SKKN PHÂN DẠNG, PHƯƠNG PHAP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

SKKN PHÂN DẠNG, PHƯƠNG PHAP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU SKKN PHÂN DẠNG, PHƯƠNG PHAP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU SKKN PHÂN DẠNG, PHƯƠNG PHAP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU SKKN PHÂN DẠNG, PHƯƠNG PHAP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU SKKN PHÂN DẠNG, PHƯƠNG PHAP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU SKKN PHÂN DẠNG, PHƯƠNG PHAP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU SKKN PHÂN DẠNG, PHƯƠNG PHAP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU SKKN PHÂN DẠNG, PHƯƠNG PHAP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU SKKN PHÂN DẠNG, PHƯƠNG PHAP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU SKKN PHÂN DẠNG, PHƯƠNG PHAP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

“PHÂN DẠNG, PHƯƠNG PHÁP GIẢI

CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC,

DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU ’’

A- ĐẶT VẤN ĐỀ

1/.Lí do chọn đề tài:

Toán học ngày nay giữ một vai trò quan trọng đối với cách mạng khoa học kỹ thuật Nó ngày càng thu hút sự quan tâm của nhiều người đối với việc học toán ở trường phổ thông và kích thích sự ham muốn của học sinh ở mọi lứa tuổi

Tôi là một giáo viên được phân công giảng dạy môn toán 7 nhiều năm liền và khi dạy đến phần giải toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau học trò vẫn còn sai lầm trong lời giải, khi gặp các dạng toán hơi phức tạp một chút là các

em lại sợ làm không được Để các em không sợ các dạng toán như chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước, chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước và tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng.Tôi muốn đưa ra một số kinh nghiệm giúp học trò không còn sai sót và sợ dạng toán đó nữa nên tôi đã nghiên

cứu đề tài: “PHÂN DẠNG, PHƯƠNG PHAP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU ”.

2/.Đối tượng, phương pháp nghiên cứu:

-Nhằm nắm lại chất lượng môn Toán lớp mình dạy trong năm học trước, theo dõi kết quả học tập của các em ở đầu năm học mới, giữa học kì I, kết quả học kì I -Thông qua các tiết dạy trực tiếp trên lớp

-Thông qua dự giờ, rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp

-Triển khai nội dung đề tài và kiểm tra, đối chiếu kết quả học tập của học sinh

từ đầu năm học đến kết quả giữa học kì một

-Học sinh có học lực khá, giỏi

-Các phương pháp dạy học theo hướng đổi mới

3/.Đề tài đưa ra giải pháp mới:

-Phát huy tính tích cực, độc lập hoạt động của học sinh trong tiết học

-Phát huy tính sáng tạo, khả năng suy luận và phán đoán của học sinh trong quá trình giải bài tập Toán

- Trình bày bài giải một cách logic, có thể giải bài toán bằng nhiều cách

-Giáo dục tính cẩn thận của học sinh

-Thu hút sự chú ý của học sinh

4/.Hiệu quả áp dụng:

Qua việc thực hiện sáng kiến kinh nghiệm trên, tôi nhận thấy từ đầu năm học đến giờ tinh thần học tập của các em được nâng cao, các em hứng thú học hơn, tiếp thu tốt, kết quả học tập của học sinh được nâng lên Không những các em lĩnh hội kiến thức về giải toán về tỉ lệ thức và tính chất về dãy tỉ số bằng nhau mà các

em còn vận dụng vào việc giải quyết các vấn đề khác của Toán học cấp II như: Hai đại lượng tỉ lệ thuận, Hai đại lượng tỉ lệ nghịch,…

5/.Phạm vi áp dụng:

Đề tài được áp dụng cho tất cả các học sinh lớp 7 và các học sinh có học lực khá, giỏi ở khối lớp 7 trong trường Trung học cơ sở Nhưng cụ thể hơn là học sinh lớp7tôi giảng dạy được áp dụng, theo dõi và so sánh kết quả cụ thể

B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I/.Cơ sở lý luận:

Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong nghị quyết Trung ương 4 khoá VII(1-1993), Nghị quyết trung ương 2 khoá VIII (12-1996), được thể chế hoá trong Luật Giáo dục (2005), được cụ thể hoá trong các chỉ thị của Bộ giáo dục và đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14(4-1999) Luật giáo dục, điều 28.2, đã ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhó, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Vì vậy, ngoài việc nắm vững lý thuyết trên lớp học sinh còn phải vận dụng lý thuyết đó một cách hợp lý, khoa học để giải bài tập.Bài tập Toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập,

có niềm tin, phẩm chất đạo đức của người lao động Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất tư duy sáng tạo Bài tập Toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy

và học, đánh giá khả năng độc lập và trình độ phát triển của học sinh

Dạy Toán, học Toán là quá trình tư duy liên tục, cho nên việc nghiên cứu tìm tòi, đúc kết kinh nghiệm của người dạy Toán và học Toán là không thể thiếu được Trong đó, việc chuyển tải kinh nghiệm để dạy tốt là điều trăn trở của nhiều giáo viên Việc truyền thụ kiến thức sẽ trở nên hấp dẫn học sinh hơn nếu giáo viên hiểu

ý đồ của sách giáo khoa, giúp học sinh nắm kiến thức một cách hệ thống, dẫn đắt học sinh đi từ điều đã biết đến điều chưa biết

Bên cạnh đó, việc khai thác, mở rộng kiến thức cũng giúp học sinh say mê học Toán, phát huy khả năng tư duy sáng tạo của mình

Chính suy nghĩ trên, bản thân tôi đã tìm tòi, sưu tập và hệ thống kiến thức, giúp học sinh có những kinh nhgiệm giải toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau một cách nhẹ nhàng, đơn giản

Trên bục giảng, ở mỗi tiết dạy, để tạo hứng thú cho học sinh, người giáo viên phải luôn tạo ra tình huống có vấn đề để học sinh so sánh, chọn lọc Từ đó rút ra những kiến thức cần nhớ

II/.Cơ sở thực tiễn:

Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của học sinh, rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn

Đứng trước một bài toán, học sinh phải có trong mình một vốn kiến thức cơ bản, vững chắc về mặt lý thuyết Có được những thủ pháp cơ bản thuộc dạng toán

đó, từ đó mới tìm cho mình con đường giải bài toán nhanh nhất

Để học sinh có được điều trên thì trước hết phải xuất phát từ người thầy, người thầy phải đầu tư soạn bài theo từng chuyên đề của dạng toán một cách cơ bản, sâu rộng, giúp học sinh :

- Nhìn nhận từ một bài toán cụ thể thấy được bài toán khái quát

- Từ phương pháp giải khái quát thấy được cách giải một bài toán cụ thể

- Nhìn thấy được sự liên quan giữa các bài toán với nhau

- Biết vận dụng linh hoạt lý thuyết cơ bản vào giải toán

Với một sự lao động nghiờm tỳc tụi xin trỡnh bày một phần nhỏ kinh nghiệm soạn bài của mỡnh nhằm giỳp học sinh rốn kỹ năng giải dạng toỏn vận dụng tớnh chất của tỉ lệ thức và dóy tỉ số bằng nhau trong đại số 7

Bản thân tôi nhận thấy kiến thức về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bàng nhau khá quan trọng trong việc tìm độ dài đoạn thẳng, cạnh của một tam giác, trong các tam giác đồng dạng (ở lớp 8-9) vv

Chính vì vậy sau khi học xong kiến thức về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, tôi đã trực tiếp khảo sát học sinh lớp 7B, 7D (lớp tội trực tiếp giảng dạy)

ra đề bài một số dạng toán về kiến thức liên quan đến tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số bằng nhau và thấy kết quả nh sau:

Lớp Sĩ

số

Số học sinh giải được Số học sinh khụng giải

được

Đây là một két quả mà tôi không thể không suy nghĩ, trăn trở và băn khoăn chính vì thế nên tôi đã đisâu vào nghiên cứu đề tài này nhằm tìm ra một số phơng pháp giải để giúp học sinh biết vận dụng lý thuyết vào việc thực hành giảI bài tập về tỷ lệ thức III - Giới hạn đề tài:

Đề tài bao gồm các dạng toán liên quan đến tỷ lệ thức, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau trong chơng trình toán học ở lớp 7 THCS

Vì điều kiện về thời gian cũng nh trình độ kiến thức còn hạn chế nên tôi chỉ đi vào một số vấn đề sau:

1-Lý thuyết:

+ Định nghĩa về tỷ lệ thức

+ Tính chất của tỷ lệ thức

+ Tính chất của dãy tỷ số bằng nhau

+ Các kiến thức liên quan

2-Các dạng toán:

a, liệt kê các tỷ lệ thức từ các phân tử (Nếu có thể)

b, Cho một tỷ lệ thức, hay suy ra các tỷ lệ thức khác

c, Tìm các số cha biết khi cho biết tỷ lệ thức hoặc các đẳng thức

d, Các bài toán thực tế trong đời sống con ngời liên quan đến tỷ lệ thức

3- Phơng pháp nghiên cứu:

- Đọc các tài liệu tham khảo

- Học hỏi kinh nghiệm của các đồng nghiệp

4- Thời gian nghiên cứu:

Từ tháng 1 năm 2015 đến hết tháng 9 năm 2016

C N Ộ I DUNG :

I Kiến thức

1) Định nghĩa, tớnh chất của tỉ lệ thức

a) Định nghĩa:

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số b a d c

Cỏc số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và c gọi là trung tỉ

b) Tớnh chất

+ Tớnh chất 1( tớnh chất cơ bản): Nếu a c

b d thỡ ad = bc + Tớnh chất 2( tớnh chất hoỏn vị)

Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức

2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

+ Từ tỉ lệ thức b a d c ta suy ra b d

d b

c a d b

c a d

c b

a

















 + Mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau b a d c e f

























f d b

e c a f d b

e c a f

e d

c b a

( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

3) Chú ý:

+ Khi có dãy tỉ số 2a b35cta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũng viết a:b:c = 2:3:5

+ Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức

d

c

b

a

1 2

1 2

1 2

; 0 ;k a k c( , 0)

   

   

   

từ b a d c e f suy ra

3

;

 

II

Dạng 1. Tìm số hạng chưa biết

1.Tìm một số hạng chưa biết

a) Phương pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức

Nếu a c a d b c . a b c. ;b a d. ;c a d.

Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết

b) Bài tập:

Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK 26 b)

- 0,52 : x = - 9,36 : 16,38

 

9,36 0.52.16,38 0,52.16,38

0,91 9,36

x x





* Lưu ý: Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ

khó hơn như sau :

a) 1 :2 1 :3 2

3x 3 4 5

 



 

  b) 0, 2 :11 2: 6 7

53 x

Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13)

a c a b d c d b

b d c d b a c a

60 15

x

x







Giải :    

2

2 2

60 15 15 60 900

30

x x

x x x x







Suy ra x = 30 hoặc x =-30

* Lưu ý: Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng 2 số hạng đó giống

nhau nên ta đưa về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức

1 60

x

x

 



x

x







Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức 3 5

x x







Cách 1: ta có:

5

6

x

x





Cách 2: từ 3 5 3 5

x



Áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

3 1

x

x





Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức

       



Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

2.Tìm nhiều số hạng chưa biết

a)Xét bài toán cơ bản thường gặp sau:

Tìm các số x, y, z thoả mãn

ab c (1) và x +y + z =d (2)

( trong đó a, b, c, a+b+c  0 và a, b, c, d là các số cho trước)

Cách giải:

- Cách 1: đặt

x y z

k

x k a y k b z k c

thay vào (2)

Ta có k.a + k.b + k.c = d

a b c

 

Từ đó tìm được x a d. ;y bd ;z cd

- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

 

b)Khai thác

+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau:

* k x k y k z e1  2  3 

k x k y k z f

*x.y.z = g

+Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau:

 x1 y y2; 3 z4

a a a a

 a x a y a y a z2  1 ; 4  3

 b x b y b z1  2  3

 b x b z1 3 b y b x2 1 b z b y3 2

z b



+Thay đổi cả hai điều kiện

c)Bài tập

Bài tập 1 : Tìm hai số x và y biết x y

2 3 và x + y = 20

Cách 1: Đặt ẩn phụ

Đặt x y k

2 3  , suy ra: x = 2k, y = 3k

Theo giả thiết: x + y = 20 nên 5k = 20 hay k = 4

Do đó: x = 8 và y = 12

Cách 2: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

x y x y 20 4

2 3 2 3 5





Do đó: x = 8 và y = 12

Cách 3: Phương pháp thế

x

2  3  3

mà x + y = 20 suy ra 5y/3 = 20 nên y = 12

Do đó: x = 8

Bài tập 2: Tìm 3 số x, y, z biết

2 3 4

  và x +y + z = 27 Giải:

- Cách 1.

2 3 4

Từ x + y + z = 27 ta suy ra 2k 3k 4k 27  9k 27  k 3

Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12

Vậy x = 6; y = 9; z = 12

- Cách 2 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 3 4 2 3 4 279 3

2.3 6; 3.3 9; 4.3 12

 

 

Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:

Bài tập 3: Tìm 3 số x,y,z biết

2 3 4

  và 2x + 3y – 5z = -21 Giải: - Cách 1: Đặt

2 3 4

  =k

- Cách 2: Từ

2 3 4

  suy ra 2 3 5

4 9 20

Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

24 39 520 24 9 203 5 217 3

6; 9; 12

Bài tập 4: Tìm 3 số x, y, z biết

2 3 4

  và 2x2  3y2  5z2  405 Giải: - Cách 1: Đặt

2 3 4

  =k

- Cách 2: từ

2 3 4

  suy ra

2 2 2

4 9 16

8 27 90

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 2 3 2 5 2 2 2 3 2 5 2 405 9

Suy ra

2

2 2

2

2

2

4

9

16

x

y

z

Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12

Bài tập 5: Tìm 3 số x, y, z biết

2 3 4

  và x.y.z = 648 Giải:

- Cách 1: Đặt

2 3 4

  = k

- Cách 2: Từ

2 3 4

 

3

3

3

648 27

2 2 3 4 24 24

8

x

 

        

 

Từ đó tìm được y = 9; z = 12

Bài tập 6 Tìm x,y, z biết ;

x

  và x +y +z = 27 Giải: từ 6x  9y 2x 3y

Từ

2 2 4

x    suy ra

2 3 4

  Sau đó ta giải tiếp như bài tập 2

Bài tập 7 Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27

Giải: Từ 3 2

2 3

x y

x y 

Từ 4 2

2 4

x z

x z 

Suy ra

2 3 4

  sau đó giải như bài tập 2

Bài tập 8: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = -21

Giải: từ 6x = 4y = 3z 6 4 3

12 12 12 2 3 4

Sau đó giải tiếp như bài tập 3

Bài tập 9: Tìm x, y, z biết 6 3 4 6 3 4

x z y x z y

  và 2x +3y -5z = -21 Giải: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

6 3 4 3 3 6 6 3 4 3 3 6

0

 

Hay 6x = 4y = 3z sau đó giải tiếp như bài tập 8

Bài tập 10: Tìm x,y,z biết

x y z

  và x +y +z =27

Giải:

- Cách 1: Đặt 4 6 8

x y z

- Cách 2: áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có

x y z

1

4

2 6

3

8

4

x

x y

y z

z

 





  



   Vậy x = 6; y= 9; z = 12

1)Các phương pháp:

Để chứng minh tỷ lệ thức :a c

b d Ta có các phương pháp sau :

Phương pháp 1 : Chứng tỏ rằng: ad= bc

Phương pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số a c;

b d có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho trước một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k, từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k

Phương pháp 3: Dùng tính chất hoán vị , tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất

của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh) thành vế phải

Phương pháp 4: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất

của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh

2) Bài tập:

Bài tập 1

(Bài 73/SGK-T14) Cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức:a c

b d hãy suy ra tỷ lệ thức:

a b c d

Giải:

- Cách 1: Xét tích a c d a b c ac bc  ac ad (1)(2)

Từ a c ad bc(3)

b d  

Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra a b c d



- Cách 2: Đặt a c k a bk c dk,

Ta có:

 

 

(1),( 0)

(2),( 0)

b k

b

d k

d





Từ (1) và (2) suy ra: a b c d



- Cách 3: từ a c b d

b d  a c

Ta có: a b a  a b a a  1 b a 1 d c c dc

Do đó: a b c d



- Cách 4: Từ

a c a b a b







- Cách 5: từ

b d  a c   a   c

a b c d

Bằng cách chứng minh tương tự từ tỉ lệ thức a c

b d ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau:

;

a b c d a b c d

  (Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)

Bài tập 2: chứng minh rằng nếu a2 bc thì

a) a b c a; )b a22 c22 c,(b 0)

(với ab a c,  )

Lời giải:

a) - Cách 1: Xét tích chéo

- Cách 2: từ 2 a c

a bc

b a

Đặt a c k a bk c ak,

b   a  

, 0 (1)

b k

b



  1  1 0 ,(2)

a k

a



Từ (1) và (2) suy ra: a b c a

a b c a



- Cách 3: Ta có

 

 

2

2

, 0

a a b

do a bc

b c a c a

a b

b c a c a



Do đó: a b c a

a b c b



Ngược lại từ a b c a

a b c b



  ta cũng suy ra được a2 = bc

Từ đó ta có bài toán cho a b c a

a b c b



  chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì

từ 3 số a, b, c có 1 số được dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức

- Cách 4: Từ a2 = bc

a b c a

a b c a

b)

- Cách 1: xét tích chéo ( a2 + c2)b = a2b + c2b = bc.b + c2b = bc (b +c)

= (b2 + a2)c = b2c + a2c = b2c + bc.c= bc ( b+c)

Do đó (a2 + c2)b = ( b2+ a2)c

2 2

2 2





- Cách 2: Từ a2 = bc a c

b a

Đặt a c k

b  a suy ra a = bk, c = ak = bk2

2 2 2

2 2 2 2 2 4

2

1

, 0 1

k b



2 2

c k b

k

b b 

Do đó:

2 2

2 2







- Cách 3: từ a2 = bc a c

b a

2 2 2 2

2 2 2 2 (1)





Từ a c a22 a c c(2),(a 0)

b  a b   b a b 