Phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 2 doc

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức Bn, p.. Hiệp phương sai của 2 biến ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu CovX, Y được xác định

Từ đó,

Ví dụ 3.3 (Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức)

Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n, p) Đặt

thì Do E(Xi) = p với mọi i = 1, 2, , n nên

 Hiệp phương sai

Mệnh đề 3.4 Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì với mọi hàm Borel g, h

E[g(X).h(Y)] = E[g(X)]

E[h(Y)]

Định nghĩa 3.5 Hiệp phương sai của 2 biến ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu Cov(X,

Y) được xác định bởi

Cov(X, Y) = E[(X – E(X))(Y -

E(Y))]

Khai triển vế phải ta nhận được

Cov(X, Y) = E(XY) –E(X).E(Y)

Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì theo Mệnh đề 3.4 ta có Cov(X, Y) =

0 Tuy nhiên khẳng định ngược lại không đúng

Thật vậy, cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất

và biến ngẫu nhiên

Dễ thấy E(X) = 0 và do XY = 0 nên E(XY) = 0 Như vậy

Cov(X, Y) = E(XY) – E(X)E(Y) = 0

tuy nhiên rõ ràng X, Y là không độc lập

Tính chất 3.6

 Cov(X, Y) = Cov(Y, X)

 Cov(X, X) = D(X)

 Cov(aX, Y) = a Cov(X, Y), a là hằng số



 Phương sai của tổng các biến ngẫu nhiên

Từ các tính chất trên của hiệp phương sai ta có

Như vậy,

và nếu X1, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập thì

Ví dụ 3.7 Cho X1, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối với

phương sai Đặt Chứng minh

Giải Ta có

 Hệ số tương quan

Định nghĩa 3.8 Hệ số tương quan của 2 biến ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu r(X, Y)

được xác định bởi : Nếu D(X) và D(Y) thì

r(X, Y)

Nếu D(X) = 0 hoặc D(Y) = 0 hay có ít nhất một trong 2 đại lượng ngẫu nhiên X, Y

là hằng số thì ta quy ước r(X, Y) = 0

Khi r(X, Y) = 0, ta nói X, Y không tương quan Lưu ý rằng nếu X, Y độc lập thì

X, Y không tương quan nhưng khẳng định ngược lại không đúng (Ví dụ trong Định nghĩa 3.5)

Định lí 3.9 Với mọi biến ngẫu nhiên X, Y ta luôn có

và khi và chỉ khi X và Y là phụ thuộc tuyến tính

Chứng minh Xét phương sai của đại lượng Ta có

Từ đó suy ra r(x, Y) 1

Tương tự, xét phương sai của ta nhận được r(X, Y) -1

Bây giờ, giả sử nếu r(X, Y) = ±1 Từ chứng minh trên suy ra ,

nghĩa là = c với c là hằng số Như vậy

,

nghĩa là X,Y phụ thuộc tuyến tính

Ngược lại, nếu Y = aX + b với a,b là hằng số thì

Cov(X, Y) =

Vậy

(X, Y) =

Định lí được chứng minh