CÔNG THỨC TOÁN - LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số... Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn Phương pháp Cách 1 Sử dụng đạo hàm cấp 1 B1: Tìm TXĐ của hàm s

Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn

A BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI

I Bất đẳng thức côsi

- Nếu a b , 0 thì

2

a b

ab



Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi: ab

- Nếu a b c , , 0 thì 3

3

a b c

abc

 



Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi: abc

- Nếu a a1, 2, ,a  n 0 thì 1 2

1 2

n

a a a n

n

n  

Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi: a1a2  a n

Kĩ thuật cộng mẫu số(BĐT cộng mẫu số)

Cho a b , 0

Ta có: a b 2 ab a b2 4ab a b 4 1 1 4

ab a b a b a b



Hoặc ta có

2

  











Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

Tổng quát với n số a a1, 2, ,a  n 0

Ta có:

2

n

a a  a  a a  a

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1a2 a n

B.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I Công thức lượng giác :

 Công thức lượng giác cơ bản

sin2 + cos2= 1 1 + tan2 =



2

cos

1 ,  k , kZ





1 + cot2=



2

sin

1 , k , kZ tan.cot= 1 , k , kZ

2





 Cung đối nhau

 Cung bù nhau

tan(  )= -tan cot(  )= -cot

 Cung hơn kém 

sin(  )= - sin cos(  )= -cos

 Cung phụ nhau

2

2 (  = sin

2

2 (  = tan

Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn

 Cung hơn kém

2



2





2





 = -sin

2





2





 = - tan

 Công thức cộng

cos(a –b) = cosa cosb + sina sinb cos(a +b) = cosa cosb – sina sinb

sin(a – b) = sina cosb – sinb cosa sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa

tan(a – b) =

b a

b a

tan tan 1

tan tan





tan(a + b) =

b a

b a

tan tan 1

tan tan





 Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina cosa

cos2a = cos a - sin a = 2cos a - 1 = 1 - 2sin a

tan2a =

a

a

2

tan 1

tan 2



 Công thức hạ bậc

cos2a =

2

2 cos

sin2a =

2

2 cos

tan2a =

a

a

2 cos 1

2 cos 1





 Công thức nhân ba

cos3a = 4cos a - 3cosa sin 3a3sina4 nsi 3a

 Công thức hạ bậc

3 cos3 3 cos

os a=

4

sin a=

4

 Công thức biến đổi tích thành tổng

cosa cosb = cos( ) cos( )

2

1

b a b

2

1

b a b

sina cosb = sin( ) sin( )

2

1

b a b

 Công thức biến đổi tổng thành tích

cosu + cosv = 2cos

2

v

u 

cos 2

v

u 

cosu - cosv = -2sin

2

v

u 

sin 2

v

u 

sinu + sinv = 2sin

2

v

u 

cos 2

v

u 

2

v

u 

sin 2

v

u 

Bảng các giá trị lượng giác đặc biệt

C u n g GTLG

0

6



4



3



2



2

2 2

3

2

2 2

1

II Phương trình lượng giác đặt biệt

Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn

+ sinx = 0  x = k, k Z

+ sinx = 1  x =  2

2 k , k Z + sinx = -1  x = -  2

2 k , k Z + cosx = 0  x =  k 

+ cosx = 1  x = k2, k Z

+ cosx = -1  x =(2k + 1) , k Z

+ tanx = 0  x = k, k  Z

+ tanx = 1  x =  k 

4 , k Z + tanx = -1  x = -  k 

4 , k Z + cotx = 0  x =  k 

+ cotx = 1  x =  k 

+ cotx = -1  x = -  k 

4 , k Z

III Phương trình lượng giác cơ bản

1 sinu x  = sinv x     

2

2

k Z









2 cosu x = cos  v x      

   

2

2

k Z











3 tanu x = tan  v x    

   

k Z

















4 cotu x = cot  v x    

v x k

k Z













IV Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Phương trình có dạng asinx + bcosx = c (1)

Cách giải

phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi a 2 + b 2  c 2

Chia hai vế phương trình (1) cho a 2 b2 ta được

2 2 2

2 2

b a

c x

b a

b x

b a

a











(2)

Đặt

2 2

cos

b a

a





2 2

b a

b





Pt (2) trở thành: cos.sinx + sin.cosx =

2 2

b a

c



 sin(x + ) =

2 2

b a

c

 (3) Phương trình (3) là phương trình lượng giác cơ bản

Chú ý : sinx  cosx = 2sin(x 

4



)

Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn

V Phương trình asin 2 x + bsinx cosx + ccos 2 x = d

Cách giải

Cách 1: (áp dụng công thức hạ bậc)

asin2x + bsinx cosx + ccos2x = d

 a

2

2 cos

+ b

2

2

sin x

+ c

2

2 cos

= d

 bsin2x + (c – a)cos2x = 2d – a – c

Cách 2:

Nếu cosx = 0 không là nghiệm của phương trình thì ta chia hai vế của phương trình cho cos2x  0 ta được phương trình bậc hai:

a.tan2x + btanx + c = d.(1 + tan2x)

 (a – d).tan2x + btanx + c – d = 0

C ĐẠO HÀM

1 Một số quy tắc

1.uv' u'v' 2.u v 'u v v u'  ' 3.

' ' ' 2

u u v v u



 



 

 

2 Bảng các đạo hàm

Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của hàm hợp

1

( ) '

0

x



(u a) ' u a 'u

2

'



 



 



 



 

  1

( ) '

2

x

x

2

u u

u



1

1 '

n





'

nu





Hàm số

lũy thừa

1 '

n

n n

x

n x 



1

' (n ) '

u u

n u 



(sinnu)’ = n.u’sinn-1u.cosu

(cosnu)’ = -n.u’cosn-1u.sinu (tanx)’ = 12 1 tan2

2 2

' '(1 tan ) cos

u

Hàm số

lượng giác

(cotx)’= 12 (1 cot2 )



sin



u

u

( ) 'e x e x (e u) 'u e' '' Hàm số

mũ

(a x) 'a xlna (a u) 'u a' ulna

1 (ln ) 'x

x

u

Hàm số

1 (ln x) '

x

u

Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn

1 (log ) '

ln

a x

x a

ln

a

u u

u a

 logarit

1 (log ) '

ln

a x

x a

ln

a

u u

u a



/

2



   ;

2

2

a

x bx c



D KHẢO SÁT HÀM SỐ

Dạng 1: Xét sự đồng biến , nghịch biến của hàm số

I Kiến thức cơ bản

Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K:

+ Hàm số y = f(x) được gọi đồng biến trên khoảng K nếu:

1, 2 , 1 2 ( )1 ( 2)

+ Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu:

1, 2 , 1 2 ( )1 ( 2)

Phương pháp xét tính đơn điệu

B1: Tìm tập xác định của hàm số

B2: Tính đạo hàm của hàm số Tìm các điểm xi (i = 1, 2,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

B3: Lập bảng biến thiên và kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến

Chú ý : Nếu f ' x 0, x K f ' x 0, x K và f' x  tại hữu hạn điểm 0 thuộc K thì hàm số y = f(x) đồng biến ( nghịch biến ) trên K

Dạng 2 Sử dụng chiều biến thiên của hàm số để chứng minh BĐT

Bài toán : Chứng minh bất đẳng thức : u x v x  u x v x  ,  x a b; 

Phương pháp

B1 : Đưa BĐT về dạng u x v x >0 Đặt f x u x v x 

B2 : Xét dấu y’ từ đó suy ra f(x) đồng biến ( hay nghịch biến) trên (a;b)

B3: Chứng minh f a 0f b 0 Suy ra điều phải chứng minh

Dạng 3 Tìm cực trị của hàm số

Phương pháp:

Qui tắc I ( Dùng đạo hàm cấp 1)

B1: Tìm tập xác định

B2: Tính f’(x) Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0

hoặc f’(x) không xác định

B3 Lập bảng biến thiên

B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị

Qui tắc II ( Dùng đạo hàm cấp 2) B1: Tìm tập xác định

B2: Tính f’(x) và f ”(x) Giải phương trình f’(x)

= 0 và kí hiệu là xi là các nghiệm của nó B3: Tính f ”(xi)

- Nếu f ”(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi;

- Nếu f ”(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi

* Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp

Dạng 4 Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn

Phương pháp

Cách 1 (Sử dụng đạo hàm cấp 1 )

B1: Tìm TXĐ của hàm số

B2: HS f(x) có cực trị tại x0  f ' x đổi

dấu qua x 0

Cách 2 ( Sử dụng đạo hàm cấp 2 ) B1: Tìm TXĐ của hàm số

B2: - HS f(x) có cực đại tại x0  

 

0 0

f x

f x





 





- HS f(x) có cực tiểu tại x0  

 

0 0

f x

f x





 





Chú ý:

 Hàm số yax3bx2cxd a ( 0) có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai

nghiệm phân biệt

 Hàm số yax4bx2c a ( 0) y'4ax32bx2x2ax2b 

o có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình 2ax2b0 có hai nghiệm phân biệt khác 0

o có 1 cực trị khi và chỉ khi

0

ab







 Hàm số

2

ax bx c y

dx e



2

2

2 ' adx aex be dc

y

dx e



có cực trị

adx aex be dc

d





0

ad 



 

   



 Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3

C1: TH pt y’=0 có nghiệm đơn giản

B1: Tính trực tiếp hai điểm cực trị

 1, 1;  2, 2

A x y B x y

B2: Phương trình đt qua hai điểm cực trị

x x y y



C2: TH pt y’=0 có nghiệm phức tạp B1: Chia y cho y’ ta được yu x y  'v x  B2: Giả sử x x1, 2là hoành độ hai điểm cực trị Khi

đó ta có y x' 1 y x' 2  Do đó tọa độ các 0 điểm cực trị A x y 1, 1;B x y thỏa phương trình  2, 2

 

yv x

KL : pt đường thẳng qua hai cực trị của đồ thị hàm

số yv x 

Dạng 5 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên

a b; :

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]:

+B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x)

+ B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên

Trong đó tại x0 thì f’(x0) bằng 0 hoặc không xác

định

B1: Tìm các giá trị xia b; (i = 1, 2, , n) làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

B2: Tính f a f x( ), ( ), (1 f x2), , (f x n), ( )f b

B3: GTLN = max{f a f x( ), ( ), (1 f x2), , (f x n), ( )f b } GTNN =

Min{f a f x( ), ( ), (1 f x2), , (f x n), ( )f b }

Dạng 6 Khảo sát hàm số

1 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 3: yax3bx2cxd (a 0)

Sơ đồ khảo sát hàm số yax3bx2cxd (a 0):

GT NN

+

-y

y'

b

x 0 a

x

Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn

1 Tìm tập xác định

2 Sự biến thiên

2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số :

+ Tính đạo hàm y’ và tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định;

+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số

2.2 Tìm cực trị

2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực và các giới hạn vô cực

2.4 Lập bảng biến thiên của hàm số

3 Vẽ đồ thị của hàm số

+ Xác định một số điểm đặc biệt: Giao với trục Ox, Oy, điểm uốn

+ Nhận xét đồ thị: Chỉ ra tâm đối xứng (điểm uốn) (không cần chứng minh)

2 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG yax4bx2c (a 0)

Sơ đồ khảo sát hàm số yax4bx2c (a 0):

Tìm tập xác định

Sự biến thiên

2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số :

+ Tính đạo hàm y’ và tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định;

+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số

2.2 Tìm cực trị

2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực và các giới hạn vô cực

2.4 Lập bảng biến thiên của hàm số

3 Vẽ đồ thị của hàm số

+ Xác định một số điểm đặc biệt: Giao với trục Ox, Oy

+ Nhận xét : Đồ thị hàm số nhận Oy làm tục đối xứng

3 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ    

 (c 0;ad-bc 0)

ax b y

cx d

Sơ đồ khảo sát hàm số    

 (c 0;ad-bc 0)

ax b y

Tìm tập xác định

Sự biến thiên

2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số :

+ Tính đạo hàm y’( chú ý phương trình y’=0 không có nghiệm);

+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số

2.2 Hàm số không có cực trị

2.3 Tìm các tiệm cận ( đứng và ngang)

2.4 Lập bảng biến thiên của hàm số

3 Vẽ đồ thị của hàm số

+ Xác định một số điểm đặc biệt: Giao với trục Ox, Oy

+ Nhận xét : giao điểm hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị

Dạng 7 biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

Phương pháp:

Để biện luận số nghiệm phương trình F(x, m) = 0 ta có thể biến đổi về dạng: f(x) = g(m), trong đó y = f(x) là hàm số đã khảo sát hoặc có thể dễ dàng khảo sát còn y = g(m) là đường thẳng phụ thuộc tham số m

Khi đó số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = g(m) chính bằng số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0

Nhận xét :

Với phương pháp này ta chú ý tới cách vẽ đồ thị các hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối:

* Đồ thị hàm số y = f(|x|):

Đồ thị hàm số y = f(|x|) được suy ra từ đồ thị hàm số y = f(x) bằng cách:

+ Giữ nguyên phần đồ thị phía bên phải trục Oy

+ Bỏ phần đồ thị phía bên trái trục Oy và lấy đối xứng phần bên phải qua trục Oy

Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn

* Đồ thị hàm số y = |f(x)|:

Đồ thị hàm số y = |f(x)| được suy ra từ đồ thị hàm số y = f(x) bằng cách:

+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục Ox

+ Bỏ phần đồ thị phía dưới trục Ox và lấy đối xứng phần phía dưới qua trục Ox

Dạng 8 tìm điểm cố định của họ đường cong

BÀI TOÁN :

Cho họ đường cong (C m):y f(x,m) ( m là tham số )

Tìm điểm cố định của họ đường cong (Cm)

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1: Gọi M0(x0;y0) là điểm cố định (nếu có) mà họ (Cm) đi qua Khi đó phương trình: y 0 f(x0,m) nghiệm đúng  m (1)

Bước 2: Biến đổi phương trình (1) về một trong các dạng sau:

Dạng 1: Am  B0 m

Dạng 2: Am2BmC0 m

Áp dụng : Am  B0















0

0

B

A



























0 0

0 0

2

C B

A m C

Bm

Bước 3: Giải hệ (2) hoặc (3) ta sẽ tìm được (x0;y0)

Chú ý : Hệ (2) hoặc (3) có n nghiệm thì có n điểm cố định mà họ (Cm) luôn đi qua

Dạng 9 tiếp tuyến, tiếp xúc và tương giao

Bài toán :

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là ( C ) Hãy viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết

1 Tiếp tuyến tại điểm M(x 0 ; y 0 )  (C): y - y0 = f’(x0)(x - x0)

2 Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước:

Cách 1:

- Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm Ta có f’(x0) = k

- Giải phương trình ta tìm được x0, rồi tìm y0 = f(x0) từ đó ta được phương trình tiếp tuyến

Cách 2: - PT đường thẳng (d) có hệ số góc k là : y = kx + b

- (d) tiếp xúc với ( C )  hệ















k x f

b kx x f

) (

) (

có nghiệm

- Giải hệ trên tìm được b từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến

Chú ý: Nếu  là tiếp tuyến và:

+  // d: y = ax + b  k = a

+   d: y = ax + b  k = -1/a

+  hợp với trục Ox một góc   k =  tan()

+  hợp với tia Ox một góc   k = tan()

3 Tiếp tuyến đi qua một điểm A(x 1 ; y 1 )

Cách 1: Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm

PTTT tại A(x0, f(x0)) là: y = f’(x0)(x - x0) + f(x0)

Vì A TT nên yA = f’(x0)(xA - x0) + f(x0)

Giải phương trình tìm xo từ đó ta được phương trình tiếp tuyến

Cách 2: Đường thẳng  đi qua A có hệ số góc k có phương trình: y = k(x - x ) + y A A

 là tiếp tuyến của (C)  hệ PT sau có nghiệm:  

f x = (x - x ) + y

* f' x

k k







 giải hệ phương trình bằng phương pháp thế để tìm k

Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn

Chú ý: - Nghiệm của (*) chính là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến

- Số nghiệm của (*) chính là số tiếp tuyến của ( C ) qua A Do đó muốn có n tiếp tuyến ta tìm điều kiện tham số sao cho hệ (*) có n nghiệm

E PHƯƠNG TRÌNH MŨ

I Các định nghĩa:

a n

n thua so

a   (n Z ,n 1,a R) a.a a     d n

n

1 a a



 (n Z , n 1, a R / 0 )      

b a 1  a a 

e

m

n m n

a  a ( a  0;m, n  N )

c a 0  1 a   0 f

m n

m n m n

a

a a



II Các tính chất :

m n m n

a a  a  (a ) m n  (a ) n m  a m.n (a.b) n  a b n n

m

m n

n

a

a

a





n

 



 

  III CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ:

1 Phương pháp đưa về cùng cơ số

a Phương pháp :

Cho phương trình f(x) = g(x) (1) (Trong đó f(x) và g(x) là các biểu thức chứa ẩn ở luỹ thừa) Biến đổi phương trình (1)

    

        

**







khi đó ta có

- PT (*) h x  p x 

- PT (**)  

0

x







 



2 Phương pháp đặt ẩn phụ:

2.1 Nếu phương trình có dạng :

   

2





a Phương pháp

Đặt t =  f x  ĐK t > 0 khi đó phương trình trở thành

2

a t b t c

a t b t c t d





Giải phương trình tìm t suy ra x

2.2 Nếu phương trình có dạng : 2       2  

a Phương pháp

Chia hai vế của phương trình cho

 

 

2 2

f x

f x











khi đó phương trình

2

0

Đặt t =

 

f x





 

 

 

ĐK t > 0 khi đó phương trình trở thành a t.2b t c  0 Giải phương trình tìm t suy ra x

Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn

2.3 Nếu phương trình có dạng :a. f x b. f x  c 0 trong đó  1

Phương pháp : Đặt f x  f x  1

t

t

   ĐK t > 0 khi đó phương trình trở thành

2

a t c t b  Giải phương trình tìm t suy ra x

3 Phương pháp lôgarít hóa

Phương pháp:

Cho phương trình f(x) = 0 (1) (Trong đó f(x) là biểu thức chứa ẩn ở luỹ thừa).Nếu phương trình sau khi biến đổi có dạng a h x b g x   * với 0a b, 1ta lấy logarit cơ số a hoặc cơ số b hai vế

của phương trình (*) khi đó phương trình (*) trở thành:      

.log 1

a b







4 Phương pháp đoán nghiệm và chứng minh nghiệm là duy nhất

Phương pháp : * Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất

(thường là sử dụng công cụ đạo hàm)

* Ta thường sử dụng các tính chất sau:

Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = C

có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0  (a;b) sao cho f(x0) = C thì

đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong

khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) (do đó nếu tồn tại x0  (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x) )

- Nếu pt cần giải có dạng

     

     

1 2

f x







và ta có thể đoán ra được một nghiệm x0 

- Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ ya f x với đồ thị (C/) của hàm số mủ yb g x 

- Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ ya f x với đồ thị (C/) của hàm sốyg x 

- Từ tính chất

Nếu hàm số y f x là một hàm số đồng biến và hàm số yg x là hàm số nghịch biến hoặc ngược lại thì (C) và (C/) cắt nhau tại duy nhất một điểm Nên phương trình (1) hay (2) có duy nhất nghiệmx0

- Chú ý:

Nếu là bài toán tìm giá trị của tham số để phương trình có có nghiệm khi đó dựa vào tính chất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị của hàm số y = f(x) và đường thẳng d: y = g(m) cắt nhau Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:

+ B1: Lập bảng biến thiên của hàm số

+ B2: Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng d: y = g(m) cắt đồ thị hs y = f(x)

F TÍCH PHÂN

I BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM

Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C

a ( hằng số) ax + C

x 

1

1

x C









a

1

ax b

C











