Nhóm hữu hạn địa phương và tính địa phương của nhóm giải được

Trong tiết này đã chứng minh đợc kết quả chính là : một nhóm xoắn, giải đợc địa phơng bất kỳ là nhóm hữu hạn địa phơng định lý 4.6 Đ5 Xét mối quan hệ giữa tính giải đợc địa phơng và tính

Trờng Đại học Vinh Khoa toán học -*** -

Lê Thị Thắm

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Nhóm hữu hạn địa phơng và tính địa phơng

của nhóm giải đợc

Ngời hớng dẫn: Ths Nguyễn Văn Giám

Vinh - 2006

Trờng Đại học Vinh Khoa toán học -*** -

Lê Thị Thắm

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Nhóm giải đợc hữu hạn và tính địa phơng

của nhóm giải đợc

Vinh - 2006

Lời nói đầu

Trong lý thuyết nhóm, các lớp nhóm giải đợc và lớp nhóm giải đợc địa phơng

đợc nghiên cứu theo các hớng chủ yếu sau :

+ Tìm điều kiện để cho một nhóm thuộc một trong các lớp nhóm nói trên.+ Khi nào một nhóm giải đợc địa phơng là nhóm giải đợc

Tiểu luận này tiếp cận theo hớng thứ hai nói trên

Một nhóm gọi là nhóm hữu hạn địa phơng nếu mọi nhóm con hữu hạn sinh của nó đều là nhóm hữu hạn Một nhóm hữu hạn tất nhiên là nhóm hữu hạn địa ph-

ơng Tuy nhiên điều ngợc lại không đúng

Tiểu luận đã chứng minh đợc nhóm con, nhóm thơng, mở rộng của một nhóm hữu hạn địa phơng nhờ một nhóm hữu hạn địa phơng hay tích trực tiếp các nhóm con hữu hạn địa phơng là nhóm hữu hạn địa phơng Đặc biệt một nhóm xoắn , giải

đợc địa phơng là nhóm hữu hạn địa phơng

Một nhóm gọi là có tính chất địa phơng W nếu mọi nhóm con hữu hạn sinh

của nó đều có tính chất W Tiểu luận đã chứng minh đợc rằng các RN - nhóm, RI - nhóm, RI - nhóm địa phơng đều là RN - nhóm, RI - nhóm, RI - nhóm.

Tiểu luận chia thành 5 tiết :

Đ1, Đ2, Đ3 trình bày hệ thống vắn tắt các khái niệm về các chuỗi chuẩn tắc, chuỗi bất biến cũng nh các kiến thức chung về nhóm giải đợc, nhóm giải đợc tổng quát

Đ4 nói về nhóm hữu hạn địa phơng Trong tiết này đã chứng minh đợc kết quả chính là : một nhóm xoắn, giải đợc địa phơng bất kỳ là nhóm hữu hạn địa phơng (định lý 4.6)

Đ5 Xét mối quan hệ giữa tính giải đợc địa phơng và tính giải đợc của các nhóm Trong đó đã chứng minh đợc rằng : Một nhóm giải đợc địa phơng RN - nhóm, RI - nhóm, RI - nhóm là RN - nhóm (mệnh đề 5.3), RI- nhóm (mệnh đề

5.4) ,RI - nhóm (mệnh đề 5.5.)

Vẫn còn nhiều vấn đề đặt ra nh một nhóm giải đợc địa phơng RN*- nhóm có

phải là RN * - nhóm hay không hoặc vấn đề tơng tự đối với RI * - nhóm, RK - nhóm

mà tác giả cha thấy tài liệu nào nói tới

Để hoàn thành tiểu luận tác giả đã đợc sự hớng dẫn giúp đỡ của thầy giáo ớng dẫn ThS Nguyễn Văn Giám

h-Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo - ThS Nguyễn Văn Giám đã đặt vấn đề và hớng dẫn tận tình giúp đỡ, các thầy giáo cô giáo trong tổ

Đại số, tập thể lớp, khoa và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi,để từ đó tác giả hoàn thành luận văn này

Với thời gian và năng lực hạn chế,chắc rằng tiểu luận còn những chỗ thiếu sót Mong đợc sự góp ý chỉ bảo của các thầy cô giáo và các bạn

Vinh, ngày 2 tháng 5 năm 2006

Tác giả

Đ1 Các chuỗi chuẩn tắc và chuỗi bất biến

Định nghĩa 1.1: Cho một chuỗi hữu hạn các nhóm con lồng vào nhau của

nhóm G:

G = G 0 ⊃ G 1 ⊃ ⊃ G k = E (1)Bắt đầu từ G và kết thúc tại nhóm con đơn vị E.

a) Chuỗi (1) đợc gọi là chuỗi chuẩn tắc của nhóm G nếu nhóm con bất kỳ G i

là ớc chuẩn thực sự của nhóm con G i-1, i = 1, 2, , k.

Số k đợc gọi là độ dài của chuỗi (1).

e) Hai chuỗi chuẩn tắc của một nhóm đợc gọi là đẳng cấu với nhau nếu chúng

có cùng độ dài và các thơng tơng ứng đẳng cấu với nhau

Về các chuỗi chuẩn tắc của một nhóm có hai kết quả quan trọng xin đợc nhắc lại ở đây:

Định lý 1.2: (Srây) Hai chuỗi chuẩn tắc của một nhóm tuỳ ý đều có các

chuỗi mịn hoá đẳng cấu.

Định lý 1.3: (Jordan-Holde) Nếu nhóm G có chuỗi hợp thành thì hai chuỗi

hợp thành bất kỳ của nó đẳng cấu với nhau.

Định nghĩa 1.4: Chuỗi các nhóm con (1) trong nhóm G đợc gọi là chuỗi bất

biến nếu G i  G, i = 1,2, , k.

Nhận xét: Một chuỗi bất biến trong nhóm G sẽ là chuỗi chuẩn tắc của

nhóm đó.

Định nghĩa 1.5: Chuỗi các nhóm con

G = H 0 ⊃ H 1 ⊃ ⊃ H k = E

đợc gọi là chuỗi chính của nhóm G nếu với mọi H i , i = 1, 2 , k là ớc chuẩn cực

đại của nhóm G, đợc chứa trong H i-1 với t cách là nhóm con thực sự

Đ2 Nhóm giải đợc

I Định nghĩa nhóm giải đợc

Định nghĩa 2.1: Một nhóm G đợc gọi là nhóm giải đợc nếu thoả mãn một

trong các điều kiện sau:

1) Nhóm G có một chuỗi chuẩn tắc giải đợc hữu hạn.

2) Nhóm G có một chuỗi bất biến giải đợc hữu hạn.

3) Dãy giảm các đạo nhóm của nhóm G dừng tại nhóm con đơn vị sau một số

Do nhóm thơng G/ H 1 aben nên H 1 ⊇ K' Giả sử đã chứng minh đợc H i ⊇

K (i) Từ nhóm thơng H i / H i+1 aben, suy ra H i+1 chứa đạo nhóm của nhóm H i và do

đó H i+1 chứa đạo nhóm của nhóm K (i) Vậy H i+1 ⊇ K (i+1) Từ H n = E suy ra K (n) = E.

Định lý đợc chứng minh

II Các tính chất của nhóm giải đợc

Tính chất 1: Mọi chuỗi chuẩn tắc của một nhóm giải đợc đều có thể mịn

hoá thành một chuỗi giải đợc Vì vậy, mọi ớc chuẩn của một nhóm giải đợc, đợc chứa trong một chuỗi giải đợc nào đó.

Tính chất 2: Nhóm thơng của một nhóm giải đợc là nhóm giải đợc.

Tính chất 3: Nhóm con của một nhóm giải đợc là nhóm giải đợc

Tính chất 4: Mở rộng của một nhóm giải đợc nhờ một nhóm giải đợc là

Để chứng minh tính chất này ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề: Nếu trong một nhóm G đã cho một chuỗi chuẩn tắc

G = G 0 ⊃ G 1 ⊃ ⊃ G k = E (1)Thì mọi nhóm con F của nhóm G đều có chuỗi chuẩn tắc mà các thơng của nó đẳng

cấu với các thơng của chuỗi (1)

ở đây, nếu ta lấy U = F, u = E, V= G i-1 , V = G i thì ta có:

F i  F i-1 và F i-1 / F i ≅ G i F i-1 / G i

Nhng G i-1 ⊇ G i F i-1 ⊇ G i tức là nhóm thơng F i-1 / F i đẳng cấu với nhóm con của nhóm thơng G i-1 / G i.

Ta có chuỗi:

F = F 0 ⊇ F 1⊇ ⊇ F k = E

là chuỗi chuẩn tắc cần tìm của F Bổ đề đợc chứng minh.

Từ bổ đề trên, bỏ đi các bớc lặp trong chuỗi chuẩn tắc của F ta có chuỗi giải

a) Một hệ các nhóm con lồng nhau U = [Aα] chứa E và G của nhóm G đợc gọi

là hệ chuẩn tắc của nhóm G nếu thoả mãn điều kiện:

∀ Aα, Aα+1∈ U thì AαAα+1

b) Nếu với mọi Aα∈ U, Aα G ta có hệ gọi là hệ bất biến.

c) Một hệ chuẩn tắc U của nhóm G không mịn hoá đợc gọi là hệ hợp thành.

d) Một hệ bất biến U của nhóm G không mịn hoá đợc gọi là hệ chính.

Định nghĩa 3.2:

Một hệ chuẩn tắc hay hệ bất biến của nhóm G đợc gọi là hệ giải đợc nếu các

thơng của nó đều là nhóm aben

Định nghĩa 3.3:

Một nhóm G đợc gọi là:

a) RN nhóm– nếu nó có một hệ chuẩn tắc giải đợc

b) RI Nhóm – nếu nó có một hệ bất biến giải đợc

c) RK nhóm– nếu chuỗi đạo nhóm của nó có thể kéo dài đến nhóm con đơn vị

d) RN– Nhóm nếu nó có một hệ hợp thành giải đợc

e) RI – Nhóm nếu nó có một hệ chính giải đợc.

g) RN* - Nhóm nếu nó có một chuỗi chuẩn tắc tăng giải đợc

h) RI* - Nhóm nếu nó có một chuỗi bất biến tăng giải đợc.

* Nhận xét 1:

+ RK - nhóm là RI - nhóm và do đó là RN - nhóm

Chứng minh : Thật vậy, nếu G là RK - nhóm thì trong G chuỗi các đạo nhóm

của G có thể kéo dài đến đơn vị Theo định lý 2.2 thì G là nhóm giải đợc và do đó

trong G có chuỗi bất biến giải đợc Chuỗi bất biến giải đợc chính là hệ bất biến giải

đợc của G và do đó G là RI - nhóm Cũng lại do định lý 2.2 thì trong G có chuỗi

chuẩn tắc giải đợc hữu hạn Chuối chuẩn tắc giải đợc hữu hạn cũng chính là hệ chuẩn tắc giải đợc hữu hạn của G và do đó G là RN - nhóm

* Nhận xét 2:

RN - nhóm và RI - nhóm sẽ tơng ứng là RN - nhóm và RI - nhóm

Chứng minh :

+ Nếu G là RN - nhóm thì trong G có một hệ chuẩn tắc U = [Aα] giải đợc

chứa E Mịn hoá hệ U đến một chuỗi hợp thành ta có G là RN - nhóm

+ Nếu G là RI - nhóm thì trong G có một hệ U = [Aα] bất biến chứa E Mịn

Nhóm con của nhóm RK, RI, RN - nhóm tơng ứng cũng là RK, RI, RN- nhóm

Chứng minh :

+ Giả sử G là RK - nhóm , A là một nhóm con tuỳ ý của nhóm G Khi đó

trong G có hệ chuỗi các đạo nhóm của nó [G (n) ] dừng tại nhóm con đơn vị E Xét hệ [G (n)∩ A] sẽ là hệ bất biến giải đợc của A và do đó A là nhóm giải đợc Theo định lý

2.2 thì trong A chuỗi các đạo nhóm của A dừng tại nhóm con đơn vị E và do đó A là

RK - nhóm.

Chứng minh tơng tự đối với RI, RN - nhóm

Mệnh đề 3.5:

Nhóm thơng của RN - nhóm (RI - nhóm) cũng là RN - nhóm (RI - nhóm )

Chứng minh :

Giả sử G là RN - nhóm, H ∆ G Giả sử U là hệ hợp thành giải đợc trong G,

qua phép chiếu chính tắc hệ U sẽ chuyển thành hệ hợp thành giải đợc trong nhóm thơng G/H Vậy G/H là RN - nhóm

Với RI - nhóm,chứng minh hoàn toàn tơng tự.

Tơng tự với chứng minh nhóm thơng của RI * - nhóm

Với nhóm con kết quả là hiển nhiên

Mệnh đề 3.7:

Mọi RI * - nhóm sẽ là RI - nhóm

Chứng minh:

Giả sử U là chuỗi bất biến tăng giải đợc của nhóm G, còn B là một hệ bất

biến tuỳ ý trong G Khi đó sẽ tồn tại U và B là các mịn hoá tơng ứng của U và B

sao cho các thơng của B sẽ là bộ phận của các thơng của U Hệ U là mịn hoá của chuỗi giải đợc sẽ là chuỗi giải đợc, do đó B là hệ giải đợc Từ đó suy ra tất cả các hệ chính của nhóm G là hệ giải đợc Vậy G là RI - nhóm.

Đ4 Nhóm hữu hạn địa phơng

Nhóm G đợc gọi là nhóm hữu hạn địa phơng nếu bất kỳ nhóm con hữu hạn

sinh của G đều là nhóm hữu hạn

Nhận xét:

Nhóm hữu hạn là nhóm hữu hạn địa phơng Tuy nhiên điều ngợc lại không

đúng Ví dụ nhóm P∞ là nhóm hữu hạn địa phơng, nhng không phải là nhóm hữu hạn

Mệnh đề 4.1:

Nhóm con và nhóm thơng của nhóm hữu hạn địa phơng là nhóm hữu hạn

địa phơng

Chứng minh:

+ Nếu G là nhóm hữu hạn địa phơng và A là một nhóm con tuỳ ý của nhóm

G Khi đó lấy một nhóm con hữu hạn sinh H bất kỳ của nhóm con A thì H là nhóm

con của G Do G là nhóm hữu hạn địa phơng, nên mọi nhóm con hữu hạn sinh của

nó đều hữu hạn Nên H là nhóm hữu hạn Vậy A là nhóm hữu hạn địa phơng.

+ Nếu G là một nhóm hữu hạn địa phơng, A là một nhóm con chuẩn tắc bất kỳ

Xét một nhóm con hữu hạn sinh H bất kỳ của nhóm thơng G/A

Giả sử : H = < x 1 A , x 2 A, , x… n A >

Khi đó xét nhóm con B của G sinh bởi hữu hạn phần tử : x 1 , x 2 , ,x… n

B = <x 1 , x 2 , ,x… n >

Thì B là nhóm con của nhóm G hữu hạn địa phơng nên B là nhóm hữu hạn

Do đó H là nhóm hữu hạn.Ta có nhóm thơng G/A là nhóm hữu hạn địa phơng

Là nhóm con sinh bởi các phần tử x 1, x 2, , x l Ta chứng minh H là nhóm hữu hạn

Giả sử nhóm con sinh bởi phần tử xi là { xi} có cấp ni Ký hiệu:

Trớc hết, ta thấy G là nhóm xoắn vì với phần tử g ∈ G thì nhóm con của G

sinh bởi phần tử g là H = { }g phải hữu hạn

Giả sử đã chọn đợc trong G tập hợp M gồm hữu hạn phần tử

Ký hiệu H = {A, M} là nhóm con của G, sinh bởi A và tập M Vì B là nhóm

hữu hạn địa phơng nên H/A là nhóm hữu hạn vì.

H/A ≅ {x1A,x2A, x n A}

Ta thấy mỗi lớp ghép của H theo A chứa ít nhất một phần tử của M Khi đó,

mỗi tích x i x j thuộc một trong các lớp ghép của H theo A và do đó nó viết đợc dới

dạng tích của một phần tử trong M với một phần tử trong A Với mỗi cặp x i , x j ta có

sự biểu diễn:

x i x j = x k a ij , a ij ∈A

Vì G là nhóm xoắn nên mỗi phần tử g ∈ {M} có thể biểu diễn đợc dới dạng

tích của các luỹ thừa của các phần tử trong M với số mũ (+1)

g = x i1 x i2 …x ik , x ij ∈M

Do đó, g biễu diễn đợc dới dạng tích của các phần tử trong M với các phần tử

a ij ∈ A Mỗi cặp x i , x j có một a ij ∈ A tơng ứng Số các cặp x i, x j ∈ M là hữu hạn

nên số các a ij tơng ứng hữu hạn A là nhóm hữu hạn địa phơng nên nhóm con sinh

bởi các a ij là hữu hạn Vậy nhóm {M} hữu hạn Điều đó chứng tỏ G là nhóm hữu

Một nhóm G đợc gọi là nhóm giải đợc địa phơng nếu nhóm con bất kỳ của G

đợc sinh bởi một số hữu hạn phần tử là nhóm giải đợc

Định lý 4.6:

Một nhóm xoắn, giải đợc địa phơng G bất kỳ là nhóm hữu hạn địa phơng.

Chứng minh:

+ Trớc hết, nếu G là nhóm giải đợc, khi đó trong G có dãy đạo nhóm dừng tại

nhóm con đơn vị, sau một số hữu hạn bớc

G = G o⊃ G'⊃ G'' ⊃ …⊃ G (n-1) ⊃ G (n) = E

Vì G (n-1)/G (n) = G (n-1) aben , xoắn nên G (n-1) là nhóm hữu hạn địa phơng Ta lại

có G(n-2)/ G(n-1) là nhóm aben ,xoắn nên nó là nhóm hữu hạn địa phơng Theo định lý 4.3 , nhóm G (n-2) là nhóm hữu hạn địa phơng Cứ tiếp tục nh vậy, sau một số hữu hạn bớc ta suy ra G là nhóm hữu hạn địa phơng.

+ Với trờng hợp G là nhóm giải đợc địa phơng:

Giả sử <g 1, g 2 g k> là tập hợp hữu hạn các phần tử trong G và H là nhóm con

của G sinh bởi các phần tử đó

H = { g 1, g 2 g k}

Khi đó H là nhóm giải đợc vì G giải đợc địa phơng Theo chứng minh trên H

là nhóm hữu hạn địa phơng, nhng vì H hữu hạn sinh nên H là nhóm hữu hạn Định

lý đợc chứng minh hoàn toàn

Đ5 Tính địa phơng của nhóm giải đợc

Định nghĩa 5.1:

Giả sử W là một tính chất nào đó G là một nhóm sao cho tất cả các nhóm

con của G sinh bởi một số hữu hạn phần tử nào đó đều có tính chất W thì W đợc gọi

là tính chất địa phơng của nhóm G

Chú ý rằng một nhóm có tính chất W địa phơng có thể không có tính chất W.

Định nghĩa 5.2:

Tập hợp L các nhóm con của nhóm G đợc gọi là hệ địa phơng các nhóm con

của nhóm G nếu thoả mãn 2 điều kiện sau:

1) Mọi phần tử của G đều thuộc ít nhất một nhóm con của L.

2) Bất kỳ 2 nhóm con nào đó của L đều chứa trong một nhóm con nào đó của L.

Mệnh đề 5.3:

Mọi nhóm có tính chất địa phơng RN-nhóm đều là RN -nhóm

Chứng minh:

Giả sử trong nhóm G đã cho một hệ địa phơng các nhóm con L và giả sử tất cả

các nhóm con Aα, A,β của hệ này là RN nhóm.– Trong mỗi Aα của hệ L ta lấy một

chuỗi chuẩn tắc giải đợc Cα nào đó

Giả sử a, b là hai phần tử tuỳ ý của nhóm G đối với các trị số α mà nhóm con Aα chứa cả hai phần tử a, b trong hệ Cα sẽ tìm đợc nhóm con lớn nhất mà nhóm con đó không chứa ít nhất một trong hai phần tử a, b Ta ký hiệu nhóm con này là

Cαa,b. Ký hiệu Cαa,blà nhóm con bé nhất trong hệ Cα chứa cả hai phần tử a, b Khi

đó Cαa,b vàCαa,blập nên trong hệ Cα một bớc nhảy với thơng aben và do đó giao hoán

tử của a, b là [a,b]∈Cα

a,b

Tất cả các nhóm con Aα của L chứa a và b sẽ thuộc một trong ba lớp sau đây:

Các nhóm con Cαa,b chứa a nhng không chứa b, chứa b nhng không chứa a không

chứa cả a và b Khi đó ít nhất một trong 3 lớp trên sẽ là hệ địa phơng các nhóm con

của nhóm G.

Thật vậy, giả sử đối với mỗi một trong các lớp trên ta sẽ chỉ ra phần tử của nhóm G mà phần tử đó không nằm trong một nhóm con nào của lớp đó Phần tử nh

vậy gọi là phần tử "đối ngẫu" Tơng ứng ta có nhóm con "đối ngẫu" thuộc vào lớp

này nhng không bị chứa trong nhóm con thứ ba bất kỳ của lớp này Theo định nghĩa

hệ địa phơng các nhóm con trong L, có thể tìm đợc nhóm con Aα nào đó chứa các phần tử a, b Đồng thời chứa các phần tử trong các nhóm con của cả ba lớp Điều đó

mâu thuẫn với nhóm con Aα chỉ thuộc vào một trong ba lớp mà ta đang xét

Ta gọi mọi hệ địa phơng các nhóm con là liên hệ với cặp phần tử (a,b).

Giả sử có hai cặp phần tử (c,d), (c', d') với nhóm con Aα bất kỳ trong hệ L

chứa tất cả các phần tử trên xảy ra một trong hai khả năng sau:

Cαc,d ⊂ Cαc' d'

Hay Cαc' d'⊂ Cαc,d

Nh đã chứng minh trên ít nhất một trong hai lớp trên sẽ là hệ địa phơng các nhóm con của nhóm G Điều đó dẫn đến hệ địa phơng liên hệ với các cặp (c,d), (c', d').

Lấy giao của các hệ địa phơng các nhóm con thuộc vào một trong các hệ địa phơng đã cho Nếu cho một số hữu hạn cặp (a i, b i ); i = 1,2 n và một số hữu hạn hệ

các cặp (c j, d j ), (c' j, d' j ), j= 1,2 , s thì từ hệ địa phơng liên hệ với mỗi cặp và hệ các

cặp, có thể chọn đợc ít nhất một hệ sao cho giao của chúng sẽ là hệ địa phơng các nhóm con của nhóm G.

Thật vậy, với mỗi giao nh trên, các giao này chỉ là hữu hạn và có thể chỉ ra phần tử đối ngẫu hay cặp nhóm con đối ngẫu Chọn các phần tử đối ngẫu hay cặp nhóm con đối ngẫu sao cho tất cả ba lớp theo mỗi một cặp (a i, b i ) hay theo hệ các

cặp (c i, d i ), (c' i, d' i)sao cho chúng không là hệ địa phơng liên hệ với cặp hay hệ các cặp nói trên Trong hệ L tồn tại các nhóm con Aα chứa tất cả các phần tử đối ngẫu hay nhóm con đối ngẫu và tất cả các phần tử của các cặp và hệ các cặp đã cho Mỗi một cặp hay hệ các cặp của nhóm Aα sẽ thuộc vào một hệ địa phơng liên hệ với cặp phần tử hay hệ các cặp phần tử đã cho và do đó sẽ thuộc vào giao của tất cả các hệ

địa phơng đó Điều đó mâu thuẫn với nhóm con Aα chứa phần tử hay nhóm con đối ngẫu đã đợc chỉ ra trong giao

Từ kết quả đó chúng ta chứng minh đợc đối với mọi cặp (a,b) và mọi hệ các

cặp (c,d), (c',d' ) có thể chọn đợc một và chỉ một hệ địa phơng của nhóm G liên hệ

với chúng Ký hiệu tơng ứng các hệ đó là L (a, b) , L (c,d), (c , , d , ) sao cho giao của một số hữu hạn bất kỳ các hệ địa phơng sẽ là hệ địa phơng các nhóm con của nhóm G.

Ký hiệu tiếp tục tất cả các hệ địa phơng L (a,b), L (c,d), (c , , d , ) là σ

Từ đây ta xây dựng hệ chuẩn tắc giải đợc của nhóm G nh sau: