Định lý tồn tại và duy nhất của bài toán ba điểm biên

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán ba điểm biên đã được nghiên cứu bởi A.R.Aftabizadeh - Chaitan P.Gupta - Jian-Ming Xu, D.Krajcinovic, D.J.. O’Regan và các nhà toán học khác.Về

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh — 2009

TRUONG DAI HOC SU PHAM TP.HO CHi MINH

Nguyễn Ngọc Ấn

ĐỊNH LÝ TỎN TẠI VÀ DUY NHẤT CUA BAI TOAN BA DIEM BIEN

Chuyên ngành : Toán Giải Tích

Mã số : 6046 01

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYÉN VĂN ĐÔNG

Thành phố Hồ Chí Minh — 2009

LOI CAM ON

Trước tiên, tôi xin vô cùng cảm ơn PGS.TS Lê Hoàn Hoá, TS Nguyễn Văn Đông và TS Lê Thị Phương Ngọc đã cung cấp tài liệu, tận tình hướng

dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các Giảng Viên thuộc hai trường Đại

Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và Đại Học Khoa Học Tự Nhiên

Thành Phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy, hướng dẫn trong suốt quá

trình học tập Xin được chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu và các Chuyên Viên thuộc Phòng Khoa Học Công Nghệ-Sau Đại Học trường Đại Học Sư

Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi hoàn thành

khoá học

Cuối cùng, tôi xin được cảm ơn các bạn học viên cùng lớp đã gắn bó,

giúp đỡ tôi hoàn thành nhiệm vụ

Tp.Hồ Chí Minh, tháng 7 năm 2009

Tác giả,

Nguyễn Ngọc Ấn

Trang phu bia

Chương 3: SỰ TÒN TẠI VÀ DUY NHÁT NGHIỆM DƯƠNG

CỦA BÀI TOÁN BA ĐIỂM BIÊN -55¿

3.4 Sự tồn tại vô số nghiệm dương 2- 2 2©£+2E++2EE+EzErzrxerrxee 3.5 Sự tồn tại duy nhất nghiệm dương 2-2222 +2+zx+zrxzerxez

MO DAU

Phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng có nhiều ứng dụng

trong thực tiễn, được áp dụng ở nhiều lĩnh vực như y học, xây dựng, kiến trúc, điện tử Bài toán ba điểm biên đã được rất nhiều nhà toán học quan tâm Sự

tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán ba điểm biên đã được nghiên cứu bởi

A.R.Aftabizadeh - Chaitan P.Gupta - Jian-Ming Xu, D.Krajcinovic, D.J

O’Regan và các nhà toán học khác.Về nghiệm đương của bài toán ba điểm biên cũng đã có các nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước như

Yongping Sun, Xiaoling Han, Nguyễn Thành Long-Lê Thị phương Ngọc-Lê Xuân Trường

Từ việc nghiên cứu các tài liệu trên, luận văn này thiết lập những kết quả

về điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán ba điểm biên Sau đó xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm dương của đạng bài toán ba điểm biên này Mục đích nghiên cứu của luận văn là áp dụng định lý liên tục Leray-

Schauder để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán ba điểm biên rồi chi

ra điều kiện duy nhất nghiệm Sau đó, áp dụng định lý điểm bất động của Guo- Krasnoselskii và thuật toán lặp đơn để chứng minh sự tồn tại nghiệm dương và nhiều nghiệm đương Cuối cùng, luận văn chỉ ra trường hợp tồn tại duy nhất nghiệm dương của bài toán ba điểm biên

Nội dung luận văn gồm có phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết

luận Cụ thể như sau :

Phần mở đầu

Chương l : Giới thiệu bài toán

Chương 2 : Trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán ba

điểm biên

Phần kết luận

Chuong 1

GIOI THIEU BAI TOAN

Trong luận văn này, ở phần đầu chúng tôi xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán giá trị biên ba điểm phi tuyến sau :

ul’ + flu).u" = g(x,uu'u") + e(x) 0) =w(1) = u() =0, 0Smq <1

u(0) =u"(1) = u(y) = 0, O<n <1

Carathéodory cho trước

Chúng tôi áp dụng định lý liên tục Leray-Schauder để chỉ ra sự tồn tại nghiệm rồi chứng minh sự duy nhất nghiệm của bài toán

Trong phần tiếp theo, chúng tôi xét thêm về sự tồn tại nghiệm dương của bài toán giá trị biên 3-điểm sau:

x“)=/fUz0)), 0<¡<1 x()=0, x()= œ()

Trong đó, 0 < ø, z < 1 và hàm số f cho trước thỏa một số điều kiện

Chúng tôi áp dụng định lý điểm bất động của Guo- Krasnoselskii và

dùng thuật toán lặp đơn để chỉ ra sự tồn tại nghiệm dương và nhiều nghiệm

Trong mỗi phần, chúng tôi sẽ trình bày tường minh các giả thiết trong

phần định nghĩa, trình bày các kiến thức chuẩn bị Sau đó mới đi vào giải

quyết phần nội dung chính của đề tài là sự tồn tại nghiệm và sự duy nhất

nghiệm Cuối cùng, chúng tôi có trình bày thêm ví dụ minh hoạ.

Chương 2

SỰ TÒN TẠI VÀ DUY NHÁT NGHIỆM

CUA BAI TOAN BA DIEM BIEN

2.1 Giới thiệu bài toán

Trong phần này, chúng ta xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài

toán giá trị biên ba điểm phi tuyến sau :

ul + flu).u" = g(x,u,u'u") + e(x) (2.1)

u(0) =u(L) = uy) = 0, OSH <1 (2.2)

trong đó,/e C( , )vàg:[0;I]x -› thỏa điều kiện Carathéodory,

nghĩa là :

(@) Với x[0; 1] hkn, hàm „e -›g@,w)e liên tục

(ii) Voimoi ue ”,hàm xe [0;l]-> g@,⁄)e đo được

(iii) Voi moi r> 0, tồn tại hàm số thực g„() e L/[0;1] sao cho với

|zll: < (z9 Jzl

( xem chứng minh trong [6] )

2.2.4.Bỗ đề 2.2.4

Dat M,= max {y, 1-1}, O<n <1 Néu u(y) = 0 thi:

Jue ls sree full

Suy ra : fie (x)dx < SM; ‘| [z'(x) dv+SƑM if [u'(x)Pdx

Hay: ells = (al) 6 Mall:

Mat khac: |u(x)|=| fu'@dt|<J Iww)lár

Xét không gian #\(0;1) được định nghĩa như sau :

FP(0;1)= {ue17[[0;1]; ]: ¬ hoàn toàn liên tục trên [0;1], j = 0,1,2

Trong phần này, chúng ta vận dụng định lý liên tục Leray-Schauder

(xem trong [6]) để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của các bài toán (2.1), (2.2) và

(2.3) (2.4)

2.3.1.Định lý 2.3.1

Giả sử -

(i) Tén tai cdc ham sé a(x) € C'[0;1], b(x), c(œ)e C[0;1], đœ)e'[0;1]

và các hằng số duong do, bo, Co sao cho : a'(x) < do, Đ(Y) 3— bạ, c(x) 3 —ca, xe[0;l] h.k.n và với mọi u, v, we , xe[0;1] h.k.n:

2(x,u,v,w) v= a(x) vw t+ bx) v'+ e(x) |zv|[ + đ@) | v|

(1) Tôn tại œ e C[[0;1]x ?; ]vd Be L'[0;1] sao cho:

| gŒ,,,v,w) |<| ø(x,v) | | w|Ÿ+/@) với mọi u, vw e vàx e [0;1]h.k.n

Khi đó, với mọi e(x) € L'[0;1], bai toán (2.1), (2.2) có ít nhất một

nghiệm nếu : (ao+2 b„)z+4 Mạ Co < 2x? voi M,= max {7, 1-77 }

Chứng mình

Ký hiệu X là không gian Banach C[0;1] và Y là không gian Banach

1[0;1] với chuẩn đã biết Với mỗi z e X, ve Y, ký hiệu tích vô hướng :

DỤ) = {u e X[ u”" hoàn toàn liên tục trên [0;1], z'(0) = u'(1) = u(y) = 0 }

va voi méi u € D(L), L(u) =u'"

Đồng thời ta định nghĩa ánh xạ phi tuyến : : X—> Yxác định bởi :

(Nu)G@) =3) ”(x) — gŒ, t3), w'(x), w”(x))

Chú ý rằng N là ánh xạ liên tục, bị chặn Dễ thấy ánh xạ tuyến tính L,

theo định nghĩa trên, là đơn ánh Tương tự như thế đối với ánh xạ tuyến tính:

K:Y— X được định bởi : Với mỗi yeŸY:

2

sao cho với mỗi ye Y, Kye D(L), LKy= y va voi méi ue D(L), KLu = u, hon

nữa theo định lý Arzela-Ascoli K biến mỗi tập con bị chặn của Y thành tập con compact tương đối trong X Vậy : KN: X—› X là một ánh xạ compact Chúng ta chú ý rằng u e C?I0;1] là một nghiệm của bài toán giá trị biên (2.1), (2.2) nếu và chỉ nếu ø là một nghiệm của phương trình toán tử:

Lu + Nu =e Phuong trinh toan tr Lu + Nu = e tương đương với phương trình :

u+ KNu = Ke

Áp dụng định lý liên tục Leray-Schauder ta thu được sự tồn tại nghiệm

của phương trình + KNu = Ke hay của bài toán (2.1), (2.2)

Để làm điều này, ta sẽ kiểm tra lại rằng tập tất cả các nghiệm của hệ phương trình :

ul'+ A flu’) ul" =A g(x,uu',u") +d e(x), x € (031)

là bị chặn trong C”[0;1] bởi một hằng số độc lập với 4 [0;1]

Cho ø là nghiệm của (2.5) với 2 e [0;1]

Vì z(0)=z(1)= 0, từ Bồ đề 2.2.3, thay u, u’ boi uw’, uta co:

Nhân (2.5) với wu’ va lay tích phân từ 0 đến I, ta có :

[ u’.uldx + a ƒ(M').M'.M" dv = af 2(x,u,u',u").u'dx + af e(x) u'dx

Do đó, từ điều kién (i) ta có :

-[ [„"()Ï⁄4x> af a(x)w' u"dx wf b(x)[u'(x) dx vf c(x) | uu'|dx +

voi K,=max| a (x,u,v)| trên [0;1]x[-p ;e 1]; 2]

Hơn nữa, do u'(0) = (1) = 0, theo định ly Lagrange, tén tại số £ e

Dùng điều kién (i), suy ra:

-[ [z"G)ƒ4+ >2 { a() | w w"| dx “af boo[u' (Pa +f c(x) | uu'|dx +

Định ly 2.3.1 va 2.3.2 nêu tính giải được của bài toán (2.1) và (2.2) với

moi e(x) trong L![0,1] Điều đó hiển nhiên rằng Định lý 2.3.1 cho phép giải quyết được phương trình (2.1) với điều kiện biên không thuần nhất :

(0)=áni, (1)=44, uín)=44

2.3.4.Hệ quả 2.3.4

tục và giả thiết rằng với x e[0;1] h.k.n, hàm g(x,u,v,w) khả vi liên tục theo u,v

và w Giả sử tôn tại các số thực do, bạ, cạ> Ú với đạ zZ2+b,z+2œ M, < z

sao cho:

SE (x,u,9, 0) 2 =e,, SE (x,0,9,9) 3 cử, | S600) \<a, (26)

với x e[0;l] h.k.n và mọi u, v, w e Thêm vào đó, giả sử tôn tại một hàm

liên tục :

ø:[01]x ?—> và Ø@) eLl[0,1]sao cho :

lg(,,v.)| < Ja @,w„9)||wÏŸ + BO) (2.7)

Khi đó, với mỗi e(x) eL'[0,1], bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm

Sử dụng phương pháp như trong Định lý 2.3.1, chúng ta chứng minh được định lý sau đối với bài toán biên (2.3), (2.4) :

2.3.5.Định lý 2.3.5

(i) Tén tai các hàm a(w), b(), eœ)e C[0;1], d(x) eL'[0;1] va cdc hang

số duUong do, bo, Co sao cho : a(x) >— do, B(x) > by, C(x) >—Co, WX € [051]

2(x,U,V,w) v= a(x) |v w| + bx) vt c(x) juv| +dx)|v|

(ii) Ton tai œ e C[[0;1]x ; ]và B € L'[0;1] sao cho:

| g(x,u,v,w) | <| a (u,v) | | w P +B (x) voimoiu,v,we vàx e [0;1] h.k.n Khi dé, voi moi e(x)e L'[0;1], bai toán (2.3), (2.4) có ít nhất một

2.3.6.Hệ qua 2.3.6

Giá sử các điều kiện của hệ quả 2.3.4 được thỏa mãn, trừ điều kiện

a) a + bạ +2 cạ Mạ < ` được thay bởi :

Ie at4 rbạ+8 CoM, <z

Khi đó, bài toán (2.3), (2.4) có nghiệm

2.4.Sự duy nhất nghiệm

Phần này trình bày về sự tồn tại nghiệm duy nhất của các bài toán biên :

15

với 4 là hằng số và g(x, u, v, w) thoa điều kién Carathéodory, e(x) e L'[0;1]

2.4.1.Định lý 2.4.1

Cho g:[0,1]x Ì—› thỏa điều kiện Carathéodory và A là một hằng

số Giả sử tên tại các hàm a(x) € C'[0;1], B(x), c@)e C[0;1] và các hằng số

dương do, bọ, cạ sao cho : a(x) S ao, P(x) >T—bạ, c(x) >T—c¿ với x e [0;1] h.k.n

và với mọi uị, vị, Wị e 5 1= 1,2 và xe[0;l] h.k.n:

(e(x,1,vi,Wi) —ø(X.02,va,W2) ).( Vị—V›) > đ(X) (WA— W2).( Vị V2)

+B(x) (Vin) + (x) | — ạ | | vị— 9y |

Khi đó, với mọi e() eL'[0;1], bài toán (2.8), (2.9) có nghiệm duy nhất

nếu : (a+2b¿)z+4c Mựạ <2

Chứng mình

Gia stu, va ø; là hai nghiệm của (2.8), (2.9), ta có :

(m—ua)"+ A (m—u2)” = g(x,,u|„)) — 8(X.,M; „12,2 (2.12)

Nhân (2.12) với (w¡-w¿)' và lấy tích phân từ 0 đến 1, với chú ý rằng :

[ tu, —u,)70n —u,YYáy = (m=), )" =P Caray "Pax

Nhung: H°(0;1) c C[0;1] nên u(x) = ua(x), Vx €[051]

17

2.4.2.Dinh ly 2.4.2

Cho g:[0,1]x ”—> thỏa điều kién Carathéodory va A là một hang

số Giả sử tôn tại các hàm a(x), b(x), c(x)se C[0;1] và các hằng số dương a„ bạ; cọ sao cho : a(x) >— đo, b(X) > —bạ, c(x) >—cạ„ với xe[0;l] h.k.n và với mọi

Đặt: y= i—u;, từ giả thiết, ta có :

-[ bP de> f aQ) "UL ylde +f oC) Pde + [ cœ) bì.|yldx

>-ø[ J"l|yldw~ba[ [yƒ4w—e[_ bị |y|dx

Suy ra : [z`~# &, ~œ bạ — 2e, M, ].||» "| <0

y" [<0 (do a,z2t bạz+2ey M,< 8)

cac ham a(x), b(x), c(x) e C[U;1] và các hằng số dương ao, bạ, cạ sao cho : a(x) >-ao, b(x) >—bs, |c()| € ca với x e [0;1] h.k.n

Đồng thời với mọi u„ vụ wị e ,i=1,2 và xe [0;1]h.k.n:

(g(x,,vì,w)—g(%.02,v›„W2) ).( Vi-V2) = a(x) | wị—w2|.| vị va | +

+b@) (vị=vs)ˆ+ e@) | —wa | | vị— v: |

Khi đó, voi moi e(x) e LÌ[0;1], bài toán (2.10), (2.11) có nghiệm duy

nhất nếu 2a, +4 bạ x+ 8c M, < z

Nhân (2.16) với (w¡— ø;)' và lấy tích phân từ 0 đến 1, với chú ý rằng :

Je —w;)”(m —Uu,)'dx = (u, —Uy)'(u, —u,)" I~] [(—u;) 4x

Đặt: y=„i-w, từ giả thiết, ta suy ra:

-[ D"&>-4[ I"I.|yldx=b[ [yw=e[ b|.|y|dk

Do Bồ đề 2.2.2 ta được : Iz1 <0

Từ đây, vì : |z| < | y'}, <9

Nhưng: #(0;1) c C[0;1]nên z(x) = u(x), Vx € [051]

Định lý được chứng minh LÌ

2.4.4.Chú ý 1.4.4

Chúng ta chú ý rằng các định lý 2.4.1-2.4.3 cho nghiệm duy nhất của

các bài toán (2.8), (2.9) và (2.10), (2.11) Từ sự tồn tại và đuy nhất nghiệm

của (2.8), (2.9) và (2.10), (2.11) chúng ta có định lý chung của các mục 2.3

và 2.4

2.5.Ví dụ

Xét phương trình vi phân

ự"=l(Œ,)w—=a(x,), xe [0:1]

với điều kiện biên: (0) =y'(1) =w(1⁄2) =0

Nếu chúng ta giả sử rằng (x,y) = 1 va a(x, ) = a(œ) w + D(x) voi

a(x)eC'[0,1], b()eC[0,1] thì theo Định lý 2.3.1, bài toán biên này có

nghiệm

Bây giờ, nếu chúng ta giả sử rang k, aeC[[0;1]x , ] và tồn tại các

ham c(x) € C[0,1], d(x)eL'[0,1] sao cho c(x) >—#” và :

y.ax, w) Se(x) |ự.w1+ đœ) |ự1

Khi đó theo Định lý 2.3.1, bài toán biên này có ít nhât một nghiệm trên

Œđ[0;1].

21

Chuong 3

SU TON TAI VA DUY NHAT NGHIEM DUONG

CUA BAI TOAN BA DIEM BIEN

3.1 Giới thiệu bài toán

Trong chương này, phần đầu chúng ta xét bài toán giá trị biên 3-điểm

sau:

với 0< ø, z< 1 và hàm số ƒcho trước thỏa một số điều kiện thích hop

Lấy Ø e (0,/2), rõ ràng bài toán (3.1), (3.2) tương đương với bài toán :

x"0 +/x0) =gứx0)) (3.3)

x'(0) =0, x(1)= ax(y) (3.4)

với sứ) =ƒ,x) + Bx (3.5)

Chúng ta thiết lập các giả thiết sau :

(HI): ø cosfïn— cos8 > 0

(H2): ƒ: [0,1] x [0,+o) —›> _ là hàm liên tục thỏa điều kiện :

ou, =Ko0s8

B

(1—a)sin B0-7)

Chúng ta sẽ chỉ ra sự tồn tại nghiệm dương và nhiều nghiệm dương của

bài toán (3.1), (3.2) bằng cách áp dụng định lý điểm bất động của Guo-

Krasnoselskii và dùng thuật toán lặp đơn

Cuối cùng, chúng ta sẽ chỉ ra trường hợp tồn tại và duy nhất nghiệm

dương của bài toán ba điểm biên

3.2.1.Bỗ đề 3.2.1

Cho Be (0;—) Khi đó với mỗi h e C[0,I], tốn tại duy nhất ham

x=A(h) e D(L) sao cho Lx = h trong C(0,1) Ở đây, hàm A(h) được xác định bởi: