Gọi K là giao điểm của BO và AC.. Gọi M là trung điểm của BC.. Chứng minh rằng tam giác MPQ cân tại M.
Trang 1§Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn
N¨m häc 2010 2011–
M«n thi: To¸n 8 Thêi gian lµm bµi: 150 phót Câu 1 : Giải phương trình : a) x x−−12+x x−+43+(x−2)2.(4−x)
b) 6x2 - x - 2 = 0
Câu 2 : Cho x + y + z = 0
2 2 2
) ( ) ( ) (y z z x x y
z y x
− +
− +
−
+ +
Câu 3 : Chứng minh rằng không tồn tại x thỏa mãn :
a) 2x4 - 10x2 + 17 = 0 b) x4 - x3 + 2x2 - x + 1 = 0
Câu 4 : Cho tam giác ABC, điểm D nằm trên cạnh BC sao cho
2
1
=
DC
DB
; điểm O nằm trên đoạn AD sao cho
2
3
=
OD
OA
Gọi K là giao điểm của BO và AC Tính tỷ
số AK : KC
Câu 5 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trực tâm H Một đường thẳng qua H
cắt AB, AC thứ tự ở P và Q sao cho HP = HQ Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng tam giác MPQ cân tại M
hướng dẫn giải
Câu 1 (Bạn đọc tự giải)
Câu 2:
Từ x + y + z = 0 ⇒ x2 + y2 + z2 = - 2(xy + yz + zx) (1)
Ta có: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = 2(x2 + y2 + z2 ) - 2(xy + yz + zx) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = - 6(xy + yz + zx) (3)
Thay (1) và (3) vào biểu thức A ta có:
A = - 2(xy + yz + zx) 1
- 6(xy + yz + zx) = 3
Câu 3:
a) 2x4 - 10x2 + 17 = 0 ⇔2( x4 - 5x2 + 17
2 ) = 0 ⇔2(x4 - 2 5
2 x2 + 25
4 )2 + 9
2 = 0
⇔2(x2 - 5
2)2 + 9
2 = 0
Vì 2(x2 - 5
2)2 + 9
2 > 0 với mọi x nên không tồn tại x để 2x4 - 10x2 + 17 = 0 b) x4 - x3 + 2x2 - x + 1 = 0 ⇔(x2 + 1)(x2 - x + 1) = 0
Vì vế phải luôn dương với mọi x nên không tồn tại x để x4 - x3 + 2x2 - x + 1 = 0
Trang 2Câu 4:
Từ D kẻ DM // BK
áp dụng định lí Talét vào ∆AOK ta cĩ:
KM = OD = 2 (1)
Tương tự, trong ∆CKB thì: KM CD 1
CK = DB = 3 (2) Nhân (1) với (2) vế theo vế ta cĩ: AK 1
CK = 2 Câu 5
Gọi giao điểm của AH và BC là I
Từ C kẻ CN // PQ (N∈ AB),
Tứ giác CNPQ là hình thang, có H là trung điểm PQ,
hai cạnh bên NP và CQ đồng quy tại A nên K là
trung điểm CN ⇒ MK là đường trung bình của ∆
BCN
⇒ MK // CN ⇒ MK // AB (1)
H là trực tâm của ∆ABC nên CH⊥A B (2)
Từ (1) và (2) suy ra MK ⊥CH ⇒ MK là đường cao
của∆CHK (3)
Từ AH ⊥BC ⇒ MC⊥HK ⇒ MI là đường cao của ∆CHK (4)
Từ (3) và (4) suy ra M là trực tâm của ∆CHK⇒ MH⊥CN ⇒ MH⊥PQ
∆MPQ cĩ MH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên cân tại M
O
K M
C D
B A
I K N
M
Q
P H
C B
A