Định lý tồn tại và duy nhất của bài toán ba điểm biên

~ XNguyên Ngọc An ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHÁT CUA BAI TOAN BA ĐIEM BIEN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 Nguyên Ngọc An ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHÁT CỦA BÀI TOÁN BA

~ X

Nguyên Ngọc An

ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHÁT

CUA BAI TOAN BA ĐIEM BIEN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009

Nguyên Ngọc An

ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHÁT CỦA BÀI TOÁN BA ĐIỂM BIÊN

Chuyên ngành : Toán Giải Tích

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin vô cùng cảm ơn PGS.TS Lê Hoàn Hoá, TS NguyễnVăn Đông và TS Lê Thị Phương Ngọc đã cung cấp tài liệu, tận tình hướngdẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các Giảng Viên thuộc hai trường ĐạiHọc Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và Đại Học Khoa Học Tự NhiênThành Phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy, hướng dẫn trong suốt quátrình học tập Xin được chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu và các ChuyênViên thuộc Phòng Khoa Học Công Nghệ-Sau Đại Học trường Đại Học SưPhạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi hoàn thànhkhoá học

Cuối cùng, tôi xin được cảm ơn các bạn học viên cùng lớp đã gắn bó,giúp đỡ tôi hoàn thành nhiệm vụ

Tp.Hồ Chí Minh, tháng 7 năm 2009

Tác giả,Nguyễn Ngọc Ân

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 : GIỚI THIỆU BÀI TOÁN 3

Chương 2 : sự TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BA DIÊM BIÊN 5

2.1 Giới thiệu bài toán 5

2.2 Kiến thức bổ trợ 5

2.3.Sự tồn tại nghiệm 8

2.4.Sự duy nhất nghiệm 14

2.5.VÍ dụ 20

Chương 3: sự TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM DƯƠNG CỦA BÀI TOÁN BA ĐIÉM BIÊN 21

3.1 Giới thiệu bài toán 21

3.2 Kiến thức bổ trợ 22

3.3 Sự tồn tại nghiệm dương 31

3.4 Sự tồn tại vô số nghiệm dương 39

3.5 Sự tồn tại duy nhất nghiệm dương 41

3.6 Ví dụ 44

KẾT LUẬN 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

MỞ ĐẦU

Phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng có nhiều úng dụngtrong thực tiễn, được áp dụng ở nhiều lĩnh vực như y học, xây dụng, kiến trúc,điện tử Bài toán ba điểm biên đã được rất nhiều nhà toán học quan tâm Sựtồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán ba điểm biên đã được nghiên cứu bởiA.R.Aftabizadeh - Chaitan P.Gupta - Jian-Ming Xu, D.Krajcinovic, D.J.0’Regan và các nhà toán học khác.về nghiệm dương của bài toán ba điểmbiên cũng đã có các nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước nhưYongping Sun, Xiaoling Han, Nguyễn Thành Long-Lê Thị phương Ngọc-LêXuân Trường

Từ việc nghiên cứu các tài liệu trên, luận văn này thiết lập những kết quả

về điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán ba điểm biên Sau đóxét sự tồn tại và duy nhất nghiệm dương của dạng bài toán ba điểm biên này.Mục đích nghiên cứu của luận văn là áp dụng định lỷ liên tục Leray-Schauder để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán ba điểm biên rồi chỉ

ra điều kiện duy nhất nghiệm Sau đó, áp dụng định lý điểm bất động củaGuo- Krasnoselskii và thuật toán lặp đon để chứng minh sự tồn tại nghiệmdưong và nhiều nghiệm dương Cuối cùng, luận văn chỉ ra trường hợp tồn tạiduy nhất nghiệm dương của bài toán ba điểm biên

Nội dung luận văn gồm có phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kếtluận Cụ thể như sau :

Phần mở đầuChương 1 : Giới thiệu bài toánChương 2 : Trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán ba

điểm biên

Chương 3 : Trình bày thêm sự tồn tại nghiệm dương và nêu lên trườnghợp có duy nhất nghiệm dương của bài toán ba điểm biên

Phần kết luận

Chương 1 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN

Trong luận văn này, ở phần đầu chúng tôi xét sự tồn tại và duy nhấtnghiệm của bài toán giá trị biên ba điểm phi tuyến sau :

u'" +j(ur).u" = g(x,u,u',u,r) + e(x) u'(ơ) = uỤ) = u(rj) = 0, 0<rj <1

và : u'" = g(x,u,u',u") + e(x)

u\ơ) = u”ự) = u(rj) = 0, 0<n<l

Trong đó, / e c ( , ) và g : [0; 1] X 3 -» thỏa điều

kiện

Carathéodory cho truớc

Chúng tôi áp dụng định lý liên tục Leray-Schauder để chỉ ra sự tồn tạinghiệm rồi chứng minh sự duy nhất nghiệm của bài toán

Trong phần tiếp theo, chúng tôi xét thêm về sự tồn tại nghiệm duơng

của bài toán giá trị biên 3-điểm sau:

x"(t) 0<t<\

x'(0) = 0, x(l)= ax(t]) Trong đó, 0 < a, rj < 1 và hàm số f cho trước thỏa một số điều kiện

thích hợp

Sau đó, chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm dương của

bài toán giá trị biên 3-điểm sau:

u” + h(t) = 0, 0 < t < 1 1/(0) = u( 1) = au{rị), với 0 < a, TỊ < 1.

Chúng tôi áp dụng định lý điểm bất động của Guo- Krasnoselskii vàdùng thuật toán lặp đơn để chỉ ra sự tồn tại nghiệm dương và nhiều nghiệm

dương của bài toán Để chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm dương, chúng

tôi giải trực tiếp phương trình và sử dụng thêm tính chất của hàm số lõm

Trong mỗi phần, chúng tôi sẽ trình bày tường minh các giả thiết trongphần định nghĩa, trình bày các kiến thức chuẩn bị Sau đó mới đi vào giảiquyết phần nội dung chính của đề tài là sự tồn tại nghiệm và sự duy nhấtnghiệm Cuối cùng, chúng tôi có trình bày thêm ví dụ minh hoạ

Chương 2

Sự TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BA ĐIỂM BIÊN

toán giá trị biên ba điểm phi tuyến sau :

u'" +J(ur).u" = g(x,u,u',urr) + e(x) (2.1)

u\ơ) = uỤ) = u(rj) = 0, 0<rj <1 (2.2)

uịO) = u"ự) = u(rj) = 0, 0<rj <1 (2.4)

) và g : [0;1] X 3 -> thỏa điều kiện Carathéodory,

(i) Với X e [0 ; 1] h.k.n, hàm u e 3 -> g(x, u) e liên tục.

(ii) Với mọi u e 3, hàm xe [0; 1 ] -> g(x, u) e đo được.

(iii) Với mọi r > 0, tồn tại hàm số thực gr(x) e Z/[0; 1 ] sao cho với

xe [0; 1] h.k.n, I g(x ,u) I < gr(x) với II u II < r

2.2 Kiến thức bổ trợ 2.2.1 Định nghĩa 2.2.1

*e[0;l] 2 J0

\\u II00 < — j I ur(x) I dx □

2 0Xét không gian //3(0;1) được định nghĩa như sau :

U<EL2[[0; 1 ]; ] : hoàn toàn liên tuc trên [0;1 ],j = 0,1,2

dx'

và e L2([0;1])} với chuẩn tưoug ứng

Với «<=tfs(0;l),||4f! = + [u\x)f +[u\x)Ỵ

Do đó có : u'(x) = 2ax + b và u"(x) = 2a

• Nếu u thỏa (2.2) tức u'(0) = u\ 1) = u(rj) = 0 thì:

2.3.Sự tồn tại nghiệm

Trong phần này, chúng ta vận dụng định lý liên tục Leray-Schauder(xem trong [6]) để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của các bài toán (2.1), (2.2) và(2.3), (2.4)

2.3.1 Định lý 2.3.1

Cho g : [0;l]x 3 —► thỏa điều kiện Carathéodory vàfeC( ; ).

(i) Tồn tại các hàm số a(x) e C^OỊI], b(x)f c(x)eC[0;l], Í/^GL^OỊI]

và các hằng so dưoĩig a0, b0, Co sao cho : a’(x) < aơ, b(x) >— bo, c(x) > -Co,

D(L) = { u e X/ u" hoàn toàn liên tục trên [0;1], u\0) = u'( 1) = u(rị) = 0 }

và với mỗi u e D(L), L(u) = ứ".

Đồng thời ta định nghĩa ánh xạ phi tuyến : N: X—* Yxác định bởi: (Nu)(x) = f(u'(x)) u"(x) - g(x, u(x), u’(x), u"(x)).

Chú ý rằng N là ánh xạ liên tục, bị chặn Dễ thấy ánh xạ tuyến tính L,

theo định nghĩa trên, là đơn ánh Tuơng tự nhu thế đối với ánh xạ tuyến tính:

K: Y—> X đuợc định bởi: Với mỗi y e Y:

(Ấy)(jc) = I J I y ( ĩ ) d r d s d t + — —J I y ( ĩ ) d ĩ d t

sao cho với mỗi ye Y, KyeD(L), LKy= y và với mỗi U&D(L), KLu = u, hơn

nữa theo định lý Arzela-Ascoli K biến mỗi tập con bị chặn của Y thành tập con compact tuơng đối trong X Vậy : KN: X—>Xlầ một ánh xạ compact.

Chúng ta chú ý rằng u e C^Oỉl] là một nghiệm của bài toán giá trị biên (2.1), (2.2) nếu và chỉ nếu u là một nghiệm của phương trình toán tử:

Lu + Nu = e Phương trình toán tử Lu + Nu = e tương đương với phương trình :

u + KNu = Ke

Áp dụng định lý liên tục Leray-Schauder ta thu được sự tồn tại nghiệm

của phương trình u + KNu = Ke hay của bài toán (2.1), (2.2).

Đe làm điều này, ta sẽ kiểm tra lại rằng tập tất cả các nghiệm của hệ

phương trình :

j u’"+ Ảfiụ') u" = Ầ g(x,u,u',u") + Ả e(x)y X e (0;1)

I u(rj) = u\0) = u'( 1) = 0, 0 < 7/ < 1 (2.5)

là bị chặn trong C2[0;1] bởi một hằng số độc lập với Ảe [0;1].

Cho u là nghiệm của (2.5) với Ả e [0; 1 ]

Vì u'(0) = u\\) = 0, từ Bổ đề 2.2.3, thay u, u' bởi u\ u" ta có :

||u’||* < (\hỉ) IIK"IIỉ

Từ Bổ đề 2.2.5, áp dụng bất đẳng thức Holder ta suy ra :

II u’ II00 < — \\u"\\ 2

Do u(rj) = 0 và Bổ đề 2.2.4, chúng ta có : IIMII ỉ < (4/ ĨI2) Mị II K' II2 < (4/ n2) Mị \u"ịl Nhân (2.5) với u' và lấy tích phân từ 0 đến 1, ta có :

Do đó, từ điều kiện (i) ta có :

-j [u"{x)Ỹdx > Ả j a(x)u' u"dx +Ả j b(x)[u'(x)fdx +Ả j c(x) I u u'\dx +

Tiếp tục áp dụng điều kiện (i), suy ra :

í" II 2 ^ 2[( — + Z?o)|| uf\\ 2 + c0 II »11 2 II t/' II 2 + Do 0 < Ả < 1 và các đánh giá trên, ta có :

Bây giờ, ta đặt: Mp = max I f{y) I, ve [ - p ,p ], do (2.1) ta có :

\u"'\ < \Ẩu')\ | W'\ + I g(x,u,u',u") I + I e(x) I

Và do điều kiện (ii) nên ta có :

II u'" II , < Mp II u" II 2 + J I g(x,u,u\u”) I dx+ II e II ,

0

< Mp p + J I a (x,u,u')\ I u" 12 dx + II p II , + II e II ,

0

< Mp.p+ p2 Kp+ II p IIJ+ IIeII , := P\

a(x,u,v) I trên [0;l]x [-p ; p ] X [-p ; yơ]

Hơn nữa, do «'(0) = u'( 1) = 0, theo định lý Lagrange, tồn tại số ệ e [0; 1] sao cho í/"(£) = 0 và u"(x) = I u"\t)dt, X e [0; 1 ].

£

Ta có: II II00 < ||I/"||J< P \

Vây, có môt hằng số c đôc lâp với ÃE [0; 1] sao cho : II u II 2 < c

I II c [0;1JĐịnh lý 2.3.1 đã được chứng minh □

Lập luận tương tự ta có Định lý 2.3.2 sau :

2.3.2 Định lý 2.3.2

Giả sử tất cả các điều kiện của Định lý 2.3.1 được thỏa mãn, ngoại trừ trong điều kiện (i) chủng ta giả thiết rằng a{x) e C[0;1], a(x) > -a0 và :

v.g(x,u,v,w) > a(x) | V w I + ồ(x) V2 + c(x) I u V I + í/(x) I V I Khi đó, bài toán (2.1), (2.2) có ít nhất một nghiệm nếu : a0 n + bữ 71 + 2 c0 Mn < TZ

Định lý 2.3.1 và 2.3.2 nêu tính giải được của bài toán (2.1) và (2.2) vói

mọi e(x) trong z/[0,l] Điều đó hiển nhiên rằng Định lý 2.3.1 cho phép giải

quyết được phương trình (2.1) với điều kiện biên không thuần nhất:

u'(0) =Ảị, u'(\) = Ả2, u{rf) =Ẩ3

2.3.4 HỆ quả 2.3.4

và w Giả sử tồn tại các số thực a0, bữ, Co > 0 với aữ 7T2 + bo 7T + 2 Co Mn

J^O,0,0,w) I (2.6)

e [0;1] h.k.n và mọi u,v,w e Thêm vào đó, giả sử tồn tại một hàm

liên tục :

vói mọi u,v,w e và X e [0;1]A.*»

Khỉ đó, vói mỗi e(x) GÌ.^0,1], bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm

Sử dụng phương pháp như trong Định lý 2.3.1, chúng ta chứng minhđược định lý sau đối với bài toán biên (2.3), (2.4):

2.3.5 Định lý 2.3.5

Cho g: [0,1] X 3 —>thỏa điều kiện Carathéodory Giả thiết rằng :

(i) Tồn tại các hàm a(x), b(x), c(i)eC[0;l], Ể/ộcỊeL^Oỉl] và các hằng

số dưong a0, bữ, c0 sao cho : a{x) >- aữ, b(x) > -b0, c(x) > -Co , Vi e [0;1].

và vói mọi u,v,w e , xe [0;1] h.k.rv.

Giả sử các điều kiện của hệ quả 2.3.4 được thỏa mãn, trừ điều kiện

a07T2 + b07T + 2 Co Mn < TỈ được thay bởi:

Cho g: [0,1] x 3 —> thỏa điều kiện Carathẻodory và A là một hằng

số Giả sử tồn tại các hàm a(x) e C^OỊI], b(x), c(x)eC[0;l] và các hằng số

dưong a0, b0, Co sao cho : a'(x) < a0, b(x) > -b0, c(x) > -Co vói xe [0; 1] h.k.n.

và vói mọi Ui, Vị, Wị e , i= 1,2 và xe [0;1] h.k.n:

(g(x,uI,vi,wi) -g(x,u2,v2,w2) ).( V1-V2) > a{x) (Wỉ- w2).( V1-V2) +

+ồ(x) (VI-V2)2+ C(X) I U\- u2 I I Vi- v2 I

Khi đó, với mọi e(x) eL'[0;l], bài toán (2.8), (2.9) có nghiệm duy nhất

Chứng minh

Giả sử U\ và u2 là hai nghiệm của (2.8), (2.9), ta có :

(Uị-^y+A (ux-u2)" = g{x,uvu[,u1)~ g(x,u2,u'2,un2) (2.12)

Nhân (2.12) với (Uị-U2y và lấy tích phân từ 0 đến 1, với chú ý rằng :

-J \y"Ỷ dx > j a{x)y"y'dx +1 b(x) \y'Ỷdx + j c(x) \yị I y’\ dx

Suy ra : [2 7T3 -(ứ0 +2 &o) 7T - 4 Co Mn ] J ly']2 dx<0

Hay : ||.y ||2 ^ 0 ( do 2 7T3 - (ứ0 +2 bo) 71 - 4 Co Mv > 0)

2.4.2 Định lý 2.4.2

Cho g: [0,1] X 3 — t h ỏ a điều kiện Carathéodory và A ỉà một hằng

số Giả sử tồn tại các hàm a(x), b(x), c ( x ) e

bữ, c0 sao cho : a(pc) >— a0, b(x) > -bữ, c(x) > -c0 với xe [0; 1 ] h.k.n và vói mọi

Ui, Vị, Wị e , i= 1,2 và xe[0;l] h.k.n:

(g(x,wi,vi,wi)-g(x,w2,v2,w2)).( V1-V2) > a(x) I Wi- w2\.\ V1-V2 I +

+b(x) (VI-V2)2+ C(X) I Uị- u2 I | Vi- v2 I Khi đó, vói mọi e(x)eLl[0;1], bài toán (2.8), (2.9) có nghiệm duy nhắt nếu:

aữ 7T2+ bữ 7T + 2 c0 Mn < 1Z Chứng minh

Giả sử U\ và u2 là hai nghiệm của (2.8), (2.9), ta có :

(ụi-u2)m+Ẩ (U1-U2)" = g{x,uvu[,u1)~g(x,u2,u'2,un2) (2.14)

và ( UI-U2)(TỊ ) =0; (ui- u2)'(0) = 0; («1-M2)'(l) = 0 (2.15)

Nhân (2.14) với (Uị-1/2)' và lấy tích phân từ 0 đến 1, với chú ý rằng :

Và : A Ị (Uỉ-U2)" (Uỉ-U2)'] dx = A ị (ui~u2y d(ui-u2y] = —1———

= 0

Ta có : -J [(ui-u2)"]2 dx = ị [g{x,ux,u[,u^)~g{x,u2,u'1,u2)'\{u\-u2)'dx

Đặt: y = U\-U2, từ giả thiết, ta có :

-J lỵ"]2 dx> Ị a(x) ịy”\.\y\dx + j b(x) lỵr]2dx + j c(x) \yị I y'\ dx

Hay: j [y"]2dx<a0Ị \y"\ \/\dx +boỊ \y'fdx + cữị ]y\.\ỷ\dx

Hay: \\y't ^\\yt^\\y"\\>^\\y"

Suy ra : [ 7T3 - Tt2 a0 -7T b0 - 2Co Mv ] \\y"f2 - 0

Do đó : II y"\\2 <0 (do aữ 7^+ bữ7T + 2 cữMn< 7T3)

22

Do Bổ đề 2.2.3 ta được : ||y||2 ^ 0

Từ đây, vì: IML ^ ML ^ 0nên : y(x) = 0

Do đó : U\(x) = u2(x), xe [0; 1] h.k.n Nhưng : /^(0;1) c= (^[O; 1 ] nên Uị(x) = u2(x), Vx e[0;l].

Định lý được chứng minh □

2.4.3 Định lý 2.4.3

Cho g: [0,1] X 3 —> thỏa điều kiện Carathéodory Giả sử tồn tại các hàm a(x), b(x), c(x) e C[0;1] và các hằng sổ dưong a0, b0, Co sao cho :

a(x) >-aQ, b(x) > -bo , |c(x)| < Co vói X e [0; 1] h.k.n.

Đồng thòi vói mọi Ui, Vị,Wị e , i= 1, 2 và xe [0;1 ] h.k.n:

(g(x,wi,Vi,Wi)-g(x,w2,v2,w2) ).( V1-V2) > a(x) I Wi-W2|.| V1-V2 I +

+ồ(x) (VI-V2)2+ C(X) I í/1-1/2 I I Vi- v2 I

Khi đó, vói mọi e(x) e x1[0; 1], bài toán (2.10), (2.11) có nghiệm duy

nhất nếu 2a0 7T2+ 4 bữ 7T + 8 c0 Mn < 7r3

Chứng minh

Giả sử U\ và u2 là hai nghiệm của (2.10), (2.11), ta có :

(Ui-U2)'" = g(x,ux ,u[ ,uỊ) - g(x,u2 ,u'2y2) (2.16)

Và ( Uị-U2)(tj ) =0; (ul-u2)'(0) = 0; (Uị-u2)"(\) = 0 (2.17)

Nhân (2.16) với (íU\- u2y và lấy tích phân từ 0 đến 1, với chú ý rằng :

Đặt: y = U\-U2, từ giả thiết, ta suy ra :

-j \y"Ỹ dx > -a0ị \y"\ | y'\dx - z>0 j Ịỵ'fdx -C0Ị [y| I /I dx

Nếu chúng ta giả sử rằng k2(x,y/) = 1 và a(x, iỊ/) = a(x) ịự + b{x) với

ứ(jc)eC'[0,l], ố(jc)eC[0,l] thì theo Định lý 2.3.1, bài toán biên này cónghiệm

Bây giờ, nếu chúng ta giả sử rằng k, aeC[[0;1] X , ] và tồn tại các

hàm c(x) e C[0,1], d(x)eLl[0,1] sao cho c(x) >-n và :

ìự\ a(x, ìịf) < c(x) ịụ/.ì/ị + d(x) 1^1

vói 0< a, rj < 1 và hàm số f cho trước thỏa một số điều kiện thích hợp.

Lấy p e (0,7t/2), rõ ràng bài toán (3.1), (3.2) tương đương với bài toán :

M0 = KC<iỵi n-a)sm/M->ì)

Chúng ta sẽ chỉ ra sự tồn tại nghiệm dương và nhiều nghiệm dương củabài toán (3.1), (3.2) bằng cách áp dụng định lý điểm bất động của Guo-Krasnoselskii và dùng thuật toán lặp đơn

Cuối cùng, chúng ta sẽ chỉ ra trường họp tồn tại và duy nhất nghiệmdương của bài toán ba điểm biên

Cho p e (0; j) Khi đó với môi h e C[0,1], tồn tại duy nhất hàm

e D(L) sao cho Lx = h trong C(0,1) Ở đây, hàm A(h) được xác định bởi:

A )~ D~

23

V smfl(l-s)-aúĩ\P(ri-s), 0 < s < r / +—cosptỵ? ^ sinp(l-s), -Ln_ X 77 <5 <1 (3.9)

Chứng minh

Giải phương trình : x"{t) + p2 x(í) = /ỉ(í)

(3.10)bằng phương pháp biến thiên hằng số, ta có :

Phương trình thuần nhất: x"(t) + p2 x(0 = 0

Phương trình đặc trưng : k2 + p2 = 0 cho kX2 = ±ỉp

Hai nghiệm riêng độc lập của phương trình thuần nhất là :

yi= cospt, y2 =

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là :

x = Ciyi + c2y2 hay x(t) = C\ cospt + c2 sinpt

Coi Cị, c2 là hai hàm số của t Đe nghiệm này là nghiệm của (3.10) thì ới(t)

và c2(t) phải thỏa hệ phương trình :