  tªp húu h¤n trüc chu©n trong H, cho V =span {ei}i∈I, x ∈ H Khi â, V l  mët tªp Chebyshev

PVx = X

i∈I

hx | eii ei, dV(x) =

skxk2 −X

i∈I

|hx | eii|2 (1.24)

Chùng minh Vîi måi hå (αi)i∈I ⊂ R, ta câ

i∈I

|hx | eii|2 t¤i duy nh§t iºm (hx | eii)i∈I

Nhªn x²t 1.3 Cho C l  mët tªp con kh¡c réng cõa H

(i) Tø C = {x ∈ H | dC(x) = 0} , khæng câ iºm n o thuëc C \ C

câ h¼nh chi¸u tr¶n C Mët tªp g¦n k· (trong tr÷íng hñp °c bi»t l  mëttªp Chebyshev) ph£i l  âng

(ii) N¸u C l  khæng gian con tuy¸n t½nh húu h¤n chi·u cõa H th¼

C l  mët tªp Chebyshev v  C l  âng bði (i) Tø V½ dö 1.7 cho th§y C

câ mët cì sð trüc giao húu h¤n bði Gram-Schmidt

M»nh · 1.5 Gi£ sû H l  húu h¤n chi·u v  C l  mët tªp con Chebyshevcõa H Khi â, PC l  li¶n töc

Chùng minh Gi£ sû x ∈ H v  (xn)n∈N l  mët d¢y thuëc H sao cho

xn → x Do dC l  li¶n töc n¶n

kxn − PCxnk = dC(xn) → dC(x) = kx − PCxk (1.26)V¼ vªy, (PCxn)n∈N l  bà ch°n B¥y gií, gi£ sû y l  mët iºm tö cõa(PCxn)n∈N, PCxkn → y Khi â, Nhªn x²t 1.3(i) kh¯ng ành y ∈ C v (1.26) suy ra kxkn − PCxknk → kx − yk = dC(x).Do â, y = PCxl  iºm

tö duy nh§t cõa d¢y bà ch°n (PCxn)n∈N Bði vªy, PCxn → PCx

V½ dö 1.8 Gi£ sû H l  mët khæng gian Hilbert væ h¤n chi·u, cho (en)n∈N

l  mët d¢y trüc chu©n thuëc H v  (αn)n∈N l  mët d¢y thuëc [1, +∞)thäa m¢n αn ↓ 1 °t, (∀n ∈ N)xn = αnen v  C = {xn}n∈N Khi â, l§yhai iºm ph¥n bi»t xn v  xm trong C, ta câ :

â câ mët h¼nh chi¸u cõa x l¶n C Tø ành l½ 2.6 ta th§y C l  âng y¸u

v  B(x; kx − zk) l  compact y¸u, tø Bê · 1.5 th§y D l  compact y¸u

v  kh¡c réng Do â, f l  nûa li¶n töc d÷îi y¸u theo bê · 1.9 Do â,tçn t¤i mët gi¡ trà nhä nh§t cõa f tr¶n D

H» qu£ 1.4 Gi£ sû H l  mët khæng gian Hilbert húu h¤n chi·u Cho C

l  mët tªp con kh¡c réng cõa H Khi â, C l  tªp g¦n k· khi v  ch¿ khi

â, C l  mët tªp Chebyshev v  vîi måi x v  p thuëc H,

p = PCx ⇔ p ∈ C v  (∀y ∈ C) hy − p | x − 0i ≤ 0 (1.27)

Chùng minh Cho x ∈ H Khi â, ta s³ ch¿ ra x câ mët h¼nh chi¸u duynh§t l¶n C v  h¼nh chi¸u â ÷ñc biºu thà bði (1.27) Theo ành ngh¾acõa dC, tçn t¤i mët d¢y (yn)n∈N thuëc C sao cho dC(x) = lim kyn− xk L§y m v  n thuëc N Do C l  lçi, n¶n (yn + ym)/2 ∈ C v  v¼ vªy

kx − (yn + ym)/2k ≥ dC(x) Tø çng nh§t thùc Apollonius's ta câ

kyn− ymk2 = 2 kyn − xk2 + 2 kym − xk2 − 4 kx − (yn + ym)/2k2

≤ 2 kyn− xk2 + 2 kym− xk2 − 4d2C(x) (1.28)Cho m v  n d¦n tîi +∞, ta thu ÷ñc (yn)n∈N l  d¢y Cauchy Do â, nâhëi tö tîi p ∈ C v  do C l  tªp con âng ¦y õ cõa H Tø t½nh li¶ntöc cõa k· − xk d¨n tîi lim kyn− xk = kp − xk, hay l  dC(x) = kp − xk

i·u â chùng tä sü tçn t¤i cõa p

Gi£ sû q ∈ C thäa m¢n dC(x) = kq − xk Khi â, (p + q)/2 ∈ C v 

tø çng nh§t thùc Apollonius's : kp − qk2

= 2 kp − xk2 + 2 kq − xk2 −

4 kx − (p + q)/2k2 = 4d2C(x) − 4 kx − (p + q)k2 ≤ 0 Suy ra p = q Do âh¼nh chi¸u cõa x tr¶n C l  duy nh§t

Vîi måi y ∈ C v  α ∈ [0, 1], °t yα = αy + (1 − α)p ta câ :

B i to¡n Chebyshev l : mët tªp Chebyshev câ nh§t thi¸t ph£i l  tªp lçihay khæng C¥u tr£ líi l  kh¯ng ành n¸u H l  húu h¤n chi·u Tuy nhi¶n,v¨n cán mët sè v§n · mð li¶n quan ¸n b i to¡n n y.(1)

V½ dö 1.9 Cho C = B(0; 1) Khi â

(∀x ∈ H) PCx = 1

max {kxk , 1}x. (1.30)M»nh · 1.7 Cho C l  mët tªp con lçi, âng, kh¡c réng cõa H v  cho

x, y thuëc H Khi â, Py+Cx = y + PC(x − y)

M»nh · 1.8 Cho (Cn)n∈N l  mët d¢y cõa tªp con lçi, âng, bà ch°n v kh¡c réng cõa H thäa m¢n (∀n ∈ N) Cn+1 ⊂ Cn Khi â, Tn∈NCn 6= ∅.M»nh · 1.9 Cho C l  mët tªp con lçi, âng, kh¡c réng cõa H v  cho

H» qu£ 1.5 Cho C l  mët khæng gian con affine âng cõa H Khi â

(i) Cho x v  p thuëc H Khi â, p = PCx khi v  ch¿ khi

p ∈ C v  (∀y ∈ C)(∀z ∈ C) hy − z | x − pi = 0 (1.31)(ii) PC l  to¡n tû affine

(1) F Deutsch, Best Approximation in Inner Product Spaces, Springer-Verlag, New York, 2001.

V½ dö 1.10 Gi£ sû u l  mët vectì kh¡c 0 thuëc H, cho η ∈ R v  °t

= kPVxk2 + kPV⊥xk2 = d2V(x) + d2V⊥(x).M»nh · 1.10 Cho C l  mët tªp con kh¡c réng cõa H, V = spanC

ành ngh¾a 1.5 Cho K l  mët khæng gian Hilbert thüc, T ∈ B(H, K),

y ∈ K v  x ∈ H Khi â, x l  mët nghi»m b¼nh ph÷ìng tèi thiºu cõaph÷ìng tr¼nh T z = y n¸u

kT x − yk = min

M»nh · 1.11 Cho K l  mët khæng gian Hilbert thüc, T ∈ B(H, K)sao cho ranT l  âng v  cho y ∈ K Khi â, ph÷ìng tr¼nh T z = y câ ½tnh§t mët nghi»m b¼nh ph÷ìng tèi thiºu Hìn núa, vîi ∀x ∈ H, c¡c m»nh

ành ngh¾a 1.6 Cho K l  mët khæng gian Hilbert thüc, T ∈ B(H, K)sao cho ranT l  âng, v  vîi måi y ∈ K °t Cy = {x ∈ H | T∗T x = T∗y}.To¡n tû ng÷ñc suy rëng cõa T l  T† : K → H : y 7→ PCy0

V½ dö 1.11 Cho K l  mët khæng gian Hilbert thüc, T ∈ B(H, K) saocho T∗T l  kh£ nghàch Khi â, T† = (T∗T )−1T∗

M»nh · 1.12 Cho K l  mët khæng gian Hilbert thüc, T ∈ B(H, K)sao cho ranT l  âng Khi â, ta câ c¡c m»nh · sau

(i) (∀y ∈ K) {x ∈ H | T∗T x = T∗y} ∩ (ker T )⊥ = T†y

M»nh · 1.13 (Moore-Desoer-Whalen) Cho K l  mët khæng gianHilbert thüc, T ∈ B(H, K) sao cho ranT l  âng, v  cho T ∈ B(H, K)esao cho ranTe âng Khi â, ta câ c¡c m»nh · t÷ìng ÷ìng sau

(i) T = Te †

(ii) TT = Pe ranT v  T T = Pe ran eT

(iii) T T |e (ker T )⊥ = Id v  T |e (ranT )⊥ = 0

H» qu£ 1.7 Cho K l  mët khæng gian Hilbert thüc, T ∈ B(H, K) saocho ranT l  âng Khi â

V½ dö 1.12 Gi£ sû H l  væ h¤n chi·u, cho (en)n∈N l  mët d¢y trüc chu©ntrong H, °t C = {αnen}n∈N, trong â (αn)n∈N l  mët d¢y trong [1, +∞]thäa m¢n Pn∈N1/α2n = +∞ v  αn ↑ +∞(v½ dö (∀n ∈ n) αn = √

n + 1).Khi â, C l  âng v  âng y¸u theo d¢y nh÷ng khæng âng y¸u Thüct¸, 0 thuëc bao âng y¸u cõa C nh÷ng khæng thuëc C

ành lþ 1.12 Cho C l  mët tªp con lçi cõa H Khi â, c¡c m»nh ·sau t÷ìng ÷ìng:

(i) C l  âng y¸u theo d¢y

(ii) C l  âng theo d¢y.

(iii) C l  âng

(iv) C l  âng y¸u

ành lþ 1.13 Cho C l  mët tªp con lçi, âng, bà ch°n cõa H Khi â,

C l  compact y¸u v  compact y¸u theo d¢y

Trong khæng gian Hilbert væ h¤n chi·u, têng cõa hai khæng giancon tuy¸n t½nh âng câ thº khæng ph£i l  âng

V½ dö 1.13 Gi£ sû H væ h¤n chi·u, cho (en)n∈N l  mët d¢y trüc chu©ntrong H °t

C = span {e2n}n∈N v  D = span {cos(θn)e2n + sin(θn)e2n+1}n∈N, (1.35)trong â (θn)n∈N l  mët d¢y thuëc [1, π/2] thäa m¢n Pn∈Nsin2(θn) <+∞ Khi â, C ∩ D = {0} v  C + D l  mët khæng gian con tuy¸n t½nhkhæng âng cõa H

Chùng minh Tø (1.35) ta th§y c¡c ph¦n tû cõa C v  D câ d¤ng t÷ìngùng l  Pn∈Nγne2n v  Pn∈Nδn(cos(θn)e2n+sin(θn)e2n+1),trong â (γn)n∈N ∈

Do â, δn ≡ 1 v  γn = − cos(θn) → −1, n¶n (γn)n∈N ∈ l/ 2

(N)

M»nh · 1.14 Cho C l  mët tªp con lçi cõa H Khi â

(∀x ∈ intC)(∀y ∈ C) [x, y] ⊂ intC (1.38)M»nh · 1.15 Cho C l  mët tªp con lçi cõa H Khi â, ta câ c¡ckh¯ng ành sau:

(i) C l  tªp lçi

(ii) intC l  tªp lçi

(iii) Gi£ sû intC 6= Ω Khi â, intC = intC v  C = intC

1.2.4 C¡c ành lþ t¡ch

ành ngh¾a 1.7 Cho C v  D l  c¡c tªp con cõa H Khi â, C v  D l t¡ch ÷ñc n¸u

(∃u ∈ H \ {0}) sup hC | ui ≤ inf hD | ui , (1.39)

v  t¡ch ch°t n¸u b§t ¯ng thùc tr¶n l  ch°t Hìn núa, iºm x ∈ H t¡ch

÷ñc vîi D n¸u c¡c tªp {x} v  D l  t¡ch ÷ñc T÷ìng tü, x l  t¡ch ch°tvîi D n¸u {x} v  D l  t¡ch m¤nh

ành lþ 1.14 Cho C l  mët tªp con lçi, âng, kh¡c réng cõa H v 

x ∈ H \ C Khi â, x ÷ñc t¡ch ch°t tø C

H» qu£ 1.8 Cho C v  D l  c¡c tªp con kh¡c réng cõa H thäa m¢n

C ∩ D = ∅ v  C − D l  âng v  lçi Khi â, C v  D l  t¡ch ch°t

H» qu£ 1.9 Cho C v  D l  c¡c tªp con lçi, âng, kh¡c réng cõa H m 

C ∩ D = ∅ v  D bà ch°n Khi â, C v  D l  t¡ch ch°t

V½ dö 1.14 Gi£ sû H l  khæng gian Hilbert væ h¤n chi·u Khi â, tçnt¤i hai khæng gian con affine âng khæng giao nhau v  khæng t¡ch ÷ñc