Vectơ trong mặt phẳng với các bài toán hai đường thẳng song song hai đường thẳng vuông góc điểm cố định của 2 đường thẳng bài toán nhận dạng

Với mong muốn trên, và được sự giúp đỡ của thầy Bùi Văn Bình, em đã mạnh dạn chọn đề tài “ vectơ trong mặt phẳng với các bài toán: hai đường thẳng song song; hai đường thẳng vuông góc; đ

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên em muốn nói là em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới

thầy giáo Bùi Văn Bình, khoa Toán trường ĐH Sư phạm Hà Nội 2

Trong thời gian thực hiện luận văn, mặc dù rất bận rộn trong công việc nhưng thầy vẫn dành rất nhiều thời gian và tâm huyết trong việc hướng dẫn

em Thầy đã cung cấp cho em rất nhiều hiểu biết và kiến thức để hoàn thành tốt khóa luận Trong quá trình em thực hiện luận văn, thầy luôn định hướng, góp ý và sửa chữa những chỗ sai giúp em không bị lạc lối trong biển kiến thức

Cho đến hôm nay, luận văn tốt nghiệp của em đã được hoàn thành, cũng chình là nhờ sự nhắc nhở, đôn đốc, giúp đỡ nhiệt tình của thầy

Em cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa toán, cũng như các thầy cô trong trường đã giảng dạy, giúp đỡ em trong 4 năm học qua Chính thầy cô đã xây dựng cho chúng em những kiến thức nền tảng và những kiến thức chuyên môn để em có thể hoàn thành luận văn này

Do điều kiện thời gian và tính chất của đề tài chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót Em rất mong được sự chỉ bảo và đóng góp của thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn nữa

Một lần nữa em xin cảm ơn thầy Bùi Văn Bình đã hướng dẫn em hoàn thành

khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn!

Ngày 8 tháng 5 năm 2012

Sinh viên Đặng Thị Lý

LỜI CAM ĐOAN

Do sự nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của thầy Bùi Văn Bình trong quá trình hoàn thành khóa luận tôi xin cam đoan khóa luận này không trùng với kết quả của tác giả nào khác Nếu trùng tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn

Sinh viên Đặng Thị Lý

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 3

PHẦN 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ 3

PHẦN 2: VEC TƠ VỚI CÁC BÀI TẬP 14

HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG 14

CHƯƠNG I: VECTƠ VỚI CÁC BÀI TOÁN 14

CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 14

CHƯƠNG II: VECTƠ VỚI CÁC BÀI TOÁN 22

CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 22

CHƯƠNG III: VECTƠ VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH 33

ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH 33

CHƯƠNG IV: VECTƠ VÀ BÀI TOÁN NHẬN DẠNG 40

KẾT LUẬN 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

Thông thường khi mở rộng một khái niệm nào đó thì đồng thời ta có một phương pháp mới, một công cụ mới để giải toán Khái niệm vectơ ra đời cho ta một phương pháp mới để giải toán một cách hiệu quả hơn Nhờ có phương pháp này các bài toán như chứng minh tính song song, vuông góc, thẳng hàng, nói chung được giải quyết một cách dễ dàng và ngắn gọn

Với mong muốn trên, và được sự giúp đỡ của thầy Bùi Văn Bình, em đã

mạnh dạn chọn đề tài “ vectơ trong mặt phẳng với các bài toán: hai đường thẳng song song; hai đường thẳng vuông góc; điểm cố định của đường thẳng; bài toán nhận dạng”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Qua các dạng toán, các ví dụ tham khảo mẫu…sẽ cho học sinh thấy được phần quan trọng của việc sử dụng vectơ vào các bài tập trong hình học phẳng, đặc biệt là các bài tập hình học chứng minh các yếu tố song song, yếu

tố vuông góc, điểm cố định của đường thẳng và bài toán nhận dạng

Với mỗi dạng toán đều có phần cơ sở lí thuyết phương pháp giải, ví dụ

áp dụng để học sinh có thể tự giải bài tập đề nghị Như vậy học sinh có thể coi đây là một phương pháp giải toán có hiệu quả, một cách suy nghĩ mới mẻ về hình học

3 Đối tượng , phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là vectơ và vấn đề áp dụng nó vào giải các bài tập hình học

Do khuôn khổ thời gian có hạn, đề tài chỉ đề cập đến vấn đề sử dụng công cụ vectơ để giải quyết một số bài tập cơ bản của hình học, đối tượng là học sinh trung học phổ thông, chuẩn bị thi Đại học, Cao đẳng, THCN

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu, phân tích tài liệu

Hệ thống, khái quát các vấn đề

Sưu tầm giải quyết các bài toán, tổng kết kinh nghiệm

Cho đoạn thẳng AB, nếu ta quy định

điể A là điểm đầu (điểm gốc) và

điểm B là điểm cuối (điểm ngọn),

thì ta bảo rằng đoạn thẳng AB đã

được định hướng hay gọi là vectơ AB, kí hiệu là: AB

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau như AA, BB,

…được gọi là vectơ - không

I.2 Hai vec tơ cùng phương, cùng hướng

Hai vectơ AB và CD

gọi là cùng phương nếu chúng lần lượt

nằm trên hai đường thẳng

song song hoặc trùng nhau

Hai vec tơ cùng phương AB và CD

được gọi là cùng hướng, nếu chiều từ A đến B trùng với chiều từ C đến D Kí

hiệu là ABCD

Hai vec tơ cùng phương AB và CD

được gọi là ngược hướng, nếu

Chú ý:

+) Vectơ không được xem là cùng hướng với mọi vectơ

+) Hai vectơ cùng hướng với một vectơ khác vectơ không thì hai vectơ đó cùng hướng với nhau

+) Ta chỉ có thể nói hai vec tơ nào đó cùng hướng hay ngược hướng khi đã

có hai vec tơ đó cùng phương

I.3 Độ dài của vectơ

Độ dài đoạn thẳng AB là độ dài của vectơ AB

, và được kí hiệu AB

Như vậy AB

= BA = AB

Theo đó, độ dài của vectơ – không bằng 0

I.4 Hai vectơ bằng nhau

Định nghĩa:

Hai vectơ AB và CD

được gọi là bằng nhau, nếu chúng cùng phương cùng

hướng và cùng độ dài Kí hiệu: AB CD 

và một O, thì có một điểm A duy nhất sao cho

OAa

I.5 Góc giữa hai vectơ

 Định nghĩa: Cho hai vectơ , a b 

của góc giữa hai vectơ a v b à

= 900 khi đó ta nói rằng hai vectơ a v b à

vuông góc với nhau,

và kí hiệu là a

b

 Quy ước: Nếu ít nhất một trong hai vectơ a v b à

là vectơ – không thì ta có thể xem ( , )a b 

có giá trị tùy ý trong đoạn [O0; 1800]

II Các phép toán vectơ

II.1 Phép cộng vectơ

 Định nghĩa

Cho hai vectơ a v b à

Lấy một điểm A nào đó rồi xác định các điểm B và C sao cho:

Từ định nghĩa tổng của hai vectơ ta có các quy tắc :

a) Quy tắc tam giác :

Với ba điểm bất kỳ M, N, P, ta có :

MN NPMP

  

b) Quy tắc hình bình hành :

Phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ

 Quy tắc ba điểm về phép trừ vectơ

Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với số thực

 Các tính chất của phép nhân vectơ với số

Với hai vectơ bất kỳ ,a b 

3) k( a

+ b

) = k a

+ k b ;

k( a b 

) = k a

- k b ;

4) 1 a

= a ;

k a

= 0

khi và chỉ khi k = 0 hoặc a

= 0 ;

III Tích vô hướng của hai vectơ

III.1 Định nghĩa

Tích vô hướng của hai vectơ a v b à

là một số, kí hiệu là a

b, được xác định bởi :

a b   ab  a b 

- Dạng tọa độ : Trong hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho hai vectơ a

(x 1 , y 1 ) và b

(x 2 , y 2 ) Khi đó : a b  

x 1 x 2 + y 1 y 2 ; Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz, cho hai

; 2) .a b 0  a b

Trong mặt phẳng cho hai vectơ ,a b 

với mọi vectơ c

tồn tại duy nhất cặp số thực m, n sao cho :

C

2) I là trung điểm đoạn thẳng AB  MA  MB 2MI

, với M là điểm tùy

, với M là điểm tùy ý

Bài toán 2: Chứng minh rằng:

1) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC GA GB GC 0

2) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm O, ta luôn có:

1)Giả sử AI là trung tuyến của tam giác ABC

Điểm G là trọng tam của tam giác ABC GA  2GI

I là trung điểm của BC 2GI GB GC

Bài toán 3: Trong không gian chứng minh rằng:

1)Điểm G là trọng tâm tứ diện ABCD GA GB  GC GD 0

2)Điểm G là trọng tâm tứ diện ABCD thì với mọi điểm O ta luôn luôn có:

Suy ra G là trung điểm của đoạn thẳng IJ

Một cách tương tự, ta chứng minh được G là trung điểm chung của các đoạn thẳng KL và MN Vậy G là trọng tâm của tứ diện ABCD

3)Do G là trọng tâm tứ diện ABCD nên:

0

       

(*) Với mọi điểm O, đẳng thức (*) sẽ tương đương với đẳng thức:

PHẦN II: VECTƠ VỚI CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC

TRONG MẶT PHẲNG

CHƯƠNG I: VECTƠ VỚI CÁC BÀI TOÁN CHỨNG

MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

I.1 Phương pháp

Giả sử vectơ AB

là vectơ chỉ phương của đường thẳng a

CD

là vectơ chỉ phương của đường thẳng b

Để chứng minh hai đường thẳng phân biệt a và b song song với nhau ta đi chứng minh cho AB  k CD.

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD không là hình bình hành, sđường thẳng vẽ qua

đỉnh A song song với BC và cắt BD tại M; đường thẳng qua đỉnh B song song với AD và cắt AC tại N chứng minh rằng MN // DC

Trường hợp tứ giác ABCD không phải là hình bình hành thì N  C nên N 

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác, AM cắt BC tại

D Gọi I, N lần lượt là trung điểm của BM, CM DI cắt AB tại P, DN cắt AC tại Q Chứng minh PQ // BC

Chứng minh

Gọi A1 là trung điểm của AM

Để chứng minh PQ // BC ta sẽ chứng tỏ BC  k PQ (k 0)

Trong  ABM có A1I là đường trung bình nên

(*) Mặt khác IN là đường trung bình trong  BMC nên:

12

Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD không phải là hình bình hành Gọi M, N lần lượt

là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng trung điểm các đường chéo của các tứ giác AMND và BMNC là các đỉnh của hình bình hành

Chứng minh

Gọi R là trung điểm của BN

S là trung điểm của MC

P là trung điểm của AN

Và Q là trung điểm của MD

I.3 Bài tập đề nghị

Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD không phải là hình bình hành M và N lần lượt

là trung điểm của AB và CD Ta có MN = 1

2(AD + BC)

Chứng minh rằng AD // BC

Bài tập 2: Cho tứ giác lồi MNPQ Gọi A là giao điểm của hai đường chéo

MN và PQ Chứng minh rằng nếu A và hai trung điểm B, C của hai cạnh đối diện MN và PQ nằm trên một đường thẳng thì MNPQ là hình thang hoặc là hình bình hành

Hướng dẫn

+ Đặt AM a

, AN b+ Biểu diễn MN PQ ,

theo a v b à 

Bài tập 3: Các đường thẳng p và p1 cắt nhau ở O trên p cho các điểmA, B, Cvà trên p1 lấy các điểm A1, B1, C1 sao cho AB1//A1B, BC1//B1C Chứng minh AC1 // A1C

Vậy A1C // C1A

Bài tập 4: Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lấy tương ứng các

điểm C1, A1, B1 sao cho 1 1 1

Tương tự với các trường hợp còn lại

Bài tập 5: Các điểm M, N, P, Q nằm tương ứng trên các cạnh AB, BC, CD và

DA của hình bình hành ABCD Lại có:

Biểu diễn MN MB BN (1m AB) m BC.

(1) Tương tự có: QP (1m DC)  m AD

Bài tập 7: Cho tứ giác ABCD và một điểm M Chứng minh rằng các điểm

đối xứng của điểm M đối với trung điểm các cạnh của tứ giác là đỉnh của hình bình hành

CHƯƠNG II: VECTƠ VỚI CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG MẶT PHẲNG

II.2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và gọi D là hình chiếu

của H trên AC Gọi I là trung điểm của HD Chứng minh rằng AI  BD

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD E, F là các điểm xác định bởi

Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong tam giác ba đường cao đồng quy

Để chứng minh 3 đường cao trong ABC đồng quy, ta chứng minh

AH  BC Nghĩa là ta chứng minh  AH BC 0

Thật vậy do BH  CA  BH CA  0

CH  AB CH AB   0Nên  AH BC   AH BC  BH CA CH AB 

Ví dụ 4: Cho 4 điểm A, B, C, D Chứng minh rằng:

AB  CD (1)  AC2 +BD2 = AD2 +BC2 (2)

Chứng minh

Từ (2) ta có:

(2)  (AC2 + BD2) – (AD2 + BC2) = 0  AC2 – BC2 + BD2 – AD2 = 0  (  AC BC AC )(  BC)(BD  AD BD)(  AD) 0  AB AC(  BC BD AD)0

AB2DC 0  AB DC 0

AB CD Vậy AB  CD  AC2 +BD2 = AD2 +BC2

Ví dụ 5: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi K là hình chiếu vuông góc của đỉnh

B trên đường chéo AC và M, N lần lượt là trung điểm của AK và CD Chứng minh rằng: BM  MN

Bài tập1: Cho tam giác cân ABC cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm

O Gọi M là trung điểm của AB, G1 là trọng tâm của tam giác ACM Chứng minh rằng OG1  CM

Hướng dẫn

1

123

OG ON OM

(N: trung điểm AC)

CM CA  AM

Bài tập2: Cho tư giác lồi ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của

các đoạn AC, BD, BC, AD và có MN = PQ Chứng minh AB  CD

Hướng dẫn

Ta cần chứng minh  AB CD  0

Đặt: AB a AC , c AD , d

Bài tập3: Cho tứ giác ABCD Biết độ dài đoạn thẳng nối trung điểm hai

đường chéo bằng độ dài đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện BC, AD Chứng minh rằng AB  CD

Bài tập 4: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi D là trung

điểm của cạnh AB và G là trọng tâm của tam giác ACD Chứng minh rằng nếu AB = AC thì OG  CD

Bài tập 5: Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau tại O Lấy M là một điểm bất kỳ

khác O kẻ MA vuông góc với a, MB vuông góc với b, AA1 vuông góc với b,

BB1 vuông góc với a Chứng minh rằng A1B1 vuông góc với OM

Vậy OM vuông góc với A1B1

Bài tập 6: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại

Bài tập 9: Cho tam giác ABC vuông tại A Trên các cạnh AB, BC, CA lần

lượt lấy M, N, E sao cho AM BN CE

MB  NC  EA Chứng minh AN  ME

Bài tập 10: Cho ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) D là trung điểm của

AB, E là trọng tâm tam giác ADC Chứng minh OE  CD

Bài tập 11: Cho tam giác ABC nội tiếp (O), ngoại tiếp (I) B’ là điểm đối xứng của B qua O (I) tiếp xúc với cạnh BA, BC tại P, Q Trên BA, BC lấy các điểm K, L sao cho BK = CQ, BL = AP Chứng minh B’I KL

CHƯƠNG III: VECTƠ VÀ CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH TRONG MẶT PHẲNG

+) Bước 1: Dự đoán yếu tố cố định

+) Bước 2: Dựa vào phương pháp vectơ để chứng minh

- Cho trước ba điểm A, B, C và ba số thực α, ,  thỏa mãn      Nếu 0

Đặc biệt     0 thì I là trọng tâm ABC

- Tương tự với trường hợp n điểm Ai , i1,n thỏa mãn

1

0

n i i







 thì đường thẳng MN sẽ đi qua một điểm cố định I thỏa mãn :

1IA1 2IA2   n IAn 0

0

n

i i i

 Tồn tại duy nhất điểm I cố định

Từ giả thiết ta nhận được

Vậy MN luôn đi qua điểm cố định I khi M thay đổi

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Điểm M, N trong mặt phẳng thỏa mãn

Chứng minh

a) Gọi I là điểm thỏa mãn IA5IB IC 0

 Tồn tại duy nhất điểm I cố định

Từ giả thiết ta nhận được:

5

MN MA  MB MC

   

= MI IA5MI  IB  MI  IC

= 5MI IA5IB IC

= 5MI

Vậy MN luôn đi qua điểm cố định I khi M thay đổi

b) Vì P là trung điểm của CN nên:

Vậy MP luôn đi qua điểm cố định J khi M thay đổi

Ví dụ 3: Cho góc xOy và hai số dương a, b Điểm A, B là hai điểm chạy trên

Ox, Oy sao cho a b 1

OA  OB  Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua

một điểm cố định

Chứng minh

Trên Ox lấy điểm X sao cho OX = a

Trên OY lấy điểm Y sao cho OY = b

Vậy AB đi qua điểm cố định K

Ví dụ 4: Cho ABC Các điểm I, J di động trên các cạnh AB, AC sao cho

3AJ

Gọi M là trung điểm của BC, G là giao điểm của AM và IJ

x

23

  

Vậy IJ luôn đi qua G, do đó IJ luôn đi qua một điểm cố định

a) Ta có KI là đường trung bình của tam giác MA’B’

KI cũng là đường trung bình của  CAB

Suy ra: AA’, CC’ giao nhau tại trung điểm N của mỗi đường

Vậy ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy tại trung điểm N của mỗi đường

b) chứng minh MN đi qua G