Dạng toàn phương và một số vấn đề liên quan

4 1.2 Dạng song tuyến tính đối xứng và dạng toàn phương.. Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu được nhiều phương pháp giải toán hình được hay hơn, cụ thể hơn, tr

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

ThS Trần Văn Nghị

Hà Nội – Năm 2016

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới ThS Trần Văn Nghị,người thầy đã truyền thụ kiến thức, tận tình giúp đỡ, hướng dẫn em trongsuốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận này.

Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm HàNội 2, các thầy cô giáo khoa Toán đã giúp đỡ em trong quá trình học tậptại trường và tạo điều kiện cho em để hoàn thành khóa luận này Trongquá trình nghiên cứu, không tránh khỏi nhưng sai sót và hạn chế Em kínhmong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và toàn thểbạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Nguyễn Thị Hậu

Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Trần Văn Nghịkhóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất kì đề tài nào khác.Trong khi làm khóa luận này, em đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Nguyễn Thị Hậu

1 Dạng toàn phương 1

1.1 Ánh xạ đa tuyến tính 1

1.1.1 Các định nghĩa 1

1.1.2 Các tính chất 3

1.1.3 Các định lý và hệ quả 4

1.2 Dạng song tuyến tính đối xứng và dạng toàn phương 9

1.2.1 Các định nghĩa 9

1.2.2 Ma trận của dạng song tuyến tính 10

1.2.3 Mệnh đề 11

1.3 Đưa biểu thức tọa độ của dạng toàn phương về dạng chính tắc 12

1.3.1 Định nghĩa 12

1.3.2 Định lý 13

1.3.3 Hệ quả 16

1.4 Hạng và hạch của dạng toàn phương 17

1.4.1 Định nghĩa 17

1.4.2 Định lý 18

1.4.3 Hệ quả 20

1.5 Chỉ số quán tính của dạng toàn phương 20

1.5.1 Định nghĩa 20

1.5.2 Định lý Sylvester về chỉ số quán tính 21

1.5.3 Hệ quả 24

1.5.4 Dạng toàn phương tương đương 24

1.5.5 Bổ đề 26

1.5.6 Định lý Sylvester 28

1.6 Bài tập 28

2 Hàm toàn phương lồi 41 2.1 Hàm lồi 41

2.1.1 Định nghĩa 41

2.1.2 Định lý 42

2.2 Hàm toàn phương lồi 44

3 Hàm toàn phương lồi suy rộng 47 3.1 Hàm tựa lồi 47

3.2 Hàm giả lồi 58

4 Ứng dụng vào bài toán quy hoạch toán học 63 4.1 Sự tồn tại nghiệm 63

4.2 Điều kiện cực trị 64

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Hình học là một môn học quan trọng, tương đối khó trong chương trình

toán học phổ thông, có rất nhiều ứng dụng trong đời sống con người,

để hiểu được nó người học cần phải tưởng tượng, tư duy cao Với mong

muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu được nhiều

phương pháp giải toán hình được hay hơn, cụ thể hơn, trực quan hơn,

nhằm chuẩn bị cho mình lượng kiến thức tốt cho công việc giảng dạy

sau này, em đã chọn đề tài "Dạng toàn phương và một số vấn đề liên

quan" để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp

2 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng: Dạng toàn phương, hàm toàn phương và hàm toàn phương

suy rộng

• Phạm vi: Nhứng kiến thức liên quan đến dạng toàn phương

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về dạng toàn phương và một số ứng dụng

4 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu dạng toàn phương để hiểu sâu hơn về dạng toàn phương và

một số ứng dụng của nó

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu qua sách giáo khoa, sách tham khảo, internet và các tài liệu

liên quan

6 Nội dung khóa luận

Nội dung khóa luận gồm 4 chương:

Chương 1: Dạng toàn phương

Chương này trình bày định nghĩa về dạng toàn phương, ma trận và biểu

thức tọa độ của dạng toàn phương, Hạng và hạch của dạng toàn phương,

Chỉ số quán tính và một số bài tập liên quan tới dạng toàn phương

Chương 2: Hàm toàn phương lồi

Chương này trình bày các định nghĩa về hàm toàn phương, hàm lồi và

hàm toàn phương lồi

Chương 3: Hàm toàn phương lồi suy rộng

Để mở rộng cho chương 2, chương này chúng ta tìm hiểu về định nghĩa

hàm tựa lời và hàm giả lồi

Chương 4: Ứng dụng vào bài toán quy hoạch toán học

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Nguyễn Thị Hậu

Đặc biệt:

• Nếu W = K thì ϕ được gọi là k- tuyến tính trên V

• Nếu k = 2 thì ϕ được gọi là ánh xạ song tuyến tính

Ánh xạ k-tuyến tính ϕ : V × V × · · · × V → W được gọi là thay phiên(hay phản đối xứng) nếu giá trị của ϕ trên k vecto trong đó có 2 vecto

bằng nhau là −→

0 Tức là ϕ (· · · , −→α , · · · , −→α , · · ·) = −→0

Cho V là k-không gian vecto n chiều và (e) = {−→e 1, · · · −→e

n} là một cơ sởcủa V Xét hệ n-vecto −→α1, −→α

Ký hiệu dete hay De

Khi đó De là một dạng n-tuyến tính thay phiên trên V

Kí hiệu An(V) là tập hợp gồm tất cả các dạng n-tuyến tính thay phiêntrên V thì An(V) lập thành một không gian vecto trên trường K vớiphép cộng hai dạng n-tuyến tính thay phiên và phép nhân một dạng n-

tuyến tính thay phiên với vô hướng λ được định nghĩa như sau:

1, · · · , −→α

n) = λϕ (−→α

1, · · · , −→α

n) với ∀ϕ, ψ ∈ An(V) và ∀λ ∈ K

n} Do đó có duy nhất một dạng n-tuyến tính thay phiên.Hay dimAn(V) = 1.

Chứng minh Gọi η 6= 0 là một phần tử bất kì trong An(V).

Vì dimAn(V) = 1 nên {η} là một cơ sở của An(V)

Do f tuyến tính, η đa tuyến tính thay phiên nên θ cũng đa tuyến tính

thay phiên Khi đó ∃d ∈ K sao cho d.η = θ

Mặt khác {η} là cơ sở của An(V) cho nên ∀ϕ ∈ An(V) ta có

ϕ = c.η, ∀c ∈ K

Như vậy, đẳng thức nói trong định lý nghiệm đúng với hằng số det(f ) = d

không phụ thuộc vào ϕ

ii)det(gof ) = det g det f ; ∀f, g ∈ End(V);

iii) Nếu f ∈ End(V), f khả nghịch thì det(f−1) = [det(f )]−1

Định lý 1.4 Tự đồng cấu f : V → V của K - không gian vecto hữuhạn chiều V là một đẳng cấu khi và chỉ khi det(f ) 6= 0

1.2 Dạng song tuyến tính đối xứng và dạng toàn

Khi đó η được gọi là dạng cực của dạng toàn phương H

1.2.2 Ma trận của dạng song tuyến tính

Giả sử V là không gian vecto thực n chiều và (ε) = {−→ε 1, · · · , −→ε

n} làmột cơ sở của V

Ánh xạ η : V × V → R là một dạng song tuyến tính trên V

Khi η là dạng song tuyến tính đối xứng thì ma trận A cũng được gọi là

ma trận của dạng toàn phương H ứng với η

Chứng minh [⇒] Giả sử η là dạng song tuyến tính đối xứng Ta có

Mệnh đề 1.2 Giả sử A và B là ma trận của dạng song tuyến tính

η trên V tương ứng trong các cơ sở (ε) = {−→ε1, · · · , −→ε

n} và (µ) ={−→µ1, · · · , −→µ

n} của V Nếu C là ma trận chuyển từ cơ sở (ε) sang cơ sở(µ) thì ta có B = CtAC

chính tắc của dạng toàn phương H.

1.3.2 Định lý

Mọi dạng toàn phương đều có biểu thức tọa độ dạng chính tắc

Chứng minh Giả sử (e) = {−→ε

nạp

• Trường hợp 2: ∀aii = 0, i = 1, n và có aij 6= 0, i 6= j

Giả sử a12 6= 0 Thực hiện phép đổi tọa độ trong V

Trong đó hệ số của y12 là 2a12 6= 0 Ta trở về trường hợp 1

• Trường hợp 3: ∀aij = 0, (i, j = 1, n) Khi đó H có dạng chính tắc trongbất kỳ cơ sở nào của không gian V

Ví dụ 1: Đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc trên R3 :a) H(−→α ) = x2

1 + 2x22 + 3x23 − 4x1x2 − 4x2x3;b) H(−→α ) = 4x

1x2 − 3x2x3.Bài giải

a) Ta có

H(−→α ) = x2

1 − 4x1x2 + (2x2)2 − 2x22 + 3x23 − 4x2x3

= (x1 − 2x2)2 − 2x22 + 3x23 − 4x2x3

Vậy H(−→α ) = t2

1 + t22 − t2

3.b) H(−→α ) = 4x

1x2 + 3x2x3Đặt

Hệ quả 1.4 Mỗi dạng song tuyến tính đối xứng η trên không gian vecto

thực hữu hạn chiều V đều tồn tại cơ sở η-trực giao

Hệ quả 1.5 Mọi dạng toàn phương đều đưa về dạng chuẩn tắc

Ta gọi đó là dạng chuẩn tắc của dạng toàn phương H.

1.4.1 Định nghĩa

Giả sử H là một dạng toàn phương trên R-không gian vecto hữu hạnchiều V có ma trận là A trong một cơ sở nào đó (ε) = {−→ε 1, · · · , −→ε

n}của V

Ta gọi rankA là hạng của dạng toàn phương H

Giả sử η là một dạng song tuyến tính đối xứng trên V Ta gọi tập hợp

là hạch hay hạt nhân của η Kí hiệu kerη

Giả sử T và U là hai không gian vecto con của V và η là một dạng songtuyến tính đối xứng trên V Khi đó:

• T trực giao với U theo nghĩa η (hay T η- trực giao với U ) nếu−→t ⊥η−→u , ∀−→t ∈

Vì V0 là không gian vecto con của V và −→α =

có ma trận là A = (aij) cũng chính là ma trân của η trong cơ sở (ε) chonên ta có

dim V0 = n − rankA = dim V − rankη

⇔ rankη = dim V − dim V0

Do W là một không gian con của V và V0⊥ηV nên

W×W suy biến thì ta códim W0 = dim W − rank(η|W×W) > 0

Khi đó ∃−→

α ∈ W0\n−→0

onghĩa là có −→α 6= −→0 , −→

Chứng minh Theo định lý trên ta có dim V0 = dim V − rankη.

Do η không suy biến nghĩa là

rankη = dimV ⇔ dim V0 = 0 ⇔ V0 =

n−→0

o

1.5.1 Định nghĩa

Giả sử H : V → R là một dạng toàn phương trên không gian vecto V

Ta nói:

• H là dạng toàn phương xác định nếu H(−→α ) = 0 ⇒ −→α = −→0 ;

• H là dạng toàn phương nửa xác định dương nếu H(−→α ) ≥ 0, ∀−→

Ta cũng nói dạng cực η của H là xác định, không âm, không dương, xác

định dương, xác định âm nếu H như thế

1.5.2 Định lý Sylvester về chỉ số quán tính

Giả sử H là một dạng toàn phương trên R - không gian vecto hữu hạnchiều V Khi đó có một phân tích V thành tổng trực tiếp trực giao đốivới H: V = V+⊕⊥V−⊕⊥V0 Trong đó H|

V+ xác định dương, H|

V− xácđịnh âm, H|

V0 = 0 Trong bất kì sự phân tích nào như vậy thì V0 là hạchcủa H, dimV+ = p, dimV− = q là những hằng số

Định nghĩa:

Ta gọi p là chỉ số quán tính dương, q là chỉ số quán tính âm và cặp số

(p, q) là chỉ số quán tính của dạng toàn phương H (hay dạng cực η tương

ứng với H) Hiệu số p − q được gọi là kí số của H (hay của η)

Chứng minh Giả sử trong cơ sở (e) = {−→e

1, · · · , −→e

n} của V, dạng toànphương H có dạng chuẩn tắc

Giả sử có 2 phân tích H - trực giao như trên:

Vì p + q = P0 + q0 = dimV − dimV0 nên q < q0

Vậy p = p0 và q = q0 hay dimV+ = p, dimV− = q.

1.5.3 Hệ quả

< Dạng tọa độ của định lý Sylvester về chỉ số quán tính>

Giả sử dạng toàn phương H được đưa về dạng chuẩn tắc trong 2 cơ sở

1.5.4 Dạng toàn phương tương đương

Với mỗi cặp số (p, q) không âm là một lớp tương đương các dạng toàn

phương Vậy số các lớp tương đương của dạng toàn phương trên không

gian vecto thực n chiều là

1 ) −→ε

1 xác định, suy ra V2 = h−→e

1, −→e

2i =

1.5.6 Định lý Sylvester

Giả sử dạng toàn phương H trên không gian vecto thực hữu hạn chiều

V có ma trận A trong cơ sở nào đó của V Khi đó:

a) H xác định dương khi và chỉ khi mọi ma trận vuông con góc trên bên

trái của A có định thức dương;

b) H xác định âm khi và chỉ khi mọi ma trận vuông con góc trên bên

trái của A cấp chẵn có định thức dương, cấp lẻ có định thức âm

1y2 − 5x1y3 + 8x2y1 − 6x2y3 + x3y3.Giải:

Bài 2: Viết ma trận và biểu thức tọa độ của các dạng cực của dạng toàn

phương H trên R3 trong cơ sở chính tắc, nếu biểu thức tọa độ của Htrong cơ sở đó là:

a) H(−→α ) = x2

1 + x22 − 3x2

3 + 2x1x2 − 4x2x3;

Biểu thức tọa độ

η(−→α ,−→β ) = x

1y1 + x2y2 − 3x3y3 + x1y2 + x2y1 − 2x2y3 − 2x3y2.b) Ma trận của dạng cực:

Hãy tìm ma trận của η đối với cơ sở sau của R3

Vậy ma trận của η trong cơ sở (ε)

Bài 4: Tìm các dạng chuẩn tắc của các dạng toàn phương sau đây trên

R3 và R4:

a) x21 + x22 + 3x23 + 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3;

b)x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4

Thì H = z12 − z2

2 + z32.b)

2 − z2

3 − z2

4.Bài 5: Trong không gian vecto R3 cho các dạng toàn phương:

a) x21 + 5x22 − 4x2

3 + 2x1x2 − 4x1x3;b) x1x2 + 4x1x3 + x2x3

Dùng phương pháp Lagrange đưa các biểu thức tọa độ về dạng chính

tắc, viết công thức đổi biến, tìm chỉ số quán tính của mỗi dạng toàn

phương đó Viết ma trận của mỗi dạng toàn phương trước và sau đổi

biến

Ma trận của H trước khi biến đổi

Sau khi biến đổi ma trận của H là

2.Chỉ số quán tính của H là (p, q) = (1, 1).

Ma trận của H trước khi biến đổi

Ma trận của H sau khi biến đổi

Bài 6: Tìm phép biến đổi không suy biến đưa dạng toàn phương H1 vềdạng toàn phương H2:

a) H1 = 2x21 + 9x22 + 3x23 + 8x1x2 − 4x1x3 − 10x2x3;

H2 = 2y21 + 3y22 + 6y32 − 4y1y2 − 4y1y3 + 8y2y3

= Y12 + Y22.Trong đó

Suy ra không có phép biến đổi đưa H1 về H2

Bài 7: Tìm hạch và hạng của mỗi dạng toàn phương sau:

a) 2x1x3 + 4x2x3 + x23;

b) x21 + 5x22 − 4x2

3 + 2x1x2 − 4x1x3.Giải: a) Ma trận của dạng toàn phương

Hạng của dạng toàn phương rankA = 2







b) Ma trận của dạng toàn phương

Bài 8: Xác định λ để dạng toàn phương sau xác định dương:

a) 5x21 + x22 + λx23 + 4x1x2 − 2x1x3 − 2x2x3;

b) 2x21 + x22 + 5x23 + 2λx1x2 + 2x1x3

Giải:

a) Ma trận của dạng toàn phương

Theo định lý Sylvester thì dạng toàn phương xác định dương khi và chỉ

khi mọi ma trận vuông con góc trên bên trái của A có định thức dương

Ta có

|A1| = 5 > 0;

|A2| =

5 2

2 2

...

|A3| =

= λ −

Để dạng toàn phương xác định dương |A3| > ⇔ λ >

b) Ma trận dạng toàn phương