Tóm tắt giải gần đúng phương trình đa thức

Với n=3 và n=4 ta cũng có công thức nghiệm ựể giải phương trình f n x =0 công thức Cardano hoặc công thức Ferrari, nhưng các công thức ấy khá cồng kềnh, chứa nhiều căn thức, vì vậy không

Với n=3 và n=4 ta cũng có công thức nghiệm ựể giải phương trình f n( )x =0 (công thức Cardano hoặc công thức Ferrari), nhưng các công thức ấy khá cồng kềnh, chứa nhiều căn thức, vì vậy không thuận lợi trong sử dụng, và cũng chỉ tắnh ựược gần ựúng nghiệm thông qua tắnh gần ựúng căn thức

Với n ≥ 5 thì nói chung phương trình f n( )x =0 không giải ựược (không có công thức biểu diễn nghiệm qua các hệ số a a0, , ,1 a và các phép toán số học cơ bản Vì n

vậy phải xây dựng các phương pháp giải gần ựúng phương trình ựa thức f n( )x =0(không cần qua công thức nghiệm)

Mặc dù ựã có các phương pháp chung giải gần ựúng phương trình phi tuyến

f x = (phương pháp chia ựôi, phương pháp dây cung, phương pháp lặp, phương pháp tiếp tuyến và các cải biên), nhưng ựa thức có những ựặc thù riêng, vì vậy cần xây dựng các phương pháp giải số riêng cho ựa thức Hơn nữa, bởi vì không gian các hàm ựa thức trù mật trong không gian các hàm liên tục, nên nghiên cứu các tắnh chất của ựa thức và phương pháp giải chúng cũng có ý nghĩa quan trọng trong nghiên cứu các tắnh chất và phương pháp giải phương trình phi tuyến f x( )=0

để tìm hiểu các phương pháp giải gần ựúng phương trình ựa thức f n( )x =0, với sự hướng dẫn của PGS - TS Tạ Duy Phượng tôi ựã chọn ựề tài:

Ộ Giải gần ựúng phương trình ựa thứcỢ

Luận văn ựã trình bày phương pháp ựánh giá nghiệm của phương trình ựa thức và một số phương pháp giải gần ựúng phương trình ựa thức

Nội dung luận văn gồm hai chương:

Chương 1: đánh giá nghiệm của phương trình ựa thức

Trình bày số nghiệm của phương trình ựa thức và ựánh giá khoảng (miền) chứa nghiệm của phương trình ựa thức

Chương 2: Các phương pháp giải gần ựúng phương trình ựa thức

Trình bày các phương pháp chung giải gần ñúng phương trình ña thức và các phương pháp lặp tính tất cả các nghiệm của phương trình ña thức

NỘI DUNG

Chương 1

ðÁNH GIÁ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ðA THỨC

1.1 Số nghiệm của phương trình ña thức

1.1.1 Số nghiệm của phương trình ña thức trong một khoảng

Xét bài toán tìm số nghiệm thực của phương trình ña thức với các hệ số thực ( ) 1 2

có số nghiệm thực tối thiểu bằng nghiệm thực của ña thức f x Nếu ( ) f x chỉ có ( )

nghiệm thực thì mỗi nghiệm bội của h x( )=0cũng là nghiệm bội của f x ( )

ðịnh lí 1.1.1.2 (Obreshkov, 1963)

Giả sử ña thức f x và ( ) g x có bậc khác nhau tối thiểu là một bậc và không có ( )

nghiệm chung Khi ấy ñiều kiện cần và ñủ ñể các nghiệm của chúng là thực, phân biệt và tách nhau là ña thức h x( )=λf x( )+µg x( ) chỉ có nghiệm thực phân biệt với mọi số thực λ và µ

ðịnh lí 1.1.1.3 (Descartes)

Số N nghiệm dương của phương trình (1.1.1) nhỏ hơn hoặc bằng số lần ñổi dấu V trong dãy các hệ số của nó Nếu V − >N 0 thì V – N là một số chẵn

ðịnh lí 1.1.1.4

Nếu tất cả các nghiệm của phương trình (1.1.1) là thực, thì số nghiệm dương bằng

số lần ñổi dấu trong dãy các hệ số của f x Số nghiệm âm bằng số lần ñổi dấu ( )

trong dãy các hệ số của f ( )−x

ðịnh lí 1.1.1.5

Giả sử α >0, số nghiệm dương của phương trình (1.1.1) lớn hơn số α

không lớn hơn số lần ñổi dấu V trong dãy

ñược gọi là dãy hàm Fourier

Ký hiệu V x là số lần ñổi dấu của các hệ số trong dãy (1.1.2).( )

(−∞,0 ,) trong mỗi khoảng ( )0, 2 và ( )2,3 có một nghiệm, không có nghiệm nào nằm trong khoảng (3,+∞)

ðịnh lí 1.1.1.7 (Laguerre)

Giả sử chuỗi ( ) 2

0 1 2 n n

f x = +a a x+a x + +a x + với các hệ số thực hội tụ khi x <α. Khi ấy số không ñiểm của f x trong khoảng ( )

[0, )α không thể vượt quá số lần ñổi dấu trong dãy các hệ số Nếu số lần ñổi dấu là

hữu hạn và chuỗi hội tụ tại x=α, thì hiệu giữa số lần ñổi dấu của dãy hệ số và số không ñiểm của hàm f x là một số nguyên chẵn ( )

ðịnh lí 1.1.1.10

Số nghiệm của ña thức (1.1.1) trong khoảng ( )a b tối thiểu bằng , V a( )−V b( ) ,

trong ñó ( ) V a và ( ) V b là số lần ñổi dấu của dãy (1.1.3) tại x=a và x=b

ñổi của Argf z dọc theo ñường cong C với ñịnh hướng dương ( )

Cauchy là người ñầu tiên áp dụng nguyên lí Argumen ñể xác ñịnh số nghiệm của

f z a z −

=

=∑ = (1.1.4) trên một miền phức ñã cho Do ña thức không có cực nên nguyên lí Argumen ñược ñơn giản hóa Thật vậy, giả sử ña thức (1.1.4) không có nghiệm trên ñường cong

ñóng C và số các nghiệm nằm ở bên trong C là u u1, 2, ,u và các nghiệm ở bên k

ngoài C là v v, , ,v

Kí hiệu z−u p =r p(cosϕp+isinϕp), p=1, 2, , ;k

Vì f z( )=R(cosφ +isinφ)=P x( )+iQ x( ) nên

P x( ) Rcos ; Q x( ) Rsin ; tan P x( ) ( )

ψ = không thay ñổi giá trị (xem Hình 1.1) ðiều này có nghĩa là sau một

vòng quay của z trên , C argument của f z tăng ( ) 2kπ

ñường cong ñơn giản ñóng C bằng nửa hiệu số lần thay ñổi của Q

P từ âm sang dương và từ dương sang âm khi z quay một vòng quanh C

Hệ quả 1

Nếu ña thức f z và g(z) thỏa mãn bất ñẳng thức |( ) f z |>|g(z)| trên ñường cong ( )

ñóng C thì phương trình f z( )=0 và f z( ) ( )+g z =0 có cùng số nghiệm bên trong

Khi ñó ña thức f z có ñúng p nghiệm nằm trong ñĩa ñơn vị ( ) C( )0;1 ={z z: <1 }

0 1 p 1 p p 1 p n n 0

F z = a + a z+ + a − z − + a + z + + + a z =

có hai nghiệm dương , ,α β α β< , khi ñó ña thức f z có ñúng p nghiệm trong ñĩa ( )

z ≤α và không có nghiệm trong miền α < <z β

định lắ 1.1.2.2 (Biehler, 1879, Hermite, 1879)

Nếu phương trình f z( )=U z( )+iV z( ) có nghiệm chỉ nằm về một phắa của trục thực, trong ựó U(z) và V(z) là các ựa thức thực, thì các nghiệm của phương trình U(z)=0 và V(z)=0 là thực và ựôi một tách nhau

Nếu các nghiệm của ựa thức thực U(z) và V(z) chỉ có nghiệm thực và ựôi một tách nhau thì nghiệm của phương trình f z( )=U z( )+iV z( ) nằm về một phắa của trục thực.

1.2 đánh giá khoảng (miền) chứa nghiệm của ựa thức

1.2.1 đánh giá khoảng chứa nghiệm của ựa thức

là một ựa thức bất kỳ Khi ấy mọi không ựiểm của nó nằm trong ựĩa tròn có tâm tại

gốc tọa ựộ và bán kắnh là nghiệm thực ựơn dương của phương trình

ðịnh lí 1.2.2.7 (Joyal, Labelle và Rahman, 1967)

Nếu B=max(a j : 0≤ < −j n 1) thì mọi nghiệm của ña thức

, 1

j j

∑  Mọi nghiệm của ña thức (1.2.2) chứa trong hình tròn

z ≤k , trong ñó k≥max 1,( a n−1) là nghiệm của phương trình

ðịnh lí 1.2.2.9 (Joyal, Labelle, Rahman, 1967)

Nếu a n≥a n−1≥ ≥ a0, thì mọi nghiệm của ña thức

Bảng 1.4

1.2.3 đánh giá cận trên và cận dưới nghiệm dương của ựa thức

n n

c S

c c

y Dx A

=

= + ∑

Chương 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ðÚNG

2.1.1 Phương pháp Horner

Giả sử nhờ một cách nào ñó, thí dụ bằng phương pháp bảng ta biết phần nguyên của nghiệm của phương trình (2.1.1) Khi ấy nhờ một phép ñổi biến ta ñi tìm phần thập phân thứ nhất, thứ hai,…cho tới ñộ chính xác cần thiết

3

+

Phương pháp Lobasepskii-Graeffe dựa trên kĩ thuật bình phương nghiệm Một

trong những ưu ñiểm của phương pháp bình phương nghiệm là cho phép không cần

biết trước khoảng chứa các nghiệm thực, số nghiệm thực và không cần tách nghiệm

Tất cả các bài toán này ñược tự ñộng giải quyết trong quá trình tính toán không phức

tạp, chủ yếu là trên các phép toán cộng, trừ nhân các số Phương pháp bình phương

nghiệm cho phép tìm tất cả các nghiệm (kể cả nghiệm phức) của phương trình

Dãy lặp trong giải số của phương trình ñại số với các nghiệm thực ñơn theo

phương pháp Laguerre ñược xác ñịnh bởi Z x( )= −x φ( )x , (2.1.4)

nf x x

′ ± −  − ′ − ′′ 

ðịnh lí 2.1.5.1

Thậm chí trong trường hợp nghiệm phức, dãy lặp Laguerre xác ñịnh bởi (2.1.4)

hội tụ cấp ba tới một nghiệm ñơn của f z nếu ( ) z0 ñủ gần 1

ðịnh lí 2.1.5.2 (Kahan, 1967)

Nếu f z là ña thức bậc n thì trong dãy lặp Laguerre tồn tại ít nhất ( )

một nghiệm α thỏa mãn

1 2

Phương pháp Lagurre hội tụ tuyến tính tới nghiệm α bội p

Ký hiệu theo công thức

Giả sử f ( )0 ≠0 Nếu cho một số h, 0< <h k , T hf ( )0 <0, thì f có nghiệm nằm

ở bên trong ñường tròn ñơn vị Nếu T if ( )0 >0 với 1 i≤ <k và k 1 ( )

T − f z  là

hằng số, thì f không có nghiệm nằm ở bên trong của ñường tròn ñơn vị

2.2 Các phương pháp lặp tính tất cả các nghiệm của ña thức

2.2.1 Phương pháp lặp không sử dụng ñạo hàm

gần bằng các không ñiểm này và giả sử ( ) ( )

1

n

k j j

=

=∏ − thì cho , 1, 2, , ,

n

α

< ≤

+ trong ñó

trong ñó A1 là nghiệm của phương trình 1

1 1

Phương pháp sau ñây là của Petkovic và Stephanovic (1987):

Gauss-Seidel Trong phương pháp này, thế 1 ( )

Ví dụ 2.2.3.1 Dưới ñây xét hiệu quả của sơ ñồ lặp (2.2.8) và (2.2.9) cho ña thức

phương pháp (2.2.9) hội tụ bậc hai

KẾT LUẬN

Quá trình nghiên cứu ñã ñạt ñược những kết quả sau:

• Trình bày các ñánh giá về số nghiệm (thực hoặc phức) của ña thức trên một khoảng hoặc trên một miền và các ñánh giá về khoảng (miền) chứa nghiệm của ña thức

• Trình bày các phương pháp số giải phương trình ña thức, từ các kết quả cổ ñiển (phương pháp Horner, Lagrange, Lobasepskii-Graeffe), ñến các kết quả gần ñây theo tài liệu [4]

Do thời gian có hạn, bản luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận ñược sự ñóng góp của quý Thầy Cô và các bạn Tôi xin chân thành cảm ơn!