Các dạng toán về tỉ lệ thức

đẳng thức cùng bằng nhau để đi đến một dãy tỉ số cần chứng minh.Ví dụ 1: Cho các số a,b,c,x,y,z thoả mãn:... Đặt dãy tỉ số bằng một số k hoặc 1 k nhng phải bình phơng hai vế của... Bằng

D¹ng 1: Tõ mét d y tØ sè b»ng nhau chøng minh mét d y tØ sè b»ng nhau · ·kh¸c.

Trong d¹ng nµy chóng ta cÇn chi thµnh mét sè lo¹i ®iÓn h×nh sau:

Lo¹i 1: Nh©n c¶ tö vµ mÉu cña mçi tØ sè víi mÉu t¬ng øng.

D¹ng 1: Tõ mét d y tØ sè b»ng nhau chøng minh mét d y tØ sè b»ng · ·nhau kh¸c.

Trong d¹ng nµy chóng ta cÇn chi thµnh mét sè lo¹i ®iÓn h×nh sau:

Lo¹i 1: Nh©n c¶ tö vµ mÉu cña mçi tØ sè víi mÉu t¬ng øng.

đẳng thức cùng bằng nhau để đi đến một dãy tỉ số cần chứng minh.

Ví dụ 1: Cho các số a,b,c,x,y,z thoả mãn:

Tơng tự ta cũng có 4x 4c y z =91k

− +Khi đó ta có

x

k

a b c y

k

a b c c

Khi đó ta có:

22

x

k

a b c y

k

a b c c

Loại 3 Đặt dãy tỉ số bằng một số k hoặc 1

k nhng phải bình phơng hai vế của

LÊy (2)-(5) ta cã: 2y(x3+8y3+27z3-6xyz) = k2(b2-ac) ⇔ x3 8y3 27z2 3 6xyz 4 2 3 c

B»ng c¸ch lµm tîng tù ta cã thÓ cho HS lµm thªm c¸c bµi sau:

1 Cho a,b,c,x,y,z kh¸c 0 tho¶ m·n:

k

y z

a k

z x

b k

a b

z k

b c

x k

k

z y

a k

z x

b k

Bằng cách làm tợng tự ta có thể cho HS làm thêm các bài sau:

1 Cho ba số a,b,c khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn: a(y+z) = b(x-z)= c(x-y) Chứng minh rằng:

Dạng 2: Từ một dãy tỉ số bằng nhau chứng minh một đẳng thức:

Với loại này có rất nhiều laọi song ở đây tôi đề cập đến ba loại mà cách giải khá quen với HS trong quá trình làm và có thể từ đó HS thấy rằng với cách đó có thể vận dụng vào các bài toán rất hiệu quả

Loại 1: Đó là đặt dãy tỉ số bằng k hoặc 1

k từ đó ta tính giá trị hai vế của đẳng thức và

so sánh:

Ví dụ 1: Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn: x y z

a = =b c Chứng minh rằng:

(a-c)2 = (2002k- 2004k)2 = 4k2

Suy ra: 4(a-b)(b-c)=(a-c)2 (§PCM)

VÝ dô 5: Cho a,b,c tho¶ m·n:

Suy ra: 4(a-b)(b-c)= (a-c)2 (§PCM)

VÝ dô 6: Cho a,b,c tho¶ m·n:

b

c =

2 2

Bằng cách tơng tự có thể giảI các bài toán sau:

1 Cho a,b,c thoả mãn:

Loại 2: Từ một dãy tỉ số bằng nhau kết hợp với điều kiện của bài toán ta cũng có thể chứng

minh đợc một đẳng thức đúng Với loại này ta cũng nên đặt dãy tỉ số bằng một hằng số k hoặc 1

k nào đó.

Ví dụ 1: Cho 2 2 2

11

Ví dụ 3: Cho 2 2 2

416

sử dụng phép biến đổi để đI đến đáp số:

Ví dụ1: Cho a,b,c khác 0 và thoả mãn: 2 1 2 1 1

(a-2b)(2b-c)(a-c) = 2

2

b c bc

b a ab

4a b c ) = 0 ⇔ (a-2b)(2b-c)(a-c) = 0 hoặc 1- 2 2 21

Nhân từng vế của ba đẳng thức (1), (2) và (3) ta có:

(a-2b)(2b-3c)(a-3c) = 2 3

6

b c bc

−

.33

c a ac

−

.22

b a ab

36a b c ) = 0 ⇔ (a-2b)(2b-3c)(a-3c) = 0 hoặc 1- 2 2 21

36a b c = 0

* Nếu (a-2b)(2b-3c)(a-3c) = 0

Nếu a = 3c ⇒2b = a ⇒ a = 2b = 3c

NÕu a = 2b ⇒ 2b = 3c ⇒ a = 2b = 3c

NÕu 2b = 3c ⇒a = 3c ⇒ a = 2b = 3c

* NÕu 1- 2 2 21

36a b c = 0 ⇔ 36a2b2c2 =1

VËy: a = 2b = 3c hoÆc 36a2b2c2 =1 (§PCM)

VÝ dô 3: Cho a,b,c kh¸c 0 vµ tho¶ m·n: 12 1 4 1 3 1

(3a-4b)(4b-c)(3a-c) = 4

4

b c bc

−

3

c a ac

−

4 312

b a ab

144a b c ) = 0 ⇔ (3a-4b)(4b-c)(3a-c) = 0 hoÆc 1- 12 2 2

VËy: 3a = 4b = c hoÆc 144a2b2c2 =1 (§PCM

T¬ng tù ta cã thÓ lµm bµi to¸n sau:

1 Cho a,b,c kh¸c 0 vµ tho¶ m·n: ab 1 bc 1 ac 1

Chøng minh r»ng: a2005+ 20061

b = b

2005+ 20061

c =

2005 2006

1

c a

HS thêng khã sö lý mét c¸ch thuén lîi cho c¸ch gi¶i.

Ví dụ 1: Tìm x;y;z khác không thoả mãn xy 1 zy 1 xz 1 1

PP: Với loại này ta nên hớng dẫn HS kết hợp hai tỉ số thành một đẳng thức để biến đổi, sau đó

nhân các kết quả ta sẻ tim ra đợc mối quan hệ đặc biệt của x;y;z Vì dãy tỉ số bằng 1 nên ta sẻ tìm đợc giá trị của x;y;z

− = suy ra z + z (1+ 1

3z) = 12

2 y+ nên ( 1 1

2 y+ )yz = -6 ⇔ z + 2yz = -12 mà 2 1 1

3

y z

− ; y =35

74 và x=

7235Tơng tự ta có thể giải các bài toán sau:

1. Tìm x;y;z khác không thoả mãn xy 1 zy 1 xz 1 1

2. Tìm x;y;z khác không thoả mãn xy y−1= zy z−1= xz x−1=2

3 Tìm x;y;z thoả mãn: 4x – y2 = 4y-z2 = 4z-x2 = 1

4 Tìm x;y;z thoả mãn: 3x-y2= 3y – z2 = 3z – x2=1

Dạng 4: Từ đẳng thức cho trớc, chứng minh một dãy tỉ số bằng nhau: Với loại toán này thông thờng chúng ta nên hớng dẫn HS dùng phép biến đổi tơng đơng để đa đẳng thức về dạng tổng của các số không dơng hoặc không âm.

Ví dụ 1: Cho a;b;c thoả mãn (a+2b)(2b+3c)(3c+a) ≠ 0 và

Ví dụ 2: Cho a;b;c thoả mãn (a- b)(b+2c)(2c-a) ≠ 0 và

Tơng tự có thể giải các bài toán sau:

1 Cho a;b;c thoả mãn (2a+3b)(3b+4c)(2c+a) ≠ 0 và

h-đi đến kết quả: