Tóm tắt luận văn thạc sĩ xây dựng một số bất đẳng thức sơ cấp dựa trên bất đẳng thức bernoulli

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---BÙI TRỌNG NGUYỆN XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC... ĐẠI HỌC QU

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-BÙI TRỌNG NGUYỆN

XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-BÙI TRỌNG NGUYỆN

XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN

Hà Nội - Năm 2014

MỞ ĐẦU

Toán học là một môn khoa học đóng vai trò rất quan trọng trong cácngành khoa học Trong đó, bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thứchay và thú vị nhất của toán học đặc biệt của toán sơ cấp Việc nghiên cứu vềbất đẳng thức giúp tăng cường tính sáng tạo, khả năng giải quyết vấn đề vàphát triển tư duy Lý thuyết cũng như các bài tập về bất đẳng thức rất phongphú và đa dạng Trong hầu hết các kì thi học sinh giỏi toán, các bất đẳng thứcđều được đề cập và thuộc loại toán khó hoặc rất khó Nhiều bất đẳng thức đãtrở thành công cụ đắc lực để giải quyết các bài toán đó như bất đẳng thứcCauchy, Bunhiacopxki, Jensen… trong khi đó bất đẳng thức Bernoulli thường

ít được quan tâm Là một người cũng rất say mê bất đẳng thức sơ cấp nhưngtác giả cũng biết không nhiều về bất đẳng thức này Vì vậy, tác giả đã lựa

chọn đề tài "Xây dựng một số bất đẳng thức sơ cấp dựa trên bất đẳng thức

Bernoulli" với mong muốn tìm ra nhiều vẻ đẹp của bất đẳng thức này để có cái

nhìn tổng quan và đầy đủ hơn về bất đẳng thức sơ cấp cũng như để cung cấpthêm một tài liệu tham khảo bổ ích về toán học trong các trường THPT hiệnnay

Với ý nghĩa đó trong quá trình làm luận văn, tác giả đã xây dựng và lựachọn các bài toán hay nhằm làm nổi bật lên mặt mạnh của bất đẳng thứcBernoulli Luận văn được chia thành ba chương

Chương 1 Bất đẳng thức Bernoulli Trong chương này tác giả trình bày vềbất đẳng thức Bernoulli và các dạng phát biểu khác cùng một số ví dụ thể hiệncác kỹ thuật cơ bản của bất đẳng thức Bernoulli

Chương 2 Một số bất đẳng thức được xây dựng dựa trên bất đẳng thứcBernoulli Tác giả trình bày ý tưởng xây dựng bài toán từ bất đẳng thứcBernoulli thông qua các ví dụ cụ thể Từ đó trình bày hệ thống bài tập

Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng chắc chắn nội dung được trình bày trong luận văn không tránh khỏi thiếu sót, em mong muốn nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn chỉ bảo của thầyPGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Em xin chân thành cảm ơn thầy về sự giúp đỡnhiệt tình từ khi xây dựng đề cương, viết và hoàn thành luận văn

Em xin chân thành cảm ơn khoa Toán-Cơ-Tin học, trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, ĐHQG Hà Nội, nơi em đã nhận được sự chỉ bảo tận tìnhcủa các thầy cô để có một học vấn sau đại học căn bản

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã đọc và góp những

ý kiến quý báu để em hoàn thiện hơn luận văn của mình

Em xin chân thành cảm ơn trường THPT Trưng Vương, Hưng Yên, nơi

em công tác, đã tạo điều kiện cho em đi học hoàn thành chương trình

Cuối cùng, em xin gửi lời chúc đến tất cả các thầy các cô, kính chúc thầy cô luôn luôn mạnh khỏe và hạnh phúc

Chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 01 tháng 10 năm 2014

Người thực hiện

Bùi Trọng Nguyện

1.2.1 Kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa 6

2.3.1 Một số bài toán trong tam giác 52

2.3.2 Một số bài toán trong lượng giác 592.4 Về bất đẳng thức AM-GM suy rộng 61

Định lí 1.1 1 Nếu α là một số thực thỏa mãn  1 thì

1 x 1 x

    , với mọi x  1 (1.1)Đẳng thức xảy ra khi x=0 hoặc  1

Đẳng thức xảy ra khi a 1 hoặc  1

Định lí 1.3 Cho hai số thực  , thỏa mãn    0 Khi đó

x  1 .x

  

  , với mọi x 0. (1.3)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1.

Định lí 1.4 Giả sử cho trước x >0 và cặp số 0  ,  thỏa mãn điều kiện

1.2.1 Kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa.

Ví dụ 1.2.1 Giả sử a, b là hai số thực dương Chứng minh rằng

b c  c a  a b 

Ví dụ 1.2.4 Giả sử a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a b c 3

2

   Chứng minh rằng

Ví dụ 1.2.10 Giả sử có n số dương a , a , ., a n 2 1 2 n   Chứng minh rằng

i

n n

a j

1.2.2 Kỹ thuật chọn điểm rơi.

Ví dụ 1.2.11 Giả sử x, y 0 thỏa mãn x2 y2 1 Chứng minh rằng

2 N x n yn, với n 3 cho trước

Ví dụ 1.2.13 Giả sử x, y 0 thỏa mãn x y 2.  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ví dụ 2.1.6 Giả sử a, b, c là các số thực dương và  , là hai số thực thỏa

Một số bài tập về xây dựng hàm đơn điệu.

Bài 2.1.1 Giả sử a, b, c là số đo cạnh của một tam giác và  , là hai số thực thỏa mãn   1 Chứng minh rằng

Bài 2.1.3 Giả sử a, b, c, , là các số dương,   Chứng minh rằng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b

Mệnh đề 2.2.3 Giả sử a, b, c là ba số thực dương Khi đó ta luôn có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Mệnh đề 2.2.4 Giả sử a, b, c là ba số thực dương Khi đó ta luôn có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Ví dụ 2.2.2 Giả sử a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn ab bc ca 1   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

x x  x  a  a  a 

      

Ví dụ 2.2.7 Giả sử a, b, c là các số dương thỏa mãn a 5, a b 8,  

Một số bài toán được xây dựng theo cách trên.

Bài 2.2.11 Giả sử ba số thực x, y, z thỏa mãn

x 2, x y 3, x y z 4      Chứng minh rằng

Bài 2.2.13 Giả sử hai số thực x,y thỏa mãn x 3, x y 4   Chứng minh rằng

Bài 2.2.15 Giả sử a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn a 6, a b 11, 

Bài 2.2.21 Giả sử bốn số thực a, b, c, d 0 thỏa mãn a b c d 1    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  0 hoặc  1

2.3.1 Một số bài toán trong tam giác

Ví dụ 2.3.1 Cho tam giác ABC có hai góc A, B nhọn và thỏa mãn điều kiện

Ví dụ 2.3.2 Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C thỏa mãn điều kiện

3 sin A sin B sin C  sin A sin A sin B sin C  sin B 

sin A sin B sin Csin C 5

2.4 Về bất đẳng thức AM-GM suy rộng

2.4.1.Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli để chứng minh BĐT AM-GM suy rộng.

Mệnh đề 2.4.1 Giả sử a,b 0;  , > 0 và    1 Chứng minh rằng

3

1 1a 2 2a 3 3a a a a 1   2 3 

Mệnh đề 2.4.4.(Bài toán tổng quát) Giả sử n số không âm a , a , , a với 1 2 n

mọi n 2 và n số dương 1, , , 2 n thỏa mãn   1 2+ + n 1

Ví dụ 2.4.1 (Bất đẳng thức Yuong) Giả sử a, b không âm và p, q thỏa mãn

Ví dụ 2.4.5 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh rằng

1  tan A tan B tan C   3

tanA tanB tanC  3 3

2      

3 3 2 sin A sin B sin C 2

sin A sin B sin C

cosA cos B cosC

3

 

  

 

Ví dụ 2.4.6 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh rằng

3 3 tan A tan B tan C 1

cosA cos B cosC

sin A sin B sin C

Kết luận

Trong luận văn này, tác giả đã trình bày được những vấn đề cơ bản sau

1) Nhắc lại bất đẳng thức Bernoulli và các phát biểu khác của bất đẳng thức Trình bày được hai kỹ thuật cơ bản trong sử dụng bất đẳng thức Bernoulli

2) Trình bày được các ý tưởng và các phương pháp cụ thể để xây dựng bất đẳng thức mới dựa trên bất đẳng thức Bernoulli

3) Vận dụng bất đẳng thức Bernoulli để xây dựng lại một số bất đẳng thức cổ điển và xây dựng được hệ thống bài tập theo các nội dung

Tài liệu tham khảo

1 Phạm Kim Hùng (2006), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri Thức

2 Phan Huy Khải, Trần Hữu Nam (2009), Bất đẳng thức và ứng dụng,

NXB Giáo Dục Việt Nam

3 Nguyễn Văn Mậu (2007), Các bài toán nội suy và áp dụng, Nhà Xuất

Bản Giáo Dục

4 Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức định lí và áp dụng, Nhà Xuất

Bản Giáo Dục

5 Nguyễn Vũ Lương, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2006), Các

bài giảng về bất đẳng thức Côsi, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.

6 Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Thắng (2007), Các bài giảng về bất

đẳng thức Bunhiacopxki, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội

7 T.Andreescu, R.Gelca, Mathematical Olympial Challenges-2001,

Birkhauser Boston, Second printe, United States of America