BÀI TOÁN GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN

Maple được ra đời, dưới đây giới thiệu cách sử dụng Maple vàmột số ứng dụng của phần mềm để phân tích giải bài toán khảo sát hàm số, giải vàbiện luận phương trình bậc nhất , phương trình

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 3

I GIỚI THIỆU MAPPLE – CÔNG CỤ LẬP TRÌNH SYMBOLIC 4

II CÁC PHÉP TÍNH CƠ BẢN 5

1 Xây dựng biểu thức 5

2 Khai triển biểu thức: lệnh expand 5

3 Xác đinh giá trị : lệnh evalf 5

4 Tính đạo hàm và tích phân 6

5 Giải phương trình và bất phương trình đại số: lệnh solve 7

6.Khai triển thành chuỗi: lệnh series 7

7.Tính tổng: lệnh sum 8

III TÍNH TOÁN TRÊN MA TRẬN 8

1 Mô tả ma trận 8

2 Các phép toán trên ma trận 8

IV GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 10

1 Phương trình vi phân Lệnh dsolve 10

2 Phương trình đạo hàm riền Lệnh pdesolve 11

V Vẽ đồ thị hàm số: 11

1 Hàm một biến, đồ thị 2D: Lệnh plot 11

2 Hàm hai biến, đồ thị 3D: lệnh plot3d 15

3 Vẽ tiếp tuyến : lệnh showtangent 17

4 Vẽ đồ thị kèm biểu đồ: lệnh rightbox, leftbox, middlebox 18

VI TÍNH TOÁN CỰC TRỊ: 19

1 Tìm cực trị hàm số : Hàm maximize và minimize 19

2 Tìm cực trị theo ràng buộc ( Phương án tối ưu) 20

VII LẬP TRÌNH: 20

1 Cấu trúc điều khiển 20

3 Hàm và thủ tục: 21

VIII BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ: 21

2 Bài toán giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn: 27

3 Giới thiệu các lệnh sử dụng trong chương trình: 27

4 Chương trình: 30

a Giải và biện luận phương trình bậc nhất: 30

b Giải và biện luận phương trình bậc hai: 31

5 Ví dụ minh họa: 35

a Giải và biện luận theo tham số m phương trình bậc nhất: 35

b Để giải và biện luận theo tham số m phương trình bậc hai: 35

X KẾT LUẬN 36

XI TÀI LIỆU THAM KHẢO 37

Trang 2

LỜI MỞ ĐẦU

Cải tiến công nghệ phục vụ cho cuộc sống là phương châm, động lực phát triểncho xã hội loài người trong thời gian qua.Từ khi con người có ý thức thì sự tìm tòi họchỏi và khả năng tư duy chính là đặc điểm đưa loài người ra khỏi lớp động vật Đặcđiểm nổi bật nhất của sự tìm tòi học hỏi hay khả năng tư duy là sự sáng tạo, tiềm lờigiải cho những vần đề được đặt ra Vì vậy càng ngày càng nhiều phần mềm ra đờiphục vụ tin học hoá nhu cầu xã hội và phục vụ tất cả các lĩnh vực trong học tập vànghiên cứu khoa học Maple được ra đời, dưới đây giới thiệu cách sử dụng Maple vàmột số ứng dụng của phần mềm để phân tích giải bài toán khảo sát hàm số, giải vàbiện luận phương trình bậc nhất , phương trình bậc hai một ẩn

Xin chân thành cảm ơn đến Thầy PGS TS Đỗ Văn Nhơn đã nhiệt tình giảng dạy

và hướng dẫn em hoàn thành chuyên đề này

Học viên : Lê Văn Đào

I GIỚI THIỆU MAPPLE – CÔNG CỤ LẬP TRÌNH SYMBOLIC

Maple là một hệ thống tính toán trên các biểu thức đại số và minh hoạ toán họcmạnh mẽ của công ty Warterloo Maple Inc (http : / /ww w m a p l e s o f t c om ) Maple rađời năm 1991 đến nay đã phát triển đến phiên bản 16 Maple có cách cài đặt đơngiản, chạy được trên nhiều hệ điều hành, có cấu trúc linh hoạt để sử dụng tối ưu cấuhình máy và có trình trợ giúp (help) rất dễ sử dụng Từ phiên bản 7, Maple cung cấpngày càng nhiều các công cụ trực quan, các gói lệnh tự học gắn liền với toán học phổthông và đại học Ưu điểm đó làm cho nhiều người trên thế giới lựa chọn sử dụngMaple cùng các phần mềm toán học khác áp dụng trong dạy học toán và các côngviệc tính toán đòi hỏi của thực tiễn và sự phát triển của giáo dục

C ó t h ể nhận thấy rằng ngoài các tính năng tính toán và minh hoạ rất mạnh

mẽ bằng các câu lệnh riêng biệt (thường chỉ cho ta kết quả cuối cùng), Maple còn làmột ngôn ngữ lập trình hướng thủ tục (procedure) Thủ tục là một dãy các lệnh củaMaple theo thứ tự mà người lập trình định sẵn để xử lí một công việc nào đó, khi thựchiện thủ tục này Maple sẽ tự động thực hiện các lệnh có trong thủ tục đó một cáchtuần tự và sau đó trả lại kết quả cuối cùng

Mapple có các chức năng cơ bản sau:

 Là một hệ thống tính toán trên các biểu thức đại số

 Có thể thực hiện được hầu hết các phép toán cơ bản trong chương trình toán đạihọc và sau đại học

 Cung cấp các công cụ minh họa hình học thuận tiện gồm: vẽ đồ thị động và tĩnhcủa các đường và mặt được cho bởi các hàm tùy ý và trong các hệ tọa độ khác nhau

 Là một ngôn ngữ lập trình đơn giản và mạnh mẽ, có khả năng tương tác với cácngôn ngữ lập trình khác

 Cho phép trích xuất ra các định dạng khác nhau như word, HTML…

 Một công cụ biên soạn giáo án và bài giảng điện tử, thích hợp với các lớp họctương tác trực tiếp

Trang 4

 Một trợ giáo hữu ích cho học sinh sinh viên trong việc tự học.

5 Gi i ph ải phương trình và bất phương trình đại số: lệnh solve ương trình và bất phương trình đại số: lệnh solve ng trình và b t ph ất phương trình đại số: lệnh solve ương trình và bất phương trình đại số: lệnh solve ng trình đ i s : l nh solve ạo ố: lệnh solve ệnh expand

7.Tính t ng: l nh sum ổng: lệnh sum ệnh expand

>

1 Mô t ma tr n ải phương trình và bất phương trình đại số: lệnh solve ận

Cách 1 : Lệnh matrix : A :=matrix(m,n, [dãy phần tử ]) ;

f Tính ma trận nghịch đảo : lệnh inverse

>

1 Ph ương trình và bất phương trình đại số: lệnh solve ng trình vi phân L nh dsolve ệnh expand

a Tìm nghiệm tổng quát

>

b Tìm nghiệm bài toán Côsi

c Giải phương trình vi phân

>

Trang 10

2 Ph ương trình và bất phương trình đại số: lệnh solve ng trình đ o hàm ri n L nh pdesolve ạo ền Lệnh pdesolve ệnh expand

>

V Vẽ đồ thị hàm số: lệnh solve:

1 Hàm m t ột bi n ến , đồ thị 2D: L nh ệnh expand plot

>

# Khi không chỉ ra miền xác định, Maple sẽ lấy miền mặc định là [-10,10])

# ( chỉ ra cả miền xác định & miền giá trị)

Trang 14

# Vẽ đồ thị nhiều hàm số Danh sách các hàm số để trong cặp ngoặc vuông, tham số color chỉ ra thứ

tự màu sắc cho từng đồ thị, tham số style

# chỉ ra kiểu nét vẽ theo thứ tự cho các đồ thị ).

2 Hàm hai bi n ến , đồ thị 3D: l nh ệnh expand plot3d

>

Trang 16

# Vẽ nhiều mặt cong cùng nhau: {c1, c2, c3}, ở đây c1, c2, c3 được mô tả dưới dạng tham số {u,v})

3 Vẽ ti p tuy n : l nh showtangent ến ến ệnh expand

>

4 Vẽ đ th kèm bi u đ : l nh rightbox, leftbox, middlebox ồ ị ểu thức ồ ệnh expand

>

Trang 18

2 Tìm c c ựng biểu thức trị theo ràng bu c ột ( Phương trình và bất phương trình đại số: lệnh solveng án t i ố: lệnh solve ưu)

>

1 C u trúc đi u khi n ất phương trình đại số: lệnh solve ền Lệnh pdesolve ểu thức

A rẽ nhánh

if <conditional expression> then <statement sequence>

| elif <conditional expression> then <statement sequence> |

| else <statement sequence> |

3 Hàm và th t c: ủ tục: ục:

>

Bài toán khảo sát hàm số là một trong những bài toán cơ bản trong chương trìnhtoán ở THPT, luôn có trong các đề thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh ĐH-CĐ

C

á c b ư ớc khảo s á t h à m số y = f ( x ):

(1) Tìm tập xác định của hàm số

(2) Xét sự biến thiên của hàm số

(a) Chiều biến thiên : Tính đạo hàm y’, xét dấu y’ để suy ra chiều biến thiên của

- vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ( nếu có)

- Xác định các điểm đặc biệt của đồ thị hàm số : cực trị, các giao điểm của đồ thị vớicác trục toạ độ ( nếu có)

Dựa vào các bước để khải sát hàm số trên, bằng cách sử dụng các lệnh cho sẵn của

(‘2) sự biến thiên :’0 ; dh1 :=diff(y,x) :

Print(‘a) chiều biến thiên : y’ ‘=dh1) ;

If({fsolve(diff(y,x)=0)}={}and a>0) then (‘y>0 với mọi x’.) ; (‘ hàm số luôn đồng biến.’); end if;

if({fsolve(diff(y,x)=0)}={}and a<0) then (‘y<0 với mọi x.’); (‘Hàm số luôn nghịch biến.’); end if;

if({fsolve(diff(y,x)=0)}=0<>{}and a>0 and

max(solve(diff(y,x)=0))=min(solve(diff(y,x)=0))) then

(‘ Đạo hàm y’=0 tại x’=min(solve(diff(y,x)=0)))

(y’>=0 với mọi x.’); (‘Hàm số luôn đồng biến.’);

(‘y<=0 với mọi x.’); (‘Hàm số luôn nghịch biến.’);

end if;

if({fsolve(diff(y,x)=0}<>{}and a>0 and max(solve(diff(y,x)=0))

<> min(solve(diff(y,x)=0))) then

dh1=factor(dh1);

(‘Đạo hàm y’=0 tại x’=solve(diff(y,x)=0));

(‘Hàm số đồng biến trong các khoảng:’)(- infinity,

min(solve(diff(y,x)=0)))(‘và’)(max(solve(diff(y,x)=0)),infinity); (‘Hàm số nghịch biến trong khoảng:’);

if({fsolve(diff(y,x)=0)}={} then {]Hàm số không có cực trị.’); end if;

if({fsolve(diff(y,x)=0)}<>{} and max(solve(diff(y,x)=0))=

min(solve(diff(y,x)=0))) then (‘Hàm số không có cực trị.’); end if; if({fsolve(diff(y,x)=0)}<>{} and max(solve(diff(y,x)=0))=

min(solve(diff(y,x)=0))) then

(‘Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu:’);

(‘Điểm cực đại:’) (min(solve(diff(y,x)=0)),

(‘d) Tính lồi, lõm và điểm uống :’) ;

(‘y’’=diff(diff(y,x),x));

(‘Điểm uốn: U’) (solve(diff(diff(y,x(,x)),simplify(eval(y,x=solve(diff(diff(y,x),x)))));

If(a>0) then (‘Hàm số lồi trong khoảng:’)(-infinity,solve(diff(diff(y,x),x)));

(‘Hàm số lõm trong khoảng:’)(solve(diff(diff(y,x),x)),infinity);

Else (‘Hàm lồi lõm trong khoảng:’)(-infinity,solve(diff(diff(y,x),x)));

(‘Hàm số lồi trong khoảng:’)(solve(diff(y,x),x)),infinity)

end if;

(‘3) Đồ thị: Đồ thị cso tâm đối xứng là điểm uồn.’);

(‘Đồ thị cắt trục Ox tại các điểm có hoành độ: ‘(fsolve(y=0)));

1) Tập xác định : R

2) sự biến thiên

a) Chiều biến thiên : y’=- 3x 2 – 6x

-3x 2 – 6x = -3x (x+2)

Hàm số nghịch biến trong các khoảng: (- ∞, -2) (và) (0, ∞)

Hàm số đồng biến trong khoảng : (-2, 0)

2 3

)43(

lim

43(

x x

hàm số lồi trong khoảng : (-1, ∞)

3) Đồ thị : Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn.

Đồ thị cắt trục Ox tại các điểm có hoành độ :

+ Nếu b ≠ 0: phương trình vô nghiệm

+ Nếu b = 0: phương trình có vô số nghiệm đúng với mọi x

Trang 26

2 Bài toán giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn:

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng: f(x)= ax2 + bx + c = 0

* Trường hợp 1: Với a=0, ta có phương trình bx + c = 0 , đây là phương trình bậc

nhất một ẩn có hệ số cụ thể nên có thể kết luận được nghiệm của phương trình

* Trường hợp 2: Với a  0 , ta tính biệt thức:   b2  4ac

+ Nếu   0 : phương trình vô nghiệm

+ Nếu   0 : phương trình có nghiệm kép x = -

+ Nếu  > 0 : phương trình có 2 nghiệm

3 Giới thiệu các lệnh sử dụng trong chương trình:

* Lệnh giải phương trình, bất phương trình:

Ý nghĩa: lhs(expr) thực hiện trả về vế trái của biểu thức expr, lệnh tương đương

*Lệnh chuyển đổi dạng biểu thức:

Cú pháp:>convert(expr,form)

Trong đó: - expr: một biểu thức bất kỳ

- form: kiểu dữ liệu như string, binary, decimal…

b Giải và biện luận phương trình bậc hai:

5 Ví dụ minh họa:

a Giải và biện luận theo tham số m phương trình bậc nhất:

f(x) = x+2 = x + 2m

Ta gõ lệnh:

Kết quả như sau:

Neu m khong thuoc {-1, 1}:

Neu m = -1:

Neu m = 1:

b Để giải và biện luận theo tham số m phương trình bậc hai:

f(x) = + mx + 3m – 8 = 0

Kết quả như sau:

Phuong trinh co 2 nghiem phan biet

Kết quả giải và biện luận theo m phương trình:

f(x) = (m-2)x2

– (2m-1)x + m + 2 = 0

+ Neu m = 2 Phuong trinh co nghiem duy nhat x = 4/3

Trang 36

xây dựng nên nhiều chương trình khác phục vụ cho công việc học tập vànghiên cứu khoa học và trong nhiều lĩnh vực khác.

Dùng Maple ta có thể thực hiện các công việc như:

1) Soạn các hệ thống bài tập, đề thi theo ý muốn

2) Kiểm tra các kết quả của các bài toán tính toán để dự đoáncác chứng minh

3) Soạn giáo án, vẽ hình chính xác phục vụ cho giảng dạy vàcác hoạt động chuyên môn

4) Công cụ hỗ trợ bồi dưỡng học sinh, sinh viên giỏi hoặc tậpdượt nghiên cứu khoa học

5) Là nguồn dữ liệu phong phú để lựa chọn các kịch bản lên lớp6) Maple là một nguồn mở cho phép người dùng tại ra các lệnh

và chương trình riêng của mình bằng các module lệnh có sẵn

và ráp nối bằng các lệnh đơn giản

Tuy nhiên, do còn nhiều hạn chế như bản thân không nhiều thờigian trong việc học tập sử dụng chương trình nên bài tập này còn đơngiản và nhiều sai sót Nhưng qua đó cũng giúp cho em hiểu thêm về mộtcông cụ hỗ trợ tính toán mạnh mẽ với thư viện phong phú để có thể giảiquyết các bài toán một cách dễ dàng

XI TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Tập tài liệu giảng dạy môn Lập trình Symbolic cho Trí tuệ nhân tạo của thầy

PGS.TS Đỗ Văn Nhơn – Đại học Công nghệ thông tin – Đại học Quốc gia TP.HCM

[2] http://google.com.vn, http://mapplesoft.com

[3] Mục Help của chương trình Mapple v.16.

[4] Giáo trình Maple lưu hành nội bộ của Trường Đại học sư phạm Tp.HCM