cung và góc lợng giác - mối quan hệ giữa các góc đặc biệt - các hệ thức cơ bản 1.. Định nghĩa tỷ số lợng giác của góc có số đo bất kỳ.. Cung và góc lợng giác… 3.. Bảng giá trị lợng giác
Trang 1Ôn tập học kỳ I.
I .Tóm tắt lý thuyết.
Tích vô hớng.
1 Định nghĩa: a b = | a |.|b | cos( a b )
2 Các tính chất:
3 Biểu thức toạ độ của tích vô hớng:
Cho a (x1;y1); b (x2; y2) khi đó: a b = x1.x2+y1.y2
Hệ quả:
2
2 2
2 1
2 1
2 1 2 1
y x y x
y y x x
+ +
+
2 Vì -1 ≤cos( a ,b )≤1 , ∀sđ( a ,b ) => -1≤ 2
2
2 2
2 1
2 1
2 1 2 1
y x y x
y y x x
+ +
+
≤ 1 ⇔
2
2 2
2 1
2
x + + ⇔ (x1x2+y1y2)2≤( )( 2)
2
2 2
2 1
2
(Bunhiacốpki với n = 2)
3 Điều kiện để góc tạo bởi hai véc tơ là góc tù là: cos( a b ) < 0 ⇔ a b < 0
4 Điều kiện để góc tạo bởi hai véc tơ là góc nhọn là cos( a b ) > 0 ⇔ a b > 0
4 Định lý hình chiếu:
Cho hai véc tơ: AB , CD ta có: AB CD = AB C ' D' trong đó C' và D' lần lợt là hình chiếu của C, D trên đờng thảnh chứa đoạn AB
cung và góc lợng giác - mối quan hệ giữa các góc đặc biệt - các
hệ thức cơ bản
1 Định nghĩa tỷ số lợng giác của góc có số đo bất kỳ
2 Cung và góc lợng giác…
3 Bảng giá trị lợng giác của các góc đặc biệt
4.Các hằng đẳng thức cơ bản
5 Dấu của các giá trị lợng giác
6 Giá trị lợng giác của các cung có liên quan đặc biệt
………
các dạng toán:
1 Tính giá trị của biểu thức lợng giác
2 Rút gọn
3 Chứng minh không phụ thuộc vào biến
-Hệ thức trong tam giác và trong đờng tròn.
Tiết 1-2
I Véc tơ:
Bài tập 1:
a.Ta có: 2AM=AH+AD ; BD=BH+HD do đó: 2AM.BD=(AH+AD)(BH+HD)
A
D
M
Trang 2C H B
= AH.BH+AHHD+ADBH+AD.HD
= AHHD+ADBH (vì AH.BH=AD.HD=0)
= AHHD+ADHC (Vì BH=HC )
= AHHD+(AH+HD)HC
=AHHD+HDHC
= HD(AH+HC)=HD.AC = 0
Vậy AM BD⊥
b
Theo giả thiết ta có: AA1//BB1//CC1 Gọi G1; G2; G3 lần lợt là trọng tâm của 3 tam giác: ABC1; BCA1; CAB1
Ta có: OG1 =OA+OB+OC1
1
1
1
Do đó : OG1−OG2 =OA−OA1+OC1−OC
Hay G2G1 =A1A+CC1
Tơng tự: G2G3 =BB1+A1A
Vì A1A//B1B nên BB1 =m.A1A ; Vì C1C//A1A nên CC1 =n.A1A
Vậy : G2G1 =A1A+nA1A = (1+n)A1A
G2G3 =m.A1A+A1A = (1+m) A A
1
n 1
m 1
G
G
+
+
=
Kết luận: ba điểm G1; G2 ;G3 thẳng hàng
-Tiêt 3
II Lợng giác.
Bài tập 1: Chứng minh rằng:
a
ga a
a a
a
sin
cot 4 cos 1
cos 1 cos 1
cos
+
−
−
−
Giải: VT=
a
ga a
a a
a a
a a
a
a a
a
sin
cot 4 sin
cos 4 cos
1
cos cos 2 1 cos cos 2 1 cos 1
cos 1 cos 1
cos 1
2 2
2 2
=
=
−
− +
− +
+
= +
−
−
−
Bài tập 2: CMR
a
a a
a
a a
sin 1
cos 1 cos sin
1 cos sin
+
= +
−
− +
Giải: VT=
a
a a
a
a a
sin 1
cos 1 cos sin
1 cos sin
+
= +
−
− +
Bài tập 3: CMR :
) cos 1 ( cos
1 sin
sin
a tga
+
=
−
Bài tập 4: Cho
=
=
=
2 1 3
2 1 2
1 1
cos cos
sin cos sin
α α
α α α
a a
a
CMR: a1+a2+a3 = 1
Rút gọn biểu thức lợng giác
cos
sin 1 [ cos ] sin
cos 1 [
a
a a
a a
Trang 3Giải: D = ]
cos
sin 1 [ cos ] sin
cos 1 [
a
a a
a
a
a + + + =| sina+ cosa| Bài 2: K =
a
a a
a
sin 1
sin 1 sin 1
sin 1
+
− +
− +
sin
) cos 1 ( 1 [
sin
cos 1
2
2
a
a a
a − − +
b a
b
2 2
2 2
cot cot sin
sin
sin
Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến số.
Bài 1: Cho α ; β thoả mãn :
=
= +
= +
β α
β α
β α
cos sin
1 sin cos
.
1
2 2 2 2
2 2 2 2
n m
n m
tg n tg m
Tìm hệ thức liên hệ giữa m, n mà không
phụ thuộc vào α ; β
Bài 2: Cho T = m.(cos8x - sin8x)+4(cos6x-sin6x)+n.sin4x
a Tìm m và n để T không phụ thuộc vào x
b Tính giá trị của T trong trờng hợp trên
Tính giá trị của biểu thức
Bài 1: Cho tgx- cotgx = 3 Tính giá trị của :
a tg2x+cotg2x ĐS: 11
b tgx+cotgx ĐS: ± 13
c tg4x - cotg4x ĐS: ±33 13
Bài 2: Cho tgx = 2 tính giá trị của:
A =
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
4 3
2 2 3
4
4 3
2 2 3
4
cos 3 cos sin 10 cos sin 2 cos sin 3 sin
.
5
cos 2 cos sin 4 cos sin 77 cos sin 5 sin
.
3
− +
− +
−
+
− +
47
30
− Bài 3:
Ta có: cos
7
5π = -cos
7 2π
Khi đó: B = -
cos-7
π cos
7
2π cos
7
4π
= -
7
sin
2
1
π (2 Sin
7
π cos 7
π )cos
7
2π cos
7 4π
= -
7
sin
4
1
π (2 Sin
7
2π cos
7
2π ) cos
7
4π
= -
7
sin
8
1
π (2 Sin
7
4π cos
7 4π )
= -
7
sin
8
1
π Sin
7
8π mà sin
7
8π = - sin
7 π
⇒ B =
8
1
-Tiêt 4:
Hệ thức lợng trong tam giác
Bài 1:
VT (1) =
) ca bc ab ( R 2 1
) C cos C sin 2 B cos B sin 2 A cos A sin 2
(
R
+ +
+ +
Trang 4=
ca bc ab
) C 2 sin B 2 sin A
2
(sin
R
2 2
+ +
+ +
=
ca bc
ab
C sin B sin A
sin
4
R
2 2
+
=
ca bc
ab
R 2
c R
2
b
R
2
a
R
8 2
+
+
(Theo định lý hàm số sin)
=
R ) ca
bc
ab
(
abc
+
+
Do đó đẳng thức (1) ⇔9abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)
Mà a+b+ccauchy≥ 33 abc
và ab+bc+cacauchy≥ 33 a2b2c2
⇒ (a+b+c)(ab+bc+ca) ≥ 9abc
Vậy 9abc = (a+b+c)(ab+bc+ca) khi và chỉ khi dấu “=” trong bất đẳng thức trên xảy ra ⇔ a = b = c ⇔ ∆ ABC đều