Kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự và ứng dụng vào giải toán

Mục đích của đề tài này là nghiên cứu đề xuất các tính chất đăc trưng của tâm tỷ cự từ đó đề ra các kỹthuật biến đổi tâm tỷ cự để giải các loại toán hình học phẳng.. - Ứng dụng các kỹ th

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN VĂN NGHĨA

KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI TÂM TỶ CỰ

VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN VĂN NGHĨA

KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI TÂM TỶ CỰ

VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI

THÁI NGUYÊN - 2017

Lời cảm ơn

Tôi xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo bộ phận sau đại học, quý thầy

cô giảng dạy lớp Cao học K9B (2015 - 2017) Trường Đại Học Khoa Học - ĐạiHọc Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạođiều kiện cho tôi hoàn thành khóa học

Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sựhướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Giảng viên caocấp Trường Đại Học Hải Phòng Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắcđến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều thầy đã dành chotôi

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đãluôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập

và thực hiện luận văn

Xin trân trọng cảm ơn!

Hải Phòng, tháng 6 năm 2017

Người viết Luận văn

Nguyễn Văn Nghĩa

Danh mục hình

1.1 Quy tắc Archimedes 7

1.2 Tọa độ diện tích 11

2.1 Chọn tâm tỷ cự 19

2.2 Quĩ tích là đường tròn 21

2.3 Ilà đỉnh thứ tư hình bình hành 23

2.4 Trực tâm H 27

2.5 Tọa độ tỷ cự điểm đồng quy 29

2.6 Tính tỷ số 32

2.7 Tính diện tích 34

2.8 Hình chóp tam giác đều 35

3.1 P, Q, Rthẳng hàng 43

3.2 MOP 2006 53

3.3 USAMO 2001 #2 54

3.4 USAMO 2008 55

Mục lục

1.1 Hệ chất điểm và tâm tỷ cự 4

1.2 Các tính chất cơ bản của tâm tỷ cự 7

1.3 Tâm tỷ cự và diện tích đại số 9

1.3.1 Diện tích đại số 9

1.3.2 Tọa độ tỷ cự trong mặt phẳng 12

1.4 Công thức Lagrang và công thức Jacobi 15

2 Các kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự và ứng dụng 18 2.1 Kỹ thuật chọn tâm tỷ cự 18

2.2 Kỹ thuật diện tích hóa và tọa độ hóa 26

2.3 Kỹ thuật giao hoán-kết hợp 31

2.4 Kỹ thuật quán tính 36

3 Các vấn đề liên quan 41 3.1 Chứng minh một số định lý nổi tiếng 41

3.2 Một số bài toán thi học sinh giỏi và thi Olympic 50

3.2.1 Véc tơ chuyển chỗ 51

3.2.2 Đường thẳng vuông góc 51

3.2.3 Phương trình đường tròn 52

Mở đầu

1 Mục đích của đề tài luận văn

Khái niệm tâm tỷ cự đã được các nhà toán học đề cập đến từ lâu, chẳnghạn xem ([1], [5], [6]) Tuy nhiên việc ứng dụng khái niệm này còn rất hạn chế

vì ngoài định nghĩa thông qua véc tơ, các tính chất và các biểu diễn khác củatâm tỷ cự chưa được nêu trong các tài liệu truyền thống Mục đích của đề tài này

là nghiên cứu đề xuất các tính chất đăc trưng của tâm tỷ cự từ đó đề ra các kỹthuật biến đổi tâm tỷ cự để giải các loại toán hình học phẳng Cụ thể là:

- Nghiên cứu các tính chất đặc trưng của tâm tỷ cự của hệ chất điểm Đưa racác kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự nhằm ứng dụng có hiệu quả vào việc giải toánHình học

- Ứng dụng các kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự vào giải các bài toán tính toán,chứng minh, tìm tập hợp điểm và các vấn đề khác nhằm khắc sâu phương phápgiải các bài toán liên quan đến tâm tỷ cự

- Các kiến thức được nâng cao: Xây dựng một lý thuyết chặt chẽ và có hệthống về tâm tỷ cự, các kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự, tính chất mô men quántính, dựa vào khái niệm véc tơ Bổ sung thêm một phương pháp hiệu quả khigiải các bài toán hình học sơ cấp Đặc biệt áp dụng được vào việc giải các bàitoán thi olympic Quốc gia và Quốc tế Có thể nói đây một sáng tạo mới để giảicác bài toán hình học, một phương pháp giải toán có hiệu quả

2 Nội dung của đề tài, những vấn đề cần giải quyết

Đề tài sẽ giải quyết các vấn đề sau: Hệ thống, chứng minh các tính chấtcủa tâm tỷ cự, trình bày các kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự để ứng dụng vào giải

các bài toán hình học có liên quan Nêu ra được các bài toán mẫu, điển hìnhminh họa cho các kỹ thuật biến đổi, giải được các bài toán khó, thể hiện đượctính hơn hẳn so với cách giải thông thường Nội dung chia làm 3 chương:

Chương 1 Tâm tỷ cự của hệ chất điểm

Định nghĩa và nêu các tính chất của tâm tỷ cự chủ yếu là trên mặt phẳng,các kiến thức cần thiết để xây dựng một số kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự, chuẩn bịcho chương hai Các tính chất được xây dựng và chứng minh chặt chẽ, đầy đủ.Chương 1 gồm 4 mục sau

1.1 Định nghĩa và ký hiệu

1.2 Các tính chất cơ bản của tâm tỷ cự

1.3 Các ví dụ mở đầu

1.4 Công thức Lagrang và công thức Jacobi

Chương 2 Các kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự và ứng dụng

Lần lượt trình bày các kỹ thuật biến đổi dựa vào các tính chất của tâm tỷ

cự trên mặt phẳng Mỗi kỹ thuật được nêu thành các bước vận dụng, các ví dụ

và các bài toán mẫu Hình thành các kỹ năng " chọn tâm tỷ cự, biến đổi tâm tỷ

cự, coi diện tích là tọa độ tâm tỷ cự, " để giải các loại toán hình học phẳng:chứng minh, tính toán, tìm quỹ tích, Chương 2 trình bày 4 mục sau:

2.1 Kỹ thuật chọn tâm tỷ cự

2.2 Kỹ thuật diện tích hóa

2.3 Kỹ thuật giao hoán và kết hợp

2.4 Kỹ thuật quán tính

Chương 3 Các vấn đề liên quan

Trình bày các bài toán liên quan đến tâm tỷ cự ở mức độ khó hơn, gồmhai nội dung:

3.1 Chứng minh một số định lý nổi tiếng của hình học sơ cấp.

3.2 Một số bài toán thi học sinh giỏi và thi Olympic

- Mặc dù đã rất cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi những hạn chế,khiếm khuyết Tác giả rất mong sự góp ý, bổ sung của các đồng nghiệp vàcác thầy cô giáo nhằm làm cho kết quả nghiên cứu hoàn chỉnh và có íchhơn Xin chân thành cảm ơn

Tác giả.

Chương 1

Tâm tỷ cự của hệ chất điểm

Các khái niệm ở đây được xét trong mặt phẳng hoặc trong không gian

Thuật ngữ "barycentric" được nhiều tác giả dịch là "tâm tỷ cự" hoặc "khối tâm", Thực ra sử dụng các từ này chỉ đúng nghĩa một phần bởi "barycentric"

chỉ liên quan đến đoạn thẳng và các khái niệm quen thuộc trong cơ học Đến

nay "barycentric" đã được toán học hóa dựa vào khái niệm không gian véc tơ

thì các cách Việt hóa như trên có những hạn chế nhất định Trong luận văn nàychúng tôi vẫn sử dụng chữ "tâm tỷ cự" do tính chất lịch sử của khái niệm và phùhợp với các tài liệu hiện hành (xem [1]) Các ký hiệu cũng được tham khảo vàvận dụng vào việc trình bày cho thuận tiện nhất

Với O tùy ý, xen điểm Z vào m1−→OA + m2−→

ZC =~0 ⇐⇒ Z ≡ G− trọng tâm tam giác ABC.

Mệnh đề 1.3 Cho n điểm A1, A2, , An và n số thực m1, m2, , mn không đồng thời bằng O Khi đó

i Nếu m1+ m2+ + mn = 0 thì không có Z sao cho

m1−−→

ZA1+ m2−−→

ZA2+ + mn−−→

ZAn =~0

ii Nếu m1+ m2+ + mn 6= 0 thì tồn tại duy nhất điểm Z sao cho

Định nghĩa 1.1 Giả sử P là tập hợp điểm trên mặt phẳng, tích Decasterte R×P

được gọi là "một hệ chất điểm" trong mặt phẳng Mỗi chất điểm có hai thành phần, được viết là m A hoặc m.A hoặc (m, A) ∈ R × P, thành phần thứ nhất là

số, thành phần thứ hai là điểm.

Định nghĩa 1.2 Điểm Z xác định duy nhất từ hệ thức (1.3) với các số thực

m1, m2, , mn thoả mãn điều kiện m1+ m2+ + m3 6= 0 được gọi là tâm tỷ cự

của hệ chất điểm {miAi}ni=1, với Σni=1mi6= 0 và viết Z ≡ [m1A1, m2A2, , mnAn]

hay ký hiệu tắt là Z ≡ [miAi]1≤i≤n

Ký hiệu I ≡ [1A, 1B], tức I là tâm tỷ cự của hệ chất điểm {1A, 1B}, đó là trungđiểm của đoạn AB Khi G là trọng tâm tam giác ABC, ta viết G ≡ [1A, 1B, 1C](trọng tâm là tâm tỷ cự của 3 đỉnh tam giác)

1.2 Các tính chất cơ bản của tâm tỷ cự

Trước hết ta xét 3 tính chất sau của tâm tỷ cự

Tính chất 1.1 Mỗi hệ hữu hạn các chất điểm {m1A1, , mkAn} với m1+ +

mn6= 0 đều xác định duy nhất tâm tỷ cự của hệ sai khác một hằng số khác không,

tức là tồn tại duy nhất Z sao cho Z ≡ [miAi]1≤i≤n ≡ [kmiAi]1≤i≤n, k 6= 0

Chứng minh. Thật vậy, chọn O tùy ý khi đó Z xác định duy nhất theo đẳng thứcvéc tơ (1.3) Ta có thể viết (1.3) ở dạng sau với k 6= 0:

Tính chất 1.2 (Quy tắc Archimedes) Tâm tỷ cự của hệ hai chất điểm {m1A1, m2A2}

nằm trên đoạn thẳng (hoặc đường thẳng) nối hai điểm A1, A2 Vị trí tâm tỷ cự xác định theo "quy tắc cân bằng của đòn bẩy" của Archimedes (gọi là quy tắc Archimedes): |m1|d1= |m2|d2.

ZA2 ngược hướng nên điểm Z nằmtrên đoạn thẳng A1A2, hơn nữa, m1|−−→ZA1| = m2|−−→ZA2|, tức là m1d1 = m2d2 Nếu

m1, m2 trái dấu ta thấy các véc tơ −−→ZA1,−−→

ZA2 cùng hướng nên điểm Z nằm ngoàiđoạn thẳng A1A2, ngoài ra, |m1||−−→ZA1| = |m2||−−→ZA2|, tức là |m1|d1 = |m2|d2

Từ đây ta cũng thấy tâm tỷ cự của hệ hai điểm ở gần điểm có "trọng lượng"lớn hơn trong hai "trọng lượng" của hai chất điểm

Hệ quả 1.1 Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số −β

α khi và chỉ khi M ≡

[αA, β B].

Tính chất 1.3 (Tính chất kết hợp) Giả sử ta lấy ra k chất điểm {m1A1, m2A2, , mkAk}

trong hệ n chất điểm {m1A1, m2A2, , mnAn} và gọi C là tâm tỷ cự của hệ k chất

điểm đó Khi đó hệ chất điểm ban đầu có cùng tâm tỷ cự với hệ chất điểm là:

Từ tính chất kết hợp ta có các hệ quả hiển nhiên sau

Hệ quả 1.2 Nếu Z là tâm tỷ cự của hệ 3 điểm là đỉnh tam giác ABC Khi đó

đường thẳng AZ cắt cạnh BC ở điểm A0 là tâm tỷ cự của hệ hai chất điểm đặt

tại B và C.

Hệ quả 1.3 Giả sử tại các đỉnh A,B,C của tam giác ABC theo thứ tự đặt

các trọng lượng m1, m2, m3 Nếu B0 là tâm tỷ cự của hệ {m1A, m3C}; C0 là

tâm tỷ cự của hệ {m1A, m2B} thì Z = BB0∩ CC0 là tâm tỷ cự của hệ ba điểm

{m1A, m2B, m3C}.

Ký hiệu thu gon

Trong công thức (1.3), O là điểm tùy ý trong không gian nên có thể quy ước

bỏ điểm O và không dùng ký hiệu véc tơ Như thế (1.3) được ký hiệu thu gọn là

Z = m1A1+ m2A2+ + mnAn

hay (m1+ m2+ + mn)Z = m1A1+ m2A2+ + mnAn (1.5)Mỗi ký hiệu thu gọn nói trên khẳng định điểm Z là tâm tỷ cự của hệ chất điểm

m1A1, m2A2, , mnAn Khi viết P = 2A + 3B + 8C

13 nghĩa là điểm P là tâm tỷ cựcủa hệ điểm {2A, 3B, 8C} Từ tính chất kết hợp ta có thể sử dụng ký hiệu thugọn linh hoạt hơn Chẳng hạn, ký hiệu

P = (2A + 3B) + 8C

5D + 8C

diễn tả bằng lời:" Giả sử P là tâm tỷ cự của hệ chất điểm {2A, 3B, 8C}, nếu tâm

tỷ cự của hệ {2A, 3B} là D thì điểm P là tâm tỷ cự của hệ {5D, 8C}"

1.3 Tâm tỷ cự và diện tích đại số

1.3.1 Diện tích đại số

Để xét tính chất quan trọng của tâm tỷ cự liên quan đến diện tích, ta giới

thiệu diện tích đại số thông qua khái niệm tích ngoài như sau.

Định nghĩa 1.3 Trong mặt phẳng định hướng diện tích đại số của tam giác định

hướng ABC, ký hiệu là ABC, là một số thực mà trị tuyệt đối của nó là diện tích

(hình học) của tam giác đó với dấu + hay − tùy theo tam giác ABC có hướng thuận hay nghịch:ABC = ±S(ABC)

Trường hợp ∆ABC suy biến thì ABC = 0 ⇔ C ∈ AB

Định nghĩa 1.4 Tích ngoài (hay tích phản vô hướng) của hai véc tơ ~u,~v, ký

hiệu là ~u ∧~v là một số thực bằng 0 khi ~u =~ 0 hoặc ~v =~0, bằng |~u||~v| sin(~u,~v) khi

• ~v ∧~u = −~u ∧~v; ~u và ~v cùng phương ⇐⇒ ~u ∧~v = 0

Dạng tọa độ Xét mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi~i,~j là hai véc tơ chỉ phương đơn

vị của hai trục Ox, Oy, góc định hướng (~i,~j) = π

2[mod2π] Khi đó nếu ~u =

(u1, u2),~v = (v1, v2) thì

~u ∧~v = u1v2− u2v1 =

u1 v1

u2 v2

x0 y0 z0

a1 b1 c1

a2 b2 c2

= 0

(b) Giao điểm của 2 đường thẳng a1x+ b1y+ c1z = 0 và a2x+ b2y+ c2z = 0xác định bởi công thức M(b1c2− b2c1 : c1a2− c2a1: a1b2− a2b1) Từ đó suy ra

điều kiện để ba đường thẳng có phương trình aix+ biy+ ciz= 0, i = 1, 2, 3 đồngquy là

... chứng minh ví dụ 2.9)

Khi M có tọa độ tỷ cự (x : y : z) mà x + y + z 6= ta nói (x : y : z) tọa

độ tỷ cự tuyệt đối M, x + y + z = (x : y : z) gọi tọa độ tỷ cựchuẩn M Từ tính chất tâm. .. z) gọi tọa độ tỷ cựchuẩn M Từ tính chất tâm tỷ cự ta rút ra: M N có tọa độ tỷ cựtuyệt đối, điểm X chia đoạn MN theo tỷ số MX : XN = m : n có tọa độ tỷ cựtuyệt đối n.M + m.N

m+... chất sau đặc biệt quan trọng ta chuyển sang xét tọa độ tâm tỷ cự củamột điểm tam giác ABC (khơng suy biến) Chính tính chất màtọa độ tỷ cự gọi "tọa độ diện tích".

Tính chất