xác suất thống kê - các phân phối xác suất thông dụng

báo cáo khoa học về xác suất thống kê - các phân phối xác suất thông dụng

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

February 28, 2011

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Định nghĩa (Normal Distribution)

Bnn X có phân phối chuẩn, được kí hiệu X ∼ N(µ; σ2), có hàm mđxs f(x, µ, σ) = 1

2πe−(x−µ)22σ2

1 X(Ω) = R

2 ModX = EX = µ

3 VarX = σ2

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Đồ thị hàm f(x,4,1)

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Định nghĩa (Standard Normal Distribution)

Trường hợp µ = 0, σ = 1 ta được X ∼ N(0; 1) Khi đó X có phân phối chuẩn chuẩn tắc với hàm mđxs f(x) =√1

2πe−x2

2 (Hàm Gauss)

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Đồ thị của hàm Gauss

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Hàm ϕ(z) =

z

R

0

f(x)dx (Hàm Laplace) Giá trị của hàm Laplace là diện tích

của miền sau:

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Nếu X ∼ N(0; 1) : P(a ≤ X ≤ b) =

b

R

a

f(x)dx = ϕ(b) − ϕ(a)

Nếu X ∼ N(µ; σ2) : P(a ≤ X ≤ b) = P( a−µσ ≤ X−µσ ≤b−µσ ) = ϕ(b−µσ ) − ϕ(a−µσ )

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Một số lưu ý:

1 f(−x) = f(x), ∀x

2 ϕ(−x) = −ϕ(x), ∀x

3 f(x) ≈ 0, x ≥ 4, 8

4 ϕ(x) ≈ 0, 5, x ≥ 4, 5

5 ϕ(+∞) = 0, 5, ϕ(−∞) = −0, 5

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Ví dụ: Một trang trại trồng thử nghiệm 2 giống táo A và B cho thấy táo thu hoạch của 2 giống này có đường kính tối đa lần lượt tuân theo phân phối chuẩn N(8,35;48,65)(cm) và N(8,21;12,26)(cm) Táo loại I là táo có đường kính tối đa không nhỏ hơn là 8cm Hãy cho biết giống táo nào cho

tỉ lệ táo loại I cao hơn?

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Quy tắc nσ

Cho bnn X ∼ N(µ; σ2)

n=2: P(|X − µ| ≤ 2σ) = 2ϕ(2) ≈ 95, 45%

n=3: P(|X − µ| ≤ 3σ) = 2ϕ(3) ≈ 99, 73%

n=6: P(|X − µ| ≤ 6σ) = 2ϕ(6) ≈ 99, 999999803%

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Phân phối nhị thức

Định nghĩa (Binomial Distribution)

Thực hiện n phép thử độc lập, cho biết biến cố A xảy ra ở mỗi phép thử với xác suất không đổi là p.

Gọi X là số lần biến cố A xảy ra trong số n phép thử Khi đó X có phân phân phối nhị thức, kí hiệu X ∼ B(n; p) Trường hợp n=1, ta được phân phối Bernoulli.

Ta có

1 X(Ω) = {0 n}

2 P(X = k) = C k

n p k q n−k với k ∈ X{Ω}, q = 1 − p

3 EX = np

4 VarX = npq

5 ModX = n0 với (n + 1)p − 1 ≤ n0≤ (n + 1)p

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Phân phối nhị thức

Ví dụï:

Một người mỗi ngày đi bán hàng ở 5 nơi khác nhau Xác suất bán được hàng ở mỗi nơi là 0,3

a Tính xác suất người đó bán được hàng trong một ngày

b Trung bình mỗi năm người đó đi bán hàng 300 ngày Tìm số ngày bán được hàng nhiều khả năng nhất trong một năm của người đó

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Phân phối Poisson

Định lý (Poisson)

Xét một dãy biến ngẫu nhiên độc lập {X n } : X n ∼ B(n; p(n)), np(n) = λ.

Khi đó X n → P(λ) F

Trong đó P(λ) là phân phối Poisson với thông số λ X ∼ P(λ) thỏa

1 X(Ω) = N

2 P(X = k) = e−λ.λk! k

3 EX = λ

4 VarX = λ

5 ModX = n0 với λ − 1 ≤ n0≤ λ

Điều này có nghĩa trong thực hành khi X ∼ B(n; p) với n đủ lớn và p khá nhỏ sao cho np < 5 thì ta có thể xấp xỉ X ∼ P(λ) với λ = np

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối Poisson

Ví dụï:

Một máy sản xuất sản phẩm tự động với khả năng sản xuất ra một phế phẩm ở mỗi lần sản xuất là 0, 1% Cho máy này sản xuất 1000 sản phẩm Tính xác suất

a Có đúng 2 phế phẩm trong số đó

b Có ít nhất 5 phế phẩm trong số đó

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Định lý (Moivre-Laplace)

Xét một dãy biến ngẫu nhiên độc lập {X n } : X n ∼ B(n; p) Khi đó

X → N(µ; σ F 2)với µ = np, σ =√npq

Điều này có nghĩa trong thực hành khi X ∼ B(n; p) với n đủ lớn sao cho

np ≥ 5, nq ≥ 5 thì ta có thể xấp xỉ X ∼ N(µ; σ2)

1 P(X = k) ≈ 1

σf( k−µσ )

2 P(k1≤ X < k2) ≈ ϕ(k2 −µ

σ ) − ϕ(k1 −µ

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

XÁC SUẤT THỐNG KÊ