B- Nhóm hữu hạn 5

mối quan hệ giữa các nhóm hữu hạn được nhiều người quan tâm đặc biệt là quan hệ giữa các B-nhóm hữu hạn với các nhóm giải được, siêu giải được...và đó chính là vấn đề được trình bày trong luận văn này

CHƯƠNG II B - NHÓM HỮU HẠN

$6 Nhóm Hữu Hạn Giải Được

1.6.1 Định nghĩa Nhóm G được gọi là giải được nếu nó có một dãy abel, nghĩa là

một dãy

1=G, 4G, 4G, < 4G, =G, trong đó mỗi nhóm thương G;,,/G, 1a abel

* Nhận xét: ( xem [2])

- - Mọi nhóm con của một nhóm giải được là giải được

- Moi p-nhém G hữu hạn đều giải được

- - Nếu H4 G,H và G/H là hai nhóm giải được thì G giải được

- - Nếu H và K là hai nhóm giải được thì H x K giải được

- - Mọi nhóm abel đều giải được

1.6.2 Định lý Tích của hai nhóm con chuẩn tắc, giải được là một nhóm giải được Chứng minh: Giả sử M 4Œ và N 4G, với M,N giải được Khi đó, theo Dinh lý

đẳng cấu thứ hai ta có MN/N>M/(MfẬN)

Mà M/(MƒậN) giải được, nên MN/N giải được Suy ra MN giải được L]

Trong một số chứng minh phía dưới, ta cần đến một định lý rất nổi tiếng thường gọi là p— q Burnside°s Theorem Ta phát biểu và không chứng minh

2.6.3 Định lý (p - q Burnside, [4]) Nếu p va q là các số nguyên tố, thì nhóm có cấp p”q" giải được

Định lý dưới đây là một trường hợp riêng của Định lý 1.5.7

2.6.4 Định lý (P Hall, [4] ) Cho G là nhóm hữu hạn giải được Khi đó mọi 7 -nhóm con được chứa trong một 7t -nhóm con Hail của G Hơn nữa, tất cả các 7 -nhóm con

HAI] là liên hợp trong G

2.6.5 Dinh ly (P Hall, [4]) Cho G la nhóm hữu hạn Giả sử rằng đối với mọi số nguyên tố p luôn tôn tại một p`-nhóm con Hall Khi đó G giải được

Chứng mỉnh: Giả sử định lý sai, ta lấy một phản ví dụ là nhóm G với cấp nhỏ nhất Giả sử N là nhóm con chuẩn tắc thực sự không tâm thường của G Nếu H là p’-nhém con Hall cia G thi HAN va HN/N 1a cdc p’-nhém con Hall cua N va

G/N tương ứng Vì vậy N và G/N là các nhóm con giải được do tính tối tiểu của G Nhưng điều này dẫn tới mâu thuẫn là G giải được Do vậy G phải là nhóm đơn

Giả sử |GI = g' p', với e¡ > 0 và p¡, p¿ là các nguyên tố khác nhau Theo

Dinh ly 2.6.3 thik > 2

Gọi G¡ là p¡¿-nhóm con Hail của G và đặt H=ŒGŒ,o ¬Œ, Khi đó [G:G;]= pø# (do [ G:G; ] là p-số ) Theo Hệ quả 1.1.10 ta có [G: #] =[l ” Từ

đó suy ra || = pi' p? va theo Dinh ly 2.6.3 thi H gidi dugc

Giả sử M là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của H, khi đó M là p-nhóm abel sơ

cấp với p = p¡ hoặc p; Mặt khác, ta lại có [G:G,]= p? p#', Suy Ta

|H AG,| = py Do d6 HAG, là p¡nhóm con Sylow cia H Từ đó suy ra

M <HnG, <G, Tương tự ta cũng có | ¬Gj|= ø; Do đó G =(H¬G,⁄;

Mặt khác, ta có MỸ = < M&/geG > và g=hg,,heHG,,g, eG,

Nên A⁄# = (ur =M* Suy ra M% =M® < G, <G, Do đó MỸ là nhóm con chuẩn

tắc thực sự không tầm thưỡng của G Điều này trái với tính đơn của G Vậy G giải

2.6.7 Định nghĩa Cho G là một nhóm hữu hạn và p¡, ps p„ là các ước nguyên tố khác nhau của | G I Giả sử Q; là p;-nhóm con Hall của G Khi đó, tập {Q¡, .Qx} được gọi là hệ Sylow (Sylow system) của G

Từ các Định lý 1.5.8 và 2.6.4 suy ra:

Nhóm hữu hạn G có một hệ Sylow nếu và chỉ nếu G giải duoc

2.6.8 Dinh ly Cho {Q; , Q;} la mét hé Sylow của nhóm giải được G Khi do,

(i) — Nếu z là tập các số nguyên tố bất kỳ, thì Íì, Q là một z -nhóm con Hail

của G Đặc biệt P, = fñ „9® là p¡-nhóm con Sylow của G;

(ii) — Các nhóm con ŠSylow giao hoán nhau từng đôi một, nghĩa là P;P; = P,P,

Chứng mỉnh: Giả sử lGI = p p# với [ G:Q;] = p* Khi đó H = f1, Q,có chỉ số

là Ƒ[,„ p Do đó H là một z -nhóm con Hall của G

pen

Ấp dụng kết quả nay cho z = {p;, p;}, i # j ta được K = f ,9® là một z—-nhóm

con Hall của G có cấp g p⁄, chứa P; và P; vì IP;Pjl= g p

Một tập gồm các nhóm con Sylow giao hoán nhau từng đôi một, mà cấp của chúng là các ước nguyên tố, được gọi là cơ sở Sylow (Sylow Basis)

Nếu 8 = {Q,, Q,} 14 một hệ Sylow của nhóm giải được hữu hạn G thì G

có một cơ sở Sylow_ 9i”= (P\, P¿) được cho bởi P¡= íÌ,„ @,

2.6.9 Định nghĩa Cho {Q¡, .,Q¿} là một hệ Sylow của nhóm giải được hữu hạn G

Khi đó nhóm con

k

N= 8 Ng (Q,)

i=]

được gọi là một hệ chudn héa tit (System normalizer) cia G

Chú ý rằng, nếu {P\, ,P„} là cơ sở Sylow tương ứng, một phần tử của G

k

chuẩn hóa mọi Q, nếu và chỉ nếu nó chuẩn hóa mọi P; Từ đó ta có N= (Ne (P)

i=l

Trong phần sau, ta cần đến một số kết quả dưới đây Các chứng minh của chứng khá phức tạp và có trong [4] Để tiện dùng, chúng tôi phát biểu mà không chứng minh những kết quả đó

2.6.10 Định lý Trong một nhóm hữu hạn giải được, các hệ chuẩn hoá tử là lãy

linh

2.6.11 Định nghĩa Cho G là một nhóm hữu hạn, KaH <Œ và L<Œ Ta nói L phủ (cover) H/K nếu HL = KL (tương đương với nếu H = K(HnL))

Nếu #mL= KnL, nghĩa là nếu //¬L< K thì ta nóiL tránh (avoid) H/K

2.6.12 Định lý Cho nhóm hữu hạn giải được Œ, H/K là một thương chinh (principal

/actor) của G và là một p-nhóm Giả sử M4 GŒ và ký hiệu Q là một p `-nhóm con

Hall cia M Khi đó Nec(Q) phủ hoặc tránh H/L tùy theo M có tâm hóa tử H/K hay không

2.6.13 Định nghĩa Nhóm H/K được gọi là thương chính trung tam cua G (central principle factor) của G nếu H/K là thương chính của G và H/K c 6(G/K)

2.6.14 Định lý Nếu N là một hệ chuẩn hóa tử của nhóm giải được hữu hạn G, thì

N phủ thương chính trung tâm và tránh thương chính không trung tâm ( noncerntral principal factor) cua G

2.6.15 Dinh nghia Cho H < G, ky hiéu Core (H) = ()H*, trong d6 H® = g'Hg,

geG

véi moi g € G

Core (H) là nhóm con chuẩn tắc lớn nhất của G chứa trong H

2.6.16 Định lý Nếu N là một hệ chuẩn hóa tử của nhóm hữu hạn giải được G và

No là core của N trong Œ, thì Ng bằng siêu tâm của G

$7 B - Nhóm Hữu Hạn

2.7.1 Định nghĩa Nhóm hữu hạn G được gọi là một B-nhóm nếu mọi nhóm con nguyên sơ (nhóm con có cấp là lũy thừa của một số nguyên tố hay là p-nhóm) của G

là chuẩn tắc hoặc abnormal trong G

Ví dụ 1: Tất cả các nhóm có cấp pq, với p, q là số nguyên tố đều là B-nhóm

Chứng mỉnh: Giả sử | G l = pq, H<G và IHI= p Khi đó, H < Ne(H) < G va H 1a p-nhóm con tối đại của G Nên No(H) =G hoặc W„(H) = H Nên suy ra H 4G hoặc

H >< G (do H 1a p-nhém con Sylow ctia G) Vay G la B ~ nhóm

Ví dụ 2: Tất cả các nhóm có cấp pˆ, với p là nguyên tố đều là B-nhóm

Chứng minh: Giả sử IGI = p” và C=đG Khi đó, ta có ICI = p hoặc pˆ` và

[G:C]=p hoặc 1

Nếu [G:C ]= 1 thì G là nhóm abel Giả sử [ G : C ] = p Khi đó G/C là nhóm cyclic Gọi xC, x e G là phần tử sinh của G/C Ta có, Vx,y e Œ,xC =a”C và yC=a"C, nén x=a"a va y=a"B; œ,8eC Từ đó suy ra xy=a”*"z# và yx=a”'*"8øœ Do C abel, a,B eC, nén ta cé xy = yx Do dé G abel, suy ra moi

nhóm con của G đều chuẩn tắc Vậy G là B-nhóm.

2.7.2 Bổ đề Cho G là B-nhóm Khi đó,

(i) Mọi nhóm con và mọi Ảnh đông cấu của G là B-nhóm;

(H) — G giải được;

(iii) Mọi nhóm con của G hoặc chuẩn tắc hoặc abnormal trong G

Chứng minh:

(1) Rõ ràng bất kỳ nhóm con nào của G cũng là B-nhóm

Xét đồng cấu f: G -> G' Dat N = Kerf , ta c6 NAG, va G/N »x Imf

Để chứng minh Imf là B-nhóm, ta chứng minh G/N là B-nhóm

Gọi H/N là nhóm con nguyên sơ của G/N và IH/NI = P* Ta sẽ chứng minh H/N hoặc là chuẩn tắc hoặc abnormal trong G/N

Giả sử Pe Syl,(H) Khi d6 H = PN Vi P là p-nhóm con của G nên P4 G hoặc P>4 G

Nếu P chuẩn tắc G thì PN cũng chuẩn tắc trong G (do N chuẩn tắc trong G)

Suy ra PN/N = H/N 4 G/N Vậy H/N chuẩn tắc trong G

Giá sử P abnormal trong G Do P<PW<G nên PN >4G Suy ra

PN/N = H/N >4aG Vậy G là một B-nhóm

(ii) Gid sử G là B-nhóm hữu hạn không giải được có cấp nhỏ nhất Gọi N là nhóm con chuẩn tắc thực sự của G, theo (¡) thì N và G/N là các B-nhóm đồng thời chúng giải được bởi tính tối tiểu của I G I Từ đó suy ra G giải được, điều này trái với giả thiết trên Do đó, G là nhóm đơn Theo Định lý 1.1.14, có một số nguyên tố p l IGI sao cho pï IGI

Lấy P e Syl,(G) và chon y e P sao cho ly|l = p, khi đó <y> là nhóm con nguyên sơ của G

Mặt khác do P lũy linh nên P thỏa điều kiên chuẩn hóa, nghĩa là <y> < P và

<y> < No(<y>) Suy ra <y> không abnormal trong G hay <y> chuẩn tắc trong G

Điều này trái với tính đơn của G Vậy G giải được.

(ii) Gọi H là một nhóm con bất kỳ của G Nếu cấp của H là lũy thừa của số nguyên tố p thì theo định nghĩa, H chuẩn tắc hoặc abnormal trong G Vậy giả sử có

ít nhất hai số nguyên tố là ước của | H I

Nếu tất cả các nhóm con Sylow của H (cũng là nhóm con nguyên sơ của G)

chuẩn tắc trong G thì H cũng chuẩn tắc trong G Còn nếu P là S;-nhóm con của H

không chuẩn tắc trong G thì P abnormal trong G (do G là B-nhóm) Vì có ít nhất hai

số nguyên tố là ước của | H | nén H > P Do d6 H abnormal trong G

Vậy mọi nhóm con của G hoặc normal hodc abnormal L]

2.7.3 Định nghia Nh6m Dedekind là nhóm mà mọi nhóm con của nó đều chuẩn tắc Nếu G là nhóm Dedekind không abel thì ta nói G là nh6m Hamilton

2.7.4 Bổ đề Nếu G là B-nhóm lũy linh thì G hoặc là nhóm Abel hoặc là nhóm

Hamilton

Chứng minh: Giả sử H là nhóm con thực sự của G Vì G là B-nhóm nén hoac HAG hoặc # >aŒ Vì G lũy linh nên G thỏa điều kiện chuẩn hóa, nghĩa là H < No(H), kéo theo H không abnormal trong G Suy ra H 4 G Vậy mọi nhóm con của G đều

2.7.5 Định nghĩa Một B-nhóm không lũy linh được gọi là B-nhóm không tâm thường

2.7.7 Dinh ly Cho G !à B-nhóm không tâm thường Khi đó,

(i) G siêu giải được ;

() GŒ= KQ, với K = GŒ' là nhóm abel, Q e SyL(G), trong đó q là ước nguyên tố

nhỏ nhất của IGI, Q là nhóm cyclic và KQ = 1;

(iii) ¢G= Core(Q).

Chứng minh:

(i) Vi G là B-nhóm nên G giải được Do đó, ta có đấy 1=G, 4G, 4 4G, =G,

ma G,,,/G, la abel, Vi Làm mịn dãy trên (nếu cần), ta có thể giả thiết

IG, „¡/Œ,l= p¡, với pị là số nguyên tố, ¡=0, 1, n-1 Theo Bổ để 2.7.2 (ii), mỗi G; là

chuẩn tắc hoặc abnormal trong G, V¿, do G; là á chuẩn tắc trong G, nên kết hợp với điều nói trên suy ra Œ, 4G (Nhắc lại rằng nếu một nhóm con vừa abnormal vừa á

a < ` ~ Zo

chuẩn tắc thì sẽ chuẩn tắc)

Mặt khác, do IG, 41/G,l=p, nén G;,,/G; la cyclic Do đó, G là siêu giải được

đi) — VìG là siêu giải được, theo Mệnh dé 1.4.11, G có một tháp Sylow

14B 4h,P, 4h,P, P, 4 BP, P, =GŒ, với P; e Swl„ (G) và pi>p2> >Ða

Nếu 3/1<?<ø-—1, P.,>aG thì P¡P; P¡>4G, nhưng P¡P¿ P;, á chuẩn tắc trong G, nén P,P P;< Ng(P;P2 P;) Do dé P; 4 G, i=1,2, n-1

Dat P, = Q, néu Q ciing chuẩn tắc trong G thì G sẽ lũy linh (xem Định lý 1.3.7), điều này trái với giả thiết Do đó Q abnormal trong G, | Q | = a‘, q = Pa là ước

nguyên tố nhỏ nhất của IGI

Đặt K = P¡P; Pạ., Vì P;¡ chuẩn tắc, lũy linh trong G nên thec Định lý 1.3.8, K là

nhóm con chuẩn tắc lũy linh của G, G = KQ và K ¬ Q = 1

Mặt khác, do q là ước nguyên tố nhỏ nhất của | G l, nên từ đó suy ra l K I là số lẻ Vì

K là B-nhóm lũy linh nên theo Bổ để 2.7.4, hoặc K là nhóm abel hoặc K là nhóm

Hamilton Tuy nhiên, do l K l là số lẻ nên K không thể là nhóm Hamilton (xem Dinh

lý 1.1.13) Vậy K là nhóm abel

Đặt Q¡ = Core(Q), nghĩa là Q¡ là nhóm con chuẩn tắc lớn nhất của G chứa trong Q Vì mọi nhóm con thực sự của Q đều chuẩn tắc trong G và Q >4 G, nên | Q

|= qt Do d61Q:Q,l=q Mat khac, do Q =P, là p;-nhóm con Sylow của G nên Q

lũy linh, mà Q¡ < Q, nên suy ra Q¡ cũng lũy linh Vậy K và Q; là các nhóm con lũy

linh chuẩn tắc trong G Từ đó suy ra KQ; < F(G) Do G = KQ, [ Q:Q¡ ] = q và G là không lũy linh, nên KQ; là nhóm con lũy linh chuẩn tắc tối đại của G Do đó

F(G) = KQ¡ =KxQ;¡ (do Kn¬Q =e suy ra KnQ¡=©)

Bây giờ, ta có Q/Q¡ = < Q¡x >, với x eQ - Q¡ và x? eQ¡ Nếu <x> là nhóm con thực sự của Q thì <x> 4G và vì <x> lũy linh nên <x> <F(G), nghĩa là x e Q¡ Điều này vô lý, nén suy ra Q = <x> Vay Q 14 cyclic

Do G giải được và Q >4G, nên Q = Nọ(Q) và vi P; Po, Pai <a G,

nên {P¡, P;, ,Q} là cơ sở Sylow của G Vì thế , Q là một hệ chuẩn hóa tử của G Do d6 Q covers G/G’, nghĩa là G = G°Q Từ đó suy ra G° chứa một q”-nhóm con Hall của G Do đó K <Œ' Mặt khác, ta có G/K = KQ/K z Q/KnQ zQ, nên G/K là

abel Mà G/G' là nhóm con abel lớn nhất của G, nên G'< K Vậy K =G'

(iii) Do F(G) = K x Q; = KQ; nên Q¡ <Co(K) Thật vậy,

Vq,€Q,, suy ra g,eG Ma KO, = {kq,, Vk e K,Vq,¢Q}, nén VkeK, ta c6

qik = kq,, Nén suy ra, qi e Co(K)

Mặt khác, vì Q abel nên Q¡ < Cae(Q) Thật vậy,

Vq,€Q,, suyra g.€Q < G Ma Q la abel nén V¢eQ, ta c6 qiq = qq:

Do đó, q¡ e Co(Q)

Từ đó suy ra Q¡ < ứG

Hơn nữa, Q là một hệ chuẩn hóa tử của nhóm giải được G và ¢°G là siêu tâm

của G, nén theo Dinh ly 2.6.16, ta c6 ¢°G= Core(Q) TW đó suy ra