BT he thuc luong giac

Giá tr ị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt II.. cung tia cu ối của góc thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG.. Xét dấu của các biểu thức sau: a A = sinA+sinB+

I Giá tr ị lượng giác của góc (cung) lượng giác

1 Định nghĩa các giá trị lượng giác

sintan

coscot

sin

αα

αα

• sin(α+k2 ) sinπ = α • tan(α+kπ) tan= α

cos(α+k2 ) cosπ = α cot(α+kπ) cot= α

2 D ấu của các giá trị lượng giác

3 Giá tr ị lượng giác của các góc đặc biệt

3

32

1

12

5 Giá tr ị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

II Công th ức lượng giác

1 Công thức cộng

2 Công th ức nhân đôi

sin 2α =2sin cosα α

−

sin(a b+ ) sin cos= a b +sin cosb a

sin(a b− ) sin cos= a b−sin cosb a

cos(a b+ ) cos cos= a b −sin sina b

cos(a b− ) cos cos= a b+sin sina b

tan tantan( )

Góc đối nhau Góc bù nhau Góc ph ụ nhau

3 Công th ức biến đổi tổng thành tích

4 Công th ức biến đổi tích thành tổng

Công th ức hạ bậc Công th ức nhân ba (*)

2 2 2

1 cos2 sin

2

1 cos2 cos

2

1 cos2 tan

1 cos2

αα

αα

αα

α

−

= +

=

−

= +

3 3

3 2

sin3 3sin 4sincos3 4 cos 3cos

3tan tantan3

21

cung (tia cu ối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG

Bài 1 Xác định dấu của các biểu thức sau:

a) A = sin 50 cos( 300 )0 − 0 b) B = sin 215 tan0 21

7π

< < Xét dấu của các biểu thức sau:

a) A = cos(α π+ ) b) B = tan(α π− )

c) C = sin 2

5

πα

8

πα

−

Bài 4 Cho tam giác ABC Xét dấu của các biểu thức sau:

a) A = sinA+sinB+sinC b) B = sin sin sinA B C

c) C = cos cos cosA B C

VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)

Ta s ử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết

I Cho bi ết một GTLG, tính các GTLG còn lại

1 Cho bi ết sinα, tính cosα, tanα, cotα

• Từ sin2α +cos2α =1 ⇒ cosα = ± −1 sin2α

– N ếu α thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cosα = 1 sin− 2α – N ếu α thuộc góc phần tư II hoặc III thì cosα = − −1 sin2α

• Tính tan sin

cos

αα

2 Cho biết cosα, tính sinα, tanα, cotα

• Từ sin2α +cos2α =1 ⇒ sinα = ± −1 cos2α

– N ếu α thuộc góc phần tư I hoặc II thì sinα = 1 cos− 2α – N ếu α thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sinα = − −1 cos2α

• Tính tan sin

cos

αα

• Từ 12 1 tan2

1cos

• Tính sinα =tan cosα α

4 Cho bi ết cotα, tính sinα, cosα, tanα

II Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức

• Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức

• Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết

III Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG

Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi:

A2+B2 =(A B+ )2−2AB A4+B4 =(A2+B2 2) −2A B2 2

A3+B3 =(A B A+ )( 2−AB B+ 2) A3−B3 =(A B A− )( 2+AB B+ 2)

IV Tính giá tr ị của biểu thức bằng cách giải phương trình

• Đặt t=sin , 02x ≤ ≤ ⇒ t 1 cos2x t= Th ế vào giả thiết, tìm được t

Bi ểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính

• Thiết lập phương trình bậc hai: t2− + =St P 0 v ới S x y P xy= + ; = T ừ đó tìm x, y

Bài 1 Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:

a) cosa 4, 2700 a 3600

5

25

a) A=sin cosa a b) B=sina−cosa c) C=sin3a−cos3a

ĐS: a) 9

74

128

±

Bài 4 Cho tana−cota=3 Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A=tan2a+cot2a b) B=tana+cota c) C=tan4a−cot4a

V ẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết

S ử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết)

Bài 1 Tính các GTLG của các góc sau:

Bài 2 Rút gọn các biểu thức sau:

Bài 3 Rút gọn các biểu thức sau:

a) A sin( 328 ).sin 9580 0 0 cos( 508 ).cos( 1022 )0 0 0

e) E=sin 200+sin 400+sin 600+ + sin3400+sin3600 ĐS: E 0=

f) 2sin(7900+ +x) cos(12600− +x) tan(6300+x).tan(12600− x) ĐS: F= +1 cosx

V ẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác

S ử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác Trong khi bi ến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức

Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì:

A B C+ + =π và A B C

π

Bài 1 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin4x−cos4x = −1 2 cos2x

b) sin4x+cos4x = −1 2 cos sin2x 2x

c) sin6x+cos6x = −1 3sin cos2x 2x

d) sin8x+cos8x = −1 4sin cos2x 2x+2sin cos4x 4x

e) cot2x−cos2x =cos cot2x 2x

f) tan2x−sin2x = tan sin2x 2x

g) 1 sin+ x+cosx+tanx = +(1 cos )(1 tan )x + x

h) sin tan2x x+cos cot2x x+2sin cosx x = tanx+cotx

1 cos 1 (1 cos ) 2 cot

Bài 4 Rút gọn các biểu thức sau:

a) (1 sin )cot− 2x 2x+ −1 cot2x b) (tanx+cot )x 2−(tanx−cot )x 2

++ d) ( sinx a y− cos )a 2+( cosx a y+ sin )a 2

Bài 5 Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:

a) 3(sin4x+cos ) 2(sin4x − 6x+cos )6x ĐS: 1

b) 3(sin8x−cos ) 4(cos8x + 6x−2sin ) 6sin6x + 4x ĐS: 1

c) (sin4x+cos4x−1)(tan2x+cot2x+ 2) ĐS: –2

d) cos cot2x 2x+3cos2x−cot2x+2sin2x ĐS: 2

Bài 6 Cho tam giác ABC Chứng minh:

a) sinB=sin(A C+ ) b) cos(A B+ )= −cosC

V ẤN ĐỀ 5: Công thức cộng

sin(a b+ ) sin cos= a b + sin cosb a

sin(a b− ) sin cos= a b−sin cosb a

cos(a b+ ) cos cos= a b −sin sina b

cos(a b− ) cos cos= a b+ sin sina b

tan tantan( )

Bài 2 Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

a) tan khi sin 3,

Bài 3 Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:

a) A = sin 202 o+sin 1002 o+sin 1402 o ĐS: 32

b) B = cos 102 o+cos110o+cos 1302 o ĐS: 3

2c) C = tan 20 tan80o o+tan80 tan140o o+tan140 tan 20o o ĐS: –3

d) D = tan10 tan 70o o+tan 70 tan130o o+tan130 tan190o o ĐS: –3

Bài 4 Chứng minh các hệ thức sau:

a) sin(x y+ ).sin(x y− ) sin= 2x−sin2y

2sin( )tan tan

Bài 5 Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước:

a) 2 tana=tan(a b khi+ ) sinb=sin a cos a b( + )

b) 2 tana=tan(a b khi+ ) 3sinb=sin(2a b+ )

c) tan tana b 1 khi cos(a b) 2 cos(a b)

HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a

c) Khai tri ển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b

Bài 6 Cho tam giác ABC Chứng minh:

a) sinC=sin cosA B+sin cosB A

c) tanA+tanB+tanC=tan tan tan ( , ,A B C A B C≠90 )0

d) cot cotA B+cot cotB C+cot cotC A=1

e) tan tanA B tan tanB C tan tanC A 1

⇒ sin cos cosA B C sin2 A sin sin sinA B C

Bài 7 Cho tam giác A, B, C Chứng minh:

a) tanA+tanB+tanC ≥3 3,∀∆ABC nhọn

b) tan2A+tan2B+tan2C ≥9,∀∆ABC nhọn

c) tan6 A+tan6B+tan6C≥81,∀∆ABC nhọn

d) tan2 A tan2B tan2C 1

V ẤN ĐỀ 6: Công thức nhân Công th ức nhân đôi

sin 2α =2sin cosα α

−

Bài 6 Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

a) cos2 , sin 2 , tan 2 khi cos 5 , 3

π

b) cos2 , sin 2 , tan 2α α α khi tanα =2

c) sin , cos khi sin 2 4, 3

Bài 7 Tính giá trị của biểu thức sau:

a) A cos20 cos40 cos60 cos80= o o o o ĐS: 1

16

8c) C cos cos4 cos5

16f) G cos2 cos4 cos8 cos16 cos32

32h) H sin 5 sin15 sin 25 sin 75 sin85= o o o o o ĐS: 2

512i) I =cos10 cos20 cos30 cos70 cos800 0 0 0 0 ĐS: 3

256k) K 96 3 sin cos cos cos cos

1 cos2 sin

2

1 cos2 cos

2

1 cos2 tan

1 cos2

αα

αα

αα

α

−

= +

=

−

= +

3 3

3 2

sin3 3sin 4sincos3 4 cos 3cos

3tan tantan3

m) M sin cos cos

Bài 9 Chứng minh các hệ thức sau:

a) sin cos4 4x 3 1cos4x

V ẤN ĐỀ 7: Công thức biến đổi

1 Công thức biến đổi tổng thành tích

2 Công th ức biến đổi tích thành tổng

Bài 1 Biến đổi thành tổng:

a) 2sin(a b+ ).cos(a b− ) b) 2 cos(a b+ ).cos(a b− )

c) 4sin3 sin 2 cosx x x d) 4sin13x.cos cosx x

e) sin(x+30 ).cos(o x−30 )o f) sin sin2

g) 2sin sin 2 sin3 x x x h) 8cos sin 2 sin3x x x

i) sin x sin x cos2x

A sin10 sin 50 sin 70= B cos10 cos50 cos70= o o o

C =sin 20 sin 40 sin800 0 0 D=cos20 cos40 cos800 0 0

21

g) 1 sin 2 –cos2 –tan 2+ x x x h) sin (2 x+90 ) 3cos (o − 2 x−90 )o

i) cos5x+cos8x+cos9x+cos12x k) cosx+sinx+1

Bài 4 Rút gọn các biểu thức sau:

cos7 cos8 cos9 cos10

sin 7 sin8 sin 9 sin10

Bài 6 Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sin sin7 sin13 sin19 sin25

32b) 16.sin10 sin30 sin 50 sin 70 sin 90o o o o o ĐS: 1

c) cos24o+cos48o−cos84o−cos12o ĐS: 1

2d) cos2 cos4 cos6

a) tan 9o−tan 27o−tan 63o+tan81o = 4

b) tan 20o−tan 40o+tan80o =3 3

c) tan10o−tan 50o+tan 60o+tan 70o = 2 3

d) tan30o tan 40o tan 50o tan 60o 8 3.cos20o

3

e) tan 20o+tan 40o+tan80o+tan 60o =8sin 40o

f) tan 206 o−33tan 204 o+27tan 202 o− = 3 0

x P

x

sin .

2 sin2

a) cotx−tanx−2 tan 2x =4 cot 4x b) x x

cos4 sin 2 cos2

−

+e) tan 6x−tan 4x−tan 2x = tan 2 tan 4 tan 6x x x

+

= b) Cho tan(a b+ ) 3tan= a Chứng minh: sin(2a+2 ) sin 2b + a =2sin 2b

Bài 16 Cho tam giác ABC Chứng minh:

a) sinA sinB sinC 4 cos cos cosA B C

c) sin 2A+sin 2B+sin 2C =4sin sin sinA B C

d) cos2A+cos2B+cos2C = − −1 4 cos cos cosA B C

e) cos2A+cos2B+cos2C = −1 2 cos cos cosA B C

f) sin2A+sin2B+sin2C = +2 2 cos cos cosA B C

Bài 17 Tìm các gĩc của tam giác ABC, biết:

a) B C vàsin sinB C 1

Bài 18 Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC vuơng:

a) cos2A+cos2B+cos2C= −1 b) tan 2A+tan 2B+tan 2C =0

cos +cos =sin sin d)

B a c b

cot2

+

=

Bài 19 Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân:

a) atanA btanB (a b)tan A B

2

++ = + b) 2 tanB+tanC=tan tan2B C

2 = sin

Bài 20 Chứng minh bất đẳng thức, từ đĩ suy ra điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC đều: a) sinA sinB sinC 3 3

2+ + ≤ HD: C ộng sinπ3 vào VT

b) cosA cosB cosC 3

c) tanA+tanB+tanC≥3 3 (với A, B, C nhọn)

d) cos cos cosA B C 1

8

≤ HD: Biến đổi cos cos cosA B C 1

8

− về dạng hằng đẳng thức

BÀI T ẬP ÔN CHƯƠNG VI

Bài 11 Chứng minh các đẳng thức sau:

1 cos 1 cos 4 cot

1 cos 1 cos sin

Bài 12 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

a) 3(sin4x+cos ) 2(sin4x − 6x+cos )6x

b) cos6x+2sin4xcos2x+3sin2xcos4x+sin4x

c) cos x cos x cos x cos x 3

sin 2 +sin 4 +sin8 +sin16 = −

Bài 14 a) Chứng minh: tanα =cotα−2 cot 2α

b) Chứng minh: 1tanx 12 tan x2 1n tan x n 1n cot x n cotx

Bài 18 a) Chứng minh: cos sin 2

2sin

αα

α

n n

x

2

sincos cos cos

2

Bài 19 Đơn giản các biểu thức sau:

a) A tan3 tan17 tan 23 tan37 tan 43 tan 57 tan 63 tan 77 tan83= o o o o o o o o o

b) B cos2 cos4 cos6 cos8

e) tan30o tan 40o tan 50o tan 60o 8 3cos20o

g) tan 20o+tan 40o+ 3.tan 20 tan 40o o = 3

h) cos cos3 cos9 1

sin 2

−

b) Áp dụng tính: S tan2 tan23 tan25

Bài 24 Không dúng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau:

a) sin18 , cos18 0 0 b) A=cos 18 sin 362 0 2 0−cos36 sin180 0

a) Nếu cos(a b+ ) 0= thì sin(a+2 ) sinb = a

b) Nếu sin(2a b+ ) 3sin= b thì tan(a b+ ) 2 tan= a

Bài 26 Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:

a) bcosB c+ cosC a= cos(B C− ) b) S=2R2sin sin sinA B C

c) 2S R a= ( cosA b+ cosB c+ cos )C d) r 4 sin sin sinR A B C