Báo cáo khoa học: "ứng dụng lý thuyết kalker vào bài toán đi qua đ-ờng cong của đầu máy toa xe" pps

Nguyễn hữu dũng Bộ môn Đầu máy - Toa xe Khoa Cơ khí - Trường Đại học GTVT Tóm tắt: Bμi báo đưa ra phương pháp ứng dụng lý thuyết Kalker vμo bμi toán tính lực dẫn hướng khi đầu máy toa

ứng dụng lý thuyết kalker vμo bμi toán

đi qua đường cong của đầu máy toa xe

TS Nguyễn hữu dũng

Bộ môn Đầu máy - Toa xe Khoa Cơ khí - Trường Đại học GTVT

Tóm tắt: Bμi báo đưa ra phương pháp ứng dụng lý thuyết Kalker vμo bμi toán tính lực dẫn

hướng khi đầu máy toa xe thông qua đường cong

Summary: This paper presents the applicasion of the Kalker’s theorem in determining the

guide forces when railway locomotives run through the curve track

i đặt vấn đề

Bài toán tính lực dẫn hướng khi đầu máy

toa xe đi qua đường cong đã được Heumann

một nhà khoa học đường sắt người Đức đề ra

cách giải với những giả thiết để đơn giản hoá

cho nên kết quả thu được thường xa với thực

tế Tuy vậy cho đến ngày nay do cách giải

đơn giản và kết quả thu được mang tính an

toàn cao, đường sắt nhiều nước vẫn dùng

phương pháp này để tính lực dẫn hướng và

dựa vào kết quả đó để quy định vận tốc cho

phép của đầu máy toa xe trên đường cong

Một trong những giả thiết được dùng trong bài

toán Heumann là mô hình bánh xe và đường

ray tuyệt đối cứng, bánh xe có mặt lăn hình

trụ, giữa mặt lăn bánh xe và mặt đường ray

chỉ có ma sát trượt do chuyển động quay của

giá xe khi vào đường cong gây ra Giả thiết

này cùng với một số giả thiết khác làm cho bài

toán và phương pháp giải trở nên đơn giản có

thể thực hiện bằng tay nhờ sự trợ giúp của các

đồ thị trung gian [2] Phương pháp lập trình để

giải bài toán này trên máy tính đã được giới

thiệu trong bài báo [4] Gần đây các nhà khoa học đường sắt đã nghiên cứu sâu hơn về mối quan hệ giữa bánh

xe và đường ray ở chỗ tiếp xúc để thấy được thực chất hiện tượng xảy ra ở đây, đưa ra những mô hình mới gần với thực tế hơn và đề

ra những phương pháp mới để tính những lực xuất hiện ở chỗ tiếp xúc này Một trong những

lý thuyết đã được nhiều nhà khoa học đường sắt trên thế giới sử dụng trong các công trình nghiên cứu của mình là mô hình và phương pháp tính lực xuất hiện ở chỗ tiếp xúc của Kalker [1], một nhà khoa học người Hà lan

Ông đã mô hình hoá bánh xe và đường ray như hai vật hình trụ đàn hồi tiếp xúc với nhau, vết tiếp xúc là hình ellipse hiện tượng xảy ra ở chỗ tiếp xúc là trung gian giữa trượt và lăn, các phần tử vật chất của hai vật thể ở chỗ tiếp xúc vừa lăn vừa trượt, vừa biến dạng đàn hồi

để tiến lên phía trước Theo lý thuyết Kalker các lực xuất hiện ở đây tỉ lệ tuyến tính với các vận tốc trượt tương đối theo ba phương dọc, ngang và quay xung quanh trục thẳng đứng nên mô hình là tuyến tính rất thuận lợi cho việc tính toán:

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡ γ γ γ

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

ư

ư

ư

ư

=

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

3 2 1

33 23

23 22 11

Z

Y

X

f f 0

f f 0

0 0 f M

T

T

(1)

Trong đó fij là các hệ số phụ thuộc mô

đun đàn hồi và hệ số Poisson của vật liệu

cũng như tỉ số các bán trục của ellipse tiếp

xúc và tải trọng của bánh xe

Hiện tượng này tiếng Anh gọi là creep,

trong [3] dịch là trượt dẻo còn theo chúng tôi

nên gọi là hiện tượng trườn với các hệ số γi là

vận tốc trượt tương đối theo các phương được

gọi là hệ số trườn ở đây chúng tôi muốn đưa

ra phương pháp ứng dụng lý thuyết Kalker vào

việc xây dựng hệ phương trình chuyển động

của đầu máy toa xe trên đường cong

ii phương trình chuyển động của

ĐMTX trên đường cong

1 Mô hình nghiên cứu

Mô hình nghiên cứu là mô hình đầu máy

toa xe 4 trục với các bánh xe có mặt lăn hình

côn chạy trên đường cong bán kính tương đối

lớn Mô hình có 14 bậc tự do

2 Quỹ đạo chuyển động của trục

bánh xe trên đường cong

Quỹ đạo chuyển động của trọng tâm cặp

bánh xe có mặt lăn hình côn với độ côn γ trên

đường thẳng đã được xác định là một đường hình sin:

x sin y

y = o ω (2) gọi là chuyển động rắn bò với biên độ yo bằng nửa khe hở giữa lợi bánh xe và cạnh ray và tần số vòng:

γ

=

ω ro S (3)

Độ dài bước sóng của chuyển động rắn bò: λ 2= πωkhông phụ thuộc tốc độ Trung tâm của quỹ đạo này trùng với trung tâm của

đường

Trên đường cong theo [2] phương trình chuyển động của trọng tâm trục bánh là:

0 ] ) x ( f y [ r S

y

o

=

ư γ +

&& (4)

lT

2S

lT

2S

2l

O

O

Trong đó f(x) là phương trình của trung tâm đường cong

R 2

x ) x ( f

2

= Phương trình này có nghiệm là:

R

r S R 2

x x sin y

2

Có nghĩa là trên đường cong trục bánh xe

có mặt lăn hình côn vẫn chuyển động rắn bò

nhưng trung tâm quỹ đạo của nó lệch ra khỏi

trung tâm đường cong về phía ray ngoài một

lượng:

R 2

r

S o

=

δ (6)

phụ thuộc bán kính đường cong (R), khổ

đường (S) và đường kính (bán kính) bánh xe

(ro) Bán kính đường cong càng nhỏ thì độ lệch

này càng lớn làm cho biên độ rắn bò bị giảm

nhỏ, đến mức độ nào đó thì trục bánh chuyển

động của trục bánh xe trên đường cong không

còn bị rắn bò nữa

3 Các lực và moment tác dụng và

phương trình cân bằng lực của trục bánh xe

Trước hết ta hãy xét các lực tác dụng vào

trục bánh dẫn Nếu bỏ qua góc lắc ϕK quanh

trục thẳng đứng, khi tốc độ ĐMTX là V ta có

tốc độ góc của bánh xe:

O y

r

V

=

ω (7)

Nếu di chuyển ngang của trọng tâm trục

bánh là yK thì:

- Vòng lăn thực tế của bánh ngoài:

K O O

- Tốc độ thực của bánh ngoài:

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ϕ ư

ư

=

R

V S

V

Trong khi đó tốc độ ứng với khi bánh xe

lăn thuần tuý:

O K O y N X

r

V y r r

V′ = ω = + γ (10)

- Từ đó tốc độ trượt theo phương X:

X X

δ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ϕ ư

ư γ

ư

=

R

V S

r

V

O

K & (11)

- Tốc độ thực của bánh xe theo phương Y

cũng gồm 2 phần: vận tốc theo phương Y là

VϕK và vận tốc trượt δVy:

y K

y& = ϕ +δ (12)

Từ đó: δVy =y&K ư VϕK (13)

Ta tính được các tốc độ trượt tương đối:

R

S V

S y r V

V

k K O

X

K K y 2

V

y V

V

ϕ

ư

=

δ

=

R

1 V V

K Z

• Các lực tác dụng tại điểm tiếp xúc giữa bánh ngoài với đường ray tính theo (1):

- Theo phương X có:

R

s f V

s f y r f

O 11 N

- Theo phương Y có:

+

ư

V

1 f

R

1 f V

1 f

f22 ϕK ư 23 ϕ K+ 23

- Theo phương Z có:

R

1 f V

1 f f

y V

1 f

MZ = 23 &K ư 23 ϕK ư 33 ϕ&K+ 33

Bằng cách phân tích tương tự chúng ta tính được các lực tác dụng ở bánh trong

• Các lực từ khung giá chuyển hướng tác dụng vào trục bánh thông qua bầu dầu:

- Theo phương ngang:

⎢

⎣

⎡

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ξ + ϕ

ư ϕ

=

R 2

l C

b

+ KKX (ϕ&K ưϕ&T +ξK) ] (16)

- Theo phương dọc:

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

ư ϕ ξ +

ư

ư

=

R 8

l 2

l y

y

C

H

2 T T T K T K

K

y

Y

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ϕ ξ +

ư

K T K K y

2

l y

y

K & & & (17)

trong đó: yK, ϕK: Độ sàng ngang và góc quay

quanh trục Z của trục bánh;

yT, ϕT: Độ sàng ngang và góc quay

quanh trục Z của khung giá chuyển hướng;

ξK: Hệ số; đối với trục trước ξK = -1,

đối với trục sau ξK = 1;

lT: Cự ly trục cứng của giá chuyển

hướng

• Các lực và moment quán tính:

K K

F =ư && (18)

K K K

M =ưθ ϕ&& (19)

• Các lực ngang bao gồm lực ly tâm và

siêu cao:

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

ư

=

S 2

h g R

V m D

2 K

• Lực dẫn hướng chỉ xuất hiện ở những

bánh xe có lợi giáp với cạnh đường ray, ký

hiệu là K

∗ Phương trình dao động của các trục

bánh:

Xét sự cân bằng của tất cả các lực tác

dụng lên các trục bánh, theo nguyên lí

D’allambert mỗi trục bánh ta viết được hai

phương trình:

Dao động sàng ngang của các trục bánh:

2TY + 2HY + FK + DK + K = 0 (21)

Dao động lắc đầu của các trục bánh:

-S(TXN + TXT) – 2b.HX +

+ 2MZ + MK = 0 (22)

4 Các lực và moment tác dụng và phương trình cân bằng lực của khung giá

chuyển hướng

• Các lực của các trục bánh tác dụng vào khung giá chuyển hướng thông qua bầu dầu theo phương ngang và phương dọc cũng

có trị số như HX, HY nhưng hướng ngược lại

• Các lực và moment phục hồi:

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

ư ϕ ξ +

ư

ư

=

R 2

l l y y C B B

2 T T

Y 1 O

ưK1Y (y&T ưy&+ξTlϕ&) (23)

ư

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ξ + ϕ

ư ϕ

ư

R

l C

M

ưK1ψ(y& ưT y&) (24)

• Các lực và moment quán tính:

FT =ưmT y&&T (25)

T T T

M =ưθ ϕ&& (26)

• Các lực ngang bao gồm lực ly tâm và siêu cao:

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

ư

=

S 2

h g R

V m D

2 T

∗ Phương trình dao động của các khung giá chuyển hướng:

Xét sự cân bằng của tất cả các lực tác dụng lên các trục bánh, đối với mỗi trục bánh

ta viết được hai phương trình dao động:

Dao động sàng ngang của các khung giá

chuyển hướng:

FT - 2(HY1 + HY2) + DT +B = 0 (28) Dao động lắc đầu của các khung giá

chuyển hướng:

MT - lT (HY1 –HY2) + 2b(HX1 + HX2) + MB = 0 B

(29)

5 Các lực và moment tác dụng và

phương trình cân bằng lực của thân xe

• Các lực và moment phục hồi: cũng có

giá trị như B và MB trong công thức (23), (24)

nhưng có hướng ngược lại

• Các lực và moment quán tính:

y m

F=ư && (30)

ϕ θ

ư

= &&

M (31)

• Các lực ngang bao gồm lực ly tâm và

siêu cao:

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

ư

=

S 2

h g R

V m D

2

(32)

∗ Phương trình dao động của thân xe

Dao động sàng ngang của thân xe:

F - (BT + BS) + DT = 0 (33)

Dao động lắc đầu của thân xe:

M - 2l(BT – BB S) + MT + MS = 0 (34)

6 Hệ phương trình dao động ngang

của toàn xe

Đối với toàn xe ta viết được 8 phương

trình dao động của các trục bánh, 4 phương

trình dao động của 2 khung giá chuyển hướng

và 2 phương trình dao động của thân xe Như

vậy hệ phương trình dao động ngang của đầu

máy toa xe khi chuyển động trên đường cong

sẽ có 14 phương trình vi phân cấp hai Sau khi

thay trị số của các lực rồi viết lại dưới dạng ma

trận ta được hệ phương trình dạng:

My&&+K y& +Cy=F( )ωt +G( )R (35)

trong đó:

- M, K,C: là các ma trận khối lượng, ma

trận cản và ma trận độ cứng

- F: là véc tơ lực kích thích do chuyển

động rắn bò có tần số ω gây nên, biên độ rắn

bò sẽ giảm đi khi bán kính đường cong càng nhỏ

G: là véc tơ lực kích thích do chuyển

động trên đường cong gây nên, phụ thuộc bán

kính đường cong R và độ siêu cao h và trong

đó có các lực dẫn hướng

III Kết luận

Hệ phương trình (35) có thể coi là hệ phương trình tổng quát chuyển động của đầu máy toa xe cả trên đường thẳng và đường cong

Trên đường thẳng R bằng vô cùng và độ siêu cao h = 0 làm cho véc tơ G sẽ bằng không Khi đó nghiệm riêng của hệ này với vế phải là véc tơ F sẽ biểu diễn dao động cưỡng bức do chuyển động rắn bò gây nên

Ngược lại trên đường cong bán kính nhỏ

do các trục bánh không có chuyển động rắn

bò nên véc tơ F bằng không và nghiệm riêng của hệ với vế phải là véc tơ G sẽ biểu diễn trạng thái cân bằng lực của các bộ phận đầu máy toa xe trên đường cong

Chúng ta cũng lưu ý rằng tuy rằng đây là một hệ phương trình vi phân cấp hai nhưng do trên đường cong không có dao động nên các véc tơ gia tốc dao động y&& và vận tốc dao

động y& đều bằng không nên hệ phương trình lúc này trở thành hệ phương trình đại số:

( )

(R,Ky )

G y

Cũng cần nói thêm do sự xuất hiện các lực dẫn hướng K trong véc tơ G phụ thuộc chuyển vị ngang của các trục bánh nên hệ này là phi tuyến

Chúng ta có thể giải hệ phương trình này với những điều kiện nhất định để tìm ra các

lực dẫn hướng K

Tài liệu tham khảo

[1] Baránszky-Job Imre Vasúti Jármu szerkezetek

Budapest, 1979

[2] Nguyễn Hữu Dũng Động lực học Đầu máy

diésel Hà nội, 2001

[3] Khuất Tất Nhưỡng Kỹ thuật Đầu máy Toa xe

hiện đại Hànội, 2002

[4] Nguyễn Hữu Dũng Giải bài toán thông qua

đường cong của ĐMTX trên máy tính Tạp chí KHGTVT số 5 - tháng 11/ 2003♦