Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dơng của n.. c Chu vi ∆ADE không đổi.. Đáp án và biểu điểm.
Trang 1Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2010 2011–
Môn thi: Toán 8 Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1: a) Tìm các số nguyên m, n thoả mãn
b) Đặt A = n3 + 3n2 + 5n + 3 Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dơng của n
c) Nếu a chia 13 d 2 và b chia 13 d 3 thì a2+b2 chia hết cho 13
Câu2 : Rút gọn biểu thức:
a) A=
) )(
(a b a c
bc
−
ca
−
ab
−
−
b) B =
3 3 3
6 6 6
1 1
2 1 1
x
x x x
x
x x
x
+ +
+
−
+
−
+
Câu 3: Tính tổng: S =
3 1
1 +
5 3
1 +
7 5
1 + … + 1
2009.2011
Câu 4: Cho 3 số x, y, z, thoả mãn điều kiện xyz = 2011 Chứng minh rằng biểu thức
sau không phụ thuộc vào các biến x, y, z :
2011x y z
xy 2011x 2011 yz y 2011 xz z 1 + +
Câu 5: Giải phơng trình:
69 x 67 x 65 x 63 x 61 x 5
1942 1944 1946 1948 1950
− + − + − + − + − = −
Câu 6: Cho ∆ABC tam giác đều, gọi M là trung điểm của BC Một góc ãxMy = 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lợt tại D và E Chứng minh :
a) BD.CE=
4
2
BC
b) DM, EM lần lợt là tia phân giác củaã BDE và ãCED
c) Chu vi ∆ADE không đổi
Đáp án và biểu điểm
Trang 2Câu Sơ lợc lời giải Biểu
điểm
1
a, Thực hiện chia n2 n 1
m
n 1
+ +
=
+ = n +
1
Để m nguyên với n nguyên khi n + 1 là ớc của 1 0.5 Hay n + 1 ∈{1; -1 } Khi đó : n + 1 = 1 ⇒ n = 0 ∈Z ( t/m)
n + 1 = -1 ⇒ n = -2 ∈ Z (t/m)
Với n = 0 ⇒ m = 1 Với n = -2 ⇒ m = - 3 Vậy 0.5
b, A = n3 + 3n2 + 3n +1 + 2n +2 = (n+ 1) 3 +2(n+1) =
Khi đó : 3(n+1) M 3
n( n +1) (n+ 2) là tích của 3 số nguyên dơng liên tiếp nên tồn tại một số là
a2 + b2 = ( 13k +2 )2 + ( 13q + 3) 2 = = 13( 13k2 +4k +13 q2 + 4q +1) M 13 1 2
(a b)(a c) (b c)(a b) (a c)(b c) − +
= … = (a b)(a c)(b c)
(a b)(a c)(b c)
b) Ta có:
6 1 x
x
2 3
3
(x ) 3(x )
Tử thức:
6 6 6
2 3
3
(x ) 3(x )
2 3
3
1 x x
3
Mộu thức:
3 3 3
3 3
Rút gọn ta có: B = 3 ( 1)
x
x+
4
3
S = 1(1 1 1 1 1 1 ) 1(1 1 ) 1005
2011 2011x xy xyz y yz 1 z zx + +
xy(xz z 1) 1 z zx 1 z zx 1 z zx
+ +
+ + + + + + + + = 1 không đổi
2
0.5 .⇔ (2011 – x) ( 1 1 1 1 1 )
1942 1944 1946 1948 1950 + + + + = 0 1
Trang 3⇔ 2011 - x = 0 ( vì 1 1 1 1 1 0
1942 1944 1946 1948 1950 + + + + > ) ⇔ x = 2011 0.5
6 Vẽ hình
a,Chứng minh BMD ∆ CEM ∆
Vì BM = CM = BC
2 ⇒ BD.CE =BC2
4
b, Chứng minh BMD ∆ ∆ MED
Từ đó suy ra Dˆ1 =Dˆ2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE
Chứng minh tơng tự ta có EM là tia phân giác của góc CED
c, Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC
Chứng minh DH = DI, EI = EK.
Chu vi bằng 2.AH
Kết luận….
0,5 2.5 1.5 1.5
3 1 2
x
y
E D
M C B
A