tập ngẫu nhiên hữu hạn trong thống kê

Lý thuyết về các tập ngẫu nhiên là một sự tổng quát tự nhiên của biến ngẫu nhiên về véctơ ngẫu nhiên.. Như vậy, nghiên cứu tập ngẫu nhiên như là công cụ toán học để giải quyết các bài to

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

TRƯƠNG NGỌC TRIẾT

L ỜI CÁM ƠN

Lời cám ơn sâu sắc nhất, tôi xin chân thành cảm ơn cố PGS-TS Đậu Thế

Cấp, người đã giảng dạy cho tôi trong khóa học, người đã gợi mở cho tôi đến với đề tài này; xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến Thầy của tôi – TS Nguyễn Chí Long, người

đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn Thạc sĩ này

Tôi xin gửi lời cám ơn đến quý Thầy, Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc và cho tôi những nhận xét về luận văn

Tôi xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, quý Thầy, Cô của Khoa Toán – Tin học, quý Thầy, Cô thuộc Phòng Quản lý Khoa học Sau Đại học Trường Đại học

Sư phạm TP.HCM đã trang bị cho tôi kiến thức cũng như đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thầy Cô – những đồng nghiệp của tôi Trường THPT Chuyên Trần Hưng Đạo – Phan Thiết – Bình Thuận đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong công việc để tôi thuận lợi hơn trong quá trình học tập

Tôi cũng xin cám ơn các bạn học viên cùng lớp Cao học Giải Tích khóa 20

đã chia sẻ, giúp đỡ nhau trong suốt quá trình học tập

Cuối cùng là lời cám ơn tôi dành cho những người thân trong gia đình tôi,

những người luôn động viên tôi trong suốt thời gian qua

TP Hồ Chí Minh, Tháng 3 năm 2012

Trương Ngọc Triết

MỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN 1

MỞ ĐẦU 3

CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG XÁC SUẤT 5

1.1 Đại số và σ -đại số 5

1.2 Độ đo xác suất 8

1.3 Phần tử ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên, véctơ ngẫu nhiên 15

1.4 Hàm phân phối, hàm mật độ của biến ngẫu nhiên và vécto ngẫu nhiên 20

CHƯƠNG II: MỘT VÀI TẬP NGẪU NHIÊN TRONG THỐNG KÊ 27

2.1 Miền tin cậy 27

2.2 Thống kê Bayes 34

CHƯƠNG 3: TẬP NGẪU NHIÊN HỮU HẠN 36

3.1 Tập ngẫu nhiên và phân phối của chúng 37

3.2 Tập giá trị quan sát 42

3.3 Hàm quyết định với tập ngẫu nhiên 48

3.4 Kì vọng của tập ngẫu nhiên 51

3.5 Phân phối Entropy cực đại 52

3.6 Quan hệ giữa vấn đề entropy cực đại với tập ngẫu nhiên 58

KẾT LUẬN 60

TÀI LIỆU THAM KHẢO 61

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Xác suất là ngành toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên Lý thuyết xác suất gắn liền với thống kê toán học, là khoa học về phương pháp thu thập và phân tích dữ liệu, thông tin định lượng Xác suất thống kê được ứng dụng rộng rãi trong kinh tế, trong khoa học kĩ thuật và cả trong nhiều lĩnh vực của khoa học xã hội và nhân văn

Lý thuyết về các tập ngẫu nhiên là một sự tổng quát tự nhiên của biến ngẫu nhiên về véctơ ngẫu nhiên Tập hợp dữ liệu ngẫu nhiên cũng có thể được xem như

là quan sát không chính xác, không đầy đủ nhưng là thường xuyên trong xã hội công nghệ ngày nay Khi mô hình cho các thiết lập giá trị quan sát là cơ sở để thu thập, nhận thức thông tin thì tập ngẫu nhiên là một loại mới của dữ liệu Như vậy, nghiên cứu tập ngẫu nhiên như là công cụ toán học để giải quyết các bài toán xác suất thống kê

Các nghiên cứu mới về tập ngẫu nhiên cho phép chúng ta mở rộng thêm vài tính chất của hàm phân phối, hàm mật độ, các đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên hữu hạn

Chính vì vậy, chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài “Tập ngẫu nhiên hữu hạn

trong thống kê”

2 Mục đích nghiên cứu:

Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát một số định nghĩa mới được đưa ra gần đây về hàm phân phối, hàm mật độ của tập ngẫu nhiên hữu hạn và nghiên cứu các tính chất của chúng

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là: độ đo xác suất, tập ngẫu nhiên hữu hạn, miền tin cậy, thống kê Bayes, sử dụng nguyên lí entropy cực đại, mối quan hệ với tập ngẫu nhiên trong thống kê Phạm vi nghiên cứu thuộc về lý thuyết độ đo tích phân và lý thuyết xác suất thống kê

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài:

Tìm hiểu sâu về tập ngẫu nhiên hữu hạn trên cơ sở đó sẽ mở rộng lên tập vô

hạn đếm được Luận văn cũng chú ý đến việc ứng dụng của lý thuyết xác suất thống

kê

5 Cấu trúc luận văn:

Nội dung luận văn được trình bày 3 chương:

Chương 1: Trình bày một số vấn đề về lý thuyết độ đo, độ đo xác suất và các định nghĩa, tính chất khác có liên quan đến tập ngẫu nhiên hữu hạn

Chương 2: Trình bày một số tập ngẫu nhiên trong thống kê, lí thuyết về cách

xác định miền tin cậy,tìm hiểu về thống kê Bayes của tập ngẫu nhiên

Chương 3: Trình bày tính chất hàm phân phối, hàm mật độ của tập ngẫu nhiên hữu hạn Tìm hiểu về công thức tính kì vọng, ứng dụng nguyên lí Entropy cực đại cho hàm quyết định đối với tập ngẫu nhiên

CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG XÁC SUẤT

=

Định nghĩa 1.1.4

Một phân hoạch hữu hạn ={ ,A i i ∈I} là một họ các tập con khác rỗng, rời

nhau từng cặp của Ω và hợp của chúng là Ω

Hiển nhiên rằng nếu là σ-đại số thì  là lớp đơn điệu Ngược lại, giả sử

 là lớp đơn điệu Khi đó nếu ( )A n ⊂  thì do  là đại số,

Kí hiệu σ( ) ( tương ứng m( ) ) là σ-đại số ( tương ứng lớp đơn điệu) sinh bởi

 Vì σ( ) cũng là lớp đơn điệu nên m( ) ⊂σ( ) Để chứng minh σ( ) ⊂m( )

ta cần chứng tỏ rằng m( ) là đại số Do đó theo định lí 1.1.6 m( ) là σ-đại số

Kí hiệu ={ :B B và B∈ m( )} Rõ ràng  ⊂ ⊂m( ) Từ đó nếu ta chứng minh rằng  là lớp đơn điệu thì ≡m( ) Giả sử ( )B n ⊂  là dãy tăng,

(C n)⊂  là dãy giảm tuỳ ý Khi đó B B C C n, n, n, n∈ m( ) Do m( ) là lớp đơn điệu nên

n AB = A n B ( đúng với dãy đơn điệu (B ) b n ất kỳ) suy ra  là A

lớp đơn điệu Nhưng với B ∈ ta có B∈A ⊂m( ) Vì vậy A =m( ) Từ đó

và hệ thức A∈B ⇔ ∈B  suy ra A A ∈ với mọi A∈ và B B∈ m( ) , hay

Cho X là một không gian tôpô Ta gọi σ -đại số Borel trên X là σ -đại số sinh

bởi họ các tập con mở của X Kí hiệu ( )X Mỗi phần tử thuộc ( )X gọi là một

c Họ các khoảng nửa mở 3={( , ] /a b a<b} hoặc 4 ={[ , ) /a b a<b}

d Họ các nửa đường thẳng mở 5 ={( ,a +∞) /a∈} hoặc 6 = −∞{( , ) /a a∈}

e Họ các nửa đường thẳng đóng 7 ={[ ,a +∞) /a∈} hoặc 8 = −∞{( , ] /a a∈}

Định nghĩa 1.1.10

Cho  là một σ -đại số trên Ω Một hàm tập µ :  →[0;+∞] gọi là một độ

đo trênnếu thoả các điều kiện

i) µ( )∅ =0

ii) { }E j +∞j=1 là dãy các tập rời nhau thuộc thì

1 1

( j) ( j)

j j

Độ đo µ trên gọi là hữu hạn nếu µ( )E < +∞ ∀ ∈, E 

Độ đo µ trên  gọi là σ -hữu hạn nếu tồn tại dãy { }E j +∞j=1 ⊂ ,(E j) , j

µ < +∞ ∀ và

1

j j

Bộ ba (Ω,,µ) trong đó  là một σ-đại số trên Ω, µ là một độ đo trên gọi là một không gian độ đo

Nếu A∈  có một trong bốn dạng trên ta đặt P(A) = b - a, còn nếu

=

=∑ Rõ ràng P là độ đo xác suất hữu hạn cộng tính trên  Nhưng với r∈Ω, { }r ∈

Giả sử P là một độ đo xác suất hữu hạn cộng tính trên đại số Khi đó

bốn điều kiện sau là tương đương

∞

=

= ∅

thì lim ( n) 0

,

i i

2 ⇒ 3): Giả sử (A n )⊂ là dãy giảm,

1

n n A

( i) ( )i

i i

Giả sử Ω là một tập hợp nào đó, là đại số các tập con của Ω Giả sử µ0

là một độ đo xác định trên (nghĩa là µ0 là một hàm tập hợp, không âm, σ -cộng

tính trên) và σ -hữu hạn (nghĩa là tồn tại dãy (A n)⊂ sao cho

1

n n A

Hàm F có 3 tính chất đó được gọi là hàm phân phối trên 

Thật vậy, tính chất a) suy ra từ tính đơn điệu của xác suất và bao hàm thức

(−∞; ]x ⊂ −∞( , ]y nếu x< y

Do F đơn điệu bị chặn nên các giới hạn một phía (kể cả các điểm ±∞) đều

tồn tại Vì vậy để chứng minh tính chất liên tục trái cũng như c) chỉ cần sử dụng

tính chất liên tục của xác suất

Định lí 1.2.8

Giả sử F(x) là một hàm số tuỳ ý xác định trên  thỏa 3 điều kiện a), b), c)

ở trên Khi đó tồn tại duy nhất một xác suất P xác định trên ( ) sao cho:

Dễ thấy P th0 ỏa các điều kiện P 1 ), P 2 ), P 3 ’) Để có thể áp dụng định lí

Carathéodory ở trên chỉ cần phải chứng minh rằng P là 0 σ-cộng tính trên Theo

định lí 1.2.6 chỉ cần chứng minh rằng P liên t0 ục tại ∅

Giả sử A n∈,A n ↓ ∅ Ta hãy chứng tỏ rằng P A0( n)→ 0

a) Đầu tiên ta giả sử rằng tồn tại a b; ∈,a<b sao cho A n ⊂[ , ],a b n=1, 2,

Theo giả thiết,

Do

1

n n

∞

=

= ∅

 Từ đó và tính compact của các tập K trong n

khoảng [ ; ]a b suy ra tồn tại số n sao cho 0 0 0

Giả sử  là lớp compact bất kỳ của Ω Khi đó lớp nhỏ nhất chứa  đóng

đối với hợp hữu hạn và giao đếm được cũng là lớp compact

Giả sử (Ω,,P) là không gian xác suất;  ⊂  là lớp compact Độ đo xác

suất P được gọi là chính quy( đối với ) nếu

Giả sử  0 là đại số các tập con của Ω  là l0 ớp compact và 0 ⊂ Ngoài 0

ra, giả thiết rằng  = σ ( ) và 0  là lớp nhỏ nhất chứa  đóng đối với hợp hữu 0

 , với mỗi B∈ , thì P có thể thác triển một cách duy 0

nhất thành một độ đo xác suất trên  và chính quy đối với 

 là lớp đơn điệu, chứa  Do đó, 0  = 

1.3 Ph ần tử ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên, véctơ ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.3.1

Giả sử (Ω,) và ( , )E  là hai không gian đo Ánh xạ f :Ω →E được gọi là đo

được, hay phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong E nếu 1

Giả sử h: ( ,Ω  )→( ,G ) g: ( ,G )→( , )E  là các ánh xạ đo được Khi đó ánh xạ hợp g h 0 là phần tử ngẫu nhiên trên ( ,Ω ) với giá trị trong ( , )E 

Giả sử ( , )E  là không gian đo,  ⊂ ΩP( ) và giả sửf E: → Ω Để f là ánh xạ

đo được trên ( , )E  với giá trị trong ( , ( ))Ωσ  điều kiện cần và đủ là 1

( )

f− C ∈ với mỗi

Giả sử (Ω,) là không gian đo đã cho, = −∞ +∞[ ; ]

Định nghĩa 1.3.5

Hàm thực X =X( )ω xác định trên Ω lấy giá trị trên  gọi là - đo được hoặc biến ngẫu nhiên suy rộng nếu 1

{ :ω X( )ω ∈B}= X− ( )B ∈ với mỗi B∈ ( ) (Ở đây ( ) là σ -đại số các tập Borel của trục thực )

Thêm vào đó, nếu X :Ω → = −∞ +∞ ( ; ) thì ta có khái niệm biến ngẫu nhiên Giả sử  ⊂ ( ) và ( ) =σ( ) thì ánh xạ X : ( , Ω  )→ ( , ( ))  là biến ngẫu nhiên suy rộng khi và chỉ khi 1

( )

X− C ∈ với mỗi C∈ 

Định lí 1.3.6

Giả sử X: Ω →  Khi đó các mệnh đề sau tương đương

a) X là biến ngẫu nhiên

Giả sử ( ,X n n ≥ là dãy biến ngẫu nhiên và 1) sup n

n X là các biến ngẫu nhiên Đặc biệt nếu

limX n = X , X hữu hạn thì X cũng là biến ngẫu nhiên

1

lim inf n sup(inf k)

→∞ = ≥ ≥ ,

Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω,) Khi đó

a) Tồn tại dãy biến ngẫu nhiên rời rạc hội tụ đều đến X;

b) Nếu X ≥ 0 thì tồn tại dãy biến ngẫu nhiên đơn giản ( )X n sao cho X n↑X

Rõ ràng, 0≤X n ↑ X và (X n) là dãy biến ngẫu nhiên đơn giản

Giả sử X là biến ngẫu nhiên trên ( ,Ω ) và ( ) {X = X−1( ),B B∈ ( )} là đại số sinh bởi X

Định lí 1.3.11

Giả sử X là biến ngẫu nhiên trên (Ω,) và Y là ánh xạ từ Ω vào  Lúc đó, Y là

 ( )X -đo được khi và chỉ khi tồn tại hàm Borel ϕ:→ sao cho Y =ϕ0X

Điều kiện đủ là hiển nhiên Để chứng minh điều kiện cần, đầu tiên giả sử Y là

hàm rời rạc với miền giá trị { ,a a1 2, } Theo giả thiết, tập A n =[Y =a n]∈  (X)

Xét trường hợp tổng quát Theo định lí 1.3.10 tồn tại dãy hàm Y n -đo

được, rời rạc hội tụ đều đến Y Theo phần đầu của chứng minh, tồn tại các hàm

Borel ϕn sao cho Y n =ϕn0X Kí hiệu B= ∈ {x : tồn tại lim n( )}

Giả sử (Ω,) và ( , )E  là hai không gian đo Như đã biết, ánh xạ :X Ω → E

 /-đo được còn được gọi là phần tử ngẫu nhiên

Thông thường, E hoặc là không gian metric hoặc là không gian tôpô, còn 

là

σ -đại số các tập Borel ( = ( )E )

Khi E =,E=,E= với d σ -đại số các tập Borel tương ứng thì phần tử ngẫu nhiên tương ứng gọi là biến ngẫu nhiên (thực), biến ngẫu nhiên phức hay

véctơ ngẫu nhiên d-chiều Véctơ ngẫu nhiên d-chiều được biểu diễn duy nhất dưới

dạng X =(X1, ,X d), trong đó X k =πk0X , πklà ánh xạ chiếu từ d

 lên tọa độ thứ

k Vì πklà các hàm liên tục nên X k là biến ngẫu nhiên Đảo lại, nếu X k là biến

ngẫu nhiên thì X là véctơ ngẫu nhiên

P B =P X− B B ∈ được gọi là phân phối của X trên ( , )E  Đó là

một độ đo xác suất còn được gọi là ảnh của P qua X, kí hiệu là X(P)

Khi ( , )E  = (T, ( T)), phần tử ngẫu nhiên X còn được gọi là hàm ngẫu

nhiên Nếu T ⊂  thì X được gọi là quá trình ngẫu nhiên

Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω,,P) nhận giá trị trên = −∞ +∞( ; )

Ngược lại, nếu hàm số F(x) bất kỳ có ba tính chất trên thì tồn tại một độ đo xác

suất µ trên ( , ( ))   sao cho F x( )= −∞µ( , )x , x∈ 

Từ đó nếu lấy X:  →  là ánh xạ đồng nhất thì X là biến ngẫu nhiên trên

không gian xác suất ( , ( ), )   µ sao cho ( )F x =F x X( )

Độ đo xác suất µ sinh bởi hàm F(x) còn được gọi là độ đo Lebesgue-Stieltjes sinh bởi F

( )

d

F x là hàm phân phối rời rạc,

F ac( )x là hàm phân phối liên tục tuyệt đối,

F x s( ) là hàm phân phối kỳ dị, nghĩa là hàm liên tục và tập hợp

{x∈:F x s( + −ε) F x s( − >ε) 0 với mọi ε >0} có độ đo Lebesgue không

+ Nếu c2 = = thì c3 0 c1 = Khi đó F có dạng (1.4.1) Biến ngẫu nhiên có hàm 1

phân phối như vậy gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc Như vậy biến ngẫu nhiên X có

phân phối rời rạc khi và chỉ khi có một tập S ={ ,1x i ≤ ≤ ≤ ∞ hữu hạn hoặc đếm i n }

được sao choP X[ ∈ =S] 1 Nếu đặt p i =P X[ =x i i], ≥ thì rõ ràng 1

Phân phối xác suất được tập trung tại các điểm x i và ta có bảng sau gọi là

bảng phân phối xác suất của X:

+ Ngược lại, nếu cho tập S={ ,x i i ∈ không quá đếm được và tập các số { ,I} p i i ∈ I}

như trên thì có một biến ngẫu nhiên rời rạc X với tập giá trị S và có bảng phân phối

ở trên Đôi khi hàm số ( ) ,

còn được gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên rời rạc X

+ Trong trường hợp c1 = = , c3 0 F =F ac Khi đó F có dạng (1.4.2) Biến ngẫu nhiên

có hàm phân phối như vậy gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục tuyệt đối;

hàm f trong (1.4.2) g ọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X Cũng như trường hợp

rời rạc, phân phối xác suất của nó được biết hoàn toàn nếu biết hàm mật độ f của nó

Từ nguyên lý thác triển độ đo, ta có [ ] ( ) ,

Tập hợp [ ; ) : {x y = ∈u d :x u≤ < y} Giả sử X =(X1, ,X d) là véctơ ngẫu nhiên d

chiều xác định trên (Ω,,P)

Nh ận xét 1.4.6

Như đã biết, hàm số F x( )=P X[ < ≡x] P X[ 1<x1, ,X d <x d], x=( , ,x1 x d)∈ d

là hàm phân phối của véctơ ngẫu nhiên X

Vì F x( )=P X(−∞, ],x x∈ d nên như đã biết, hàm F có các tính chất sau:

trên thì F sẽ là hàm phân phối của véctơ ngẫu nhiên d-chiều nào đó

Thật vậy, ta có thể lấy không gian đo ( , ( ))d  d Trên lớp ={[ , ),a b a<b}đặt

Sau đó, nhờ nguyên lý thác triển độ đo, có thể thác triển P 0 từ  lên ( d) để

được độ đo xác suất P trên ( ) d



 Véctơ ngẫu nhiên X cần tìm chính là ánh xạ

đồng nhất từ d

 lên d

Véctơ ngẫu nhiên d-chiều X được gọi là có phân phối rời rạc nếu tồn tại tập

không quá đếm được S ={ ,x i i ∈ ⊂  sao cho I} d P X[ ∈ =S] 1

Ví dụ 1.4.7: Phân phối chuẩn

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn với các tham số a,

( ) 2

Ví dụ 1.4.8: Phân phối đa thức

Véctơ ngẫu nhiên d chiều X được gọi là có phân phối đa thức với các tham số

d d

Giả X là biến ngẫu nhiên với hàm phân phối ( ) F x và h(x) là hàm Borel X

Khi đó hàm phân phối của Y =h X( ) là

1 ( )

Nếu h x( )=ax b+ , a> 0 thì hiển nhiên F aX b( )x F X(x b)

a

+

−

Đặt biệt nếu ( )F x X là hàm liên tục thì biến ngẫu nhiên Y =F X X( ) có phân

phối đều trên [0;1]

Từ (1.4.4) suy ra rằng, khi hàm h tăng thật sự và khả vi trên  thì

1 1 ( )( ) ( ( ))( ( )) ' ( )

CHƯƠNG II: MỘT VÀI TẬP NGẪU NHIÊN TRONG THỐNG KÊ

2.1 Mi ền tin cậy

Định nghĩa 2.1.1

Cho (X X1, 2, ,X n) là mẫu quan sát của đặc tính X có phân phối phụ thuộc

tham số θ; h X X l( 1, 2, ,X n),h X X u( 1, 2, ,X n) là các ước lượng của θ, γ là một số

thực thuộc (0,1)

Ta nói rằng khoảng ( , )h h là kho l u ảng ước lượng của θ với độ tin cậy γ

nếu: [P h l ≤ <θ h u]≥ γ

Với một giá trị γ có thể có nhiều khoảng ước lượng của θ với độ tin cậy γ

Ta tìm các khoảng ( , )h h sao cho ( l u E h u −h l) là nhỏ nhất

Định nghĩa 2.1.2

Theo mục 1.4.5, mỗi véctơ ngẫu nhiên X =(X1, ,X n) cảm sinh trên (n, ( n)) một phân phối xác suất P X, P l X ại cho ta một hàm phân phối ( ) X( )

theo nghĩa nếu một trong hai

vế tồn tại thì vế kia cũng tồn tại và bằng nhau Số đó được gọi là kì vọng của véctơ

A Aω là một đồng cấu từ (Ω ×Ω1 2) vào ( Ωi), (i=1, 2) đối

với các phép toán tập hợp Giả sử X: Ω →  Các ánh xạ

 ) là hai không gian đo, tập chữ nhật A1× với A2 A i∈i ,i=1, 2 gọi là tập chữ nhật

đo được Dễ dàng thấy rằng tập hợp g0 ồm các tập con của Ω là tổng của một số

hữu hạn các hình chữ nhật đo được rời nhau lập thành một đại số tập hợp σ -đại số sinh bởi  hay bởi 0  1× 2 kí hiệu là   1⊗ 2

Aω ∈ được chứng minh tương tự 1

Giả sử X là biến ngẫu nhiên trên (Ω ×Ω1 2,  ) và 1⊗ 2 B∈ ( ) bất kỳ Khi đó

a) ∅ ≠ ×A1 A2 ⊂ Ω ×Ω thuộc 1 2  1⊗ 2 khi và chỉ khi A1∈ 1 , A2∈ 2

b) X( ,ω ω1 2)= X1( )ω1 X2(ω2)  1⊗ 2 - đo được khi và chỉ khi X i  - i đo được (i=1, 2)

Định nghĩa 2.1.7

Giả sử (Ω1,  ), 1 (Ω2,  ) là hai 2 không gian đo Xác suất chuyển là hàm

12( ,1 2)

P ω A xác định trên không gian tích Ω ×1  2 và thỏa mãn:

a) Với ω1∈Ω cố định, hàm 1 P12( ,.)ω1 là độ đo xác suất trên 2

b) Với A2∈ cố định, hàm 2 P12(.,A 2)  - đo được 1

Định lí 2.1.8

Giả sử (Ω1,  ), 1 (Ω2,  ) là hai không gian đo, 2 P 1 là xác suất trên , 1 P là xác 12

suất chuyển trên Ω ×1 2 Khi đó, tồn tại xác suất P trên   sao cho1⊗ 2

Như vậy, hàm P σ - cộng tính trên  1× 2

Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm thì Xω1 cũng không âm và theo định lí trên

1

Xω là  - 2 đo được Vì vậy Y( )ω1 xác định trên Ω 1

Kí hiệu là các biến ngẫu nhiên X sao cho Y  - 1 đo được và (2.1.1) được thực hiện Khi đó  là tuyến tính, đơn điệu, đóng đối với chuyển qua giới hạn đơn điệu, chứa các hàm chỉ tiêu A A1× 2(A1∈ ,1 A2∈ ) Vậy 2  chứa tất cả các hàm nửa

khả tích Hơn nửa X khả tích thì Y cũng khả tích

Định lí 2.1.9 ( Định lí Fubini)

Giả sử (Ω1, 1, )P , 1 (Ω2, 2,P 2) là hai không gian xác suất Khi đó tồn tại xác

suất P duy nhất trên   sao cho 1⊗ 2 P A( 1×A2)=P A P A( ) (1 2), (A1∈1, A2∈ ) 2

Đối với biến ngẫu nhiên bất kì X không âm (nửa khả tích) trên (Ω ×Ω1 2,

1⊗ 2

  )