Một số chuỗi ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan ( luận văn ths toán học)

18 2 Một số bất đẳng thức cơ bản cho tổ hợp tuyến tính ngẫu nhiên của các biến ngẫu nhiên độc lập 21 2.1 Bất đẳng thức Levy - Octaviani... Trong luận văn này, tác giả xin được trình bày

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình và cũng hết sức nghiêm khắccủa TS Nguyễn Thịnh Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác giả muốnbày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người thầy đáng kính của mình Thầy đãluôn tận tình hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tác giả trong suốt quá trìnhlàm luận văn

Tác giả cũng muốn gửi tới toàn thể các thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đạihọc Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô đã đảm nhận giảng dạykhóa Cao học 2014 - 2016, đặc biệt là các thầy cô tham gia giảng dạy nhóm Xác suấtthống kê 2014 - 2016 lời cảm ơn chân thành đối với công lao dạy dỗ trong suốt thời giancủa khóa học

Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các anh chị em trong nhóm Xácsuất thống kê 2014 - 2016 đã quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện và động viên tinh thần đểtác giả có thể hoàn thành được khóa học này

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng năm 2017

Học viên

Lại Thị Thu

Mục lục

1.1 Các dạng hội tụ cơ bản 7

1.2 Các dãy Bernoulli, dãy Gauss chuẩn tắc và dãyα- ổn định chuẩn tắc 10

1.3 Modun trên các không gian tuyến tính 12

1.4 Lọc và thời điểm dừng 14

1.5 Martingale giá trị thực 14

1.6 Các bất đẳng thức cơ bản 17

1.7 Một số kết quả của martingale thực 18

2 Một số bất đẳng thức cơ bản cho tổ hợp tuyến tính ngẫu nhiên của các biến ngẫu nhiên độc lập 21 2.1 Bất đẳng thức Levy - Octaviani 21

2.2 Bất đẳng thức co 25

2.3 Bất đẳng thức Moment 27

3 Sự hội tụ và các nguyên lí trội của chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập 32 3.1 Định lý Ito-Nisio 33

3.2 Sự hội tụ theo trung bình cấp p 35

MỤC LỤC

3.3 Moment mũ và các moment khác của chuỗi ngẫu nhiên 40

3.4 Phép trội yếu 45

3.5 Phép trội mạnh 50

4 Martingale và các nguyên lí trội cho Martingale 56 4.1 Các bất đẳng thức Doob 56

4.2 Sự hội tụ của martingale 61

4.3 Các dãy tách rời và các dãy tiếp xúc 65

4.4 Phép trội yếu cho martingale 68

4.5 Phép trội mạnh cho martingale 72

C-các hàm lồi liên tục không âm.

D(T )- Không gian Skorohod trênT

E (X )- Kì vọng của biến ngẫu nhiênX

E , F - Không gian Banach thực khả ly hoặc không gian metric tuyến tính đầy đủ

E0, F0- Không gian đối ngẫu củaE , F

F,G-σ−đại số của các tập

(F(t )), (Fi)-Các lọc

H-Không gian Hilbert

­h, g ®-Tích trong trên một không gian Hilbert.

HC- Lớp siêu co

I A(.)-Hàm chỉ tiêu của tập A

L p-Không gian các hàmp−khả tích

L0-Không gian các hàm đo được

L ϕ-Không gian Musielak-Orlicz

L(X )-Phân phối của các biến ngẫu nhiên X

P1-Các quá trình tiên đoán được hoặc các dãy với giá trị tuyệt đối≤ 1.

P N Q-Tích của 2 độ đo hoặc một độ đo và một hạt nhân (kernel) chuyển

dαe- Số nguyên bé nhất lớn hơn hoặc bằngα.

bαc- Số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằngα

(ε k)- Các biến ngẫu nhiên Bernoulli (Rademacher) hoặc một dãy bằng±1

µ X =L(X )- độ đo phân phối củaX

π,ρ- Các modun

σ(A),σ(X )-σ−trường sinh bởiA, X

P∗-maxhoặcsupcủa các tổng riêng

ξ,η- Các biến ngẫu nhiên thực

ϕ,Φ- Hàm Musielak- Orlicz và modun

φ ε-Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiênξ

(Ω,F, P )-Không gian xác suất

Lời mở đầu

Hiện nay, xác suất thống kê ngày càng đóng vai trò quan trọng trong rất nhiều lĩnh vực

và càng ngày càng được phổ biến một cách rộng rãi Cũng vì lẽ đó, Lý thuyết xác suất

đã trở thành một ngành nghiên cứu đặc biệt được coi trọng trong ứng dụng vì tính thựctiễn của nó trong việc dự báo, tính toán và tìm ra những quy luật trong tự nhiên cũngnhư trong cuộc sống hàng ngày

Tất nhiên, cũng vì sự quan trọng và được phát triển trong một quãng thời gian rất dài bởinhững nhà toán học lỗi lạc trên thế giới, nên khi đi sâu vào tìm hiểu và nghiên cứu ta sẽthấy Lý thuyết xác suất được chia ra làm rất nhiều mảng kiển thức để có thể tìm hiểu vàphát triển Vì vậy tác giả cũng chỉ xin được tìm hiểu và nghiên cứu một mảng nhỏ trongthế giới của ngành toán học rộng lớn bao la này

Trong luận văn này, tác giả xin được trình bày về một số chuỗi ngẫu nhiên và các vấn

đề liên quan Luận văn của tác giả được chia làm 3 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, tác giả giới thiệu chung về các kiến thức cơ sở để làm nền tảnggiúp người đọc có thể theo dõi và thấu hiểu được hoàn toàn nội dung của các chươngsau Kiến thức trong chương này bao gồm: Các dạng hội tụ cơ bản, các bất đẳng thức cơ

sở, định nghĩa lọc, thời điểm dừng, martingale giá trị thực

Chương 2 Một số bất đẳng thức cơ bản cho tổ hợp tuyến tính ngẫu nhiên của cácbiến ngẫu nhiên độc lập Trong chương này, tác giả giới thiệu về các bất đẳng thức cho

tổ hợp tuyến tính ngẫu nhiên của các biến ngẫu nhiên độc lập bao gồm: bất đẳng thứcLevy-Octaviani, bất đẳng thức co và bất đẳng thức Moment

Chương 3 Sự hội tụ và các nguyên lí trội của chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lậpTrong chương này, tác giả trình bày kiến thức về các tính chất của các chuỗi ngẫu

nhiên của các biến ngẫu nhiên độc lập, bao gồm tính hội tụ và các phép làm trội củachuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập.

Chương 4 Martingale và các nguyên lí trội cho Martingale

Trong chương này, tác giả giới thiệu một khái niệm có liên quan đến chuỗi các biếnngẫu nhiên, đó chính là martingale và các tính chất về các phép trội cho khái niệm này

Để nghiên cứu về đề tài "Một số chuỗi ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan", tác giả

đã tham khảo một số tài liệu trong và ngoài nước về Xác suất nâng cao, các chuỗi ngẫunhiên và tích phân ngẫu nhiên Trong đó

◦Nội dung chính chương 1 của luận văn tham khảo tài liệu [1] [3] và [6];

◦Nội dung chính chương 2 của luận văn tham khảo tài liệu [6];

◦Nội dung chính chương 3 của luận văn tham khảo tài liệu [6];

Định nghĩa 1.1.1 (Hội tụ hầu chắc chắn) Cho dãy (X n)các biến ngẫu nhiên.

i) Nếu P {ω : ∃lim n X n(ω)} = 1 thì ta nói dãy (X n)hội tụ hầu chắc chắn.

ii) Nếu X là một biến ngẫu nhiên và P { ω : lim n X n(ω) = X (ω)} = 1 thì ta nói dãy (X n)hội tụ hầu chắc chắn tới X

Định lý 1.1.2 i) Điều kiện cần và đủ để dãy (X n)hội tụ hầu chắc chắn là với mọi r > 0

Định nghĩa 1.1.3 (Hội tụ theo xác suất) Cho dãy (X n)các biến ngẫu nhiên.

Nếu với mọi ε > 0 ta có

1.1 CÁC DẠNG HỘI TỤ CƠ BẢN

Định lý 1.1.6 Dãy biến ngẫu nhiên (X n ) ⊂ L p hội tụ trung bình cấp p khi và chỉ khi

lim

m,k→∞ E |X m − X k|p= 0

Định lý 1.1.7. 1 Nếu dãy (X n)trung bình cấp p thì dãy (X n)hội tụ theo xác suất.

2 Sự hội tụ trung bình cấp p không nhất thiết kéo theo sự hội tụ hầu chắc chắn.

3 Sự hội tụ hầu chắc chắn không nhất thiết kéo theo sự hội tụ trung bình cấp p

Định nghĩa 1.1.8 (Hội tụ theo phân bố) Cho dãy X n các biến ngẫu nhiên Gọi F n (x), F (x)

tương ứng là hàm phân bố xác suất của X n và của X Gọi C (F ) là tập các điểm liên tục của hàm F Ta nói rằng (X n)hội tụ theo phân bố tới X và kí hiệu là X n → X d , nếu với mọi

Định lý 1.1.10 Cho dãy X n các biến ngẫu nhiên Để dãy (X n)hội tụ theo phân bố tới X

điều kiện cần và đủ là: với mọi hàm liên tục bị chặn f (x) ta có

1.2 CÁC DÃY BERNOULLI, DÃY GAUSS CHUẨN TẮC VÀ DÃYα- ỔN ĐỊNH CHUẨN TẮC

Định nghĩa 1.1.11 (Hội tụ yếu) Dãy (F n) ⊂M được gọi là hội tụ yếu tới F ∈ M nếu với mọi

• Bất kỳ dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân bốε1,ε2, sao choP ( ε1= ±1) =12

được gọi là một dãy Bernoulli Ta xét dãy Bernoulli hữu hạnε1, ,ε n

• Một dãy Gauss chuẩn tắc được kí hiệu là γ1,γ2, là một dãy của các biến ngẫunhiên độc lập có cùng phân phốiN (0, 1), tức là:

Ta xét các dãy Gauss hữu hạn chuẩn tắcγ1,γ2, ,γ n

• Cho 0 < α < 2 Một dãyα- ổn định chuẩn tắc là một dãy các biến ngẫu nhiên độclập có cùng phân bố sao cho, với mỗit ∈ R

E exp(i t ξ1) = exp(−|t| α)

Các tính chất của phân phối ổn định:

Choξlà một biến ngẫu nhiên đối xứngα- ổn định trênR Khi đó, vớit ∈ R,ta có:

E ‚tξ2ƒ ∼ |t | α∧ 1 (1.2)

1.2 CÁC DÃY BERNOULLI, DÃY GAUSS CHUẨN TẮC VÀ DÃYα- ỔN ĐỊNH CHUẨN TẮC

a/|a| nếu|a| > 1

và trong đó một quan hệ tương đương" ∼ "được hiểu như sau nếu A(t ), B (t ), t ∈ T là cáchàm không âm thì ta nói rằng A(t ) ∼ B(t)vớit ∈ I ⊂ T, nếu tồn tại2hằng sốc,C > 0saochoc A(t ) ≤ B(t) ≤ C A(t),∀t ∈ I

Nếuα < 2, thì tồn tạit0> 0sao cho với bất kỳt ≥ t0ta có:

1.3 MODUN TRÊN CÁC KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH

1.3 Modun trên các không gian tuyến tính

Những kí hiệu và định nghĩa của ta liên quan đến các modun được thiết kế cho nhu cầucủa luận văn này nhưng có thể không phù hợp với thuật ngữ chính thống và văn phongchuẩn của bộ môn

Cho E là một không gian tuyến tính Một phiếm hàm Φ : E → [0,∞] được gọi là mộtmodun nếu:

Ta cũng sẽ cần các tính chất dưới đây của modun

5 [50] Tồn tại một hàm liên tục [liên tục tại điểm (0; 0)] ψ : R+× R+ → R+ sao cho

ψ(s,0) = ψ(0,s) = svới mỗis ∈ R+thì ta cóΦ(x, y) ≤ ψ(Φ(x),Φ(y))với mỗix, y ∈ E

Ví dụ, bất kì modun thỏa mãn điều kiện

6 Choα > 0và mọix, y ∈ E

Φα (x + y) ≤ Φ α (x) + Φ α (y)

1.3 MODUN TRÊN CÁC KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH

có tính chất 5 Hơn nữa, nếu một modunΦlà một tăng trưởng trung bình thì nó cótính chất[50]

NếuΦ là một modun thỏa mãn điều kiện [50] thì Φđịnh nghĩa một topo trênE,trong đó phép cộng và phép nhân vô hướng là liên tục ( nói cách khác, topo này làtuyến tính) nhưng không cần thiết là Hausdorff Topo này được xác định bởi điềukiện: Dãy(x n ) ⊂ E hội tụ tới0trên topo này khi và chỉ khiΦ(x n) → 0(và có thể đượccho bởi một giả metric không phải khả ly các điểm) Một cách tổng quát, ta viết:

Khi đó, δlà một modun mới trên E, δthuần nhất, tức là δ(tx) = |t|δ(x)với bất kỳ

t ∈ Rvàx ∈ E NếuΦthỏa mãn điều kiện 5 thì với mỗi dãyx n−→ xΦ 0, ta có:

1.4 LỌC VÀ THỜI ĐIỂM DỪNG

vớiA = C δ logC /C1,r = logC /C1,B = C δ logC /C2vàs = logC /C2

Bên cạnh tính chất 5, modunΦthỏa mãn tính chất sau:

8 Với bất kỳx ∈ E , x 6= 0, hàmΦ(tx)là hàm tăng trênt ∈ R+thìx n−→ xΦ 0suy raδΦ(x n) →

δΦ(x0)

Cho(Ω,F, P )là một không gian xác suất và choIlà một trong những tập sau:R+, N , [0, t∞]

vớit∞> 0hoặc{1, , n}vớin ∈ N

Một họFt , t ∈ I củaσ- trường con củaF được gọi là lọc nếu với mỗit , s ∈ I sao chot < s,

ta cóFt⊂Fs

Một ánh xạτ : Ω → I S+∞được gọi là một thời điểm dừng nếu với mỗit ∈ I, ta có{τ > t} ∈

Ft (và khi đó{τ ≥ t} ∈Ft cũng đúng) NếuI = N thìτlà một thời điểm dừng khi và chỉ khivới mỗin ∈ N, ta có{τ = n} ∈Fn Hơn nữa, trong trường hợp này{τ ≥ n} ∈Fn−1

1.5 Martingale giá trị thực

 Khái niệm tương thích và dự báo được

Cácσ- trường liên quan tới dãy ngẫu nhiên Giả sử(Ω,A, P )là không gian xác suất,F⊂A

làσ- trường con củaA vàX là biến ngẫu nhiên nào đó Ta nói rằngX tương thích vớiFnếuX làF- đo được Trong trường hợp đó, ta viết

Định nghĩa 1.5.1 Với các ký hiệu như trên, ta nói rằng quá trình ngẫu nhiên X = {X n,Fn , n ∈

N}là dãy tương thích, nếu X n∈Fn với mỗi n ∈ N

Ta nói rằng V = {V n,Fn−1 , n ∈ N,F−1=F0}là dãy dự báo được, nếu V n∈Fn−1 với mỗi n ∈ N

 Thời điểm Markov và thời điểm dừng

Từ nay về sau ta luôn giữ các giả thiết sau:

• (Ω,A, P )là không gian xác suất vớiA chứa tất cả các tập có xác suất 0 (tập O đượcgọi là xác suất 0, nếu tồn tạiA ∈A sao choP (A) = 0vàO ⊂ A) Trong trường hợp này,

ta nói(Ω,A, P )là không gian xác suất đầy đủ

n=0

Fn

• martingale trên (đối với{Fn , n ∈ N} ), nếu:

(i) {X n,Fn , n ∈ N} là dãy tương thích;

1.7 MỘT SỐ KẾT QUẢ CỦA MARTINGALE THỰC

thì

(b − a)Eν ≤ E(X n − a)+− E(X0− a)+

Tiếp theo tác giả xin giới thiệu hai bất đẳng thức sẽ được sử dụng trong các chươngtiếp theo đó là bất đẳng thức đuôi và bất đẳng thức Paley-Zygmund

Mệnh đề 1.6.1 (Bất đẳng thức đuôi) Cho ξ i , i = 0,1,2, là một dãy các biến ngẫu nhiên không âm và α i , i = 0,1,2, là một dãy các số không âm Nếu với mỗi t ∈ R+

∞X

1.7 Một số kết quả của martingale thực

Phần này ta sẽ trình bày một số định lý về sự hội tụ của martingale thực và một số kếtquả khác

Định lý 1.7.1 (Định lý Doob) Nếu {X n,Fn , n ∈ N} là martingale dưới và L1- bị chặn, tức là

sup

n E |X n| < ∞,

thì dãy (X n)hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên X∞nào đó với

E |X∞| < ∞

1.7 MỘT SỐ KẾT QUẢ CỦA MARTINGALE THỰC

Hệ quả 1.7.2 Nếu {X n,Fn , n ∈ N} là martingale dưới không dương (hoặc martingale trên không âm), thì dãy (X n)hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên X∞.

Hệ quả 1.7.3 Giả sử {X n,Fn , n ∈ N} là martingale dưới không dương (hoặc martingale trên không âm) Khi đó, dãy X = {X n,Fn , n ∈ N} , với

X∞= lim

n→∞ X n,F∞= σ(

∞[

n=0

Fn)

lập thành martingale dưới không dương (martingale trên không âm).

Hệ quả 1.7.4 Giả sử (X n)là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và (S n)là dãy các tổng riêng của nó:

S0= X0, S n = X0+ · · · + X n

Khi đó, các điều khẳng định sau là tương đương:

(i) (S n)hội tụ hầu chắc chắn;

(ii) (S n)hội tụ theo xác suất;

(iii) (S n)hội tụ theo phân phối.

Định lý 1.7.5 (Định lý hội tụ trong L p ) Giả sử 1 < p < ∞ Nếu {X n,Fn , n ∈ N} là martingale

1.7 MỘT SỐ KẾT QUẢ CỦA MARTINGALE THỰC

Định lý 1.7.8 (Định lý Levy) Giả sử X ∈ L1và(Fn)là dãy các σ - trường con không giảm của A Khi đó, hầu chắc chắn

Chương 2

Một số bất đẳng thức cơ bản cho tổ hợp tuyến tính ngẫu nhiên của các biến ngẫu nhiên độc lập

Chương này bao gồm các bất đẳng thức cơ bản về tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập

có giá trị trên một không gian Banach khả ly(F, ||.||) Những bất đẳng thức này sẽ được sửdụng rộng rãi trong suốt phần còn lại của luận văn

Ta quy ước rằng, nếuX1, X2, là một dãy các biến ngẫu nhiên với các giá trị nằm trênF

được chứng minh từ phần đầu của định lý.

Trong trường hợp khimax1≤i ≤n P (||S i|| >3t) ≥13 thì công thức trên hiển nhiên đúng

Để chứng minh ý thứ 2 của định lý, ta kí hiệu:

ta thu được bất đẳng thức thứ hai của mệnh đề.

Kết quả dưới đây so sánh các momen của tổngS n với các momen của cực đạiS n∗và

X n∗là một hệ quả trực tiếp của hai mệnh đề trên và mệnh đề1.6.1

Hệ quả 2.1.1 Nếu X1, , X n là biến ngẫu nhiên độc lập và đối xứng có giá trị trên F và

Mệnh đề 2.2.1 Cho X1, , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập và đối xứng có các giá trị trên F Khi đó, với mỗi dãy α1, ,α n ∈ R và bất kỳ t > 0 , ta có

Chứng minh Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng 1 = α1≥ α2≥ · · · ≥ α n≥ 0 Khi đó,

Do đó, theo mệnh đề2.1.1ta thu được bất đẳng thức thỏa mãn

Hệ quả 2.2.1 Cho X1, , X n là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, đối xứng có giá trị trên F , và cho ξ1, ,ξ n là một dãy các biến ngẫu nhiên thực sao cho |ξ i| ≤ 1, với i = 1,n và sao cho ξ1X1, ,ξ n X n là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, đối xứng có giá trị trên F Khi đó:

Chứng minh. 1 Cho(ε i)là một dãy Beroulli độc lập đối với dãy(ξ i X i)và(X i) Theogiả thiết dãy(ξ i X i)và dãy(ξ i X i ε i)có cùng phân phối Dãy(X i)và dãy(ε i X i)cũng cócùng phân phối.

Tiếp theo, áp dụng điều kiện của mệnh đề2.2.1, choα i := ξ i(ω),X i := ε i X i(ω)và sau

1 được chứng minh xong

2 Chứng minh 2) là một hệ quả trực tiếp của 1) và mệnh đề1.6.1

3 Đưa dãy Beroulli(ε i)vào và tiến hành một cách chính xác như trong chứng minh1), ta chỉ ra rằng(ε i)thỏa mãn 3) chỉ trong trường hợp(ξ i)là các đại lượng vô hướngkhông ngẫu nhiên

Trong trường hợp cụ thể này, chứng minh này được hoàn thành bằng cách quy nạptrênnvà áp dụng của bất đẳng thức dưới đây

Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập và đối xứng có giá trị trên F vàα ∈ R,

Bất đẳng thức sau là một hệ quả trực tiếp, theo tính lồi của chuẩn và củaϕvà của

Từ cái nhìn ban đầu, các bất đẳng thức của phần này rất khó sử dụng Tuy nhiên, xem xét

kĩ hơn, các nhà khoa học đã chứng minh được nó là vô cùng hiệu quả, đặc biệt trong cáctrường hợp khi cực đạiS∗ncủa các tổng phải được so sánh với cực đạiX n∗của các số hạng.Chúng ta sẽ liên tục sử dụng những bất đẳng thức này cho những phần sau Chúng tanhắc lại kí hiệu

Chứng minh Với i = 1, ,n, ta định nghĩa A i = {||S j || ≤ t , ∀ j < i , ||S i || > t }

Khi đó:A1, , A nlà đôi một rời nhau và∪n i =1 A i = {S∗n > t }

Hơn nữa

{S∗n > s + t + u} ∩ {X n∗≤ u} ⊂ ∪ n i =1 (A i∩ { max

i <k≤n ||S k − S i || > s})

số hạng cuối cùng này được ước lượng bởi2P (||S n || > s)theo mệnh đề2.1.1

Mệnh đề 2.3.2 Cho p > 0 Nếu X1, , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trên F

trong đó vế phải luôn dương.

Chứng minh Thay s = t = utrong mệnh đề2.3.1, ta thu được

0

ps p−1 P ( ξ > s)ds,

2.3 BẤT ĐẲNG THỨC MOMENT

ta thu được, với bất kìt ≥ 0,

3−p E (S∗n)p=

∞Z

0

ps p−1 P (S∗n > 3s)d s

≤

∞Z

và mệnh đề được chứng minh xong

Chú ý Nếu X1, , X nlà đối xứng và độc lập thì việc sử dụng phần thứ hai của mệnh

đề2.3.1và tiến hành như trên, ta thu được điều sau, với bất kỳt ≥ 0

E (S∗n)p ≤ E (X

∗

n)p + t p

3−p − 2P (||S n || > t ),

trong đó vế phải luôn dương

Mệnh đề 2.3.3 Nếu X1, , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trên F thì với bất

Một lần nữa, theo công thức (2.3) số hạng cuối cùng được ước lượng bằng1 − P(X n∗> t ),

2.3 BẤT ĐẲNG THỨC MOMENT

mệnh đề được chứng minh

Các bất đẳng thức đuôi cho các tổ hợp tuyến tính ngẫu nhiên Beroulli và Gaussian

Các bất đẳng thức của định lý2.3.1có thể được cải thiện một cách đáng kể trong trường

hợp đặc biệt của các chuỗi Beroulli trongF

Mệnh đề 2.3.4 Cho ε1, ,ε n là một dãy Beroulli, cho x1, , x n ∈ F và cho S n=Pn

i =1 x i ε i Khi đó, với bất kì s, t >0, ta có

Hơn nữa, nó là một tính chất rõ ràng của dãy Beroulliε1,ε2, ,màε1, ,ε i,ε i.ε i +1,ε i.ε i +2, ,ε i.ε n

là một dãy Beroulli khác Phần còn lại của chứng minh này theo chứng minh của mệnh

đề2.3.1

Chú ý Trong trường hợp của chuỗi ngẫu nhiên Gaussian, một sự tương tự của bất

đẳng thức thứ hai trong mệnh đề2.3.4cũng có thể thu được (với một hằng số tốt hơn)

2.3 BẤT ĐẲNG THỨC MOMENT

thì với bất kìs, t > 0

P (||S n || > s + t ) ≤ 2P (||S n || > s).P (||S n || > t ).

ly hoặc chỉ là một không gian metric tuyến tính khả ly).

Trước khi bắt đầu ta sẽ nhắc lại về mặt định nghĩa và quy ước đã đề cập phía trên:

i =1 X i hội tụ theo xác suất;

(iii) Các phân phốiL(S n ), n = 1,2, , hội tụ yếu.

Ngoài ra, nếu X1, X2, đối xứng, thì các điều kiện (i)-(iii) tương đương với ba điều kiện dưới đây:

(iv) Dãy các phân phối(L(S n))là compact tương đối.

(v) Tồn tại một biến ngẫu nhiên S có giá trị trên F , và một họ D ⊂ F0 các điểm khả ly của F sao cho với mỗi x0∈ D , chuỗiP∞

i =1 x0(X i)hội tụ hầu chắc chắn tới x0(S) ;

(vi) Tồn tại một độ đo xác suất µ trên F , và một họ tuyến tính D ⊂ F0các điểm khả ly của F sao cho, với mỗi x0∈ D , chuỗiP∞

i =1 x0(X i)hội tụ theo phân phối tới x0(µ)

Chứng minh Rõ ràng, (i ) ⇒ (i i ) ⇒ (i i i ) ⇒ (i v) và (i ) ⇒ (v) ⇒ (vi ) là hiển nhiên Từ bấtđẳng thức dạng Lévy-Octavian trong Mệnh đề2.1.1ta chứng minh được ngay(i i ) ⇒ (i )

Ta chứng minh(i i i ) ⇒ (i i ) Dãy(S n)hội tụ theo xác suất khi và chỉ khi lim

n>m→∞ (S n − S m) = 0

theo xác suất hoặc tương đương với khi và chỉ khi các phân phốiL(S n − S m ) → δ0yếu, khi

n > m → ∞ Do đó, với mỗi compactK ⊂ F, ta cóP (S n −S m ∉ K −K ) ≤ P (S n ∉ K )+P (S m ∉ −K ),

để(i i i )suy ra rằng dãy{L(S n − S m)}n>mlà compact tương đối yếu Choµlà giới hạn của

khik → ∞ Do đó,µ ∗ ν = µsuy raν = δ0và ta thu được(i i i ) ⇒ (i i ).

Ta chứng minh(i v) ⇒ (i i i ) Theo giả thiết ta thấy rằng, tồn tại một dãyn k→ ∞sao chocác phân phốiL(S n k)hội tụ yếu Khi đó, lập luận trước đó suy ra rằng dãy (S n k)hội tụtheo xác suất Vì vậy theo Mệnh đề2.1.1suy ra rằng(S n)hội tụ theo xác suất

Ta chứng minh(v) ⇒ (i v) Đầu tiên, theo giả thiết của(v)ta sẽ chứng minh rằng với mỗi

n = 1,2, , các biến ngẫu nhiênS n vàS − S n độc lập Thật vậy, với mỗix0∈ D, biến ngẫunhiênS − S n là vô hướng đo được đối vớiσ(X n+1 , X n+2, )và vìD là một tập toàn phầntrongF0, nên S − S n cũng là đo được mạnh đối với σ−trường đó Bây giờ, vớiε > 0 chotrước,K là một tập con lồi, compact củaF vớiP (S ∈ K ) ≥ 1 − ε, và

P (S n ∉ K ) ≤ P (S ∉ K ) + P (2S n − S ∉ K ).

VìL(S) =L(2S n − S)theo tính đối xứng, ta thu đượcP (S n ∉ K ) ≤ 2P (S ∉ K ) ≤ 2ε Do đó, dãy

(L(S n))là compac tương đối yếu

Kế tiếp ta chứng minh(i v) ⇒ (v) Chox01, x20, ··· ∈ D0là một dãy các phiếm hàm khả ly cácđiểm củaF Một dãy như vậy tồn tại theo tính chất khả ly củaF

Theo giả thiết, với mỗik = 1,2, , chuỗiP∞

i =1 x k0(X i)hội tụ theo phân phối tớix k0(µ) Do

đó, từ (i i i ) ⇒ (i )đã được chứng minh, chuỗi P∞

i =1 x k0(X i)hội tụ hầu chắc chắn tới mộtbiến ngẫu nhiênξ k Choα1,α n, là một dãy các số dương sao cholimk→∞ α k ξ k= 0hầuchắc chắn vàlimk→∞ α k ∥ x k0 ∥= 0 Bất đẳng thức đầu tiên có nghĩa là Z = (α k ξ k)là mộtbiến ngẫu nhiên có giá trị trên c0, trong đó c0 là không gian Banach của tất cả các dãythực hội tụ tới0 Bất đẳng thức thứ hai suy ra rằng toán tửT : F → c0được cho bởiT x =

3.2 SỰ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH CẤP P

Vì các phiếm hàmb0của dãy trên là trù mật trongc00, ta thu đượcL(Z ) = T (µ) Độ đo ảnh

T (µ)được cho trên một tập con Borel (trongc0) củaT (F )bởi vìµđược cho trên một hợpđếm được các tập compacK n ⊂ F, n = 1, 2, sao choT ( µ)được cho trên∪∞n=1 T (K n)là mộttập con Borel củac0, vì tất cảT (K n)là compac trongc0 Do đó,Z ∈ T (F )hầu chắc chắn và

S = T−1Z là một hàm xác định trênΩ, đồng thời là một biến ngẫu nhiên có giá trị trênF

bởi vì với mỗik = 1,2, , x k0(S) = ξ k là một biến ngẫu nhiên và bề rộngx10, x20, σ- trườngBorel trongF

Vì vậy, với mỗik = 1,2, , dãyx0k (S k ) → ξ k = x0k (S)hầu chắc chắn khik → ∞, ta suy ra được(v) theo sự tương đương của(i ) ⇔ (v)

3.2 Sự hội tụ theo trung bình cấp p

Trong thực tế, ta thường thấy rằng dễ dàng khảo sát sự hội tụ theo trung bình cấp p hơn

là hội tụ hầu chắc chắn Hơn nữa, trong nhiều trường hợp sự hội tụ theo trung bình cấp

p có vai trò quan trọng để có thông tin về các moment của chuỗi các biến ngẫu nhiênđộc lập trên không gianF (được giả sử trong phần này là một không gian Banach khả ly)

Định lý 3.2.1 Cho p > 0 và cho X1, X2, là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trên F Nếu chuỗiP∞

i =1 X i hội tụ hầu chắc chắn tới S thì các điều kiện dưới đây là tương đương:

3.2 SỰ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH CẤP P

(i) E (S∗)p< ∞

(ii) E (X∗)p< ∞

(iii) Với t > 0, ta có

∞X

Chứng minh (i ) ⇒ (i i ) Từ bất đẳng thức2S∗≥ X∗ta chứng minh được điều này

(i i ) ⇒ (i ) Điều suy ra này đúng bởi vì P∞

i =1 X i hội tụ hầu chắc chắn và do đó, vớia < 1

cho trước và t đủ lớn sao choP (S∗> t ) < 3 −p a theo mệnh đề2.3.1và một chú ý mở củachương này thì

i =1

P (||X i || > s)

Theo mệnh đề1.6.1, ta có

∞X

i =1

E ||X i||p I {||X i ||>t }≤ 1

1 − a E (X

∗)p I {X∗>t } (3.3)

Suy ra rằng(i i i )thỏa mãn vớit = t0> 0

Để chứng minh rằng bất đẳng thức trên cũng suy ra(i i i )đúng với bất kìt < t , (trường