Dạy học đa thức bậc ba và các hệ thức lượng giác liên quan cho học sinh khá, giỏi

17 1.3.4 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua việc dạy học môn toán nhằm phát huy năng lực, phẩm chất của học sinh 21 1.3.5 Thực trạng của quá trình dạy và học nội dung đa thức bậc ba và

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRẦN ĐỨC HẬU

DẠY HỌC ĐA THỨC BẬC BA VÀ CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC LIÊN QUAN CHO HỌC SINH

KHÁ, GIỎI

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - NĂM 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRẦN ĐỨC HẬU

DẠY HỌC ĐA THỨC BẬC BA VÀ CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC LIÊN QUAN CHO HỌC SINH

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - NĂM 2016

LỜI CẢM ƠNBản luận văn này được hoàn thành đánh dấu một mốc quan trọng trongcông việc học tập và nghiên cứu khoa học của tác giả Nhân dịp này, tác giảgửi lời cảm ơn chân thành nhất đến những người thân yêu, gia định ban bè

và đồng nghiệp đã luôn ửng hộ, động viên, chia sẻ, tạo điều kiện, giúp đỡtrong quá trình nghiên cứu thực hiện đề tài

Bản luận văn cũng là lời chi ân sâu sắc của tác giả gửi tới các thầy côgiáo đã giảng dạy và giúp đỡ trong quá trình học tập tại trường Đại họcGiáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt tới GS.TSKH Nguyễn VănMậu người đã trực tiếp hướng dẫn, truyền cho tác giả những kinh nghiệmquý báu trong học tập và nghiên cứu; thầy Nguyễn Bá Đang (Hà Nội) đãđộng viên, khích lệ, định hướng, giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn này.Nội dung của công trình nghiên cứu, giảng dạy cho đối tượng là họcsinh khá giỏi các trường THPT và học sinh chuyên toán nên chắc chắnkhông tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được nhiều ý kiếnđóng góp của các thầy, cô giáo, các bạn đồng nghiệp để bản luận văn đưọchoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 20 tháng 06 năn 2016

Tác giả

Trần Đức Hậu

Mục lục

1.1 Lịch sử bồi dưỡng học sinh giỏi 7

1.1.1 Thi học sinh giỏi toán quốc tế 7

1.1.2 Thi học sinh giỏi và bồi dưỡng học sinh giỏi ở Việt Nam 8 1.1.3 Những thuận lợi và khó khăn trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi đối với các trường THPT không chuyên và các lớp chọn trong trường THPT chuyên 9

1.2 Tư duy 10

1.2.1 Khái niệm 10

1.2.2 Đặc điểm của tư duy 10

1.2.3 Những phẩm chất của tư duy 12

1.2.4 Các thao tác của tư duy 12

1.2.5 Vấn đề phát triển năng lực của tư duy 13

1.2.6 Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển 14

1.3 Tư duy sáng tạo 14

1.3.1 Một số công trình trong nước nghiên cứu tư duy sáng tạo 14

1.3.2 Tư duy sáng tạo 16

1.3.3 Cấu trúc của tư duy sáng tạo 17

1.3.4 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua việc dạy học môn toán nhằm phát huy năng lực, phẩm chất của học sinh 21 1.3.5 Thực trạng của quá trình dạy và học nội dung đa thức bậc ba và các hệ thức lượng giác liên quan 24

2 Đa thức bậc ba và các hệ thức trong tam giác 27 2.1 Đa thức bậc ba 27

2.1.1 Công thức nghiệm của phương trình bậc ba 27

2.1.2 Định lí Viete 36

2.1.3 Định lí về sự tồn tại các nghiệm thực và tính chất nghiệm 40 2.1.4 Sử dụng dạng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba 42

2.2 Đa thức bậc ba với các yếu tố cạnh trong tam giác 46

2.2.1 Phương trình bậc ba theo độ dài các cạnh trong tam giác 46

2.2.2 Phương trình bậc ba theo độ dài các tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp tam giác 49

2.3 Đa thức bậc ba với các yếu tố bên trong của tam giác 50

2.3.1 Phương trình bậc ba theo đường cao trong tam giác 50 2.3.2 Phương trình bậc ba theo bán kính đường tròn bàng tiếp trong tam giác 52

2.3.3 Phương trình bậc ba theo các hàm số lượng giác trong tam giác 54

2.3.4 Xây dựng các đẳng thức trong tam giác 64

2.3.5 Xây dựng các bất đẳng thức trong tam giác 65

3 Thực nghiệm sư phạm 71 3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 71

3.1.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm 71

3.1.2 Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 71

3.2 Phương pháp thực nghiệm 71

3.3 Nội dung và tổ chức thực nghiệm 72

3.3.1 Chọn nội dung thực nghiệm 72

3.3.2 Tổ chức thực nghiệm 72

3.3.3 Nội dung dạy thực nghiệm và đề kiểm tra 73

3.4 Kết quả thực nghiệm sư phạm 81

3.4.1 Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm 81

3.4.2 Kết quả thực nghiệm sư phạm 82

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 4 tháng 11 năm 2013, Hội nghị lầnthứ 8 Ban Chấp hành Trung ương Đảng khoá XI về đổi mới căn bản, toàndiện giáo dục và đào tạo nêu rõ " Đối với giáo dục phổ thông, tập trung pháttriển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất năng lực công dân, phát huy vàbồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Phát triển khảnăng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời" Nhiệm vụ của dạyhọc môn Toán là trang bị những kiến thức cơ bản cần thiết cho học sinh, từ

đó phát triển những năng lực tư duy sáng tạo, năng lực tự học Toán, nănglực tính toán, và qua đó hình thành và phát triển phẩm chất con người mớiđáp ứng yêu cầu ngày càng cao trong xã hội ngày nay

Để tạo ra những con người lao động mới, một năng lực không thể thiếu

đó là năng lực sáng tạo Khi đó cần phải có những phương pháp dạy học phùhợp để khơi gợi và phát huy năng lực người học " Tiếp tục đổi mới mạnh mẽphương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tích cực, chủ động,sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyềnthụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ,khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức,

kỹ năng, phát triển năng lực Chuyển từ học chủ yếu trên lớp sang hình thức

tổ chức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khoá, nghiên cứukhoa học" (Nghị quyết 29, Trung ương lần thứ 8, BCHTƯ khoá XI) Vì vậy,nhiệm vụ của người dạy là mở rộng trí tuệ, hình thành năng lực, kỹ năng vàđịnh hướng phát triển phẩm chất cho học sinh, chứ không phải làm đầy trítuệ cho học sinh bằng cách truyền thụ tri thức đã có Việc mở rộng trí tuệđòi hỏi người dạy phải vận dụng các phương pháp dạy học tích cực kết hợpvới các phương pháp dạy học truyền thống để định hướng cho học sinh pháttriển năng lực sáng tạo giải quyết vấn đề trong điều kiện cụ thể và tình hìnhthực tế cuộc sống, góp phần nhỏ bé của các nhân xây dựng nước Việt Nam

XHCN trong thời kỳ mới.

Việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán cấp THPT không thể thiếu nội dung

về đa thức, hệ thức lượng trong tam giác Khi học sinh có kiến thức cơ bản,cần thiết về đa thức, hệ thức lượng giác, thông qua phương pháp giảng dạycủa người thầy định hướng được năng lực phát triển tư duy sáng tạo Từ đóhình thành năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo ra những bài toán mới.Khác với các công trình nghiên cứu khác, người dạy đi sâu vào nghiên cứu,phân tích một bài toán cụ thể với nhiều cách giải Công trình này đạt đượckết quả đó và xuất phát nguồn gốc của vấn đề, từ đó sáng tạo những nộidung mới

Nhận thức được tầm quan trọng của vấn đề nêu trên, tác giả chọn đềtài: "Dạy học đa thức bậc ba và các hệ thức lượng giác liên quan cho họcsinh khá, giỏi" làm luận văn tốt nghiệp của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

Đề xuất những biện pháp cần thiết nhằm giúp cho học sinh định hướnggiải quyết được một lớp các bài toán về ứng dụng của phương trình bậc batạo ra một số hệ thức lượng trong tam giác

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu cuộc thi học sinh giỏi toán quốc tế (IMO), cuộc thi học sinhgiỏi các cấp trong nước

Nghiên cứu tài liệu làm sáng tỏ một số vấn đề cơ bản của tư duy, đặcbiệt là tư duy sáng tạo

Nghiên cứu những biểu hiện của tư duy sáng tạo của học sinh THPT,đặc biệt là học sinh của các trường THPT chuyên và các trường THPT chấtlượng cao; sự cần thiết phải rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thôngqua việc giải quyết vấn đề và sáng tạo ra những bài toán mới

Tìm hiểu thực trạng của việc dạy các hệ thức lượng trong tam giác trongtrường THPT cho học sinh khá, giỏi (lý thuyết và ví dụ phần đa thức chủyếu là cơ sở để giải quyết những nội dung về hệ thức lượng giác trong tamgiác)

Đề xuất biện pháp cần thiết rèn tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏithông qua việc phát triển những kiến thức cơ bản đã có để có những hệ thứcmới về lượng giác trong tam giác

Tổ chức dạy thực nghiệm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của

đề tài

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu.

Lớp 12T1, 12T2 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong và lớp 12A1,12A2 trường THPT xây dựng trung tâm CLC Trần Hưng Đạo, tỉnh NamĐịnh

5 Phạm vi nghiên cứu

Kiến thức về Đa thức bậc ba, đặc biệt các định lý về nghiệm, định lýViete; hệ thức lượng trong tam giác

6 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các tài liệu về giáo dục học, tâm lýhọc, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, sách tham khảo, tạp chí,đặc san, các văn bản chỉ đạo của Bộ, Nghị quyết 29-NQ/TW có liên quanđến logic học, tư duy sáng tạo, các phương pháp tư duy sáng tạo, các phươngpháp nhằm phát triển và rèn luyện tư duy sáng tạo, năng lực, phẩm chấtcho học sinh khá giỏi

Nội dung của luận văn chú ý nghiên cứu sâu việc phát triển tư duy sángtạo và định hướng phát triển năng lực cho học sinh khá giỏi thông qua việc

"Dạy học đa thức bậc ba và các hệ thức lượng giác liên quan cho học sinhkhá, giỏi"

7 Giả thuyết khoa học

Thông qua hệ thống các hệ thức cơ bản đã được xậy dựng và định hướngxây dựng bài toán mới nhằm rèn cho học sinh tư duy sáng tạo, khả năng tựhọc, tự nghiên cứu, lòng say mê toán học, khuyến khích học tập suốt đời

8 Đóng góp mới của đề tài

Đề tài sử dụng làm chuyên đề giảng dạy cho các trường THPT chuyên

và các trường THPT xây dựng trung tâm chất lượng cao

9 Cấu trúc của luận văn

Cấu trúc của luận văn gồm ba phần: Phần mở đầu, phần nội dung vàphần kết luận

Nội dung luận văn gồm ba chương:

- Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

- Chương 2 Đa thức bậc ba và các hệ thức trong tam giác

- Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

Cơ sở lí luận và thực tiễn

1.1 Lịch sử bồi dưỡng học sinh giỏi

Trên thế giới, việc lựa chọn những học sinh có năng khiếu về toán để đào tạo,bồi dưỡng nhằm phát huy tối đa khả năng tích cực, năng lực của người học đãđược nhiều nước quan tâm, chú trọng Ở một số nước châu Âu, các kỳ thi học sinhgiỏi toán được tổ chức thống nhất ở tất cả các cấp với đề thi thống nhất từ cơ sởđến toàn quốc, như ở Bungari, CHDC Đức; vòng 1-cấp cơ sở, vòng 2-cấp huyện,vòng 3-cấp tỉnh, vòng 4-vòng chung khảo toàn quốc Để có một sân chơi khoa học

bổ ích về toán nhằm giao lưu, học hỏi, đào tạo bồi dưỡng năng khiếu cho học sinh,một số nước họp lại với nhau tổ chức kỳ thi học sinh giỏi quốc tế cấp trung họcphổ thông (International Mathematical Olympiad) viết tắt là IMO Kỳ thi lần đầutiên được tổ chức ở Rumani năm 1959, với sự tham gia của 7 quốc gia Đông Âu:Rumani, Bulgaria, Tiệp Khắc, Đông Đức, Hungary, Ba Lan và Liên Xô Trong giaiđoạn đầu, IMO chủ yếu là cuộc thi của các quốc gia thuộc hệ thống XHCN vàđịa điểm tổ chức chỉ trong phạm vi các nước Đông Âu Từ năm 1970, số lượngcác đoàn tham gia bắt đầu tăng lên nhanh chóng, IMO thực sự trở thành một kỳthi quốc tế về toán cho học sinh giỏi cấp trung học phổ thông của các quốc gia.Cho tới nay, cuộc thi được tổ chức liên tục, hàng năm (trừ năm 1980) kỳ thi có sốlượng đoàn tham gia đông nhất là IMO 2011 tổ chức tại Amsterdam, Hà Lan với

101 đoàn tham dự

Mỗi đoàn tham dự được phép có tối đa 6 thí sinh, một trưởng đoàn, một phóđoàn và các quan sát viên Theo quy định, thí sinh tham gia phải dưới 20 tuổi vàtrình độ không vượt quá cấp THPT (Secondary school hay high school trong tiếng

Anh, lyce’e trong tiếng Pháp) Việt Nam lần đầu tham dự năm 1974 đã đạt ngayđược kết quả đáng tự hào.

Để có học sinh tham dự kỳ thi IMO, các quốc gia tham dự đều tổ chức chọnlựa, đào tào bồi dưỡng học sinh theo đặc thù riêng của từng quốc gia Những đoànthường đạt được những thành tích cao như Mỹ, Nga, Trung Quốc, Hàn Quốc ViệtNam thường lọt vào trong top 10 của kỳ thi

Kỳ thi học sinh giỏi các cấp nhằm động viên, khuyến khích người dạy vàngười học phát huy năng lực sáng tạo, dạy giỏi, học giỏi; góp phần thúc đẩy việccải tiến, nâng cao chất lượng dạy và học, chất lượng công tác quản lí, chỉ đạo củacác cấp quản lý giáo dục; đồng thời phát hiện người học có năng khiếu về môn học

để tạo nguồn bồi dưỡng, thực hiện mục tiêu đào tạo nhân tài cho địa phương, đấtnước

Kỳ thi học sinh giỏi toán toàn quốc nhằm chọn những học sinh giỏi toánTHPT được tổ chức hàng năm, lần đầu tiên vào năm học 1961-1962 Từ 1962 đếnnăm 1975 kỳ thi chỉ được tổ chức cho miền Bắc; sau ngày giải phóng miền Nam,thống nhất đất nước, kỳ thi được tổ chức trong phạm vi toàn quốc Từ năm 1974đến nay, dựa trên kết quả kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, chúng ta đã chọn đội tuyểnhọc sinh Việt Nam tham dự thi vô địch toán quốc tế (IMO) và đã đạt được một

số kết quả đáng phấn khởi

Hàng năm, các nhà trường, các lớp đều lựa chọn, thành lập các đội tuyển họcsinh giỏi dự kỳ thi học sinh giỏi các cấp Để đạt được những mục đích nêu trên,một khâu quan trọng đó công tác đào tạo và bồi dưỡng học sinh

Bồi dưỡng học sinh giỏi nói chung, bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán nói riêng

là quá trình chuẩn bị những kiến thức có hệ thống, môi trường giáo dục thuận lợi,người thầy sử dụng các phương pháp dạy học hiệu quả tác động vào trò nhằmnâng cao trình độ, kỹ năng cho học sinh và bằng sự nỗ lực, cố gắng của học sinhđạt được năng lực đặc biệt, vận dụng nó vào giải quyết những bài toán thực tếcuộc sống

Trong quá trình bồi dưỡng, để phát huy hiệu quả các loại tư duy, đặc biệt là

tư duy sáng tạo thì người thầy có vai trò hết sức quan trọng; nắm bắt năng lựcsẵn có của học sinh, tác động có chủ đích của người thầy để học sinh phát huy cao

nhất năng lực sẵn có bằng phương pháp học tập, nghiên cứu, biết tự đánh giá, tựtìm kiếm, thu thập tài liệu, xử lý thông tin nhằm mục đích chuyển từ quá trìnhhọc, bồi dưỡng sang quá trình tự học, tự bồi dưỡng.

sinh giỏi đối với các trường THPT không chuyên và các lớp chọn trong trường THPT chuyên

Thuận lợi

Đối với các trường THPT chuyên, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi theohướng thi học sinh giỏi cấp quốc gia được quy định trong Điều lệ trường THPTchuyên Các trường được sự đầu tư về cơ sở vật chất, trang thiết bị, đội ngũ giáoviên, chương trình theo chuẩn Các giáo viên thường xuyên được tập huấn, traođổi, thảo luận về chuyên môn do Bộ GDĐT hoặc các Sở GDĐT trong cùng khuvực tổ chức

Đối với các trường trong lộ trình xây dựng trung tâm chất lượng cao củatỉnh Nam Định, được sự quan tâm của Tỉnh uỷ, HĐND, UBND và trực tiếp là

Sở GDĐT đã tạo điều kiện bước đầu về cơ sở vật chất, đội ngũ mũi nhọn ở cácmôn Cho phép các trường có học sinh tham gia chọn đội tuyển HSG cấp quốcgia

• Quy chế ưu tiên cho HSG nói chung chưa có (chỉ có cho HSG đoạt giải cấpquốc gia) Do đó, học sinh chưa yên tâm, chưa đầu tư hết thời gian công sứccho các môn mình có thế mạnh mà đầu tư theo khối thi đại học

• Phần nhiều kiến thức còn xa lạ, nhiều kiến thức không có trong chương trình

sách giáo khoa, đặc biệt là các môn thuộc lĩnh vực KHTN Do đó, việc tiếpcận đối với học sinh gặp nhiều khó khăn.

Theo từ điển bách khoa toàn thư Việt Nam [22]: "Tư duy là sản phẩm caonhất của cái vật chất được tổ chức một cách đặc biệt vào não, quá trình phản ánhtích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận Tư duyxuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất của con người và bảo đảm phản ánhthực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối quan hệ hợp quy luật với thựctại"

Theo quan điểm Tâm lý học [4]: "Tư duy là một quá trình tâm lý thuộc nhậnthức lý tính, là một mức độ nhận thức mới về chất so với cảm giác và tri giác Tưduy phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ có tínhquy luật của sự vật, hiện tượng mà trước đó ta chưa biết."

Vậy, tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi sâu vào bản chất vàphát hiện ra tính quy luật của sự vật, hiện tượng bằng những hình thức như biểutượng, phán đoán, suy lý

Tính có vấn đề: Khi gặp những tình huống mới, với trình độ, kiến thức,phương pháp đã biết ta không thể giải quyết được vấn đề, ta rơi vào "Tình huống

có vấn đề"; ta có xu hướng bằng mọi cách thoát khỏi hiểu biết cũ để đạt đượcnhững cái mới, tức là chúng ta phải tư duy

Tính khái quát: Tư duy luôn mang tính khái quát do khả năng phản ánh

những thuộc tính chung, những mối liên hệ có tính quy luật của hàng loạt các sựvật hiện tượng.

Tính độc lập tương đối của tư duy: Trong cuộc sống, con người bắt buộcphải giao tiếp, trao đổi thông tin, tư duy biến đổi trong quá trình hoạt động củabản thân, đồng thời chịu sự tác động biến đổi từ tư duy của đồng loại thông quanhững hoạt động mang tính vật chất Do đó, tư duy không chỉ gắn với bộ não củatừng cá thể mà còn gắn với sự tiến hoá của xã hội, trở thành sản phẩm mang tính

xã hội trong khi vẫn giữ được tính cá thể của một con người nhất định Vậy mặc

dù bị ảnh hưởng tác động của môi trường nhưng tư duy vẫn mang tính độc lậptương đối

Mối quan hệ giữa tư duy và ngôn ngữ: Con người sống, hoạt động cónhu cầu giao tiếp, tiếp nhận thông tin đó chính là điều kiện để phát sinh ngônngữ Ngay ban đầu xuất hiện tư duy đã gắn liền với ngôn ngữ và tư duy được thựchiện truyền tải thông qua ngôn ngữ Do vậy, ngôn ngữ chính là vỏ của tư duy Sự

ra đời của ngôn ngữ đánh dấu bước phát triển của tư duy và từ đó tư duy phụthuộc vào ngôn ngữ

Mối quan hệ giữa tư duy và nhận thức: Nhận thức là những cảm giác,tri giác và biểu tượng được phản ánh từ thực tiễn thế giới khách quan với nhữngthông tin về hình dạng, hiện tượng bên ngoài được phản ánh một cách riêng lẻ

Do vậy, tư duy là công cụ, là nguyên nhân, là kết quả của nhận thức, đồng thời

là sự phát triển cấp cao của nhận thức Ở giai đoạn đầu của quá trình nhận thức

có được tư duy cụ thể; phát triển lên nữa, kết hợp với ngôn ngữ hoạt động tư duytiến hành các thao tác so sánh, phân tích tổng hợp, khu biệt, quy nạp những thôngtin đơn lẻ gắn chúng vào đúng sự vật để tìm ra nội dung và bản chất của sự vật,hiện tượng, quy nạp nó thành các khái niệm, phạm trù, định luật Lúc này đượcgọi là giai đoạn tư duy trừu tượng

Chẳng hạn, học sinh đã được định hướng có được công thức

cos A + cos B + cos C = 1 + r

R

Một cách rất tự nhiên học sinh đi tìm những công thức nào liên quan đến tỷ

số r

R hoặc liên quan đến cos A + cos B + cos C

Lúc này học sinh phải tổng hợp, đối chiếu, phân tích tức là phải tư duy đếncông thức cos A + cos B + cos C ≤ 3

2 và kết hợp với kiến thức vừa biết đi so sánh

R ≥ 2r.

Đây cũng chính là thực hiện tư duy sáng tạo ta sẽ nghiên cứu lý luận cụ thể ởphần sau

Khả năng định hướng: Ý thức nhanh chóng, chính xác đối tượng cần lĩnhhội, mục đích phải đạt được và những con đường tối ưu để đạt được mục đích đó

Bề rộng: Có khả năng vận dụng nghiên cứu các đối tượng khác

Độ sâu: Nắm vững ngày càng sâu sắc hơn bản chất của sự vật, hiện tượng.Tính linh hoạt: Nhạy bén trong việc vận dụng những tri thức vào hoạt động

và những tình huống khác nhau một cách sáng tạo

Tính mềm dẻo: Thể hiện ở hoạt động tư duy được tiến hành theo các hướngxuôi hoặc ngược chiều

Tính độc lập: Thể hiện ở chỗ tự mình phát hiện những vấn đề, đề xuất cáchgiải quyết và tự giải quyết được vấn đề

Tính khái quát: Khi giải quyết một vấn đề nào đó, sẽ đưa ra được mô hìnhkhái quát, trên cơ sở đó có thể vận dụng để giải quyết các vấn đề tương tự, cùngloại

Phân tích-tổng hợp: Theo Nguyễn Cảnh Toàn [20]: Phân tích là một chỉnhthể tách ra thành nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận.Tổng hợp là nhìn bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mốiliên hệ giữa các bộ phận của chỉnh thể và chính chỉnh thể đó với môi trường xungquanh

Phân tích, tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ cơ bản của quá trình tư duy.Những hoạt động trí tuệ đều diễn ra trên nền tảng của phân tích và tổng hợp.Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời nhau, chúng là sựthống nhất biện chứng giữa hai mặt đối lập

So sánh và tương tự:

So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau và khác nhau giữacác sự vật, hiện tượng Muốn so sánh hai sự vật, hiện thượng ta phải phân tích

dấu hiệu, các thuộc tính của chúng, đối chiếu các thuộc tính đó với nhau rồi tổnghợp lại xem hai sự vật, hiện tượng có cái gì giống và khác nhau.

Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấuhiệu, rút ra hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác Do đó, tương tự là

sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở mức độ nào đó

Khái quát hoá, đặc biệt hoá, trừu tượng hoá:

Theo các tác giả [7]: "Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng lớnhơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung các phần tửtrong tập hợp xuất phát"

Theo Polya [24]: "Khái quát hoá là việc chuyển từ việc nghiên cứu một tậphợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tậphợp ban đầu"

Như vậy, có thể hiểu khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc biệtđến cái chung, hoặc từ một tổng quát đến một tổng quát lớn hơn Trong toán học,người ta thường khái quát hoá một yếu tố hoặc nhiều yếu tố của khái niệm, định

lý, bài toán thành những kết quả tổng quát

Đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược với khái quát hoá

Mối quan hệ giữa đặc biệt hoá và khái quát hoá thường được vận dụng trongtìm tòi, giải toán, sáng tạo ra những bài toán mới

Trừu tượng hoá là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những mặt, những thuộctính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cầnthiết cho tư duy

Theo Hoàng Chúng [2]:" Trừu tượng hoá và khái quát hoá liên hệ chặt chẽvới nhau Nhờ trừu tượng hoá ta có thể khái quát hoá rộng hơn và nhận thức sựvật sâu sắc hơn Ngược lại, khái quát hoá đến một mức nào đó giúp ta tách đượcnhững đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất, tức là đã trừutượng hoá Trừu tượng hoá là một hoạt động tư duy, hoạt động này của bộ nãocon người có thể hướng tới bất kỳ vấn đề gì của khoa học nói chung và toán họcnói riêng"

Phát triển năng lực tư duy, đặc biệt là tư duy toán học cho học sinh là rấtcần thiết, nó giúp cho học sinh thông hiểu kiến thức một cách sâu sắc, không máy

móc, thói quen, biết vận dụng kiến thức vào bài tập, cao hơn nữa là biết vận dụngnhững kiến thức đã học vào giải quyết những bài toán thực tế Chỉ thực sự lĩnhhội được tri thức khi có tư duy tích cực của bản thân học sinh và sự hướng dẫn,định hướng của giáo viên, khi đó học sinh mới biết phân tích, khái quát sự vật vàrút ra được những kết luận cần thiết.

Muốn phát triển năng lực tư duy, ta phải xây dựng nội dung dạy học sao chonội dung không được "Thích nghi, thoả mãn" với trình độ sẵn có của học sinh màđòi hỏi học sinh phải có trình độ phát triển cao hơn, có phương thức hoạt độngtrí tuệ phức tạp hơn Khi đó học sinh luôn tìm tòi và tư duy để đạt được trình độmới

Có khả năng tự chuyển tải tri thức và kỹ năng sang một tình huống mới.Trong quá trình học tập, học sinh phải giải quyết vấn đề, đòi hỏi liên tưởng, táihiện những kiến thức học trước đó Nếu học sinh chuyển tải, vận dụng vào tìnhhuống mới thì chứng tỏ có biểu hiện tư duy phát triển

Tái hiện kiến thức và thiết lập được sơ đồ các mối quan hệ bản chất một cáchnhanh chóng

Có khả năng phát hiện cái chung và cái đặc biệt giữa các bài toán

Có khả năng vận dụng những kiến thức đã học giải quyết những bài toánthực tế: Định hướng nhanh, biết phân tích suy đoán, vận dụng các thao tác tư duy

để tìm phương án tối ưu và tổ chức thực hiện có hiệu quả

1.3 Tư duy sáng tạo

Theo tác giả Phạm Văn Hoàn [6] cho rằng, biểu hiện của tư duy sáng tạo làkhông rập khuôn cái cũ, biết thay đổi cái cái cũ, biết thay đổi các biện pháp giảiquyết vấn đề; thấy được những mối liên hệ khăng khít giữa những sự kiện trông

bề ngoài tưởng chừng xa lạ để tìm ra những phương pháp giải quyết đúng, gọn vàhay Tác giả đã trình bày 7 biện pháp để rèn luyện tư duy sáng tạo:

1) Khắc phục "Tính ỳ" của tư duy bằng cách cho học sinh làm các bài toánkhác nhau

2) Khuyến khích học sinh tìm hiểu nhiều cách giải khác nhau của một bàitoán và chọn ra cách giải hay nhất.

3) Sử dụng các phép tính và bài toán không giải theo lối rập khuôn

4) Cho học sinh giải các bài toán vui để tập suy luận khác với cách giải thôngthường

5) Rèn luyện trí tưởng tượng cho học sinh

6) Tập cho học sinh ý thức xem xét một vấn đề dưới nhiều khía cạnh khácnhau

7) Cần và tiến hành rèn luyện tư duy ở tất cả các lớp song phải có phươngpháp phù hợp

Tác giả Hoàng Chúng [2] đã nghiên cứu vấn đề rèn luyện cho học sinh cácphương pháp suy nghĩ cơ bản trong sáng tạo toán học: Đặc biệt hoá, tổng quáthoá và tương tự Có thể vận dụng các phương pháp đó để giải các bài tập đã cho,

để mò mẫm, dự đoán kết quả, tìm ra phương pháp để giải bài toán, để mở rộng,đào sâu và hệ thống hoá kiến thức Theo tác giả, để rèn luyện khả năng sáng tạotoán học, ngoài lòng say mê học tập, cần rèn khả năng phân tích vấn đề một cáchtoàn diện ở nhiều khía cạnh khác nhau biểu hiện ở hai mặt quan trọng:

- Phân tích khái niệm, bài toán, kết quả đã biết dưới nhiều hình thức, khíacạnh khác nhau, từ đó tổng quát hoá hoặc xét các vấn đề tương tự theo nhiều khíacạnh khác nhau

- Tìm tòi lời giải khác nhau của một bài toán, khai thác các lời giải đó để giảicác bài toán tương tự hay tổng quát hơn hoặc đề xuất bài toán mới

Theo tác giả Nguyễn Cảnh Toàn [20] đã đề ra mục đích của cuốn sách chủyếu là rèn luyện tư duy sáng tạo, nhất là tư duy biện chứng, đặt trọng tâm vàoviệc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề, rèn luyện tư duy biện chứng thông qualao động tìm tòi cái mới Thông qua 10 đề tài trong cuốn sách, tác giả khẳng định:

"Muốn sáng tạo toán học, rõ ràng phải giỏi vừa cả phân tích, vừa cả tổng hợp,phân tích và tổng hợp đan xen lẫn nhau, nối tiếp nhau, cái này tạo điều kiện chocái kia"

Trong [6], các tác giả Trần Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốckhẳng định rằng, phát triển những năng lực toán học ở học sinh là một nhiệm vụđặc biệt quan trọng của người thầy giáo Cần có những công trình nghiên cứu tỉ

mỉ về cấu trúc của năng lực tư duy toán học của học sinh nước ta; để từ đó có nội

dung, phương pháp bồi dưỡng năng lực sáng tạo toán học cho học sinh một cáchchủ động.

Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là cái mới, cách giải quyết vấn đềmới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có Nội dung của sáng tạo gồm hai ýchính có tính mới (khác với cái cũ, cái đã biết) và lợi ích (giá trị hơn cái cũ) Nhưvậy sáng tạo cần thiết cho bất kỳ một hoạt động nào trong xã hội loài người Sángtạo thường được nghiên cứu trên nhiều phương diện như một quá trình phát sinhcái mới trên nền tảng của cái cũ

Các nhà nghiên cứu đã đưa ra quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo TheoNguyễn Bá Kim [7]: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điềucần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tưduy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét khả năng tạo ra cái mới,phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Tuy nhiên, nhấnmạnh cái mới không có nghĩa coi nhẹ cái cũ"

Theo Tôn Thân [19]: "Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ýtưởng mới, độc đáo, có tính hiệu quả giải quyết vấn đề cao" và theo tác giả "Tưduy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có Tínhđộc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp.Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm của dấu ấn cá nhân tạo ranó"

Theo G.Polya cho rằng [23]: "Một tư duy được gọi là có hiệu quả nếu tư duy

đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy

đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này Các bài toán vậndụng những tư liệu, phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu,muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy ngày càng cao, thí dụ: Lúc những cố gắngcủa người giải vạch ra các phương thức giải áp dụng cho những bài toán khác"Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học toán: "Đốivới người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương đầu vớinhững vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết Nhưvậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải

nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn), tức là

nếu người giải chưa biết trước thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu nhữngbước đi chưa biết trước Nhà trường phổ thông có thể chuẩn bị cho học sinh sẵnsàng hoạt động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày.

Vậy, nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứngminh mà học sinh đó chưa biết đến Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sángtạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ởtính hợp lý, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp Nói chung lại, tưduy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệuquả giải quyết vấn đề cao

Các nghiên cứu của nhiều nhà tâm lý, giáo dục học, đã thống nhất đưa ra

5 thành phần cơ bản của cấu trức tư duy sáng tạo: Tính mềm dẻo, tính nhuầnnhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề

Tính mềm dẻo (Flexibility)

Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng, đi từ hoạt động trí tuệ nàysang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác,vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá,khái quát hóa, cụ thể hoá và các phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn,tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịpthời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại

Tính mềm dẻo của tư duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóngtrật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quanniệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và xâydựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan hệ mới, hoặcchuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và điều phán đoán Suy nghĩ khôngrập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức kỹ năng đã có sẵnvào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những yếu tố đã thay đổi, có khảnăng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp,những cách suy nghĩ đã có từ trước Đó là nhận ra vấn đề mới trong điều kiệnquen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duy sáng

tạo Do đó, để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ta có thể cho các em giảicác bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của tư duy.

Tính nhuần nhuyễn (Fluency)

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanhchóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các hình huống, hoàn cảnh, đưa ra giảthuyết mới Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý tưởng sinh

ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo

Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhấtđịnh các ý tưởng Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuấthiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh ra chất lượng.Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2 đặc trưng sau:

- Một là tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm đượcnhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trước một vấn

để phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuấtđược nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm được phương án tối ưu

- Hai là khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có mộtcái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ không phải cáinhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc

Ví dụ 1.1 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

Đây là ví dụ tiếp theo của nội dung cuối chương 2, khi ta đã có kiến thức cơbản về hệ thức lượng giác Chẳng hạn



a2+ b2+ c23

abc ≥ 8(p − a)(p − b)(p − c).

Cách 5: Ta có (a + b)2≥ 4ab ⇔ 1

ab ≥ 4(a + b) 2, suy ra:

1 (b + c)2 +

1 (c + a)2

- Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới.

- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởngnhư không có liên hệ với nhau

- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác

Tính hoàn thiện (Elabolation)

Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hành động,phát triển ý tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng

Tính nhạy cảm vấn đề (Problem’s Censibitity)

Là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, sự mâu thuẫn, sai lầm, thiếulogic, chưa tối ưu Từ đó đề xuất hướng giải quyết tạo ra cái mới

Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:

- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề

- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu từ đó

có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới

Tóm lại: Ngoài 5 thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo còn có một sốyếu tố quan trọng khác: Tính chính xác (Precise), năng lực định giá (Ability tovalued), phán đoán (Decide), năng lực định nghĩa lại (Redefinition)

Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau, trái lại chúng có quan hệ mậtthiết biện chứng, hỗ trợ, bổ sung cho nhau Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt độngtrí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìmnhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác (tính nhuần nhuyễn); nhờ

đó, ta tìm được nhiều phương án khác nhau, trong đó tìm được giải pháp mới lạ,

đặc sắc (tính độc đáo) Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạonên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người.

toán nhằm phát huy năng lực, phẩm chất của học sinh

Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần kết hợp bồi dưỡng các hoạt động trí tuệ khác cho học sinh

Để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh cần được tiến hành trong mốiquan hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương

tự, trừu tượng hoá, khái quát hoá, hệ thống hoá trong đó hoạt động phân tích vàtổng hợp đóng vai trò quan trọng

Chẳng hạn, để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư duy, họcsinh cần được luyện tập thường xuyên kỹ năng, kỹ xảo, năng lực, tiến hành phântích kết hợp với tổng hợp để nhìn thấy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau.Trên cơ sở so sánh các trường hợp riêng lẻ, dùng phép tương tự để chuyển từ trườnghợp riêng này sang trường hợp riêng khác, khai thác mối quan hệ mật thiết vớitrừu tượng hoá; làm rõ mối quan hệ chung riêng, giữa quan hệ mệnh đề xuất phátvới mệnh đề tìm được bằng đặc biệt hoá và hệ thống hoá

Ta có thể rèn luyện cho học sinh khái quát hoá tài liệu toán học, tạo khảnăng tìm nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau; khả năngtìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên

hệ với nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ hoặc duy nhất Các hoạt động này gópphần bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn và tính độc đáo của tư duy

Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần đặt trọng tâm vào việc rèn khả năng khơi dạy những ý tưởng mới, phát hiện những vấn đề mới

Về giảng dạy lý thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu tạo

ra các tình huống có vấn đề dẫn dắt học sinh tìm tòi, khám phá kiến thức mới.Chú ý thường xuyên rèn luyện cho học sinh suy luận có lý (thông qua việc quansát, so sánh, đặc biệt hoá, khái quát hoá, quy nạp, tương tự ) để học sinh có thể

tự tìm tòi, dự đoán quy luật của thế giới khách quan; tự mình phát hiện và phátbiểu vấn đề, dự đoán kết quả, tìm ra hướng giải của bài toán

Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõ điều phảichứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện và giải quyết vấn đề

Bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo

Trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tố của tưduy sáng tạo: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo Khai thác từ nộidung các vấn đề giảng dạy, đề xuất những câu hỏi "Có vấn đề" để học sinh suynghĩ rèn luyện những yếu tố trên

Sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư duysáng tạo như: Những bài tập có cách riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổngquát để khắc phục “Tính ỳ”; những bài tập có nhiều lời giải khác nhau, đòi hỏi họcsinh phải biết chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác; những bài tậptrong đó có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song nhau, giúp choviệc hình thành các liên tưởng ngược xảy ra đồng thời với việc hình thành các liêntưởng thuận; những bài toán “Không theo mẫu”, không đưa được về các loại toángiải bằng cách áp dụng các định lý, quy tắc trong chương trình

Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài cần tiến hành ở tất cả các khâu của quá trình dạy học

Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài, cần tiến hành thườngxuyên hết tiết học này sang tiết học khác, mang tính hệ thống cao, trong tất cảcác khâu của quá trình dạy học chính khoá cũng như trong hoạt động trải nghiệmsáng tạo Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyện khả năng tư duysáng tạo trong việc toán học hoá tình huống thực tế, trong việc viết báo toán vớinhững đề toán tự sáng tác những cách giải mới, những kết quả mới khai thác từcác bài tập đã giải

Một vấn đề rất đáng được quan tâm là vấn đề kiểm tra, đánh giá Các đềkiểm tra, các đề thi cần được soạn với yêu cầu kiểm tra được năng lực tư duy sángtạo của học sinh Học sinh chỉ có thể làm được hoàn chỉnh các đề kiểm tra đó trên

cơ sở bộc lộ rõ rệt năng lực tư duy sáng tạo của bản thân chứ không phải chỉ làhọc tủ, vận dụng kiến thức thiếu sáng tạo

Nhận xét 1.1 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh, khi dạy giáo viên phảichuẩn bị và giao nhiệm vụ:

• Chuẩn bị kỹ tài liệu trong quá trình dạy học, trang bị khái niệm, định nghĩa,những kiến thức cơ bản nhất Đặt những câu hỏi, tình huống "Có vấn đề"liên quan tới thực tế, tạo động lực cho học sinh

• Gợi ý cho học sinh tư duy: So sánh, trừu tựng hoá, khái quát hoá, phân tích,tổng hợp, Tự sưu tầm, thu thập tài liệu có liên quan; bước đầu ý thức nghiêncứu giải quyết vấn đề.

• Định hướng, tổ chức thảo luận nhóm cho học sinh; học sinh trình bày nhiềuhướng giải quyết bài toán; đưa ra cả ý kiến phản biện; thảo luận, phân tíchhoặc tự chọn lọc ra cách giải tối ưu nhất

• Học sinh phải tự mình giải các cách đã thực hiện, nhận xét kỹ ưu điểm, nhượcđiểm của từng cách Ghi lại những nhận xét theo cách hiểu của các nhân

• Học sinh tự đặt ra các bài toán mới bằng cách phán đoán, dự đoán, đặc biệthoá, khái quát hoá Giải quyết những bài toán đặt ra Trao đổi với nhữnghọc sinh khác hướng giải quyết những bài toán mới Chú ý trân trọng tư duyphê phán khi thực hiện trao đổi, thảo luận

• Cuối cùng, tập hợp các kết quả (cùng các bạn hoặc có sự định hướng củathầy) tổng hợp lại các kết quả tìm được

Nhận xét 1.2 Thái độ của giáo viên khi dạy học nhằm bồi dưỡng tư duy chohọc sinh:

• Tạo cho học sinh tiếp cận với nhiều trường phái, quan điểm khác nhau ở mức

độ cởi mở, nhẹ nhàng.Tìm kiếm và cung cấp lý do cho việc học sinh đanglàm

• Định hướng không để học sinh xa rời điểm chính của cuộc hội thảo, thảoluận

• Luôn luôn cởi mở, khuyến khích quan điểm của cá nhân học sinh; tránh lặplại nhiều lần những yêu cầu

• Sẵn sàng tiếp nhận ý kiến của học sinh kể cả những hạn chế Nắm được cảmgiác, trình độ hiểu biết, độ tinh tế của học sinh

• Định hướng những giải pháp giàu tưởng tượng, phù hợp; định hướng học sinhviết tổng hợp, nhận xét

Tư duy sáng tạo là trọng tâm, bản chất của nhấn mạnh hiện tại về các kỹnăng tư duy Các nhà trường phải thực hiện nhiều cải cách trong khuôn khổ

cho phép để chỉ đạo thực hiện, trau rồi tư duy cho học sinh một cách đầy đủhơn Thành công của người thầy chính là tác động vào học sinh theo hướng

có chủ đích, để tư duy sáng tạo của học sinh phát triển, có năng lực vận dụngvào giải quyết các bài toán thực tế

bậc ba và các hệ thức lượng giác liên quan

Trong các năm học 2014-2015, 2015-2016, tác giả đã tiến hành điều tra vàthực nghiệm sư phạm ở các lớp học sinh có năng lực tốt của các trường xây dựngtrung tâm chất lượng cao, tỉnh Nam Định và tổ toán của các trường trên Tác giả

có nhận định như sau:

- Do cách tiếp cận của chương trình giáo dục hiện hành chủ yếu trang bị kiếnthức nên phương pháp dạy học vẫn theo lối truyền đạt một chiều, học sinh thụđộng, ghi nhớ máy móc kiến thức có sẵn trong sách giáo khoa mà ít được rèn luyệnphương pháp học Hình thức tổ chức dạy học chủ yếu là trên lớp học, chưa dànhthời lượng thoả đáng cho các hoạt động trải nghiệm môn học Những hạn chế vềcách thiết kế nội dung môn học và hoạt động giáo dục; hạn chế về hình thức tổchức, phương pháp dạy học; hạn chế về nội dung của hoạt động kiểm tra, đánh giá

là nguyên nhân chính chưa đáp ứng được yêu cầu về mục tiêu giáo dục đạo đức,lối sống, rèn kỹ năng, phát triển khả năng sáng tạo, tự học để học tập suốt đời

- Trong những năm gần đây, Bộ GDĐT đã chỉ đạo mạnh mẽ việc đổi mớiphương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động,sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; chuyển từ học chủ yếutrên lớp sang hình thức hình thức học tập đa dạng Đội ngũ giáo viên đã tiếp nhận

và quan tâm hơn trong việc bồi dưỡng các kỹ năng tư duy, dạy cách học cho họcsinh nhằm định hướng phát triển năng lực, phẩm chất Tuy nhiên, việc bồi dưỡng,phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi vẫn chưa được chú trọng; giáoviên còn thiên về việc cung cấp thông tin, kiến thức; chưa có sự giao nhiệm vụ họctập, yêu cầu đối với học sinh, định hướng cách học Chính vì thế tư duy sáng tạocủa học sinh bị kìm hãm, không được định hướng phát triển

- Một số giáo viên, nhất là những giáo viên dạy lâu năm có kinh nghiệmtrong xử lý tình huống sư phạm trong quá trình giáo dục Song cách dạy họctruyền thống, nặng về áp đặt, máy móc, không đưa học sinh vào vị trí chủ thể

phát huy nội lực để phát triển năng lực, tư duy sáng tạo.

- Trong dạy học môn toán ở đa số các trường THPT, giáo viên thường chỉphân dạng bài tập, giải bài mẫu, cho bài tương tự học sinh giải theo các bướckhuôn mẫu bắt học sinh phải nhớ nhiều Chính vì thế, học sinh thường chỉ giảiđược những bài tập đúng dạng, quen thuộc; khi thay đổi một chút đề bài học sinhrất lúng túng hoặc không muốn tiếp tục suy nghĩ, không muốn tìm lời giải Mộtthực tế nữa, thông thường các em sẽ thoả mãn ngay khi tìm ra được một lời giải,các em không chịu suy nghĩ hướng giải quyết khác; khi có cách giải quyết khácthì không phân tích, chọn lựa cách giải tối ưu hoặc không suy nghĩ mở rộng, pháttriển bài toán

Về dạy học chuyên đề "Dạy học đa thức bậc ba và các hệ thức lượng giác liênquan cho học sinh khá, giỏi" trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi, qua điều tra chothấy việc rèn luyện, bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh còn hạn chế:

- Việc chuẩn bị của nội dung của giáo viên chưa được hệ thống, các phươngpháp dạy học hiện đại chưa được sử dụng

- Việc tổ chức các hoạt động nhóm chưa hiệu quả ở các khâu: Yêu cầu, cáchthức tiến hành, giới hạn thời gian, học sinh trình bày sản phẩm; giáo viên yêu cầuhọc sinh tìm ra lời giải mà chưa phân các mức độ để rèn thao tác tư duy

- Việc hướng dẫn và giao nhiệm vụ về nhà cho học sinh còn mang tính hìnhthức, chưa động viên, khích lệ học sinh say mê tìm ra nhiều lời giải, tổng hợp cácdạng toán, phát triển dạng toán mới

- Học sinh chưa nắm vững bản chất của vấn đề nên thường khi vận dụng vàogiải toán chưa được nhuần nhuyễn

- Khó khăn khi chuyển hoá từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệkhác; chưa vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừutượng hoá, khái quát hoá Suy nghĩ còn rập khuôn, máy móc, nhớ dạng, lối mòn

- Khi giải ra kết quả bài toán, các em đã bằng lòng và dừng lại; chưa thựchiện việc rèn tư duy sáng tạo bằng cách tìm nhiều lời giải, phân tích cách giải độcđáo, thay đổi giả thiết bài toán

- Rất ít học sinh có khả năng và thói quen phát triển bài toán, ra đề bài.Tính tự giác và độc lập của học sinh chưa cao, còn phụ thuộc vào các thầy cô giảibài mẫu; chưa chú tâm tìm cách tự học, tìm tòi, sưu tập tài liệu tham khảo

Kết luận chương 1

Trong chương này, luận văn trình bày khái quát lịch sử kỳ thi IMO, bồi dưỡng

và thi học sinh giỏi ở Việt Nam Tác giả đi sâu vào phân tích lý luận phát triển

tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua đề tài "Dạy học đa thức bậc ba và các hệthức lượng giác liên quan cho học sinh khá, giỏi" Tác giả đã nêu khái niện, cấutrúc, đặc trưng về tư duy, tư duy sáng tạo Đặc biệt, tác giả đã trình bày việc bồidưỡng, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy nội dung chuyên đề,

từ đó định hướng hình thành năng lực, phẩm chất, kích thích tính sáng tạo củahọc sinh trong học tập và trong cuộc sống

Chương 2

Đa thức bậc ba và các hệ thức trong tam giác

2.1 Đa thức bậc ba

Phương trình bậc ba có nhiều ứng dụng, đối với kiến thức chương trình phổthông khi làm toán thường mang tính định tính về nghiệm hoặc những bài toán

đã biết trước một nghiệm, các sách không nêu cách giải phương trình bậc ba tổngquát

Sau đây ta sẽ xây dựng cách giải phương trình bậc ba tổng quát với hệ sốthực tùy ý:

ax3+ bx2+ cx + d = 0, a 6= 0. (2.1)

Bài toán 2.1 Giải phương trình (2.1) khi biết một nghiệm x = x0.

Lời giải Theo giả thiết thì ax30+ bx20+ cx0+ d = 0

Hệ quả 2.1 1) Nếu x0 là nghiệm của phương trình (2.1) thì điều kiện cần và đủ

để phương trình (2.1) có ba nghiệm phân biệt là

trong đó f (x) là một tam thức bậc hai xác định

3) Nếu x 1 , x 2 , x 3 là các nghiệm của phương trình (2.1) thì

Bài toán 2.3 Giải phương trình: 4x3− 3x = m với |m| ≤ 1.

Lời giải Đặt m = cos α = cos(α ± 2π). Khi đó

b) Ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Thật vậy, phương trình không có nghiệm trong [−1, 1] vì nếu

x = x 0 ∈ [−1, 1] là nghiệm thì ta đặt x 0 = cos β.

Khi đó 4x3− 3x = |cos 3β| ≤ 1 6= m.

Giả sử phương trình có nghiệm x = x1 với |x1| > 1.

Khi đó 4x31− 3x1= m. Vậy có phương trình

4x3− 3x = 4x31− 3x1

⇔ 4(x3− x31) − 3(x − x1) = 0

⇔ (x − x1)(4x2+ 4x1x + 4x21− 3) = 0

∆ = 4x21− 4(4x21− 3) = 12 − 12x21< 0.

Vậy x = x1 là nghiệm duy nhất.

3 − c.

a) Nếu p = 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất y = √ 3

Ta có nhận xét sau, mọi phương trình bậc ba tổng quát

Thật vậy, với đổi biến x = y − a

3z vào phương trình (2.8) ta được



z − p3z

3

+ p



z − p3z

Nếu đặt lại t = z3 thì ta được phương trình bậc hai

Phương trình này có hai nghiệm (thực hoặc phức)

2 , e2= −

1

2 − i

√ 3



− 1

2 − i

√ 3 2

Thay vào biểu thức y = z − p

3z ta được 6 giá trị của y là y1k = z1k − p

3− p3z20

y12= z12− p

3z12 = −

p 3z21 + z21 = y21.

Vậy phương trình có ba nghiệm là

qq 2

r

−p

3

27 , sin ϕ =

được tính theo công thức

3 );

Trong trường hợp này, phương trình bậc ba (2.8) có ba nghiệm thực.

Nhận xét 2.1 Công thức nghiệm của phương trình bậc ba khá cồng kềnh, rấtkhó nhớ để áp dụng khi giải Chính điều đó, như cách giải quyết phần trên ta tìmđược một nghiệm thực của phương trình, sau đó phân tích chuyển về phương trìnhtích

Chứng minh Giả sử đa thức P (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0) có 3 nghiệm

x1, x2, x3 Khi đó P (x) = ax3+ bx2+ cx + d = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) = ax3− a(x1+

x 2 + x 3 )x2+ a(x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 )x − ax 1 x 2 x 3 đúng với mọi x nên suy ra điều phảichứng minh

Nhận xét 2.2 Vìa 6= 0 nên ta chuyển về phương trình dạng x3+ ax2+ bx + c = 0.Khi đó

= (x

2

1 + x22+ x23) + 3(x1x2+ x2x3+ x3x1) (x1+ x2)(x2+ x3)(x3+ x1)

Nhận xét 2.1 Cơng thức nghiệm phương trình bậc ba cồng kềnh, rấtkhó nhớ để áp dụng giải Chính điều đó, cách giải phần ta tìmđược nghiệm... cơng thức< /p>

3 );

Trong trường hợp này, phương trình bậc ba (2.8)... 0 phương trình có nghiệm y = √ 3

Ta có nhận xét sau, phương trình bậc ba tổng quát