Kỹ thuật biến đổi căn bậc hai

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI CĂN BẬC HAI CHO HỌC SINH LỚP 9 TRẦN VĂN ĐOÀN Trường THCS Nghĩa Đồng- Nghĩa Hưng – Nam Định Ở lớp 7 học sinh đã được làm quen với căn bậc hai,lên lớp 9 các em

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI CĂN BẬC HAI CHO HỌC SINH LỚP 9

TRẦN VĂN ĐOÀN (Trường THCS Nghĩa Đồng- Nghĩa Hưng – Nam Định)

Ở lớp 7 học sinh đã được làm quen với căn bậc hai,lên lớp 9 các em được học tiếp căn bậc 2 và các phép biến đổi căn bậc 2.Trong quá trình dạy học chúng tôi thấy các

em còn lúng túng ,chưa biết vận dụng một cách linh hoạt các phép biến đổi căn bậc 2.

Ở bài viết này tôi và các bạn cùng trao đổi một vài kỹ năng biến đổi căn bậc 2 thường gặp thông qua các bài tập Hy vọng qua bài viết này phần nào đó giúp các em học sinh đỡ lúng túng khi gặp bài toán biến đổi căn bậc hai

Bài 1:( bài tập 10 trang 11(SGK) đại số lớp 9 tập 1)

Chứng minh:

3 1 − = − 4 2 3 b) 4 2 3 − − 3 = − 1

Giải:

Đối với câu a)dễ dàng chứng minh:

( ) ( )2 2

3 1 − = 3 − 2 3 1 3 2 3 1 4 2 3 + = − + = −

Từ đó gợi ý cho ta làm câu b)

( )2

4 2 3 − − 3 = 3 2 3 1 − + − 3 = 3 1 − − 3 = 3 1 − − 3 = 3 1 − − 3 = − 1

Bài 2: Tính

a) 11 2 30 + b) 5 2 6 − − 6 4 2 −

c) 20 2 96 − d) 2009 2 2008 +

Giải

5 2 5 6 6 + + = 5 + 6 = 5 + 6

b) 5 2 6 − − 6 4 2 − =

8 2 8 12 12 − + = 8 − 12 = 12 − 8

2008 2 2008 1 + + = 2008 1 + = 2008 1 +

Nhận xét:

Xét các biểu thức trong dấu căn của các bài tập trên ta thấy số trong căn viết thành tích của hai số nguyên thì tổng của hai số đó bằng số hạng nằm ngoài căn.Cụ thể như sau:

3 3.1

4 3 1

=



 = +

  = +11 6 530 5.6= 6 2.35 2 3

=



 = +

  = +8 2.46 2 4= 98 8.1220 8 12

=



 = +

 2008 2008.12009 2008 1== +



Như vậy tất cả các bài toán trên đều có dạng chung.Ta có bài toán tổng quát sau:

Tính a± 2 b với  =a x y b x y= +. (x > 0 , y > 0 )

Giải:

Với bài toán tổng quát trên ta dễ dàng giải quyết tốt các bài toán khó hơn

Bài 3 : Tính

A = 3 2 2 + + 5 2 6 − + 7 2 12 − + + 3983 2 1991.1992 −

Giải:

Sử dụng cách biến đổi ở trên ta có:

3 2 2 − = 2 1 −

5 2 6 + = 3 − 2

7 2 12 − = 4 − 3

………

3983 2 1991.1992 − = 1992 − 1991

Bài 4: Tính

a) 2a+ 2 a2 − 4 với a > 2

b) x+ 2 2x− 4 với x ≥ 2

Giải:

a) 2a+ 2 a2 − 4 = (a+ + 2) 2 (a+ 2)(a− + − 2) (a 2) = ( a+ + 2 a− 2) 2

= a+ + 2 a− 2 với a > 2

(x− + 2) 2 2(x− + = 2) 2 x− + 2 2 = x− + 2 2

với x ≥ 2

Bài 5: Giải phương trình:

x+ − 3 4 x− + 1 x+ − 8 6 x− = 1 1

Giải:

Điều kiện x ≥ 1

x+ − 3 4 x− + 1 x+ − 8 6 x− = 1 1

⇔ (x− −1) 2 x−1.2 4+ + (x− −1) 2 x−1.3 9+ = 1

⇔ x− − + 1 2 x− − = 1 3 1 (*)

x− − ≥ ⇔ 1 3 0 x− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ 1 3 x 1 9 x 10

x− − ≤ ⇔ ≤ 1 2 0 x 5

x− − ≤ ⇔ ≤ 1 3 0 x 10

Tóm lại:

x− − + 1 2 x− − = 1 3 1

⇔ 2 x− 1 - 5 = 1

⇔ 2 x− 1 = 6

⇔ x− 1 = 3

⇔ x – 1 = 9

⇔ x = 10 (Thoả mãn điều kiện)

2- x− + − 1 3 x− = 1 1

⇔ 5 - 2 x− 1 = 1

⇔ 2 x− 1 = 4

⇔ x− 1 = 2

⇔ x – 1 = 4

⇔ x = 5 (thoả mãn điều kiện)

Với 5 < x < 10 thì phương trình (*) có dạng:

x− − + − 1 2 3 x− = 1 1 phương trình có vô số nghiệm thoả mãn 5 < x < 10

Trên đây ta đã sử dụng bài toán tổng quát

để giải một số bài toán

Ở đây ta thấy không có số 2 trước b như bài toán tổng quát đã xét ở trên

Với dạng căn thức bậc hai này ta có công thức sau:

a+ a −b ± a− a −b với a> 0, b>0 ,a2 > b

Đây là một công thức tiện lợi cho việc biến đổi một số biểu thức chứa căn bậc hai Nhưng thông thường học sinh phải chứng minh được công thức

trên rồi mới được sử dụng, cách chứng minh như sau:

Đặt : x = a+ b + a− b => x > 0 => x = x2

Bình phương hai vế ta được:

x2 = 2a + 2 a2 −b = 4a+ 2a2−b÷÷

2

2

a+ a −b (1)

2

a− a −b (2) Từ (1) và (2) suy ra công thức phảo chứng minh

Trong thực tế giảng dặy tôi thấy học sinh lúng túng khi chứng minh công thức trên và áp dụng vào làm bài tập.Do đó tôi thường hướng dẫn học sinh như sau:

Tìm cách làm xuất hiện số 2 trước b để đưa về dạng bài toán tổng

hoặc đưa thừa số ra ngoài dấu căn (Tuỳ thuộc vào từng bài toán cụ thể)

Sau đây ta xét một số ví dụ:

Ví dụ 1: Tính

a) 3 + 5 − 3 − 5 − 2 b) 8 15

−

−

Giải

a) 3 + 5 − 3 − 5 − 2 = 6 2 6 6 2 5 2

= ( 5 1)2 ( 5 1)2 2

= 5 1 5 1 2

2 − = 2 − 2 = 0

8 15

−

2

−

c)Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

5 − 13 + 48 = 5 − 13 2 12 + = 5 − ( 12 1) − 2 = 5 ( 12 1) − − = 4 − 12

= 4 2 3 − = ( 3 1) − 2 = 3 1 −

Ví dụ 2: Tính

c)( 10 − 6) 4 + 15

Giải:

= ( 7 1) ( 7 1)

2

2

− = −

Nhận xét: ta có 4 - 7 < 4 + 7 => 4 − 7 − 4 + 7 < 0 => A < 0 Bình phương 2 vế ta được:

A2 = 4 - 7 - 2 (4 − 7)(4 + 7) + 4 + 7

A2 = 8 – 2 16 7 − = 8 - 2 9 = 8 – 6 = 2

Vì A < 0 => A = - 2

b) 6 + 11 − 6 − 11 − 2 = 12 2 11 12 2 11 2

= ( 11 1)2 ( 11 1)2 2

= 11 1 11 1 2

2 − = 2 − 2=0 c) ( 10 − 6) 4 + 15 = 2.( 5 3). 8 2 15

2

+

−

= 2.( 5 3). 5 2 5.3 3

2

= ( 5 − 3)( 5 + 3) 5 3 2 = − =

Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức

M =

2

Giải:

Ta có : 2 + 3 = 4 2 3 ( 3 1)2

2

3 1 2

2 - 3 = 4 2 3

2

2 2

Do đó :

2

2

3 1 2

2

2

=

2 ( 3 1) 2

3 1 2

2

+ +

2 ( 3 1) 2

2

+

= ( 3 1)2. 2

+

+ =( 3 1)2. 2

+

6

+

−

6

−

Vậy M =

2

Một số bài luyện tập

Bài 1: Rút gọn biểu thức

a)(2+ 3) 7 4 3 − b)( 5 2 6 − + 2) 3

c)2+ 17 4 9 4 5 − + d) 2 2 3 + + 18 8 2 −

Bài 2 : Rút gọn biểu thức

a) A = x+ x2 − − 1 x− x2 − 1 với x > 1

b) B = 2x+ 4x− − 1 2x− 4x− 1 vỡi x > 14

c) C= x+ 2 x− − 1 x− 1

Bài 3 : Rút gọn rồi tìm giá trị của x để A = -1

A = 2 − x+ 2 2x− 4

Bài 4 : Rút gọn biểu thức