bài toán hai điểm biên kỳ dị 5

luận văn trình bày về sự tồn tại nghiệm của một số phương trình vi phân cấp hai thỏa mãn điều kiện biên trên bằng phương phát điểm bất động của ánh xạ compact và lý thuyết phổ của toán tử đối xứng, liên tục hoàn toàn trên không gian Hilbert

En la khong gian tuye"n tinh dinh chu§'n hUll h~n chi~u c la t~p dang, bi

ch~n trong En thi ta"tca cac anh x~ f: C ~ C lien tlfc d~u ca di~m c6 dinh

Dinh nghia 1.2

1) Anh x~ F: C ~ C du'<;1cgQi la compac ne"u F(X) chua trong mQt t~p

compac cua Y .

ch~n chifa trong mQt t~p compac cua Y

3) Anh x~ F: C ~ C du'<;1cgQi la compac hUll h~n chi~u ne"u F(X) chuatrong khong gian con tuye"n tinh hUll h~n chi~u cua Y

GQi A = {aI, a2 , , an }lamQt t~p con cua khong gian tuye"n tinh dinh chu§'n Evdi chu§'n II II Vdi S > 0 c6 dinh d~t :

n

i=I

GQi CoCA) la t~p l6i be nha"tchua A Ta dinh nghla phep chie"u Schauder la anh x~ :

X E Ac ' 3io : x E B(aio' E) ~ E - II x - a,o II > 0

n

2) Chu y PE(AE)c CoCA)do m6i PE(x) la t6 help tuytn tinh cua aI, a2, , an

Dinh Iy 1.3

Cho A c C c E voi A ={ aI, a2 , , an } ; C la t?P l6i trong khong gian tuytn

tinh dinh chu§'n E Ntu PE(x) la phep chitu Schauder thi :

1) PE la anh x~ compac lien wc tU AE vao CoCA) c C

2) II x- PE II < E 'v'x E AE

Chung minh dinh Iy :

1) Slf lien t\lc cua PE duQc tha"y tn;fc titp Chung ta chung to tinh compac cua PE GQi { PE(xm) boo la mQt day trong PE(AE) voi

V?y thi do tinh compac cua n_l?p phltdng clIng vdi CoCA) la mQt t?P dong suy

ra tinh compac cua anh x~ PE

Dinh If 1.4 (xa'p Xl Schauder )

C Ia t~p 16i trong khong gian tuySn tinh dinh chu§'n E Anh x~ F: C -+ C la

lien Wc huu h~n chieu Ft;: E -+ C saG cho :

2) F(E) c CoCA) c C

Chung minh dinh If :

Ta co F(A) chlta trong mQt t~p compac K cua C Do K bi ch~n hoan roan lient6n t~i mQt t~p A ={al , a2 , , an} c F(E) vdi F(E) cAt;

GQi Pt; : At; -+ CoCA) la phep chiSu Schauder va dinh nghTa anh x~ Fc: E -+ Cb~ng FE(x)=Pt;(F(x» , x E E rhea dinh 19 1.3 ta co kSt qua.

. Cho B la mQt t~p cua khong gian tuySn tinh dinh chu§'n E F : B -+ E Vdi

di~m 8 _c6 dinh cua F .

Dinh If 1.5

Cho B la t~p con dong cua khong gian tuySn tinh dinh chu§'n E F : B -+ E la

vdi m6i 8 > 0

Chung minh dinh If :

Gia sU' F co di~m 8_c6 dinh vdi m6i 8> 0 8~t bn la di~m lIn _c6 dinh cua

F Ta co IIbn- F(bn) II< lIn (1.2)

mQt day con cac s6 tv nhien S va x thuQc K saG cho : F(xn) -+ x E K khi

n -+ IX) trong S VI v~y (1.2 ) suy ra bn -+ x khi n -+ IX) trong S va do B la

V~y ta co IIx - F(x) II= 0 hay F co di~m c6 dinh

Dinh If 1.6 (Schauder)

Cho C la mQtt~p con 16i cua khong gian tuySn tinh dinh chu§'n E thl tat ca cac anh x~ compac lien tvc F : C -+ C deli co it nhat mQt di~m c6 dinh

m~) ~ '> \) ' ~ ~\~\.\ ~ '> \) \.\\ ~\~\.\ "\':) \ ~ ~)\).'3,"Q \.~'-\ \.~\ w:.~\ ~~ ~C:- \.\~'-\ ~'- \\.\i~

h(;ln chieu FE: C ~ C vdi IIFE (x) - F(x) II< E vdi x thuQc E vi

FE (Co(A)) c CoCA) c C Do CoCA) dong bi ch~n vi FE (Co(A)) c CoCA)chung ta co th€ ap dvng dinh 1:91.1 suy ra XE= FE (xE) , XE E CoCA) .

VI v~y II XE- F(XE) II =II FE (XE) - F (xE) II < E

x(;llien tl,lc H : X x [0,1] ~ E vdi H(x,O)= rex) vi H(x,1) =g(x)

. Anh X(;l H duQc gQi Ii d6ng luau lien tl,lc vi ta vi€t H: f ==g Voi m6i

t E [0,1] anh X? x ~ H(x,t) duQc vi€t Ii HI: x ~ E

. Chung ta d~ ding ki€m tra dlfQc quail h~ d6ng luau Ii mQt quail h~ tlfdngdudng

. Anh X(;ld6ng luau lien tl,lcH Ii compac n€u no Ii compac .

. Anh X(;ld6ng luau lien tl,lcH gQi Ii co di€m co' ajnh khong phl1 thuQc tren

di€m c6 dinh

sao cho thu hyp FIA: A ~ C co di€m co' ajnh khong phl1 thuQc .

vdi Ht (u) =Hlxx {t} : X ~ E , t E [0,1] co di€m co' ajnh khong phl1 thuQc

Dinh Iy 1.7

tG(a) + (1-t) F (a) "* a thl F=: G trong KA(X, C)

Chung minh dinh Iy :

H Ii mQt anb X(;lcompac La'"y mQt day ba'"tky (xn, tn) E X X [0,1] d€ kh6ng

m§t Hnh t6ng quat ta co th€ gia sll' tn ~ t E [0,1] khi n ~ O'J Do F vi Gcompac lien co mQt day con S cac s6 tv nhien vi F(x) , G(x) thuQc C

nJ

sao cho : F(xn ) ~ F(x) , G(xn) ~ G(x) khi n ~ 00 trong S hdn nua do C

1di lien ta co H(xn , tn) =tn G(xn) + (1- tn) ~ H(x, t) khi n ~ 00 trong S

V~y H(x,t) 1a mQt phep ddng 1uan lien tl,lCcompac

dtnh kh6ng phl1 thuQc .

G E KA(X, C) sao cho FIA = GIA 1a di€m cd dtnh kh6ng phl:l thuQc .

Dinh Iy 1.8

rho U 1a mQt t~p con ma cua mQt t~p 1di C c E thI ba't ky liOE U anh x~

hAng F( U )= ul) 1a c6t ySu trong Kcu ( U , C).

Chung minh dinh Iy :

chung ta chung minh G co di€m c6 dinh tIeD U Dinh nghla :

{

G(X); nSu x E U

Uo ; n6u x E C \ UD~ dang chung minh duQc 1 1a mQt anh x~ compac lien tl,lC Tli 1.6 suy re\

,) "E:' ", < :.' : ,., Xi ~ I: Wiliw.lt' WEW.~* q~~18" ' J

Chung minh dinh If :

. Ta chung minh ill' 1) suy fa 2)

co: t G(a) + (l-t) F (a) * a D€ nh~n tha'y di~u nay ta giit Sl(

Do dinh 1:91.6 ta suy ra F ==G trong KA(X, C )

. Ta chung minh tu 2) suy fa 1)

Hlx x{t} la mQt ddi€m co' dinh khong rang buQc vdi m6i t thuQc [0,1] D~t

B ={ x : x =H(x , t) , t E [0 ,I]} Neu B = ~ thl vdi m6i t E [0,1] , Ht

c6t yell .

Neu B * ~ ta co B n A= ~ , B la t~p dong D€ tha'y dl(QCdi~u nay ta la'y

Xn E B tlic la Xn=H(xn , tn) ~ E va Xn ~ x t6n t<;iit E [0,1] va mQt day

con cac s6 tV nhien S sao cho tn~ t khi n ~ 00 trong S Do S\( lien t\lc cua

ham Urysohn lien l\!C vdi 'A(A) = 1 , 'A(B)= 0

compac lien l\!c Ta di chung minh 1tla di€m c6 dlnh khong ph\! thuQCva

1tlA=HtlA Th~t v~y ta chu y 1t(x) =x nghla la H(x , 'A(x)t) = x suy ra x thuQc

khong ph¥ thuQc Vi v~y 1tla di€m co'djnh khong ph¥ thuQc Ta co lieU

x E A thi 'A(x)= 1 va 1t(x) = H(x , 'A(x)t) = H(x , t) =Ht(x) vi v~y 1tlA=HtlA

£)~t t =1 suy ra Jt 1a anh Xc;tcompac lien tvc va la di~m co' ajnh khong phl;t lhuQC

D~ dang suy ra tU dinh 19 1.9

Dinh Iy 1.11 ( Leray - Schauder)

Gia slf C la mQtt~p l6i trong kh6ng gian tuye'n tinh dinh chu§'nE U la mQt

F :U -7 C d6u co it nha'"t mQt trong hai tinh cha'"tsail :

1) F codi~m co' dinh .

Chung minh djnh Iy :

compac lien tvc Ht: U -7 C lien ket gifi'aG va F la H(x, t) = t F(x) + (1- t) P * X6t hai tru'ong h9P:

1) H(x, t) la di~m c6 dinh kh6ng phv thuQc tren au

2) H(x, t) kh6ng la di~m c6 dinh kh6ng phV thuQc tren au

Neu tru'ong hQp 1) xay ra thl tU dinh 191.6 va 1.8 suy ra F ph.h co di~m co' dinh Ngu'Qclc;tineu tru'ong hQp2) xay fa thl :

Dinh Iy 1.12

Giii sU'A la t~p con dong cua khong gian cac ham C ([a,b],R) Ntu A bi ch~n

d~u va lien t\lc d6ng b~c thl A la compact

Dinh Iy 1.13 (Arzela -As coli)

Giii sU'A la t~p con dong cua khong gian cac ham C ([a, b], R)

Ntu A bi ch?n d~u va lien tl)c d6ng b~c thl A la compact.

Voi cac di~u ki~n bien

I XET sTJTON TAl NGHIEM CUA PHUONGTRINH:

(1.1)

1

- (py I)' = q ( t ) f (1, Y, pyI)pet)

Chung ta c~n chung minh t6n t~i ham YE C[O,l]n C2(0,1), py' E C[O,l]

(1 4)

Gia sU'them t6n t(;lih~ng s6 M > 0 dQc l~p vdi A saa cha :

vdi m6i nghi~m y cua phu'dng trinh (1.3) va m6i "A E (0,1) .

Thl phltdng trinh (1.1) se c6 nghi~m YE C[O,1]n C2(0,1), py' E C[O,1]

Chung minh dinh ly:

Giai bai tm'ln (1.3) tlfdng du'dng tim 1 ham YE C[O,1] vdi py' E C[O,1] thoa man:

t ds

ac + dex

A2 = 1 dsex(af- + b) + exp

D~t KI[O,1]={UE C[O,1]: pH' E C[O,1] vdi IU Id la 1 khong gian Banach va

Kko [0,1] = tu E K 1[0,1]: -exu(O) + ~ ~~~p(t)u' (t) = au(1) + b ~~~ p(t)u' (t) = 0J

. Ta chung minh M lien tQc:

- Do f lien tlfc tren [O,1]x R2~ R => f lien tlfc deli tren [0,1 ]x[ -M,Mf (vdi M

la h~ng s6 sao cho Iy 11::;M)

- \18>0, 388>0: II (t,s,U)- (1' ,s' ,u') II < 8 => If(t,s,u)- f(t' ,s' ,u') I < 8

V?y vdi m6i t E [0,1]

IMy(t) - Mz(t)I::; /BI-B;I+ IAI -A;lf -+ f -fpqlf(t,y,py') - f(t,z,pz')dzds

O?(s) °p(s)s

a I 1I IAI -A;!::; 1 dsop [as -fpqlf(t, y,py') - f(t,z,pz')ldxds +

0 p(s)

1+ ~fpqlf(t, y,py') - f(t,z,pz')ldxds]0 ::;E

(do 1.4)

IBI - B;I~ I~ !IAI -A;j+ I~ IIpq If(t,y,py ') - f(t,z,pz ')dx < 8

Suy ra IMy(t) - Mz(t) I < E (do 1.4) Vz,y E K1Bo[0,1] V~y M lien tl}cTi€p rhea ta dung dinh ly Arzela- Ascoli dS chung minh M la lien tl}c o6ng b~c.E>Sthty du<jc di€u nay, ta d~t Q c K1Bo[0,1]Ia mQt t~p bi ch~n nghla la t6n t~iffiQt s6 Mo > 0 saG cho Iyll ::;Mo Vdi m6i y E Q do f(t,y,py') lien tl,lc o~u tren[O,l]x[-M,M] nen t6n t~i K> 0: If(t,y,py')I::; K K€th<jp vdi (1.4) ta co :

vy E Q 3A*, B* la cac h~ng s6 saG cho IE*I::; B va IA*I ::;A (A*,B* co thS

phl) thuQc VaG M ) V~ys1j bi ch~n cua MQ Ol«jCsuy ra tli (1.10)

Ti€p rhea vdi YE Q ; t, s E [0,1] :

t~l-U=~uEK1B[0,1]: luI1<M+l}; C=K1B[0,1] ;E=K1[0,1]

Ap dvng dinh 19 1.11 vdi p*= conhu'ng vdi slj hfa chQn U nhlf tren tinh chtt 2)

cua 1.11 kh6ng the Kay ra v<%yN co diem c6 dinh tlic la phlfdng trInh (1.1) co

nghi~m YE C[O,I], py' E C[O,I] , y E c2 (0,1) la do 1.5 vdi A =1

II XET SU TON TAl NGHIEM CUA PHU0NG TRINH:

(2.1)

1

P (t)lim p ( t ) Y,( t) = C I~ o'

cua phu'dng trlnh (2.2) va vdi m6i A E (0,1) Khi do phttdng trlnh (2.1) se co

nghi~m YE C [0,1] n C2 (0,1) , py' E C [0,1] .

Chung minh dinh ly

Giai phttdng trlnh (2.2) tu'dng du'dng ydi s\( fim ham YE C [0,1] ydi PY' E C [0,1]tho a man:

K1[0,1] = {u E C[O,l] , pu' E C[O,l] }

Lam tu'dng 1\t nhu' trong djnh 19 1 trong ph~n I ta co M 1a mQt tmln tti' Compact

Iyll = max {sUPtE[o,l]ly(t)1 , SUPtE(o,l)lp(t)y'(t)l} = max {Iylo,Ipy' 10} ~ M

thi khi a'y phudng trinh 3.1 co nghiQm

X6t phudng trinh :

1

pet)limp(t)y'(t) = 0

( >0+

limp(tt."(t)( >]- = 0

t E (0,1)

(3.3)

phu'ong trlnh nay chi co nghi~m t§m thudng V?y ta co th€ bi€u di~n nghi~n: cua phltong trlnh 3.2 dudi d~ng :

toaD co th€ xiy fa VI ne'u kh6ng lin~p(t)y~(t)1->0 = . lirq p(t)y; (t)1->0 = 0 khi do

ta chQn U(X)=YI(X)lil1}p(t)y~(t)-Yix) lin!p(t)y~(t), d~ dang ki€m tra duQc

1->1- I->C

HeX)la mQt nghi~m cua phuong trlnh 3.3 V?y u ==0 mall thu~n vdi s~t dQc l?p

tuyen tint cua Yl , Y2 Ta co :

Trong do w(s) la ham Wronskian cua Yl,Y2t~i s ta co pw' (s) =0 SHYfa pw =C

=h~ng s6 (ta cling c§n chli y la AIA3 - A2A4;i: 0 bdi VIneu kh6ng ta chQn

HeX) =A1Yl(X) -A3Y2(X) la mQt nghi~m cua phuong trlnh 3.3 suy fa u == 0 mall

thu~n vdi sv dQc l?p tuyen tint cua Yl , Y2)

Ta viet l~i cong thuc (3.4):

yet) = 'A[CYI (t) + Dy 2(t) + J Yl (s)y 2(t) - YI (t)y 2(s) q(s)f(s, yes), py')ds] +

+ (1- 'A)[EYI(t) + Fy 2(t)]

Ta se chung minh N la toan tU compac, lien Wc

. Chung minh Ny, p(Ny)' E Kin:

Do f :[0,1]xR2~R la lien t\1c lien lien t\1c d~u tren [0,l]x[-M,M]2 suy ra :

V~y vdi t, tl E [0,1] : I t-tl I < 88 suy ra II (t,y,py') - (t' ,y,py') II< 88 do d6If(t,y,py')-f(tl,y,Py')k E/2 .

Do f lien t\1c d~u lien ta cling c6 t6n t~i h~ng s6 K saD cho I f(t,y,py') I ~ K

do d6 t6n t~i C* , D* la cac h~ng s6 saD cho : IC I ~ C* , IDI ~ D* (C , D cothe' ph\! thuQc vao M )

V~y:

I Ny(t)-Ny(z) I ~ C*ly](t)-yJz)I+D* I yz(t)-yz(z) I +

+ IY2(t)-Y2(Z) II] yJs) q(s)f(s, y, py )ds 1+

t w(s)+ IYI(t)-YJ(z)II]Y2(s)q(s)f(s,y,py)dsl

t w(s)

~ C'I p(t)y;(t)-p(z)y~(z) I +D'I p(t)y~(t)-p(z)y~(z) I +

+ I p(t)y~(t) II JyJs) q(s)f(s, y, py' )ds I+ Ip(t)y'Jt) IJ Y2(S)q(s)f(s, Y,py' )ds

. Chung minh N lien ttJc :

Do f :[0,1]xR2~R la lien tlJ.Cnen lien tl}c c1~utren [O,l]x[-M,Mf SHYra :

\is >0 3be >0 : II(t,u,v) - (1',u' ,v')11 < be thl I f(t,u,v)-f(1' ,u' ,v') 1< s V?y vdi t E [0,1] c6 c1inhva lI(t,y,py')- (t,z,pz')11= lI(y,py')-(z,pz')1I< be

ta co :

Ap dvng dinh 19 1.11 trong bai 1 ta suy ra N co diSm c6 dinh tltc 1a b~ti loan 3.

co nghi~m UE C[O,l] ; pu' E C(O,l) .

IV.XET Su' TON TAl NGHIEM CUA PHUONGTRINH;

1-(py')'= q(t)f(t,y(t),py')pet)

-(py')'= Aq(t)f(t,y(t),py') pet)

lim p(t)y' (t)t~O+ = lim p(t)y' (t)

y(l)

(4.3)

phltong trlnh nay chi co nghi~m t~m thu'ong V~y ta co th€ bi€u dien nghi~m cua phu'dng trlnh 4.2 du'oi d(;lng:

yet) = A"Yl(t)+B"Y2(t)+ JYl(S)Y2(t)~0 w s~1(t)Y2(S) q(s)f(s,y(s),py')ds (4.4)

trong do Yl(t) , Y2(t)la hai nghi~m GQcl~p tuye'n tinh cua phu'dng trlnh :

HeX) =YI(x)[lim P(t)Y'2(t) -lim p(t)y~(t)] - Y2(x)[lim p(t)y; (t) -lim p(t)y~ (t)]1->0' 1->1+ 1->0+ 1->]'

dS dang nh~n tha'y HeX)la mQt nghi~m cua phu'dng trinh 4.3 lien u ==0 di€u naymati thu~n vdi stf dQc l~p tuySn tinh cua YI , Y2

n€u khong ta chQn :

D~ tha"yHeX) Iii nghi~m cua phu'dng trinh 4.3 suy ra u ==a mall thuc1n v6i s1/ Q9C

l~p tuySn tinh cua YI, Y2.

B~ng cach chung minh tu'dng ttf nhu' trong ph§n III ta SHYra S\t t6n t;~linghi~!J,

cua phu'dng trInh 4.1