ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 11 HK2

Cho a chéo b, qua đường thẳng này ta dựng được duy nhất một mặt phẳng song song với đường thẳng kia.. Các tính chất a Có duy nhất một mp P đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với mộ

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TPĐN

TRƯỜNG PTTH PHAN CHU TRINH ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP

MÔN TOÁN LỚP 11 HỌC KỲ II NĂM HỌC: 2009 - 2010

A ĐẠI SỐ

I DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN

§1 Phương pháp qui nạp toán học

Để chứng minh một mệnh đề chứa biến P(n) đúng với mọi

số nguyên dương n, ta thực hiện hai bước sau:

Bước 1: Kiểm chứng P(n) đúng khi n = 1

Bước 2: Giả sử P(n) đúng với n = k, chứng minh P(n)cũng đúng với n = k + 1

Vd1: Chứng minh 13 + 23 + + n3 =

4

) 1 n (

a/ Cách 1: Cho bởi công thức

b/ Cách 2: Cho bởi hệ thức truy hồi (qui nạp)

c/ Cách 3: Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng

U

U 

nếu Un > 0, n) Để chứng minh (Un) bị chặn, ta tìm hai số m, M sao cho

m  Un  M, n

Nếu (Un) tăng thì bị chặn dưới bởi U1.

Nếu (Un) giảm thì bị chặn trên bởi U1

)uu(

) q 1 (

Định lý 2: Nếu q < 1 thì limqn = 0

2

1 lim n 

43

ncos



§2 Dãy số có giới hạn hữu hạn

1 Định nghĩa: limUn = L  lim(Un - L) = 0

Định lý 2: Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương của hai

dãy số bằng tổng, hiệu, tích, thương các giới hạn của chúng

3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

CSN lùi vô hạn khi công bội q mà q < 1

1 2

1

 0

2

3 M t v i qui t c tìm gi i h n vô c c ột vài qui tắc tìm giới hạn vô cực ài qui tắc tìm giới hạn vô cực ắc tìm giới hạn vô cực ới hạn vô cực ạn vô cực ực

Chú ý: Trên đây chỉ viết tổng quát, trong từng trường hợp

cụ thể, ta phải xác định dấu của Un và Vn khi đó mới có kết quả

cụ thể được

III GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ, HÀM SỐ LIÊN TỤC

1 Giới hạn tại 1 điểm

a) Giới hạn hữu hạn

Định nghĩa:

L)x(lim



  (xn): xn  +  f(xn)  L





3 Một số định lý

a) Định lý: Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương của hai

hàm số bằng tổng, hiệu, tích thương các giới hạn của chúng

k x

IV GIỚI HẠN MỘT BÊN

2 Giới hạn vô cực: Định nghĩa tương tự như giới hạn hữu hạn

V MỘT VÀI QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC

a) Định lý: f(x)  +  f(1x)  0

b) Các quy t c ắc tìm giới hạn vô cực

Quy tắc 1: f(x)  

 f(x) g(x)   g(x)  L (L  0)

Quy tắc 2: f(x)  L (L  0)

 gf((xx))   g(x)  0 (g(x)  0)

Chú ý: Dấu + hoặc - tùy thuộc vào f(x); g(x) hoặc L

1 Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa: f liên tục tại xo  xlimxof(x) = f(xo)

Hàm số không liên tục tại xo được gọi là gián đoạn tại xo

2 Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

a) Định nghĩa:

f liên tục trên khoảng (a, b)  f liên tục tại mọi x  (a, b)

+ f liên tục trên khoảng (a, b) f liên tục trên đoạn [a, b]  + xlimaf(x)

Định lý 2: (Định lý về giá trị trung gian)

Giả sử f liên tục trên đoạn [a, b], nếu f(a)  f(b) thì mọi sốthực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c  (a, b) saocho f(c) = M

Hq: Nếu f liên tục trên [a, b] mà f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít

nhất một điểm c  (a, b) sao cho f(c) = 0

IV ĐẠO HÀM

1 Đạo hàm tại một điểm

f'(xo) = lim (xx) x(x ) limx 0 (xo xx) (xo) limx 0 xy

o

o x

Chú ý: f có đạo hàm tại xo  f liên tục tại x.

3 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

f'(xo) là hsg của tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) tại điểm

Mo(xo, f(xo)) thuộc đồ thị

4 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) tại điểm

Mo(xo, f(xo)): y = f(xo)(x - xo) + f(xo)

5 Ý nghĩa cơ học của đạo hàm

Vận tốc tức thời tại thời điểm to (hay vận tốc tại to) củamột chuyển động có phương trình S = S(t) là v(to) = S'(to)

6 Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

f có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm f'(x) tại mọi x  J

Nếu f có đạo hàm trên J thì hàm số f': J  R.

x  f'(x) gọi là đạo hàm của f

7 Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

b) y = u.v  y' = u'v + v'u

Đặc biệt: y = k u  y' = k u' (k là hằng số)

Mở rộng: y = u.v.w  y' = u' v w + u.v'.w + u.v.w'

c) y = v 2

u ' v v ' u ' y v

1

y    

d) Đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số y = f(u(x)) ta có y'x = f'(u(x)) u'(x)

Trong thực hành ta thường viết y'x = y'u u'x

Hệ quả: 1) y = un  y' = n.un-1 u'

2) y = u  y ' 2u'u

' u ' y u

0

) x ( u

) x ( u sin lim o

u ' y u sin y

x cos ' y x sin y

u ' y u cos y

x sin '

y x cos y

x cos 1 '

y x tan y

2 2

y u cot y

x sin 1 '

y x cot y

2 2

8

I.QUAN HỆ SONG SONG

1 Cho a // b: mp(P) chứa a; mp(Q) chứa b nếu (P) cắt (Q)

theo giao tuyến d thì d// a, d // b hoặc d trùng với một trong haiđường thẳng đó

4 C/m (P) // (Q); Ta chứng minh trong mp này chứa hai

đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia

5 Cho (P) // (Q) Nếu (R) cắt (P) thì (R) phải cắt (Q) và

hai giao tuyến song song với nhau

6 Cho a chéo b, qua đường thẳng này ta dựng được duy

nhất một mặt phẳng song song với đường thẳng kia

7 Định lý Thales

a Định lý thuận: Ba mặt phẳng song song chắn trên hai

đường thẳng bất kỳ các đoạn tương ứng tỉ lệ

b Định lý đảo: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b trên

a ta lấy 3 điểm A, B, C; trên b ta lấy ba điểm D, E, F Nếu

§1 Vectơ trong không gian và sự đồng phẳng của các vectơ

1 Vectơ trong không gian: Vectơ và các phép toán về

vectơ trong không gian được định nghĩa hoàn toàn giống nhưtrong mặt phẳng vì vậy ta cần ôn lại các kiến thức đã học ở lớp

10, cụ thể:

+ Phép cộng hai vectơ; Quy tắc ba điểm; Quy tắc hìnhbình hành; Quy tắc hình hộp

+ Phép trừ hai vectơ; Quy tắc hiệu

+ Phép nhân một số với một vectơ, điều kiện để hai vectơcùng phương

+ Quy tắc trung điểm; Quy tắc trọng tâm (tam giác, tứ diện)+ Tích vô hướng của hai vectơ

+ Góc của hai vectơ

2) Sự đồng phẳng của các vectơ.Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

a ĐN: Ba vectơ đồng phẳng là ba vectơ có giá cùng song

song với một mặt phẳng (hoặc có giá nằm trên ba mặt phẳng)đôi một song song song hoặc trùng nhau)

10

b Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

, Về hình học: Từ 1 điểm O, ta vẽ OA  a ; OB  b;c

OC  : a , b, c đồng phẳng  4 điểm O, A, B, C cùng nằmtrên một mặt phẳng

Về đại số: Cho ba vectơ a , b, c

a) Nếu trong ba vectơ mà có hai vectơ cùng phương thì bavectơ đó đồng phẳng

b) Nếu a , b, không cùng phương thì a , b, c đồngphẳng  c = ma + nb

c Phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng:

Trong không gian, cho ba vectơ a , b, c không đông phẳng,khi đó mọi vectơ d đều phân tích được theo a , b, c nghĩa là

b) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một mặtphẳng

PP Ta chứng minh ba vectơAB , AC , AD đồng phẳngtức chứng minh AB  m AC  n AD

c) Chứng minh đường thẳng a // mp(P)

PP Trên đường thẳng a, ta lấy vectơ u; trên mp(P) ta lấyhai vectơ không cùng phương v và w rồi chứng minh u, v,

w đồng phẳng (tức u = mv + nw), sau đó chỉ ra một điểmcủa a không thuộc (P)

§2 Hai đường thẳng vuông góc

1 Góc giữa hai đường thẳng

2 Hai đường thẳng vuông góc: a  b  (a, b) = 90o

§3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

1 ĐN: a  (P)  a vuông góc với mọi đường thẳng của (P)

2 Định lý 1: nếu d vuông góc với hai đường thẳng cắt

nhau a và b thuộc (P) thì d  (P)

Hq: Một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam

giác thì nó vuông góc với cạnh thứ ba

3 Các tính chất

a) Có duy nhất một mp (P) đi qua một điểm O cho trước

và vuông góc với một đường thẳng  cho trước

b) Có duy nhất một dường thẳng  đi qua một điểm O chotrước và vuông góc với một mp(P) cho trước

4 Liên hệ giữa hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.



 a ) P ( b //

) P ( b

) P ( a

 a // b

Tính chất 4: a) 



 ( P ) d

) Q //(

) P (

P (

d )

Q (

d )

P (

) P ( d

) P // ( a

 d  a

12

b)  

 ) P ( d

) d ( )

P

5 Định lý ba đường vuông góc: Một đường thẳng nằm

trong mặt phẳng vuông góc với một đường xiên khi và chỉ khiđường thẳng đó vuông góc với hình chiếu cua đường xiên

Nếu a // (P) hoặc a  (P) thì góc của a và (P) là 0o

Nếu a cắt (P) tại I, trên đường thẳng a ta lấy 1 điểm M rồidựng MH  (P); góc MIH là góc của a và (P)

§4 Hai mặt phẳng vuông góc

1 Góc giữa hai mặt phẳng

a ĐN: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường

thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó

b Cách xác định góc của hai mặt phẳng

Nếu (P) // (Q) hoặc (P)  (Q) thì góc của (P) và (Q) là 0o

Nếu (P) cắt (Q) theo giao tuyến , ta dựng mp(R)  .(R) cắt (P) và (Q) theo hai giao tuyến a và b Lúc đó gócgiữa (P) và (Q) là góc giữa a và b

Định lý 1:Gọi S là diện tích của đa giác H

trong mp(P) và S' là diện tích hình chiếu

H' của H trên mp(P') thì S' = Scos, trong

a ĐN: Hai mặt phẳng vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90o.

b Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Định lý 2: Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng

vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuônggóc với nhau

c Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

Định lý 3: Nếu (P)  (Q) thì bất cứ đường thẳng nào nằm

trong mp này mà vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đềuvuông góc với mặt phẳng kia

Hq1: Nếu (P)  (Q); A  (P) , đường thẳng d qua A và

d  (Q) thì d  (P)

Hq2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với một

mặt thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt thứ ba.Hq3: Qua đường thẳng a không vuông góc với (P), có duynhất một mp(Q)  (P)

3 Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương

Bài toán: Tính độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật

khi biết độ dài ba cạnh xuất phát từ một đỉnh là a, b, c

ĐS: d  a 2  b 2  c 2

(a, b, c, gọi là ba kích thước của hình hộp chữ nhật)

H Độ dài đường chéo của hình lập phương cạnh a bằng bao nhiêu

Các mặt bên là các tam giác cân và bằng nhau

- Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau

- Góc giữa các mặt bên và mặt đáy bằng nhau

c Hình chóp cụt đều:

Khi cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song vớiđáy thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều

Trong một hình chóp cụt đều, ta có:

Hai dáy là hai đa giác đều và đồng dạng

Các cạnh bên kéo dài đồng qui tại 1 điểm đó là đỉnh củahình chóp đều được cắt ra để tạo nên hình chóp cụt đều

Các mặt bên là các hình thang cân và bằng nhau

Đoạn nối tâm của hai đáy là đường cao

§5 Khoảng cách

1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng

ĐN: Khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc

đường thẳng ) là khoảng cách giữa hai điểm M và H với H làhình chiếu của M trên (P) (hoặc trên )

2 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng song song.

ĐN:

. Khoảng cách giữa đường thẳng a // mp(P) là khoảng các

từ 1 điểm của đường thẳng a đến (P)

. Khoảng cách giữa mp(P) // mp(Q) là khoảng cách từ 1điểm của mp này đến mp kia

3 Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

a) Đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau a và b

Bài toán cho a chéo b Dựng đường thẳng c cắt a và bđồng thời c vuông góc với a và b.

đường thẳng phải dựng Gọi là đường

vuông góc chung của a và b

b) Khoảng cách giữa a và b là độ dài đoạn vuông góc chung AB của a và b.

Đặc biệt: Nếu a chéo b và a  b thì đường thẳng vuông

góc chung của a và b được dựng như sau:

b a

A

Cách 2: Ta chứng minh đường thẳng này vuông góc với

mặt phẳng chứa đường thẳng kia

PP: Ta dựng hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng vuông

góc  trong đó ít nhất phải có 1 đường thẳng qua O Trong 2đường thẳng này, có 1 đường ta dựng trực tiếp trong mp(O; )còn đường kia ta dựng song song với một đường thẳng màđường thẳng này vuông góc với 

Vd1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy

là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với

đáy Dựng thiết diện của hình chóp với mp



PP Ta chứng minh AB, AC, AD cùng vuông góc với một

đường thẳng nào đó Khi dó AB,AC, AD cùng thuộc mp qua A

và vuông góc với đường thẳng đó

Đề 1:

Câu 1: Một cấp số cộng hữu hạn có số hạng đầu bằng 5;

công sai d = 2; số hạng cuối bằng 23 Tính tổng tất cả các sốhạng của cấp số cộng đó

Câu 2: Tìm các giới hạn sau;

1) lim( n  1  n )l

2)

2 x x

1 x 2 2 x

g(x) = 14 cos4x

Chứng minh f'(x) = g'(x)

Câu 4: Cho hàm số y = x3 + 2x2 + 1 Viết phương trình tiếptuyến với đồ thị trong mỗi trường hợp sau:

a) Hoành độ tiếp điểm bằng 1

b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -x + 2

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình vuông

cạnh a, cạnh bên SA = a và SA  (ABCD)

a) Chứng minh mp(SBC)  mp(SAB)

b) Tính góc của SC và mp(SAB)

3) Gọi B', C', D' lần lượt là hình chiếu của A là SB, SC,

SD Chứng minh 4 điểm A, B', C', D' cùng nằm trong một mặtphẳng và B'D' // BD

18

Đề 2:

Câu 1: Chứng minh 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) =

3

) 2 n )(

1 n (

Câu 2:

a) Tìm

2 x

2 x 2 x lim

2 2

Câu 4:

a) Chứng minh phương trình 2cosx + (m + 1)sinx -1 = 0

có nghiệm trên đoạn [-1, 4]

2) Cho hàm số y =

x 1

1 x 2

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh a,

góc BAD = 60o; các cạnh bên SB, SC, SD bằng nhau và bằng

n cos lim

2)

1 x 2

3 x lim 3

a) Cho hai hàm số f(x) = x12 và g(x) =

x

x 2

viết phươngtrình tiếp tuyến của hai đồ thị của hai hàm số đã cho tại giaođiểm của chúng Tính góc giữa hai tiếp tuyến đó

b) Cho f(x) =

1 n

x

3

x 2

x x

1 n 3

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tam giác

vuông tại B; SA  (ABC) cho SA = AB = a, BAC = 60o

1 U

n 1 n

a) Chứng minh dãy (Vn): Vn = Un + 2 là một cấp số nhânb) Xác định Un theo n

1

3 2

1 2 1

1 lim

2)

9 x

x ) 3 x (

3

x    

a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm

M có hoành độ xo = a  0

b) Tiếp tuyến tại xo = a cắt Ox tại A và Oy tại B Chứngminh rằng OAB có diện tích không đổi khi M di động trên đồthị của hàm số

Câu 4: Chứng minh rằng phương trình

x3 + 1000x2 + 0,1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm

Câu 5: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác

vuông tại C, CA = a, Cb = b, mặt bên ABB'A' là hình vuông.Gọi (P) là mặt phẳng qua C và vuông góc với AB'

a) Xác định thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi (P), thiếtdiện là hình gì

b) Tính diện tích thiết diện

22