Vận dụng phương pháp hàm số giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TỈNH TIỀN GIANG TRƯỜNG THPT CHUYÊN TỈNH TIỀN GIANG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH... LÝ DO C

Trang 1

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TỈNH TIỀN GIANG TRƯỜNG THPT CHUYÊN TỈNH TIỀN GIANG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH.

NĂM HỌC 2012 - 2013

TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TG

Giáo viên: Nguyễn Hoàng Kinh

Trang 2

Giáo viên: Nguyễn Hoàng Kinh Trang 2

Trang 3

6. 3 Nội dung của đề tài.

Trang 4

Trang 5

TÊN ĐỀ TÀI:

Trang 6

Trang 7

A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Những năm gần đây, trong các đề thi chọn học sinh giỏi của các tỉnh thành trên toàn quốc và trong các đề thi tuyển sinh Đại học, ở phần đại số sơ cấp; phần lớn người ta cho những bài về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mà tathường hay kết hợp các phương pháp đại số sơ cấp và phương pháp hàm số để giải.Những bài toán này, phần lớn đều có hình thức nhìn khá phức tạp vì nó được dấu bởi một phương trình, hệ phương trình hay bất phương trình đại số với ít nhất một hàm số nào đó cộng với việc khai triển đánh lạc hướng

Trong phần này, tôi xin tổng kết và giới thiệu các dạng, các phương pháp điển hình thường hay sử dụng giải các bài toán dạng này nhằm giúp các em học sinh phổ thông có thêm những khả năng xử lý tốt các bài toán sơ cấp và có được kết quả tốt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi và các kỳ thi đại học

Mỹ Tho, ngày 20 tháng 11 năm 2012

Thầy Nguyễn Hoàng Kinh

Trang 8

Trang 9

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI:

a Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số: Cho hàm số f xác định trên khoảng

b Định lý về điều cần về tính đơn điệu của hàm số: Giả sử f(x) có đạo hàm

trên khoảng (a; b).

f(x) đồng biến trên khoảng (a; b) f’(x) 0 trên khoảng (a; b)

f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b)f’(x)  0 trên khoảng (a; b)

c Định lý về điều đủ về tính đơn điệu của hàm số: Giả sử f(x) có đạo hàm

trên khoảng (a; b).

f ’(x) > 0 trên khoảng (a; b)  f(x) đồng biến trên khoảng (a; b).

f ’(x) < 0 trên khoảng (a; b)  f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b).

f ’(x) = 0 trên khoảng (a; b)  f(x) không đổi trên khoảng (a; b).

d Mở rộng định lý về tính đơn điệu của hàm số: Nếu f ’(x)  0, x (a; b) (hay f’(x) ≤ 0, x (a; b)) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc khoảng (a; b) thì hàm số vẫn đồng biến (hay nghịch biến) trên khoảng (a; b).

e Hệ quả của định lý Lagrange: “Trên tập xác định D, đạo hàm cấp k của

hàm số f không đổi dấu thì phương trình f(x) = C có không quá k nghiệm

phân biệt”

Trang 10

2 CẤU TRÚC ĐỀ TÀI:

1 Các bài toán sử dụng hệ quả của tính đơn điệu của hai hàm số.

a Hệ quả của tính đơn điệu của hàm số

b Các thí dụ và phân tích bài giải

c Các bài tập tương tự

d Hướng dẫn và kết quả của các bài tập

2 Các bài toán sử dụng hệ quả của định lý Lagrange.

a Hệ quả của định lý Lagrange

3 Các bài toán sử dụng phương pháp hàm đặc trưng.

a Tính chất của hàm số liên tục và đơn điệu trên D.

4 Các bài toán sử dụng định nghĩa của hàm số đơn điệu.

a Định nghĩa của hàm số đơn điệu trên D.

Trang 11

3 NỘI DUNG ĐỀ TÀI:

1/ DẠNG 1: Sử dụng hệ quả của tính đơn điệu: “Nếu hàm số f liên tục và đồng biến trên D, hàm số g liên tục và nghịch biến trên D thì phương trình f(x) = g(x)

có nhiều nhất một nghiệm trên D”

5x    x 2 log 3

 Do hàm số 2

( ) 5x

f x   liên tục và đồng biến trên , hàm số ( ) 3g x   liên tục x

và nghịch biến trên , mà f(2) = g(2) nên phương trình 2

Thí dụ 4: Giải bất phương trình: log (22  x)log (23 x  1) 1 x

Giải: Xét hàm số f x( )log (22 x) log (2 3 x , với 1) 1

Trang 12

Thí dụ 5: Giải phương trình:

3 4





 



Trang 13

2/ DẠNG 2: Sử dụng hệ quả của định lý Lagrange: “Trên tập xác định D, đạo hàm cấp k của hàm số f không đổi dấu thì phương trình f(x) = C có không quá k nghiệm phân biệt”

Thí dụ 1: Giải phương trình: log7xlog (3 x2)

Giải: Xét hàm số: f x( )log7xlog (3 x2)với x (0; +)

Suy ra f (x) liên tục và đồng biến trên (0; +).

Mà: f(49) = 0, vậy phương trình đã cho chỉ có một nghiệm: x = 49.

Nên phương trình: f x'( )0 có duy nhất một nghiệm x0trên

Do đó hàm số f (x) liên tục và có 2 khoảng biến thiên là (–; x0) và (x0; +)

Mà: f(0) = f(1) = 0, vậy phương trình đã cho chỉ có hai nghiệm: x = 0; x = 1.

Trang 14

Mà f ’’(–1) < 0, f ’’(x 0) < 0 và lim ''( )

x f x

  nên phương trình f ’’(x) = 0 có đúng

một nghiệm trên (–1; +)

Suy ra phương trình f ’(x) = 0 có không quá 2 nghiệm  hàm số f(x) có không quá

3 khoảng biến thiên

 phương trình f(x) = 0 có không quá 3 nghiệm.

 hàm số f(x) có không quá 4 khoảng biến thiên.

 pt f(x) = 0 có không quá 4 nghiệm.

Mà: f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = 0, vậy phương trình đã cho chỉ có 4 nghiệm: x = 0; x

Trang 15

do đó 2x3 3(x21)( x2 1 1) suy ra phương trình không có nghiệm x [0; 1].

f  nên nó có duy nhất một nghiệm: x 3

Vậy hệ phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm: x 3;y2 3

Trang 16

Trang 17

3/ DẠNG 3: Sử dụng tính chất của hàm số liên tục và đơn điệu: “Trên tập xác định D, nếu hàm số f liên tục và đơn điệu thì phương trình f(u(x)) = f(v(x))

x

x x x

Trang 18

Thí dụ 4: Giải phương trình: 3 9 9 2 1

2 1 3

Trang 19

Xét hàm số: f t( ) t t2 1 3t liên tục và đồng biến trên   u = v

Vậy g(u) đồng biến trên  Ta có g(0) = 1 Vậy u = 0 là nghiệm duy nhất của (1).

Nên (II) u = 0 = v Vậy (I)  x = y = 1.

x

x x

Trang 20

 f’ liên tục và có nhiều nhất 2 khoảng biến thiên trên   phương trình f’(x) = 0

có nhiều nhất 2 nghiệm Khi đó f liên tục và có nhiều nhất 3 khoảng biến thiên

trên hay phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất 3 nghiệm.

Mà: f(0)  f(1)  f(2)  0, do đó phương trình f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm x = 0, x =

1, x = 2.

Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm: (x 0;y  1) (x 1;y 2)(x2;y 3)

Trang 21

4/ DẠNG 4: Sử dụng định nghĩa của hàm số đơn điệu:

 Hàm số f đồng biến trên (a; b) đn x, y  (a; b): x  y  f(x)  f(y).

 Hàm số f nghịch biến trên (a; b) đn x, y  (a; b): x  y  f(x)  f(y).

Thí dụ 1: Giải hệ phương trình:

2 2

22

2

2 2

f t   liên tục và đồng biến trên [0; +)

Do đó: giả sử 0 x  y  f(y)  f(x)  y  x, suy ra: x = y  0.

3 5 2

Trang 22

z f t  t   t t liên tục và đồng biến trên 

Nếu ta có: x  y  f(x)  f(y)  y  x, suy ra: x = y.

Khi đó, ta có hệ phương trình:

1 5 1

suy ra hàm số f(t) liên tục và đồng biến trên 

Giả sử: x = min{x; y; z}, khi đó: x ≤ y  f(x) ≤ f(y)  y ≤ z  f(y) ≤ f(z)  z ≤ x tức là, ta có: x ≤ y ≤ z ≤ x nên x = y = z Lúc đó, ta có: 3 2

2 3 ln( 1) 0

x  x  x   x

Do hàm số: g x( )x32x 3 ln(x2 x 1) có:

2 2

2

2 1'( ) 3 0,

( ) ( )( ) ( )

Trang 23

Giải: Rõ ràng, ta có: x, y, z > 0 Ta có hàm số 1 2

4

( ) ( ) t t

f t   nghịch biến và liên tục trên (0; +) và hàm số g(t) = t đồng biến và liên tục trên (0; +)

Nên nếu ta giả sử: x = min{x; y; z}, khi đó:

( ) ( )( ) ( )

( 1) 2( 1) 2( 1) 2( 1) 2

( ) ( )( ) ( )

Trang 24

(x i  K, i = 1; 2; ; n) là nghiệm của hệ phương trình thì: 1 3 1

n n

1 '( ) ln 2010 1 0

 f(x) liên tục và đồng biến trên (0; +)

 f(x) > f(0) = 0, x  (0; +) hay pt f(x) = 0 không có nghiệm trên (0; +).

 g(x) liên tục và giảm trên (–; 0)  g(x) < g(0) = 0.

Suy ra: f(x) < 0, x  (–; 0) hay phương trình f(x) = 0 không có nghiệm trên (–;

Trang 25

Do đó, phương trình đã cho không có nghiệm x (2012; 2013)

Vậy phương trình đã cho chỉ có hai nghiệm: x = 2012 và x = 2013.

x

x x

Trang 26

4 HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI:

Trong các nội dung trình bày ở phần trên, ta có thể dễ dàng thấy được các thí dụ và bài tập được trích ra trong đề tài này bao gồm các bài tập trong sách giáo khoa; các bài khó hoặc khá khó trích trong các đề thi đại học; các bài trích từ các đề thi học sinh giỏi các tỉnh thành trên toàn quốc Điều đó chứng tỏ đề tài này khá phổ biến và đây là đề tài mà các em học sinh khá, giỏi cần phải nắm được để giải các bài tập trong lớp, tạo bước đột phá khi dự thi tuyển sinh đại học và giải quyết được phần nào bài toán đại số trong các đề thi học sinh giỏi ở địa phương mình.

Khi tôi tiến hành kiểm tra thử trên hai lớp khối 12: lớp 12 Chuyên Toán (30 học sinh)

và lớp 12 Chuyên Lý (32 học sinh) với thời gian 60 phút cho 5 bài toán thì thu được kết quả đánh giá như sau:

 Phần lớn các em học sinh sử dụng được các dạng đã nêu ở mức độ đơn giản như mức

độ bài thi đại học ở tầm câu khá khó, các bài tập trong sách bài tập giáo khoa.

 Một số ít em sử dụng tương đối tốt các dạng đã nêu trong đề tài ở mức độ cao hơn, cho nhiều lớp hơn.

 Rất ít em sử dụng sáng tạo được các phương pháp nêu ra.

Trang 27

C KẾT LUẬN:

Qua đề tài trên, tôi đã phân loại và hệ thống các dạng thường gặp của việc sử dụng phương pháp hàm số nhằm để giải các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình giúp học sinh tiếp thu và vận dụng sáng tạo các dạng đưa ra, việc này giúp các

em học sinh lớp 12 vượt qua được câu khá khó của môn toán trong kỳ tuyển sinh đại học, giúp cho các em trong đội tuyển có cái nhìn rộng hơn về các bài toán đại số trong

kỳ thi chọn học sinh giỏi.

Tuy đây là một trong những vấn đề khó trong chương trình, nhưng các em học sinh

có thể tiếp cận và vận dụng nó từ những mức độ đơn giản đến phức tạp hơn Chúc các

em gặt hái được nhiều thành công trong học tập và trong cuộc sống.

Trang 28

TÀI LIỆU THAM KHẢO

 Sách giáo khoa và sách bài tập giáo khoa nâng cao

 Các đề thi đại học từ năm 2002 đến 2012

 Các đề thi thử đại học của các trường trên toàn quốc

 Các đề thi chọn học sinh giỏi của các tỉnh trên toàn quốc

Trang 29

PHỤ LỤC

ĐỀ KIỂM TRA THỬ

Câu 1: Giải phương trình: 2 23 x 1 27x327x213x2

Câu 2: Giải phương trình: 3log2x 2x2

Câu 3: Giải hệ phương trình: 2 2 3

2 2 3

x y

Trang 30

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA THỬ

Câu 1: Giải phương trình: 2 23 x 1 27x327x213x2 Điểm

Phương trình đã cho tương đương phương trình:

3 3

(2x 1) 2 2x 1 (3x1) 2(3x1) (*) 0,5đXét hàm số: 3

2 1 (3 1)(27 27 7) 0

Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm là x = 0 0,25đ

Điều kiện: x > 0 Với điều kiện này phương trình đã cho tương đương:

2 ln 2

Suy ra hàm số f có nhiều nhất 2 khoảng biến thiên trên (0;) 0,25đ

Do đó phương trình: f(x) = 0 có nhiều nhất 2 nghiệm phân biệt 0,25đ

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S {1; 4} 0,25đ

Câu 3: Giải hệ phương trình: 2 2 3

Trang 31

Do đó: 2x 3x 2y 3y f x( )  f y( )  x y 0,25đ

Khi đó, ta có hệ phương trình:

2x 3 0

y x x

Câu 4: Giải hệ phương trình:

3.3 3 12.3 2 3 2 2 3

Trang 32

0,25đ

Vậy hệ phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm: x = y = 0 0,25đ

Định dạng
Số trang	32
Dung lượng	0,96 MB