Bài báo sử dụng định lí điểm bất động Guo - Krasnoselskii trên một nón để chứng minh sự tồn tại nghiệm dương của bài toán giá trị biên ba điểm. Ngoài ra, sự tồn tại hai nghiệm dương phân biệt và tính compact của tập nghiệm dương của bài toán cũng được nghiên cứu.
Trang 1MỘT CHÚ THÍCH VỀ NGHIỆM DƯƠNG CỦA MỘT BÀI TOÁN BA ĐIỂM BIÊN
Lê Thị Phương Ngọc *
1 Giới thiệu
Trong bài báo này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên ba điểm sau :
, 1 0 )), ( , ( ) ( //
f t x t t t
), ( ) 1 ( , 0 ) 0 ( /
x x
trong đó , (0,1) và hàm số f cho trước thoả một số điều kiện thích hợp Tính giải được và các tính chất của nghiệm cho các bài toán giá trị biên ba điểm đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, xem [1 - 4] và các tài liệu tham khảo trong đó
Trong trường hợp 1, bài toán giá trị biên ba điểm (1.1) - (1.2) đã được
X Han [2] nghiên cứu Dựa trên phương pháp và các kỹ thuật được sử dụng trong [2], chúng tôi đã nêu được các điều kiện để bài toán (1.1) - (1.2) tồn tại một nghiệm hoặc hai nghiệm dương Hơn nữa, tính compact của tập nghiệm dương cũng được nghiên cứu
Xét không gian Banach C[0,1] với chuẩn max ( )
] 1 , 0 [ x t
x
t
và không gian Banach C2[0,1] với chuẩn max , / , //
Chúng tôi thành lập các giả thiết sau đây :
)
2 , 0 (
sao cho coscos 0
)
(H2 f :[0,1] [0, ) là hàm liên tục và thoả điều kiện :
)
, 0 [ ] 1 , 0 [ ) , ( , 0 )
, ( ) ,
Khi đó, bài toán (1.1) - (1.2) tương đương với bài toán :
*
ThS Trường Cao đẳng Sư phạm Nha Trang
Trang 2, 1 0 )), ( , ( ) ( )
// t x t g t x t t
).
( ) 1 ( , 0 ) 0 ( /
x x
Định nghĩa toán tử tuyến tính L:D(L)C2[0,1]C[0,1] bởi
,
2
//
x
x
Lx với x D (L), trong đó D(L)xC2[0,1]:x/(0)0,x(1)x()
Điều kiện (H1) bảo đảm toán tử L khả nghịch, vì vậy bài toán (1.3) - (1.4) được viết lại thành một phương trình tích phân tương đương Khi đó, ta có thể chứng minh (1.1) - (1.2) tồn tại nghiệm dương, bằng cách áp dụng định lí điểm bất động trên một nón sau đây của Guo - Krasnoselskii :
Định lí 1.1 (Xem [2]) Cho X là không gian Banach và K X là một nón Giả
sử 1, 2 là hai tập con mở, bị chặn của X với 01, 1 2 và giả sử
K K
A: (2 \1) là toán tử hoàn toàn liên tục thoả mãn một trong hai điều kiện sau :
)
(i Au u , uK 1, và Au u , uK 2,
hoặc
)
Khi đó toán tử A có điểm bất động thuộc K(2\1)
Bài báo gồm 4 mục Trong mục 2, chúng tôi trình bày các bổ đề cần thiết cho chứng minh các định lí chính ở mục 3 Trong mục 4, chúng tôi xét tính compact của tập các nghiệm dương
2 Các bổ đề
Xét bài toán biên ba điểm :
, 1 0 ), ( ) ( )
//
t
).
( ) 1 ( , 0 ) 0 ( /
x x
Bổ đề 2.1 Giả sử (H1) đúng Khi đó :
(i) Với mỗi h C[0,1], bài toán (2.1) - (2.2) có nghiệm duy nhất
Trang 3, 1 0 ), )(
( ) ( ) , ( ) ( 1 0
G t s h s ds Th t t t
ở đây
1 0
), 1 ( sin
1 0
), ( sin ) 1 ( sin ) cos cos
( cos
, 1 0
, 0
, 1 0
), ( sin )
,
(
1
s s
s s s
t
s t
t s s t s
t
G
(2.4)
Mặt khác :
(ii) 0G(t,s)M, (t,s)[0,1][0,1], (2.5)
cos cos
1 1
sin
M
(iii) T :C[0,1]C[0,1] là toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục;
(iv) Với mỗi h C[0,1], nếu h(t)0,t[0,1] thì (Th)(t)0,t[0,1]
Chứng minh
(i) Giải (2.1) bằng phương pháp biến thiên hằng số, kết hợp điều kiện biên (2.2), ta suy ra
, 1 0 , ) ( ) , ( ) ( 1 0
G t s h s ds t t
x
là nghiệm duy nhất của bài toán (2.1) - (2.2)
(ii) Từ (H1), (2.4) và chú ý đến các bất đẳng thức :
sin(ts) 0 , 0 st 1 ,
sin(1s)0, 0s1,
0sin(s)sin(s)sin(1s), 0s1,
ta suy ra được G(t,s)0,(t,s)[0,1] Tương tự, (t,s)[0,1],
) cos cos
(
sin sin
) cos cos
(
) 1 ( sin sin
)
,
Trang 4(iii) Rõ ràng T là toán tử tuyến tính liên tục
Tiếp theo, ta giả sử là tập con bị chặn của C[0,1]
Từ tính chất bị chặn của hàm G ( s t, ) trên [0,1], như ở (ii) ta suy ra T() bị chặn đều
Mặt khác, do tính liên tục đều của hàm G trên [0,1][0,1], ta có T() đẳng liên tục
Áp dụng định lí Ascoli - Arzela, ta có T() compact tương đối trong
]
1
,
0
[
C Suy ra T là toán tử hoàn toàn liên tục
Cuối cùng (iv) được suy ra dễ dàng từ tính chất G(t,s)0,(t,s)[0,1]
Bổ đề 2.1 được chứng minh
Bổ đề 2.2 Giả sử (H1) đúng và giả sử thêm
cos
sin
], , 0 [ ] 1 , 0 [ ) , ( , ) , (t s M0 t s G
) cos cos
(
cos
M
Chứng minh (t,s)[0,1][0,],
sin ( 1 ) sin )
cos cos
( cos
) ( sin ) 1 ( sin ) cos cos
(
cos )
, (
0
M
s s
t s
t G
Do (H1) và ,
cos
sin
]
, 0 [ ] 1 , 0 [ ) , ( , 0 )
,
G
Bổ đề 2.2 được chứng minh
Bổ đề 2.3 Tồn tại một hàm số liên tục :[0,1][0,) và một hằng số
)
1
,
0
(
c sao cho
]
1 , 0 [ , ), ( ) , ( )
c
Trang 5Chứng minh
Đặt (s)1s,H(t,s)(s)G(t,s)
Bước 1 Ta chứng minh nếu hằng số 0 được chọn đủ lớn thì
, 0 ) , (t s s t
H H(t,s)st 0 , (t,s) [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ].
Trường hợp 1 s[0,]
1a) Với mọi s t,
, sin ) cos cos
( 1
) ( sin ) 1 ( sin ) cos cos
(
cos )
, (
s t G
nên
) cos cos
(
sin )
1 (
) cos cos
(
sin )
1 ( )
, (
s t
Nếu ta chọn
) cos cos
)(
1 (
sin
1
thì H(t,s)s t 0
1b) Với mọi s t,
) cos cos
(
sin sin
1 ) 1 (
) cos cos
(
sin )
( sin 1 ) 1 ( )
, (
s t
cos cos
1 1
) 1 (
sin 1
2
M
thìH(t,s)s t 0
Trường hợp 2 s[,1]
2a) Với mọi s t,
), 1 ( ) cos cos
(
1 )
1 ( sin ) cos cos
(
cos )
,
Trang 6nên
cos cos
1 )
1 ( cos cos
1 )
1 ( )
,
s
t
Nếu ta chọn
cos cos
1
thì H(t,s)s t 0
2b) Với mọi s t,
cos cos
1 1
) 1 (
cos cos
) 1 ( )
1 ( ) 1 (
) cos cos
(
) 1 ( sin )
( sin
1 ) 1 ( )
, (
s
s s
s
s s
t s
s t
Nếu ta chọn
cos cos
1 1
4
thì H(t,s)s t 0
Chú ý rằng 1 2, 3 4. Từ đó, với * max2,4 ta có :
]
1 , 0 [ ) , ( ), , ( ) (
Đặt (s)*(s) Thế thì
]
1 , 0 [ ) , ( ), ( ) ,
G
Bước 2 Ta chứng minh nếu hằng số 0 được chọn đủ bé thì
, 0 ) , (t s s t
H H(t,s)st 0 , (t,s) [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ].
Trường hợp 1 s[0,]
1a) Với mọi s t,
), 1 ( sin ) cos cos
(
cos ) 1 (
) 1 ( sin ) cos cos
(
cos ) 1 (
) ( sin ) 1 ( sin ) cos cos
(
cos )
, (
s
s s
t s
t G
Trang 7nên
) cos cos
(
) 1 ( sin cos ) 1 (
) cos cos
(
) 1 ( sin cos ) 1 ( ) 1 ( )
, (
s t
Nếu ta chọn
) cos cos
(
) 1 ( sin cos ) 1 (
5
thì H(t,s)s t 0
1b) Với mọi s t,
)
cos cos
(
) 1 ( sin cos 1
) 1 ( sin ) cos cos
(
cos 1
) ( sin 1 ) 1 ( )
,
(
5
s
t
Nếu ta chọn 5 thì H(t,s)s t0
Trường hợp 2 s[,1]
Nếu s1, hiển nhiên G(t,s)0,(s)0 Khi đóH(t,s)0
Nếu s[,1) thì :
2a) Với mọi s t,
) cos cos
(
cos )
,
nên
) 1 (
) 1 ( sin cos cos
cos )
1 (
) cos cos
(
) 1 ( sin cos )
1 ( )
, (
s
s s
s s
s t
Vì hàm
z
z z
g( )sin giảm trên (0,] nên ,
) 1 (
) 1 ( sin ) 1 (
) 1 ( sin
s
s
do đó
) 1 (
) 1 ( sin cos cos
cos )
1 ( ) ,
s s
t
Trang 8Nếu ta chọn
) cos cos
( ) 1 (
) 1 ( sin cos 6
thì H(t,s)s t 0
2b) Với mọi s t,
)
1 (
) cos cos
)(
1 (
) 1 ( sin cos )
1 (
) cos cos
(
) 1 ( sin cos )
( sin 1 ) 1 ( )
, (
6
s s
s s
t s
s t
Nếu ta chọn 6 thì H(t,s)s t 0
Từ đó, với 0 * min5,6 ta có :
]
1 , 0 [ ) , ( ), (
* ) , ( ) (
* s G t s s t s
*
*
c Thế thì 0 c 1 và ta thu được :
]
1 , 0 [ ) , ( ), ( ) , ( )
c
Bổ đề 2.3 được chứng minh
Đặt
[0,1]: () 0, [0,1],
0 xC x t t
K
và với mọi xK0, đặt Fx(t)g(t,x(t)),t[0,1]
Khi đó, toán tử F:K0 K0 hoàn toàn được xác định và liên tục Đặt AT F. Khi đó ATF :K0 K0 là toán tử hoàn toàn liên tục Rõ ràng mỗi điểm bất động của A chính là một nghiệm dương của bài toán (1.1) -
(1.2) và ngược lại Đặt
[0,1]: () || ||, [0,1]
K
Dễ dàng chứng minh rằng K K0và K là nón dương trên C[0,1] Hơn nữa
Bổ đề 2.4 A(K)TF(K)K.
Chứng minh Với mọi xC[0,1],x0, ta có :
Trang 9], 1 , 0 [ , )) ( , ( ) ( ))
( , ( ) , ( ) ))(
( ( )
)(
(
1 0
1 0
T F x t G t s g s x s ds c s g s x s ds t t
Ax
].
1 , 0 [ , )) ( , ( ) ( ))
( , ( ) , ( max
||
||
1 0
1 0 ] 1 , 0 [
t ds s x s g s ds
s x s g s t G Ax
t
Nên (Ax)(t)c|| Ax||,t[0,1]
Bổ đề 2.4 được chứng minh
3 Sự tồn tại nghiệm dương
Trong mục này, ta sẽ xét ATF:K K. Từ các bổ đề trên, sự tồn tại
một nghiệm dương, hai nghiệm dương đã nghiên cứu trong [2] cũng đúng trong trường hợp mở rộng này Chứng minh các kết quả sau đây được thực hiện tương
tự như trong [2]
Giả sử
lim sup max ( , ), lim inf min (, ),
] 1 , 0 [ 0 0
] 1 , 0 [ 0 0
x
x t f f
x
x t f f
t x t
x
lim sup max (, ), lim inf min (, ).
] 1 , 0 [ ]
1 , 0
x t f f
x
x t f f
t x t
x
Định lí 3.1 Giả sử (H1),(H2) đúng và .
cos
sin
trường hợp sau xảy ra :
(i) f0 2, f , hoặc
(ii) f0 , f 2.
Khi đó bài toán (1 1) - (1.2) có ít nhất một nghiệm dương
Bổ sung các giả thiết sau đây :
)
(H3 f0 , f , và tồn tại 0 sao cho
, ) (
) , (
, 1 0
x t f x c t
ở đây 0 được chọn sao cho M 1
Trang 100 , f
f và tồn tại 0sao cho
, ) (
) , (
, 1 0
x c t
ở đây 0 được chọn sao cho M01
Định lí 3.2 Giả sử (H1),(H2)đúng và .
cos
sin
)
(H4 đúng
Khi đó bài toán (1 1) - (1.2) có ít nhất hai nghiệm dương
4 Tính compact của tập hợp các nghiệm dương
Định lí 4.1 Giả sử (H1),(H2) đúng và
cos
sin
.
0 f f
Khi đó tập hợp các nghiệm dương của bài toán (1 1) - (1.2) khác rỗng và compact
Chứng minh
Đặt
xK0:x Ax.
Như vậy, chính là tập các nghiệm dương của bài toán (1.1) - (1.2) Áp dụng định lí 3.1, ta có khác rỗng Ta sẽ chứng minh là tập compact
Bước 1 là tập hợp bị chặn đều
Chọn m 0 sao cho *m1 Từ giả thiết ta suy ra
].
1 , 0 [ , ) (
) , ( :
Với mọi x , với mỗi s[0,1] tuỳ ý, có hai trường hợp xảy ra :
R s
x( ) hoặc x(s) R
Nếu x(s)R thì
Trang 11), ( ) (
)) ( , (s x s 2 m x s
suy ra
)
( )) ( ,
Nếu x(s)R thì
, )) ( , (s x s g
ở đây là giá trị lớn nhất của g trên [0,1][0,R]
Suy ra với mọi x , ta luôn có
]
1 , 0 [ , ) ( )) ( ,
Thế thì x, t[0,1], chú ý rằng (s)*(1s)*, s[0,1] ta thu được
( ) * ( || || ), )
( ))
( , ( ) , ( )
(
1 0
1 0
G t s g s x s ds s mx s ds m x t
x
vì vậy
,
*
||
||
*
||
do đó
,
* 1
*
||
m
x
Nghĩa là là tập hợp bị chặn đều
Bước 2 là tập compact tương đối
Vì ATF:K0 K0 là toán tử hoàn toàn liên tục, K0 bị chặn đều nên A()là tập compact tương đối Ta lại có A() nên là tập compact tương đối
Bước 3 là tập đóng
Giả sử {x n} và x n ˆx, khi n
Khi đó
Trang 120
| ) ( ) (
| max ] 1 , 0
x n t x t
t
Suy ra t[0,1],
,
| )) ( , ( ) , ( )) ( , ( ) , (
|
| ) ( ) (
|
| )) ( , ( ) , ( ))
( , ( ) , (
|
| )) ( , ( ) , ( ) (
|
| ) ( ) (
|
| )) ( , ( ) ,
(
)
(
|
1 0
1 0
1 0
1 0
1
0
ds s x s g s t G s x s g s t G t
x t x
ds s x s g s t G ds s x s g s t G
ds s x s g s t G t x t x t x ds s x s g s
t
G
t
x
n n
n
n n
n
bởi tính liên tục củag,
, 0
| )) ( , ( ) , ( ) (
| 1 0
G t s g s x s ds t
Từ đó
,|
)) ( , ( ) , ( ) ( 1 0
G t s g s x s ds t
Nghĩa là là tập đóng Định lí 4.1 được chứng minh
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Y Chen, B Yan, L Zhang, 2007, Positive solutions for singular three-point boundary-value problems with sign changing nonlinearities depending on x’,
Electronic J Differential Equations, (63) (2007) 1–9
[2] X Han, 2007, Positive solutions for a three-point boundary value problem at resonance, J Math Anal Appl 336, 556–568
[3] R Ma, 1999, Positive solutions of a nonlinear three-point boundary value problem, Electronic J Differential Equations 1999 (34) 1–8
[4] Yong-Ping Sun, 2004, Nontrivial solution for a three-point boundary-value problem, Electronic J Differential Equations, 2004 (111) 1-10
Trang 13Tóm tắt
Một chú thích về nghiệm dương của một bài toán ba điểm biên
Bài báo sử dụng định lí điểm bất động Guo - Krasnoselskii trên một nón để chứng minh sự tồn tại nghiệm dương của bài toán giá trị biên ba điểm sau :
), ( ) 1 ( , 0 ) 0 (
, 1 t 0 )), ( , ( ) ( / //
x x
x
t x t f t x
trong đó , (0,1) và f thoả một số điều kiện thích hợp Ngoài ra, sự tồn tại hai nghiệm dương phân biệt và tính compact của tập nghiệm dương của
bài toán cũng được nghiên cứu
Abstract
Note on the positive solutions for a three-point boundary value problem
In this paper, we consider the three-point boundary value problem
), ( ) 1 ( , 0 ) 0 (
, 1 t 0 )), ( , ( ) ( / //
x x
x
t x t f t x
where , (0,1)and f C([0,1][0,),IR) is given Under some suitable assumptions on the functionf,we prove the existence and multiplicity of positive solutions of the problem Furthermore, the paper shows that the positive solutions set of the problem is compact The main tool is the Guo - Krasnoselskii's fixed point theorem in cones