10 phương pháp hàm số giải hệ phương trình

Xétxy 0 viết lại phương trình đầu của hệ dưới dạng:... Xét x0 khi đó phương trình đầu của hệ tương đương với: Phương trình thứ hai của hệ có chỉ có nhân tử xy nên ta có thể tìm được t

Nhận thấy xy 0 không thỏa mãn hệ phương trình

Xétxy 0 viết lại phương trình đầu của hệ dưới dạng:

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là:

Nên f t  là hàm đồng biến vì vậy f x  f y  x y

Thay yx vào phương trình đầu của hệ ta được:

Xét với y    0 x 0 không thỏa hệ phương trình

Với y  0 chia hai vế của (1) cho y5 ta được phương trình:

x y

Nhận thấy xy 0 không thỏa mãn hệ phương trình

Xét xy 0 viết lại phương trình đầu của hệ dưới dạng:

3

0 3

483

2

7 5 52

7 5 52

x y

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất   x y;  0; 1  

Bài toán 15: Giải hệ phương trình  

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y;   4;12

Bài toán 16: Giải hệ

21

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là     x y;  1;1 , 1; 1  

Bài toán 19: Giải hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y;    0;1

Bài toán 20: Giải hệ    

5 2 7

x y x y x y

y y x

Từ phương trình đầu của hệ suy ra x y

Thay x y vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

2

35

0 12

3 2

11

22

y

y y

x x

x x

3 3 3 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y;    9;8

Bài toán 27: Giải hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y;    1; 0

Bài toán 28: Giải hệ

2 3

x y

y x

2 3

Bài toán 29: Giải hệ  2  2 

Suy ra hàm số đơn điệu tăng Từ đó suy ra f x  f  2y  x 2 y

Thay x 2y vào phương trình thứ hai ta được:

2y  1 y    1 1 0 2y   1 y 2 y  1 2 y       1 1 y y 1 x 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y;    2;1

Bài toán 31: Giải hệ phương trình  

499

1 2

1

y x

2

1

1 1

t t

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y;    3; 0

Bài toán 32: Giải hệ   

x y

2 2 2

2 2

2 2

Vậy với t  0 hệ (2) vô nghiệm

Bài toán 33: Giải hệ

4 3

3 2 2

Nhận thấy x0 không là nghiệm của hệ phương trình

Xét x0 khi đó phương trình đầu của hệ tương đương với:

Phương trình thứ hai của hệ có chỉ có nhân tử xy nên ta có thể tìm được t x y khi đặt

ẩn phụ Dưới đây sử dụng hàm số như sau:

Viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng:

y 

Khi đó phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành:

4 0

x

x x

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y;    5; 4

Bài toán 40: Giải hệ

x y

Từ phương trình thứ hai trong hệ ta có: x2  9 y2   4 12 xy  xy  0

Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành:

TH1: Nếu t    1 1 t 0 f t'( )0 Do đó hàm số f(t) nghịch biến trên  1;  

510

2

1

4 1

x  không thỏa mãn hệ phương trình vì vậy x2

Viết phương trình thứ hai của hệ dưới dạng:

511

Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được x2

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y;    2;1

Bài toán 48: Giải hệ    

513

Xét phương trình: 2 2

(1)

y   y a  a Xét hàm số   2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Bài toán 54: Giải hệ phương trình

x y





 



x y  vào phương trình thứ hai của hệ tìm được nghiệm x y;    5;1

Đối chiếu điều kiện ta có:

- Với Thay vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có:

Phương trình cuối cùng vô nghiệm với

- Với Thay vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có:

Phương trình cuối cùng vô nghiệm với

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

2

2 2

Thử lại vào phương trình thứ hai của hệ thấy không thỏa mãn

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Bài toán 59: Giải hệ phương trình  

4 3

Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất   10 4

2 4

( )2

g y   y y  y trên  3;1thực hiện tương

tự Bài toán toán trên ta được:

Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y;   1; 3  

Bài toán 63: Giải hệ phương trình  

443

3

x y

4 3

Thử lại váo phương trình thứ hai của hệ thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất   4 4

y y

x y

Kết hợp với điều kiện chỉ nhận hai nghiệm    1;0 ; 5; 2

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là x y;      1;0 ; 5; 2

Bài toán 72: Giải hệ phương trình  

f t  t ttrên đoạn  1;1ta chứng minh f t là hàm nghịch biến trên  1;1

bằng hai cách như sau:

Cách 1: Phù hợp với kiến thức lớp 10 chưa được học về đạo hàm

t t





 ta chứng minh được hàm đồng biến hoặc

nghịch biến rất phù hợp với kiến thức của một học sinh lớp 10 nhưng hạn chế của phương pháp này là nếu hàm f t có dạng phức tạp thì việc chứng minh k 0k  0khó khăn hơn rất nhiều

Bài toán 73: Giải hệ phương trình  

3 4

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y;    3; 2

Bài toán 74: Giải hệ phương trình  2  2 

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là   x y;  2; 2 ,    1;1

Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng:

Nhận thấy x0không là nghiệm của hệ phương trình

Xét x0viết phương trình thứ nhất của hệ dưới dạng:

Do đó hàm số f x đồng biến trên R Nên f x  f     y x y

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có phương trình:

2

2 2

Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là x y;        0;1 , 1; 2 , 2;3

Bài toán 79: Giải hệ phương trình

Vì vậy  2 g x   1 g 0        x 1 0 x 1 y 1.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y;    1;1

Bài toán 80: Giải hệ phương trình

4 4

535

Bài toán 81: Giải hệ phương trình  

2

2 2

1 2

1

2 1

1

x x

x x

536

x yVT e e VPhệ phương trình vô nghiệm

- Nếu x 2y thấy thỏa mãn phương trình

Vậy x 2ythay vào phương trình đầu của hệ ta được:

một nghiệm Lập bảng biến thiên suy ra phương trình f ' x  0có tối đa hai nghiệm Lập bảng biến thiên suy ra phương trình f x  0có tối đa ba nghiệm ( chú ý có đây là một tính chất của định lý Rolle) Mặt khác f  0  f  1  f  2  0 Do đó phương trình có đúng ba nghiệm x 0,x 1,x 2

Vậy hệ phương trình có ba nghiệm x y;        0;0 , 1;1 , 2; 2

Bài toán 73: Giải hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là   x y;    1; 2 , 2;1  

Bài toán 74: Giải hệ phương trình

t t

1 0, 1

t t

t R t

23

x y

x y

x y

Do đó f t là hàm đồng biến trên Rnên  1  f x  f y  x y

Thay yxvào phương trình thứ hai của hệ ta được:

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là      x y;  2; 2 , 4; 4

Bài toán 80: Giải hệ phương trình 2  2 

2 2

1 2

2

x y

3

x y

f x x

    trên 2;10và   3 3 2

72

( thử lại thấy thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y;    3;1

Bài toán 82: Giải hệ phương trình 2 2 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y;    0;1

Bài toán 83: Giải hệ phương trình

Thay vào phương trình thứ hai của hệ tìm được nghiệm      x y;  0;1 ; 1;9

Bài toán 84: Giải hệ phương trình    

Suy ra x y, cùng dấu với nhau

Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: ln 1 x x ln 1 y  y 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y;    3; 4

Bài toán 87: Giải hệ phương trình

13

3

13

546

Bài toán 88: Giải hệ phương trình 1  

2 2

Từ đó suy ra phương trình  * tương đương với: x2,y3

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y;    2;3

Bài toán 89: Giải hệ phương trình    

Nhận thấy xy 0, không là nghiệm của hệ nên x 0;y 0

Trừ theo vế 2 phương trình của hệ ta được

Vậy hàm số f t đồng biến trên 0; 

Suy ra f x  f y  x y, khi đó thay vào (1) ta được:

548

Vậy hàm số g x đồng biến

Mặt khác ta có, g 1  0 Vậy x1là nghiệm duy nhất của phương trình (3)

Suy ra y 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y;    1;1

Bài toán 91: Giải hệ phương trình

y x y x

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta suy ra nghiệm x2012

Bài toán 92: Giải hệ phương trình      

Vậy x y 0và 2 x 0khi đó viết lại (1) dưới dạng:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y;    1;1

Bài toán 94: Giải hệ phương trình

2 3

3 3

Thử lại thấy thỏa mãn vậy x   0 y 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y;    0;1

Cách 2: Phương trình tương đương với:

   và phương trình có nghiệm duy nhất x0

Cách 4: Nhân liên hợp ta được:

x x  x   x    x  x   x 

01

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là      x y;  0;1 , 1;0

Bài toán 99: Giải hệ phương trình

Thay vào phương trình thứ hai của hệ và tìm được nghiệm của hệ

Bài toán 100: Giải hệ phương trình

2 2

Điều kiện x0, từ phương trình thứ hai của hệ ta suy ra y0

Từ phương trình thứ hai ta suy ra:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất   x y;  4; 1  

Bài toán 101: Giải hệ phương trình  3 3

7 9

7 9

 ta có cách khác như sau xuất phát từ hệ

đưa về dạng đồng bậc được nên ta xử lý như sau:

3

9 1

  và thay vào phương trình

đầu của hệ đưa về xét hàm số  

3 3

558

3 3

Bài toán 103: Giải hệ phương trình  2 2 2 

Bài toán này tương tự Bài toán trên ta không xử lý được độc lập hai phương trình của hệ nên

ta xem chúng có mối liên hệ nào với nhau

2 2

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là   5

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là      x y;  1;0 , 5; 2

Bài toán 107: Giải hệ phương trình  

561

Vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến suy ra nghiệm duy nhất y    2 x 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y;    3; 2

Bài toán 110: Giải hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y;   5; 4  

Bài toán 111: Giải hệ phương trình     

Phương trình này có nghiệm và kĩ thuật xử lý rất đẹp mắt Để giải phương trình này ta dùng

kỹ thuật nhân liên hợp đưa về hệ ( xem thêm cuốn Những điều cần biết LTĐH Kỹ thuật giải nhanh phương trình, bất phương trình vô tỷ cùng tác giả)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất   2 2

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là x y;    1; 2 ;  3;3

Bài toán 114: Giải hệ phương trình

2 3