B- Nhóm hữu hạn 4

mối quan hệ giữa các nhóm hữu hạn được nhiều người quan tâm đặc biệt là quan hệ giữa các B-nhóm hữu hạn với các nhóm giải được, siêu giải được...và đó chính là vấn đề được trình bày trong luận văn này

CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

§1 Các Khái Nệm Mở Đầu

1.1.1 Định nghĩa G là một nhóm X là tập con khác rỗng của G

Tâm của Œ, ký hiệu là £G :

6G= {geG/ gx =xg, VxeG }

Tâm hóa tử của X trong GŒ :

Co(X) = {geG/gx=xg, VxeX}

Nếu X là một tập con khác rỗng va g là một phần tử của nhóm G, liên hợp của X bởi g là một tập con

Nhóm con GŸ được gọi là nhóm con hoán tử bậc ¡ của G

1 1.3 Định nghĩa Cho G là một nhóm và Xị, X¿, Xn là các phần tử của G Hoán tử

của xị, xX¿ là:

[Xi, xz] = XI x;z ÌXiX¿ = XI XS ,

Bằng quy nạp, ta định nghĩa:

[Xi; Xa; .,Xn]=[[Xq, Xa» Xa-r], Xa], n> 2, với [Xị] = Xị

1.1.4 Định nghĩa X;, X¿, , X„ là các tập con khác rỗng của G Ta định nghĩa nhóm con hoán tử của X; và X;¿ là:

Dãy các nhóm con hoán tử

G=G9) > Ø9) > đ®) > với Go"? = (Gy, dude goi là đấy dẫn xuất của G

1.1.5 Định lý Mọi p-nhóm hữu hạn đều có tâm không tầm thường

Chứng mỉnh: Giả sử G là nhóm hữu hạn có cấp là p”, ta có công thức lớp

IGI=I¢GI+ ¥ [G:C,(a)],

ael Trong đó I là tập hợp tất cả các phần tử đôi một không liên hợp nhau và không nằm

trong tâm Do p l [G : Ce(a)], Va e1, nên p I |G[ Suy ra &G #1

1.1.6 Định lý Cho G là nhóm và H là nhóm con chỉ số n trong G Khi đó tổn tại một

Và giả sử ự(g)(xH) = w(g)(yH) Suy ra gxH = gyH = xH = yH Vậy w(g) 1a đơn ánh

Mặt khác, VyH e X, ta có ự(g)(g`'yH) = gg 'yH = yH Nênự(ø) là toàn ánh

Do d6 y(g) là song ánh Suy ra y(g)eS,

Hon nifa, Vg, g'e« G,VxH € X, ta cé w(gg')(xH) = gg’xH

Ma y(g) y(g')(xH) = y(g)g’xH = gg’xH Suy ra ự(sø') = w(g) w(g') Vay wy Ia

1.1.7.Hệ quả Nếu G /à nhóm đơn và H là nhóm con chỉ số n>1của G thì tôn tại một

đơn cấu từ G vào S„

Chứng mỉnh: Giả sử H < G,[G : H]= n >1, suy raẳH<G

Theo Định lý 1.1.6, tổn tại đồng cấu nhóm ự : G -> §„ sao cho Kerự < H <G

Mà Ker ự 4 G, nên suy ra Kerự =1 Do đó ự là đơn cấu Oo

1.1.8 Bổ đề Mọi nhóm cấp 15 đều là xyclic

s|3.5

=>se=l

s = 1(mod5)

Vậy G có duy nhất một nhóm con cấp 3 gọi là H và có duy nhất một nhóm con cấp 5

gọi là K Do đó H aG,K 4G Hiển nhiên # ¬ K =1, suy ra G = HK là tích trực tiếp Mặt khác do ⁄j z Z;,,K = Z,, nên suy ra HK = Z,,.Dod6 G=Z,,

Định lý 1.1.9 dưới đây là kết quả quen thuộc trong giáo trình Đại Số Hiện Đại

(xem [2]) nên sẽ được phát biểu không chứng minh

1.1.9 Định lý Cho H, K là hai nhóm con của GŒ Khi đó,

| NKI H¬KI=1HIIKI

Vì vậy [ H:HcK ] = \ HK \\ K \ nếu H và K hữu hạn

1.1.10 Hệ quả Nếu [ G:H ] va [G:K] hữu hạn và là ước nguyên tế của [ G:Ho K]

thi [G:HAK ] =[G:H ].[G-:K ]

1.1.11 Dinh nghĩa Cho G là nhóm hữu hạn, H được gọi là nhóm con á chuẩn tắc

(subnormal) của G nếu tôn tại các nhóm con khác nhau Họ = H, H;, Hạ = G

(n>0) sao cho H = Hạ 4H, 4 4H, =G

1.1.12 Dinh nghĩa Cho K 4 #,H là nhóm con á chuẩn tắc của G Ta nói H/K la

thương hợp thanh (composition factor) cha G néu H/K 1a nhóm đơn

Các định lý 1.1.13 và 1.1.14 dưới đây là các định lý rất nổi tiếng và chứng minh khá phức tạp, chúng được trình bày chỉ tiết trong [4] nên chúng ta chỉ phát biểu không chứng minh

1.1.13 Định lý ( Dedekind, Baer, [4] ) Mọi nhóm con của nhóm Œ là chuẩn tắc

nếu và chỉ nếu G là Abel hoặc GŒ là tích trực tiếp của một nhóm Quaternion cấp ồ, một 2-nhóm con abel sơ cấp và một nhóm Abel trong đó tất cả các phần tử đều có cấp lẻ

1.1.14 Dinh ly ( Holder, Burnside, Zassenhaus, [4]) Nếu GŒ là nhóm hữu hạn có tat cd cdc nhém con Sylow Ia cyclic, thi G cé biéu diễn là

G=<a,bla"=1=b", b'ab=a' >,

Trong do, r” = 1(mod m), m lé, 0<1<m, mva n(r - 1) la nguyén tố cùng nhau Ngược lại, nếu một nhóm mà có biểu diễn như trên thì các tất cả các nhóm con Sylow của nó là cyclic

$2 Nhóm Con Abnormal

1.2.1 Định nghĩa Nhóm con H của G được gọi là Abnormal nếu ge (H , 8 ) , VgeŒG Ký hiệu ïj>4G

* Nhận xét: Dễ thấy rằng , nếu U >4 G,U < H <G thì H >4 G và Ng(H)= H

Thật vậy, giả sử U >aG, suy ra Vg e G,g e€< U,U# >

Mà ge<U,U > < <H,H'>, nên suy ra g e< H,H > Do đó H >aG

Mặt khác, nếu g e N„(H) thì H = H

Ta có, ge<U,U > < <H,H >=H Vậy H=Ne(H) L

Để tiện trình bày, dưới đây chúng tôi phát biểu một điều kiện cần và đủ để

một nhóm con là abnormal Định lý này được chứng minh đây đủ trong [ 3 ]

1.2.2 Định lý Nhóm con D của G là abnormal nếu và chỉ nếu những điều kiện dưới đây được thỏa:

() Mọi nhóm con trung gian H, D<H<G đều tự chuẩn hóa, nghĩa là

No(H) = H;

(ii) Nếu hai nhóm con trung gian liên hợp nhau thì chúng trùng nhau

1.2.3 Các ví dụ:

(1) Nếu Plà p-nhóm con Sylow của G thì No(P) là abnormal trong G

Thật vay, dit H = N,(P), ta có P<Hnên P và P” là các nhóm con sylow của

<H,H`>

Suy ra, 3u e(P,P*) <(H,H*) sao cho P* =P", từ đó ta có xu” e No(P)= H<(H,H"),

nên suy ra xe (H,H') Do d6 H=N,(P) abnormal trong G O

(2) — Nếu H là nhóm con tối đại, không chuẩn tắc trong G thì H abnormail trong G

Thật vậy, ta có < N„(H)<Œ Do H là nhóm con tối đại , không chuẩn tắc trong

G Suy ra No(H) = H

Néu H* = H, VxeG thì xe M,(H) =H Suy ra xe(H,#7') Còn nếu H” # H thi

H <(H,H*) Từ đó suy ra <H,H”> = G Do đó xe (m.m))

(3) Cho G = GL„(K), K là thể, D = Tạ(K) là nhóm con tất cả các ma trận tam

giác trên khả nghịch Tits đã chứng minh rằng D abnormal trong G (Xem [3],trang 107) Đây là một định lý lớn của Tits, được chứng minh khá phức tạp Do khuôn

khổ và chủ để của luận văn giới hạn, chúng tôi không thể trình bày lại định lý này

O

1.2.4 Định lý Cho P là p-nhóm con Sylow cia nhém hitu han G Khi dé,

(i) Nếu Nọ(P) < H< G thì H = No(H)

() — Nếu N4G, thì P¬ N là p-nhóm con ŠSylow của N và PN/N là p-nhóm con

§3 Nhóm Lũy Linh

1.3.1 Định nghĩa Dãy G =7,G >7;G > , trong đó 7„„G =[y„G,G] được gọi là đãy

tâm đưới của G

1.3.2 Định nghĩa Dãy 1=¿¿G <£,G<£,G< trong đó (,G/£,G =£(G/£,G) gọi

là đấy tâm trên của G

Nếu G hữu hạn, số hạng cuối cùng của dãy tâm trên được gọi là siêu tâm

( hypercenter) của G Ký hiệu là Z”(G)

1.3.3 Định nghĩa Nhóm G được gọi là nhóm lấy linh nếu nó có một dãy tâm, nghĩa

- Nếu nhóm G z 1 lũy linh thì c(G) z 1

Các định lý 1.3.4 và 1.3.6 dưới đây là các kết quả quen thuộc trong giáo trình Đại số hiện đại (xem [2]) nên sẽ được phát biểu không chứng minh

1.3.4 Dinh ly Cho 1=G,<G,< <G,=G la day tâm trong nhóm lãy linh G

1.3.6 Định lý Nếu nhóm H và K lãy linh thì nhóm H x K cũng lãy linh

Định lý quan trọng dưới đây cho ta sự mô tả các nhóm lũy linh hữu hạn

1.3.7 Định lý Cho G là một nhóm hữu hạn Các điều sau tương đương

(i) G lity linh;

(ii) moinhdmcon cia G la á chuẩn tắc;

(iii) G thỏa điều kiện chuẩn hóa;

(iv) mọi nhóm con tối đại của G là chuẩn tắc;

(v) — G là tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của nó

Chứng minh:

(i) > (ii) Gia sử nhóm G là lũy linh với lớp c Nếu H < G thì Hứ,G 4 Hý,„G bởi vì

€,.G/£,G =£(G/£,G) Từ đó suy ra H = Hứ,G 4 Hệ,G 4 4 H£,G =G

Do đó, H á chuẩn tắc trong G

(1) = (ii) Giả sử H < G, khi đó H á chuẩn tắc trong G và ta có dãy

H=H,aH,4a a4H, =ƠG

Nếu ¡ là một số nguyên dương bé nhất sao cho # #, thì H=H,,<4H, Suy ra

H<H,<N,(H) Vậy G thỏa điều kiện chuẩn hóa

(iii) =>(v) Giả sử M là nhóm con tối đại của G Do G thỏa điều kiện chuẩn hóa

nên M<No(MI) Từ đó suy ra Ne(M) = G hay M a G

(iv) >(v) Giả sử P là một nhóm con Sylow của G Nếu P không chuẩn tắc trong G

thì Ne(P) < G Từ đó ta có Ne(P) <M, với M là nhóm con tối đại của G, suy ra

M 4G hay No(M) =G Điều này vô lý bởi vì :

Lấy x e Ng(M), suy ra M = MỸ và vì P<M 4 N„(M) nên P” < M” = M Rõ

ràng P và P” là p-nhóm con Sylow của M, nên P” = P”,me M⁄ Từ đó suy ra

P“”=P< N,(P), suy ra xm'e N„(P)<M và x eM Do vậy Ne(M) =M

Do đó, mỗi nhóm con Sylow của G đều chuẩn tắc trong G

Mặt khác, vì mọi p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp nhau nên mỗi số nguyên tố

p chỉ có một p-nhóm con Sylow Do đó, tích của tất cả các nhóm con Sylow là tích

trực tiếp và nó phải bằng G

(vi) = () Vì mọi p-nhóm con Sylow của G đều lũy linh nên theo Định lý 1.3.6 ta

có G=P¡xP;x x P¿ là lũy linh, trong đó Pạ, P;, P¿ là tất cả các p-nhóm con

Chứng minh:

Ta có, tích của hai nhóm con chuẩn tắc của nhóm G là một nhóm con chuẩn tắc của G Do đó HK 4 G

Bây giờ ta chứng minh HK lũy linh

Gọi c, d lần lượt là các lớp lũy linh của H và K, đặt L = HK

Trước tiên, ta chứng minh z,¿ là tích của tất cả [X\, X; ] với Xị = H hoặc K bằng phương pháp qui nạp Thật vậy,

Với ¡=1 thì điểu này luôn đúng nếu ta đồng nhất [X;] với Xị

Giả sử điều khẳng định đúng với mọi ¡ Ta chứng minh nó đúng với i+1

Nếu U, V, W 4 G thì các đẳng thức sau đây được thỏa mãn:

[UV, W] = [U,W][V,W] và [U, VW] = [U,V][U,W]

Do đó ta có „¡1 =[Z,L,L]=[z,L,H][y,L,K] Từ đó suy ra y,„, là tích của tất cả

[Xi X¡ÄX¡¿¡] với Xị = H hoặc K

Đặt ¡ = c + d+ 1 Khi đó trong [X¡, X¡,X;.¡] hoặc là H xảy ra ít nhất c + 1 lần hoặc

là K xảy ra ít nhất d+1 lần

Bây giờ nếu A4G thì [A,G]<A bởi vì f[ag]=a'g'ag eA Vì vậy

[XI.X¿ X¡]< 7, và [Xì, Xo,.Xils va K «

Ma_y,,,H =1 va 7,,,K =1 (DoH, K lily linh) Nên [X:, X¿ X:] = 1 và z, =1

1.3.9 Định nghĩa Nhóm con sinh bởi tất cả các nhóm con lũy linh chuẩn tắc của G

được gọi là nhóm con Fitting cha G Ký hiệu là F(G)

* Nhận xét Nếu G là nhóm hữu hạn thì F(G) lũy linh và là nhóm con tối đại chuẩn tắc lũy linh duy nhất của G

$4 Nhóm Siêu Giải Được

1.4.1 Định nghĩa Một nhóm được gọi là siêu giải được nếu nó có một dãy cyclic

G,,,/G, la

chuẩn tắc, nghĩa là, một dãy 1= G, < G, < <G, =GŒ,trong đó G 4G và

cyclic, V¿ = 0,1, ,„T—1

Dãy cyclic chuẩn tắc trên được gọi là đấy siêu giải được của G

1.4.2 Định lý Mọi nhóm con của một nhóm siêu giải được là siêu giải được

Chứng minh: Giả sử G siêu giải được và H < G Khi đó tổn tại dãy

Ma Gi,,/G; cyclic, nén suy ra H;,,G; / G, cyclic Do d6 Hj,; / H; cyclic

1.4.3 Định lý Nếu H và K là hai nhóm siêu giải được thì H x K cũng siêu giải được

Chứng minh: Vì H và K là hai nhóm siêu giải được nên tổn tai cdc day:

Ta có, V(x,y)e H xK,(x,y)"'(H,x1\(x, y) = (x''H,x)x(y 'y)= H,x1

y 1a toan cấu và Kerw=H x Ki

Ssuyra HxKj/HxK; z K¡¿/K; Do đó H x K,.H x K; là cyclic Nên (3) là dãy

chuẩn tắc cyclic của HxK

1.4.4 Ménh dé Néu eg siêu gidi duoc thi G siéu giải được

Chứng mỉnh: Do eg siêu giải được nên ta có dãy

&=lS@< <£„=(G <G,<G,< <G,=G

1.4.5 Định lý Mọi nhóm lấy linh hữu hạn đều siêu giải được

Chứng mỉnh: Giả sử G là p-nhóm, nghĩa là |GI = p°

Nếu IGI = p thì G siêu giải được

Giả sử n > 1 và mọi p-nhóm cấp nhỏ hơn p° đều siêu giải được

Ta chứng minh G siêu giải được Thật vậy, do ¿Œ là p-nhóm không tầm thường nên

Hơn nữa, nếu G là nhóm lũy linh hữu hạn bất kỳ thì G là tích trực tiếp các nhóm

con Sylow của nó Mà các nhóm con Sylow là siêu giải được Nên theo Định lý

Chiều đảo của định lý không đúng, thật vậy ta xét nhóm Sa

Xét dãy 1 << (123) >< 8, ,tacd <(123)> 4 S3

Mặt khac, | S3/< (123) >| =2 nén thuong nay là cyclic Vậy S siêu giải được

1.4.6 Mệnh đề Mọi nhóm thương của nhóm siêu giải được là siêu giải được

Chứng mỉnh: Giả sử K 4a G Do G siêu giải được, nên ta có dãy có dãy

1=G, $G,< <G, =G, trong d6 G, «G va G,,,/G; cyclic

Do K aG va G,«G,nén KG, 4a Œ Từ đó suy ra K < 4

1.4.7 Định nghĩa Cho KG, nhóm H/K được gọi là (hương chính (principal

#actor) của G nếu H/K là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G/K

1.4.8 Định lý Thương chính của một nhóm siêu giải được có cấp nguyên tố

Chứng mỉnh: Giả sử G là nhóm siêu giải được và H/K là thương chính của G Khi

đó, H/K là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G/K

Do G/K là siêu giải được, nên theo Mệnh đề 1.4.6 ta chỉ cần chứng minh rằng

mọi nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của nhóm siêu giải được đều có cấp nguyên tố

Gọi N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của nhóm siêu giải được G và dãy

1= Gạ<G¡< < G„ =G là dãy cyclic chuẩn tắc

Nếu tổn tại một số nguyên ¡ nhỏ nhất sao cho W¬G, #1 thi NAG, <G va do

NOG, <N,nénNoG,=N Suyra N<G

Mặt khác, vì V¬G, , =1 nên ta có N = NG,_,/G,_, < G,/G,_ 1°

1.4.9 Định nghĩa Giả sử pị, p, là các ước nguyên tố khác nhau của | G | Một tháp Sylow loại ( pạ, p„) của G là một dãy các nhóm con G¡, ., G, của G sao cho G; là pinhóm con Sylow của G, Vi= ], ,r và G¡G; Gy 4 G, Vk=l, r

Nếu các ước nguyên tố của | G | được sắp xếp sao cho pị > p¿ > >p, thi ta sé

goi thap Sylow loai (p), , p,) 14 mét thdp Sylow

Để tiện theo dõi, dưới đây chúng tôi phát biểu một tính chất của nhóm siêu

giải được Kết quả này được chứng minh chỉ tiết trong [5] (xem [5], trang 19), nên

sẽ được phát biểu không chứng minh

1.4.10 Bổ đề Nếu G là nhóm hữu hạn siêu giải được thì G có một dãy siêu giải

được

1l=Go<G)< <G,=G

với mỗi | G; / G, | nguyên tố và |G,/G,| = |G,/G|| 2 .2|G,/G,_,

1.4.11 Mệnh đề Mọi nhóm siêu giải được đều có một tháp Sylow

Chứng minh: Giả sử G là nhóm siêu giải được Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp theo

số các ước nguyên tố của l G I Hiển nhiên ta có thể giả sử G không tâm thường

Gọi p = D¡ > Pa > > p; là các ước nguyên tố khác nhau của l G I Rõ ràng, dãy

siêu giải được của G, mà các thương có cấp nguyên tố phải bao gồm một vài thương