SKKN toan (một số phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thức)

SKKN toán Một số phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thức Một số phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thức Một số phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thức Một số phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thức Một số phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thức Một số phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thức Một số phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thức Một số phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thức

có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ Làmột môn khoa học gây nhiều hứng thú cho học sinh, nó là một môn học khôngthể thiếu trong quá trình học tập, nghiên cứu và cả trong cuộc sống hàng ngày.Một nhà toán học có nói: “Toán học được xem như là một khoa học chứng

minh ”

Thật vậy, do tính chất trừu tợng, tính chính xác, t duy suy luận logic Toánhọc đợc coi là "môn thể thao trí tuệ" rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sángtạo Trong cỏc mụn học ở trường phổ thụng, Toỏn học được coi như là một mụnhọc cơ bản, là nền tảng để cỏc em phỏt huy được năng lực bản thõn, gúp phần tạođiều kiện để cỏc em học tốt cỏc mụn khoa học tự nhiờn khỏc

Vậy dạy như thế nào để học sinh khụng những nắm chắc kiến thức cơ bảnmột cỏch cú hệ thống mà cũn phải được nõng cao phỏt triển để cỏc em cú hứng thỳsay mờ học tập là một cõu hỏi mà mỗi thầy cụ luụn đặt ra cho mỡnh Tuy nhiờn đểhọc tốt mụn Toỏn thỡ người giỏo viờn phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải đi

từ dễ đến khú, từ cụ thể đến trừu tượng và phỏt triển thành tổng quỏt giỳp học sinh

cú thể phỏt triển tư duy toỏn học, làm cho cỏc em trở lờn yờu thớch toỏn hơn từ đú

cỏc em cú ý thức học tập đảm bảo yờu cầu của thời đại mới

b)Cơ sở thực tiễn:

Là một giỏo viờn được phõn cụng giảng dạy nhiều năm mụn Toỏn 7 - Bồidưỡng đội tuyển Toỏn 7 với đối tượng học sinh khỏ giỏi, cỏc em cú tư duy nhạy

bộn và nhu cầu hiểu biết ngày càng cao, tụi luụn trăn trở làm thế nào để phỏt huyđược hết khả năng của cỏc em đú là trỏch nhiệm của cỏc giỏo viờn chỳng ta Quagiảng dạy chương trỡnh toỏn lớp 7 tụi nhận thấy chuyờn đề về Tỉ lệ thức - Tớnh chấtdóy tỉ số bằng nhau là một chuyờn đề thật lý thỳ, phong phỳ đa dạng khụng thểthiếu ở phõn mụn Đại số lớp 7

Việc giải bài toỏn về tỉ lệ thức là một dạng toỏn hay, với mong muốn cungcấp cho cỏc em một số phương phỏp giải cỏc bài toỏn về tỉ lệ thức, giỳp cỏc em làmbài tập tốt hơn nhằm tớch cực hoỏ hoạt động học tập, phỏt triển tư duy, do đú tụi

chọn chuyờn đề “Một số phương phỏp giải cỏc bài toỏn về tỉ lệ thức”để thực

hiện trong chương trỡnh toỏn lớp 7

2)Mục đớch nghiờn cứu

- Cỏc phương phỏp thường dựng để giải cỏc bài toỏn về tỉ lệ thức

- Rốn kĩ năng vận dụng kiến thức khi giải bài toỏn về tỉ lệ thức, học sinh nắm

vững kiến thức, biết vận dụng vào giải bài tập, vận dụng trong hình học 8 phần Định

Lí Ta-let và tam giác đồng dạng

- Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập nhằm nâng cao chất lợng giờ dạy,

nhằm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ cho bản thân, thông qua đó giớithiệu cho bạn bè đồng nghiệp tham khảo vận dụng vào quá trình giảng dạy

môn Toán ở trờng THCS đạt hiệu quả cao

- Học sinh tự giác chủ động tìm tòi, phát hiện giải quyết nhiệm vụ nhận thức

và có ý thức vận dụng linh hoạt sáng tạo các kiến thức kỹ năng đã thu nhận đợc

Tính chất 2: ( Điều kiện để 4 số lập thành các tỉ lệ thức)

Nếu ad=bc và a, b, c, d ¿ 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:

Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại.

II Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

a−c b−d

- Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau:

Sau khi h c sinh ó n m ch c ọ đó nắm chắc được lý thuyết thỡ việc vận dụng lý thuyết ắm chắc được lý thuyết thỡ việc vận dụng lý thuyết ắm chắc được lý thuyết thỡ việc vận dụng lý thuyết đó nắm chắc được lý thuyết thỡ việc vận dụng lý thuyếtược lý thuyết thỡ việc vận dụng lý thuyếtc lý thuy t thỡ vi c v n d ng lý thuy tế ệc vận dụng lý thuyết ậ ụng lý thuyết ế

v o gi i b i t p l vụ cựng quan tr ng, do v y ngào giải bài tập là vụ cựng quan trọng, do vậy người ả ào giải bài tập là vụ cựng quan trọng, do vậy người ậ ào giải bài tập là vụ cựng quan trọng, do vậy người ọ ậ ười giáo viờn khụng ch i ỉ đơn đó nắm chắc được lý thuyết thỡ việc vận dụng lý thuyếtơnnthu n cung c p l i gi i m quan tr ng h n l d y cho cỏc em bi t suy ngh tỡmời ả ào giải bài tập là vụ cựng quan trọng, do vậy người ọ ơn ào giải bài tập là vụ cựng quan trọng, do vậy người ạy cho cỏc em biết suy nghĩ tỡm ế ĩ tỡm

ra con đó nắm chắc được lý thuyết thỡ việc vận dụng lý thuyếtười ng h p lý ợc lý thuyết thỡ việc vận dụng lý thuyết đó nắm chắc được lý thuyết thỡ việc vận dụng lý thuyếtể gi i b i toỏn nh nh toỏn h c Pụlia ó núi “ả ào giải bài tập là vụ cựng quan trọng, do vậy người ư ào giải bài tập là vụ cựng quan trọng, do vậy người ọ đó nắm chắc được lý thuyết thỡ việc vận dụng lý thuyết Tỡm

c cỏch gi i m t b i toỏn l m t i u phỏt minh

đượ ải một bài toỏn là một điều phỏt minh ộ ài toỏn là một điều phỏt minh ài toỏn là một điều phỏt minh ộ đ ều phỏt minh ” .

Tuy nhiờn khi gi i b i t p d ng n y tụi khụng mu n d ng l i nh ng b iả ào giải bài tập là vụ cựng quan trọng, do vậy người ậ ạy cho cỏc em biết suy nghĩ tỡm ào giải bài tập là vụ cựng quan trọng, do vậy người ố ừng lại ở những bài ạy cho cỏc em biết suy nghĩ tỡm ở những bài ững bài ào giải bài tập là vụ cựng quan trọng, do vậy người

t p SGK m tụi mu n gi i thi u thờm m t s b i t p i n hỡnh v m t sậ ào giải bài tập là vụ cựng quan trọng, do vậy người ố ới thiệu thờm một số bài tập điển hỡnh và một số ệc vận dụng lý thuyết ộ ố ào giải bài tập là vụ cựng quan trọng, do vậy người ậ đó nắm chắc được lý thuyết thỡ việc vận dụng lý thuyết ể ào giải bài tập là vụ cựng quan trọng, do vậy người ộ ố

phươnng phỏp gi i cỏc b i t p ú.ả ào giải bài tập là vụ cựng quan trọng, do vậy người ậ đó nắm chắc được lý thuyết thỡ việc vận dụng lý thuyết

DẠNG 1 : TèM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT TRONG TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

Bài toán 1: Tìm hai số x và y biết

3 = k , suy ra: x=2 k , y=3 k

Theo giả thiết: x+ y=20 ⇒2 k+3 k=20 ⇒5 k =20⇒ k=4

Do đó: x=2.4=8

y=3.4=12

KL: x=8 , y=12

Cách 2 : ( Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

KL: x=4 , y=10 hoÆc x=−4 , y=−10

C¸ch 2: ( sö dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau)

c) 2x = 3y = 5z và x + y - z = 95

Giải:

Đối với bài toán 5 có vẻ khác lạ hơn so với các bài toán trên Song tôi đã nhắccác em lu ý đến sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích hoặc đến tính chấtcủa đẳng thức Từ đó các em có hớng giải và chọn lời giải cho phù hợp

Cách 1: Dựa vào sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích ta có lời giải sau:

Cách 2: Dựa vào tính chất của phép nhân của đẳng thức Các em đã biết tìm bội số

chung nhỏ nhất của 3; 5; 8 Từ đó các em có lời giải của bài toán nh sau:

Cách 3: Tôi đã đặt vấn đề: Hãy viết tích giữa hai số thành 1 thơng Điều đó đã

h-ớng cho các em tìm ra cách giải sau:

Từ 3x = 5y = 8z 

x

13

= y

15

= z

18

=15879120

=240

Qua ba hớng giải trên, đã giúp các em có công cụ để giải toán và từ đó các

em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, lôgic Cũng từ đó giúp các em pháthuy thêm hớng giải khác và vận dụng để giải các phần b và c

Để giải đợc phần b có điều hơi khác phần a một chút yêu cầu các em phải có

t duy một chút để tạo lên tích trung gian nh sau:

+ Từ 2x = 3y  2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y (1)

+ Từ 5y = 7z  5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z (2)

= z

121

=6015210

Kết quả thu đợc: Các em đã tìm hớng giải cho phần c và tự cho đợc ví dụ về

C¸ch 1: Dùa vµo tÝnh chÊt cña ph©n sè vµ tÝnh chÊt cña d·y sè b»ng nhau cã lêi

gi¶i cña bµi to¸n nh sau:

gi¶i phÇn (b) vµ cña bµi to¸n 5

Bµi to¸n 6: T×m x, y, z biÕt r»ng:

10

z x+ y−2 = x+ y+ z

Nh vậy để chứng minh:

a−b

a =

c−d c

Trong cách này ta chứng minh tỉ số:

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

Trong cách này sử dụng hoán vị trung tỉ rồi áp dụng tính chất của dãy tỉ sốbằng nhau rồi lại hoán vị ngoại tỉ một lần nữa

Cách 4:

Vậy

a−b

a =

c−d c

Trong cách này, biến đổi đồng thời ngoại tỉ cho trung tỉ Rồi lấy số 1 trừ từng

vế của tỉ lệ thức rồi biến đổi đẳng thức cần chứng minh

Trong cách này, từ tỉ lệ thức cần chứng minh ta chứng minh hiệu của hai tỉ số đóbằng 0

Tóm lại từ một tỉ lệ thức ta có thể suy ra tỉ lệ thức khác bằng cách chứngminh theo nhiều cách khác nhau có thể sử dụng trong bài tập

Bài toán 2: Cho tỷ lệ thức

b =

d c

Tõ (1) vµ (2)

⇒ ( a+b c+d )2= ( a−b c−d )2

XÐt trêng hîp :

a+b c+d =

a−b c−d

¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã:

a+b

c+d =

a+b+a−b c+d+c−d =

2 a

2 c =

a c a+b

c+d =

a+b−a+b c+d−c +d =

XÐt trêng hîp :

a+b c+d =−

a−b c−d =

b−a c−d

¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã:

2 2 2 2

Bµi to¸n 3: Cho tØ lÖ thøc

Cách 1: Sử dụng phơng pháp đặt giá trị của dãy tỷ số để chứng minh phần a.

k−1 k+1 ¿ } ¿¿ → a−b

a+b =

c−d c+d ( Đpcm) ¿

Cách 2 : Sử dụng phơng pháp hoán vị các số hạng của tỷ lệ thức và tính chất cơ bản

của dãy tỷ số bằng nhau ta có lời giải nh sau:

a+b c+d ( theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)



a−b a+b =

c−d c+d (hoán vị các trung tỷ)

Cách 3: ( Dựa vào tính chất cơ bản của tỷ lệ thức):

c+d c−d (đpcm)

Với việc hệ thống hoá các kiến thức về tỷ lệ thức đã đa ra một số hớng giải,yêu cầu học sinh chọn lựa hớng giải nào thích hợp, ngắn gọn, dễ hiểu,để trình bàylời giải cho mình trong mỗi bài, qua đó để học sinh tự giải các bài tập phần b, c củabài 1

Bài toán 5 Cho

a)

( a−b )2

( c−d )2=

ab cd

b)

(a+b )2(c+d )2=

ab cd

Tơng tự phần (b) học sinh dễ dàng hiểu và trình bày đợc lời giải phần a, c và ớng cho các em tự tìm hiểu các phơng pháp khác để chứng minh tỷ lệ thức

h-Bài toán 6 : Cho

Để giải đợc bài toán này yêu cầu học sinh phải có bớc suy luận cao hơn, không dập khuôn máy móc mà phải chọn lọc tính chất của tỷ lệ thức để có hớng giải phù hợp

Cách 1: Sử dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức rồi thay thế vào vế trái, sau đó biến

đổi vế trái bằng vế phải

a(a+c) c(a+c ) =

d Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả

thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Bài 7: CMR: Nếu a2= bc thì

a+b a−b =

c+ a c−a Đảo lại có đúng

không?

Bài 8: Cho

a+b a−b =

c+d c−d CMR:

a

b =

c d

v +3 v−3 thì

z−x b(c −a ) =

x− y c(a−b )

xc+ yd zc+td

Bài 13: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b2= ac ; c2= bd

22

Bài 14: CMR nếu a( y+z )=b( z+x)=c( x+ y ) Trong đú a, b,c khỏc nhau và

khỏc 0 thỡ :

y− z a(b−c) =

z−x b(c−a) =

x− y c(a−b)

trị của P khụng phụ thuộc vào x

Bài 16: Cho biết :

7 đã làm cho các em t duy rất tốt, rèn luyện đợc ý thức tự tìm tòi độc lập suy nghĩ

để nhớ kỹ, nhớ lâu và sáng tạo khi giải toán đạt hiệu quả cao Đó chính là công cụgiải toán của mỗi học sinh Ngoài ra phơng pháp này còn là công cụ đặc biệt quan

trọng cho các em giải dạng toán có lời văn về phần đại lợng tỷ lệ thuận, đại lợng tỷ

lệ nghịch, dạng toán chia tỉ lệ

Dạng 3: Các bài toán về đại lợng tỷ lệ thuận, đại lợng tỷ lệ nghịch, chia tỉ lệ.

Bài toán 1 Số học sinh khối 6; 7; 8; 9 của một trờng THCS lần lợt tỉ lệ với

9; 10; 11; 8 Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em Tính

số học sinh của trờng đó?

Giải:

Gọi số học sinh của khối 6; 7; 8; 9 lần lợt là x, y, z, t ( x, y, z, t  N* )

Theo đầu bài ta có : 9 10 11 8

Vậy số học sinh của 4 khối 6, 7, 8, 9 lần lợt là: 72; 80; 88; 64 học sinh

Bài toán 2: Học sinh lớp 7A đợc chia thành ba tổ, cho biết số học sinh tổ 1, tổ 2,

tổ3 tỉ lệ với 2; 3; 4 Tìm số học sinh mỗi tổ của lớp 7A biết số học sinh lớp 7A là 45học sinh

Giải:

Gọi số học sinh của tổ 1, tổ 2, tổ 3 lần lợt là x, y, z ( x, y, z  N* )

Theo đầu bài ta có : 2 3 4

2 3 4 9

x y z  

 

 Suy ra : x = 2 5 = 10

y = 3 5 = 15

z = 4 5 = 20

24

Vậy số học sinh của tổ 1, tổ 2, tổ 3 lần lợt là : 10 ; 15 ; 20 học sinh

Bài toán 3 : Chia số 136 thành 3 phần tỉ lệ nghịch với

Bài toán 4: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 72 và các chữ

số của nó nếu xếp từ nhỏ đến lớn thì tỉ lệ với 1 ; 2 ; 3

Vì số cần tìm chia hết cho 8 nên ta có số 936 thoả mãn điều kiện của đầu bài.

Bài toán 5: Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4 Ba chiều cao tơng ứng

với ba cạnh tỉ lệ với ba số nào

Giải:

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c ( a, b, c là các số dơng )

Ba chiều cao tơng ứng là x, y, z Diện tích tam giác là S

Bài toán 6: 1 người đớ xe đạp khởi hành từ A sau khi đi được 15km thỡ 1 người đi

xe mỏy cũng khởi hành từ A đuổi theo với vận tốc = 7/4 vận tốc người đi xe đạp Hỏi 2 người gặp nhau cỏch A bao nhiờu km ?

Bài toán 7: 1 người đi xe đạp khởi hành lỳc 7h sỏng, 3 giời sau 1 người đi xe mỏy cũng bắt đầu đi từ nhà và đuổi theo người đi xem đạo Hỏi 2 người gặp nhau lỳc mấy giờ ? Biết vận tốc xe mỏy = 5/2 vận tốc xe đạp

Bài toán 8: 1 đoàn tàu chạy trung bỡnh với vận tốc 40km/h trong 36h thỡ được nửa quóng đường cần đi Hỏi đoàn tàu cần tiếp tục chạy với Vận tốc trong bỡnh bao nhiờu để cú thể về đớch sau 30 giờ nữa ?

26

Bµi to¸n 9:T×m hai sè kh¸c 0 biÕt r»ng tæng, hiÖu, tÝch cña chóng tØ lÖ víi 5;1;12.

D¹ng 4: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc.

Bµi to¸n 1: BiÕt

b a+c+d =

c a+b+d =

d a+b+c

T×m gi¸ trÞ cña:

A= a+b

c +d +

b+c a+d +

c +d a+b +

d+a b+c

III KẾT QUẢ NGHIấN CỨU:

Với phương phỏp thực hiện như trờn học sinh đó tự tỡm ra kiến thức một cỏch độclập tớch cực Do đú học sinh hứng thỳ, hiểu bài sõu sắc từ đú vận dụng tốt cỏcphương phỏp trờn để giải cỏc bài toỏn và dạng bài toỏn cú liờn quan đến tỉ lệ thức

Đặc biệt với mỗi bài toán đa ra các em luôn tìm tòi nhiều cách giải khác nhau và lựachọn cách giải tối u nhất để làm Qua dạy đối chứng và kiểm tra tụi thấy chất lượnghọc tập được nõng lờn một cỏch rừ rệt, số học sinh yờu thớch toỏn ngày càng nhiều,học sinh ngày càng hăng say học tập và đội tuyển học sinh giỏi nhiều năm đạt kếtquả cao

PHẦN THỨ BA

I KẾT LUẬN:

Trong giai đoạn mới hiện nay, đổi mới phương phỏp giảng dạy là nhiệm vụ hết sứcquan trọng, bản thõn tụi mong muốn làm thế nào để nõng cao chất lượng của học sinhđặc biệt là chất lượng học sinh giỏi nờn tụi cố gắng tỡm tũi và ứng dụng những cỏi mới

Để làm tốt đợc bài tập dạng “Tỉ lệ thức”.này học sinh cần phải nắm chắc các kiến thức cơbản nh : Định nghĩa, tính chất cơ bản của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Đối với ngời thầy “Phải nghiên cứu kỹ mục tiêu của dạng toán cần truyền tải đếnhọc sinh ” Qua đó nghiên cứu kỹ các tài liệu liên quan, có định hớng rõ ràng, thảo luận

tổ chuyên môn và trao đổi đồng nghiệp tìm ra giải pháp tối u, trong triển khai, rút kinhnghiệm qua từng bài cụ thể, bổ sung kiến thức qua các tài liệu, tạp trí toán học, các đềthi học sinh giỏi hàng năm

Đối với học sinh cần khơi dậy niềm hứng thú đam mê qua từng tiết học, bài tập cụthể, hoàn thành các bài tập đợc giao trao đổi thẳng thắn trực tiếp phần kiến thức màmình đã lĩnh hội đợc, những khó khăn vớng mắc khi thực hiện phần bài tập đợc giao,trao đổi những thông tin với bạn học qua đó rút ra phơng pháp học tập phù hợp để đạt đ-

ợc kết quả cao Tuy nhiên trong quá trình làm học sinh cần vận dụng linh hoạt nội dungkiến thức trên vào từng bài cho phù hợp có nh vậy mới đạt đợc hiệu quả tốt

II BÀI HỌC KINH NGHIỆM

30

Trên đây là một số dạng toán thờng gặp trong chơng trình toán THCS, mỗi dạngtoán có những đặc điểm khác nhau và còn có thể chia nhỏ từng dạng trong mỗi dạngtrên Việc phân dạng nh trên giúp học sinh dễ tiếp thu hơn và thấy đợc trong từng bàitoán ta nên áp dụng kiến thức nào cho phù hợp Mỗi dạng toán tôi chọn 1 số bài toán cơbản điển hình để học sinh hiểu cách làm, song sau khi giải giỏo viờn nờn chỉ ra một đặcđiểm, một hướng giải quyết nào đú để khi gặp cỏc bài tương tự học sinh cú thể liờn hệđược và từ đó để làm các bài tập mang tính tơng tự và dần nâng cao lên Trong quá trìnhlàm dạng toán này tôi đặc biệt chú ý đến nội dung các bài toán có sự sắp xếp theo trình

tự từ dễ đến khó và các dạng rất phong phú, đa dạng nhằm cung cấp cho học sinh lợngkiến thức phù hợp với khả năng nhận thứcvà có sự phát triển khả năng t duy lôgíc Bờncạnh đú mỗi giỏo viờn phải khụng ngừng nỗ lực nắm bắt kịp thời theo yờu cầu đổi mớiphương phỏp giảng dạy, tham khảo cỏc tài liệu liờn quan đến bài giảng, củng cố nõngcao chuyờn mụn nghiệp vụ, để khi giảng dạy hay bồi dưỡng một vấn đề nào đú cú thể tựxõy dựng cho mỡnh một hệ thống phương phỏp giảng dạy phự hợp

Trờn đõy là sỏng kiến ở dạng quy mụ nhỏ mà bản thõn tụi tự nghiờn cứu, sưu

tầm và biờn soạn khi dạy phần tỉ lệ thức, cựng với sự gúp ý của đồng nghiệp hyvọng rằng sỏng kiến của tụi sẽ gúp phần tăng thờm hiệu quả học tập của học sinh

Do khả năng và kinh nghiệm chưa nhiều nờn khụng trỏnh khỏi những thiếu sút, rấtmong nhận được sự quan tõm gúp ý của đồng nghiệp và Hội đồng khoa học huyện

để sỏng kiến của tôi được ứng dụng cú hiệu quả hơn

Tụi xin trõn trọng cảm ơn !

Thỏi Bỡnh, ngày 01 thỏng 03 năm 2017

Người viết

Nguyễn Thị Hồng