Vectơ trong mặt phẳng với các bài toán Hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, điểm cố định của đường thẳng, bài toán nhận dạng

Nhờ có phương pháp này các bài toán như chứng minh tính song song, vuông góc, thẳng hàng,..nói chung được giải quyết một cách dễ dàng và ngắn gọn.. Với mong muốn trên, và được sự giúp đỡ

LỜI CÁM ƠN

Lời đầu tiên em muốn nói là em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo Bùi Văn Bình, khoa Toán trường ĐH Sư phạm Hà Nội 2

Trong thời gian thực hiện luận văn, mặc dù rất bận rộn trong công việc

nhưng thầy vẫn dành rất nhiều thời gian và tâm huyết trong việc hướng dẫn

em Thầy đã cung cấp cho em rất nhiều hiểu biết và kiến thức để hoàn thành

tốt khóa luận Trong quá trình em thực hiện luận văn, thầy luôn định hướng,

góp ý và sửa chữa những chỗ sai giúp em không bị lạc lối trong biển kiến thức

Cho đến hôm nay, luận văn tốt nghiệp của em đã được hoàn thành, cũng chình là nhờ sự nhắc nhở, đôn đốc, giúp đỡ nhiệt tình của thầy

Em cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa toán, cũng như các thầy cô trong trường đã giảng dạy, giúp đỡ em trong 4 năm học qua Chính thầy cô đã xây dựng cho chúng em những kiến thức nền táng và những kiến thức chuyên môn đề em có thể hoàn thành luận văn này

Do điều kiện thời gian và tính chất của đề tài chắc chắn sẽ không tránh

khỏi những sai sót Em rất mong được sự chỉ bảo và đóng góp của thầy cô và

các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn nữa

Một lần nữa em xin cảm ơn thầy Bửi Văn Bình đã hướng dẫn em hoàn thành khóa luận này

Em xin chân thành cảm on!

Ngày 8 tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Đặng Thị Lý

LỜI CAM ĐOAN

Do sự nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng sự giúp đỡ,

hướng dẫn tận tình của thầy Bùi Văn Bình trong quá trình hoàn thành khóa

luận tôi xin cam đoan khóa luận này không trùng với kết quả của tác giả nào khác Nếu trùng tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn

MỤC LỤC

Trang

NI 2000 4dđ1 1

NOI DUNG woos ssssssssssossssssssssessssssssesssesssessssesssssssssssesssesssesssseaseesseesseeees 3

PHAN 1: MOT SO KIEN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ 3 PHAN 2: VEC TO VỚI CÁC BÀI TẬP -2- -¿+cs+cxccxecse2 14 HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG -2¿©25+©5<25scxcscxecse2 14

CHƯƠNG I: VECTƠ VỚI CÁC BÀI TOÁN . . - 14 CHUNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 14 CHƯƠNG II: VECTƠ VỚI CÁC BÀI TOÁN : 555 22 CHUNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 22

CHUONG III: VECTƠ VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH 33

DUONG THANG DI QUA DIEM CÓ ĐỊNH 2-5 5c+c<ss2 33 CHUONG IV: VECTƠ VÀ BÀI TOÁN NHẬN DẠNG 40

4100807.) 0Ầ),.: , 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO -2+22+22+222x222xSExSrkrerrrerrrrsrkr 46

khái niệm đó tiếp tục được mở rộng, chúng ta có các khái niệm mới, trong đó

vectơ là một ví dụ Khi mở rộng đoạn thắng vô hướng sang đoạn thắng có hướng ta có khái niệm vectơ Khái niệm vectơ sẽ theo suốt các em trong quá trình học tập ở trường trung học phô thông

Thông thường khi mở rộng một khái niệm nào đó thì đồng thời ta có

một phương pháp mới, một công cụ mới đề giải toán Khái niệm vectơ ra đời cho ta một phương pháp mới để giải toán một cách hiệu quả hơn Nhờ có phương pháp này các bài toán như chứng minh tính song song, vuông góc, thẳng hàng, nói chung được giải quyết một cách dễ dàng và ngắn gọn

Với mong muốn trên, và được sự giúp đỡ của thầy Bùi Văn Bình, em đã mạnh dạn chọn đề tài “ wecfơ trong mặt phẳng với các bài toán: hai đường thẳng song song; hai đường thắng vuông góc; điểm có định của đường thẳng; bài toán nhận dạng”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Qua các đạng toán, các ví dụ tham khảo mẫu sẽ cho học sinh thấy

được phần quan trọng của việc sử dụng vectơ vào các bài tập trong hình học phẳng, đặc biệt là các bài tập hình học chứng minh các yếu tố song song, yếu

tố vuông góc, điểm có định của đường thẳng và bài toán nhận dạng

GVHD: Thay Bui Van Bình 1 Dang Thi Ly K34 CN Toán

Với mỗi dạng toán đều có phần cơ sở lí thuyết phương pháp giải, ví dụ

áp dụng dé học sinh có thể tự giải bài tập đề nghị Như vậy học sinh có thé coi

đây là một phương pháp giải toán có hiệu quả, một cách suy nghĩ mới mẻ về

hình học

3 Đối tượng , phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là vectơ và vấn đề áp dụng nó vào giải các bài

tập hình học

Do khuôn khổ thời gian có hạn, đề tài chỉ đề cập đến vấn đề sử dụng công cụ

vectơ để giải quyết một số bài tập cơ bản của hình học, đối tượng là học sinh

trung học phổ thông, chuẩn bị thi Đại học, Cao dang, THCN

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu, phân tích tài liệu

Hệ thống, khái quát các van dé

Sưu tầm giải quyết các bài toán, tổng kết kinh nghiệm

NỘI DUNG

PHAN 1: MOT SO KIEN THUC CO BAN VE VECTO

I Vecto

L1 Định nghĩa

dié A là điểm đầu (điểm gốc) và _

điểm B là điểm cuối (điểm ngọn), x

thi ta bao rang doan thang AB da

được định hướng hay gọi là vectơ AB, kí hiệu là: AB

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau như AA, BB, .được gọi là vecfơ - không

1.2 Hai vec tơ cùng phương, cùng hướng B

Hai vectơ 4B và CD gọi là cùng

nằm trên hai đường thang

Hai vec tơ cùng phương 48 và CD

được gọi là cùng hướng, nếu chiều từ A đến B trùng với chiều từ C đến D Kí

hiệu là 48 †? CD

Hai vec tơ cùng phương AB và CD

được gọi là ngược hướng, nếu

Chú ý:

+) Vectơ không được xem là cùng hướng voi moi vecto

+) Hai vectơ cùng hướng với một vect0 khác vectơ không thì hai vecto do cùng hướng với nhau

+) Ta chỉ có thể nói hai vec tơ nào đó cùng hướng hay ngược hướng khi đã

có hai vec tơ đó cùng phương

L3 Độ dài của vecto

Độ dài đoạn thắng AB là độ dài của vectơ AB, và được kí hiệu [43]

Nhu vay I45| = BA =AB

Theo đó, độ dài của vectơ — không bằng 0

L4 Hai vectơ bằng nhau

+) Mọi vectơ — không đều bằng nhau và kí hiệu là 0

+) Nếu đã cho vectơ avà một O, thì có một điểm A duy nhất sao cho OA=a

I5 Góc giữa hai vecfơ

© Định nghĩa: Cho hai vectơ a,b đều khác 0 Từ một điểm O nào đó, ta vẽ các vectơ Ó4=a › OB=b Khi đó số đo của góc AOB được gọi là số đo

cia géc gitta hai vecto avab Ki hiéu: (a,b)

Nhận xét:

+) Hiển nhién (a,b) € [0°; 180°)

+) (a,b) = 0° < avab cling hướng

+) (a,b) = 180° <= avàb ngược hướng

+) (a,b) = 90° khi dé ta néi rằng hai vectơ avab vuông góc với nhau,

Cho hai vecto avab

Lấy một điểm A nào đó rồi xác dinh cac diém B va C sao cho:

Khi đó vectơ 4C được gọi là tổng của hai vectơ avab

© Cac tinh chat

Với mọi vectơ a,b vac taco:

(1) Tính chất giao hoán : a+b=b+a;

(2) Tính chất kết hợp : ((a+b)+c=a+(b+e);

(3) Tính chất của vectơ — không : a+0=0+a=a

© Cac quy tac can nhớ

Từ định nghĩa tổng của hai vectơ ta có các quy tắc :

Phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ

© Quy tắc ba điểm về phép trừ vectơ

Nếu MN là một vectơ đã cho thì với điểm O bất kỳ, ta luôn có :

Néu k <0 thi vecto ka ngược hướng với vectơ a

2) Độ dài vecto ka bing |t|-a

Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với số thực

© Céc tính chất của phép nhân vectơ với số

Với hai vectơ bắt kỳ a,b và mọi số thực k, | taco :

ka= 0 khi va chi khi k= 0 hoặc a= 0 ;

III Tích vô hướng của hai vectơ

- _ Dạng tọa độ : Trong hệ tọa độ Đêcac vuông góc OXxy, cho hai

vecto a (x), yi) và B(x2, V2) Khi do :

ab= X/X2 +t yy;

Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz, cho hai vecto’ a(x), V1 Z¡) va B(x», V2, Zo)

Khi đó ab= xi: + Vy + Z2;

- Dang hinh chiéu : ab= ab’, trong đó b` là hình chiếu của b

trên đường thẳng chứa vectơ a

HHL.2 Tính chất của tích vô hướng

Với ba vectơ a,b,c tùy ý và một số thực k, ta có :

VI Một số bài toán cơ bản

Bài toán 1 : Chứng minh rằng :

1) 11a trung diém doan thang AB < 1⁄4 + JB =0

GVHD: Thay Bui Van Binh 9 Dang Thi Ly K34 CN Toán

2) I là trung điểm đoạn thắng AB © A⁄4 + M8 = 2M, với M là điểm tùy

Gia sit [4+ IB=0=> IA=-IB (*)

Tw (*) suy ra IA = IB va I, A, B thang hang, tức I là trung điểm của đoạn thang AB

2)I la trung diém doan thang AB © /4 + IB =0

<> MI + IA + MI + IB = 2MI, voi M la diém tiy y

<> MA + MB = 2MI, voi M la diém tiy y

Bài toán 2: Chứng minh rằng:

1) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC © GA + GB + GC =0

2) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm O, ta luôn có:

OA + OB + OC =30G

Chứng mình

1)Giả sử AI là trung tuyến của tam giác ABC

Điểm G là trọng tam của tam giác ABC ©> G4=—2GÏ

I là trung điểm của BC 2GI = GB + ŒC

Do vậy, G là trọng tâm của AABC

© G4=-(GB + GC) © GA + GB + GŒC =0

2)Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có: GA +GB+GC =0

<> GO + ÓA + GỠ + OB + GÓ +OC =0, với O là điểm bắt kỳ

<> OA + OB + OC =0, với O là điểm bất kỳ

Bài toán 3: Trong không gian chứng minh rằng:

1)Điểm G là trọng tâm tứ dign ABCD <> G4 + GB +GC +GD =0

2)Điểm G là trọng tâm tứ diện ABCD thì với mọi điểm O ta luôn luôn có:

Ma: GA+GB+GC+GD=0 = 2(GI+GJ)=0=> GI+G/=0

Suy ra G là trung điểm của đoạn thang IJ

Một cách tương tự, ta chứng minh được G là trung điểm chung của các đoạn

thắng KL và MN Vậy G là trọng tâm của tứ điện ABCD

3)Do G là trọng tâm tứ diện ABCD nên:

= GA + GB + GŒC + GD =0 (*)

Với mọi điểm O, đẳng thức (*) sẽ tương đương với đẳng thức:

GỠ + O4 + GỠ + OB + GÓ + OC + ÓG + ÓD =0

< OA +0B +OC +OD =40G

PHAN II: VECTO VOI CAC BAI TAP HiNH HỌC

TRONG MAT PHANG

CHUONG I: VECTO VOI CAC BAI TOAN CHUNG

MINH HAI DUONG THANG SONG SONG

L1 Phương pháp

Gia sir vecto AB là vectơ chỉ phương của đường thang a

CD là vectơ chỉ phương của đường thẳng b

Để chứng minh hai đường thắng phân biệt a và b song song với nhau ta đi chứng minh cho 48 = k.CD,k #0, ke

AB =k.CD ,kz0, ke

a//b <=

1M eAB;M CD

12 Ví dụ

Ví dụ I: Cho tứ giác ABCD không là hình bình hành, sđường thắng vẽ qua

đỉnh A song song với BC và cắt BD tại M; đường thắng qua đỉnh B song song

với AD và cắt AC tại N chứng minh rằng MN // DC

Trường hợp tứ giác ABCD không phải là hình bình hành thì N 4 C nênN £

Hay DG = MN Vậy MN // DC

mq

Ví dụ 2:_ Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác, AM cắt BC tại

D Goi I, N lần lượt là trung điểm của BM, CM DĨ cắt AB tại P, DN cắt AC

Trong A ABM có A;[l là đường trung bình nên

AIl/AC = AjI// AP

Trong A ACM có A¡N là đường trung bình nên

DA _ DỊ

Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD không phải là hình bình hành Gọi M, N lần lượt

là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng trung điểm các đường chéo của các tứ giác AMND và BMNC là các đính của hình bình hành

Chứng mình

Gọi R là trung điểm của BN

S là trung điểm của MC

P là trung điểm của AN

Và Q là trung điểm của MD

=BP~ BỘ =QP = LBÄ+ 1B - LBD Q=OP= | 4 4 = RS

Vay OP=RS

Hay tu giac PQRS 1a hinh binh hanh

L3 Bài tập đề nghị

Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD không phải là hình bình hành M và N lần lượt

là trung điểm của AB và CD Ta có MN = 2(AD + BC)

Chứng minh rằng AD // BC

Bài tập 2: Cho tử giác lỗi MNPQ Gọi A là giao điểm của hai đường chéo

MN và PQ Chứng minh rằng nếu A và hai trung điểm B, C của hai cạnh đối

diện MN và PQ nằm trên một đường thẳng thì MNPQ là hình thang hoặc là hình bình hành

Hướng dẫn

+Dat AM =a, AN=b

+ Biểu diễn MN, PO theo a va b

Bài tập 3: Các đường thắng p va p, cat nhau 6 O trén p cho cac diémA, B,

Cva trén p, lay các điểm A¡, B,, C, sao cho AB,//A,B, BC,//B,C Ching minh AC, // A,C

Huong dan

Từ giả thiết bài toán và định lí về các đoạn thắng tỉ lệ, ta có:

OB=k.OA; OA, = k.OB,

Khử các vectơ OB,OB, ta có:

OC =1.(k.OA); OA, = k.IOC.) = k.LOC,

Từ đó : OC—ÓA_ =4 =kl(OA- ÓC) = kI.C,Ä

Vậy A¡C /C¡A

Bài tập 4: Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lấy tương ứng các

điểm C¡,„ A¡, Bị sao cho AC _ B4 _ CB kk e-l)

CB AC BA

Trên các cạnh A,B, B,C;,C,A, cla tam giac A,B,C, theo thir tu lay các điểm

AC, _BA, _CB,

Cs, A>, By sao cho vee CB AC BA =k (k#-1 «=Ð:

Chứng minh rằng : A,C;//AC, C2B,//CB, B2A; // BA

Biéu dién cac vecto a, a,b, c, theo các vectơ ø, b, e và k

Biểu diễn các vectơ a,,b,,e, theo các vecto a a,b, cv!

Tw do:

AG =a =mAG (n=)

Tương tự với các trường hợp còn lại

Bai tap 5: Cac điểm M,N, P, Q nằm tương ứng trên các cạnh AB, BC, CD và

DA của hình bình hành ABCD Lai co:

AM: AB=BN: BC =CP : CỌ =DQ: DA

Biểu điễn MN =MB + BN =(1—m)AB +m.BC (1)

b) Xét hình bình hành A¡B,C,D¡ Từ một điểm O dựng các vectơ:

OM =AA,, ON=BB,, OP=CC,, OO=DD,

Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành

Bài tập 7: Cho tứ giác ABCD và một điểm M Chứng minh rằng các điểm đối xứng của điểm M đối với trung điểm các cạnh của tứ giác là đỉnh của hình bình hành

CHƯƠNG II: VECTƠ VỚI CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH HAI

DUONG THANG VUONG GOC TRONG MAT PHANG

TI.1 Phương pháp

Đề chứng minh hai đường thắng vuông góc với nhau ta thường dựa vào tính chất của tích vô hướng

Hai vecto a, b (khac 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a-b =0

Gọi z là vectơ chỉ phương của đường thắng a

Gọi ð là vectơ chỉ phương của đường thắng b

Nếu a(a,,a,) va b(b,,b,) thi diéu kién

alb © a,b; + axb)= 0

II.2 Vi du minh hoa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và gọi D là hình chiếu