Xây dựng một số bất đẳng thức sơ cấp dựa trên bất đẳng thức bernoulli

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---BÙI TRỌNG NGUYỆN XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-BÙI TRỌNG NGUYỆN

XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP

DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-BÙI TRỌNG NGUYỆN

XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP

DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN

Hà Nội - Năm 2014

MỞ ĐẦU

Toán học là một môn khoa học đóng vai trò rất quan trọng trong các ngành khoa học Trong đó, bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức hay và thú vị nhất của toán học đặc biệt của toán sơ cấp Việc nghiên cứu về bất đẳng thức giúp tăng cường tính sáng tạo, khả năng giải quyết vấn đề và phát triển tư duy Lý thuyết cũng như các bài tập về bất đẳng thức rất phong phú và đa dạng Trong hầu hết các kì thi học sinh giỏi toán, các bất đẳng thức đều được đề cập và thuộc loại toán khó hoặc rất khó Nhiều bất đẳng thức đã trở thành công cụ đắc lực để giải quyết các bài toán đó như bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki, Jensen… trong khi đó bất đẳng thức Bernoulli thường

ít được quan tâm Là một người cũng rất say mê bất đẳng thức sơ cấp nhưng tác giả cũng biết không nhiều về bất đẳng thức này Vì vậy, tác giả đã lựa

chọn đề tài "Xây dựng một số bất đẳng thức sơ cấp dựa trên bất đẳng thức

Bernoulli" với mong muốn tìm ra nhiều vẻ đẹp của bất đẳng thức này để có

cái nhìn tổng quan và đầy đủ hơn về bất đẳng thức sơ cấp cũng như để cung cấp thêm một tài liệu tham khảo bổ ích về toán học trong các trường THPT hiện nay

Với ý nghĩa đó trong quá trình làm luận văn, tác giả đã xây dựng và lựa chọn các bài toán hay nhằm làm nổi bật lên mặt mạnh của bất đẳng thức Bernoulli Luận văn được chia thành ba chương

Chương 1 Bất đẳng thức Bernoulli Trong chương này tác giả trình bày về bất đẳng thức Bernoulli và các dạng phát biểu khác cùng một số ví dụ thể hiện các kỹ thuật cơ bản của bất đẳng thức Bernoulli

Chương 2 Một số bất đẳng thức được xây dựng dựa trên bất đẳng thức Bernoulli Tác giả trình bày ý tưởng xây dựng bài toán từ bất đẳng thức Bernoulli thông qua các ví dụ cụ thể Từ đó trình bày hệ thống bài tập

Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng chắc chắn nội dung được trình bày trong luận văn không tránh khỏi thiếu sót, em mong muốn nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn chỉ bảo của thầy PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Em xin chân thành cảm ơn thầy về sự giúp đỡ nhiệt tình từ khi xây dựng đề cương, viết và hoàn thành luận văn

Em xin chân thành cảm ơn khoa Toán-Cơ-Tin học, trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, ĐHQG Hà Nội, nơi em đã nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô để có một học vấn sau đại học căn bản

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã đọc và góp những

ý kiến quý báu để em hoàn thiện hơn luận văn của mình

Em xin chân thành cảm ơn trường THPT Trưng Vương, Hưng Yên, nơi

em công tác, đã tạo điều kiện cho em đi học hoàn thành chương trình

Cuối cùng, em xin gửi lời chúc đến tất cả các thầy các cô, kính chúc thầy cô luôn luôn mạnh khỏe và hạnh phúc

Chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 01 tháng 10 năm 2014

Người thực hiện

Bùi Trọng Nguyện

1.2.1 Kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa 6

1.1 Bất đẳng thức Bernoulli

Jacob Bernoulli (1654-1705) là nhà toán học nổi tiếng người Thụy Sĩ Bất đẳng thức Bernoulli được dạy trong trường phổ thông mang tên này để vinh danh ông Bất đẳng thức Bernoulli cho phép tính gần đúng lũy thừa của (1+x), được phát biểu như sau

Định lí 1.1 1 Nếu α là một số thực thỏa mãn α ≥1 thì

(1 x+ )α ≥ + α1 x, với mọi x> −1 (1.1)Đẳng thức xảy ra khi x=0 hoặc α =1

2 Nếu α là một số thực thỏa mãn 0< α ≤1 thì

(1 x+ )α ≤ + α1 x, với mọi x> −1

Đẳng thức xảy ra khi x=0 hoặc α =1

Chứng minh 1 Chỉ cần xét α >1,vì khi α =1thì (1.1) trở thành đẳng thức.Xét hàm số f (x)= +(1 x)α− α −.x 1 trên khoảng ( 1;− +∞). Ta có đạo hàm

f(0)Theo bảng biến thiên của hàm số, ta suy ra

f (x) f (0) 0,≥ = hay (1 x+ )α ≥ + α1 x với mọi x> −1

( )

1+ α ≥ +.x 1 x αVậy

(1 x+ )α≤ + α1 x với mọi x > −1

Định lí được chứng minh

Định lí 1.2 1 Nếu αlà một số thực thỏa mãn α ≥1 thì

aα + α − ≥ α1 a, với mọi a 0.> (1.2)Đẳng thức xảy ra khi a 1= hoặc α =1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1.=

Để sử dụng bất đẳng thức Bernoulli cho trường hợp đảm bảo chắc chắn rằng đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x x= 0, với x là một số dương cho trước, ta 0

chỉ cần thay bởi bất đẳng thức trong định lý sau đây

Định lí 1.4 Giả sử cho trước x >0 và cặp số 0 (α β, ) thỏa mãn điều kiện

Các dạng toán đặc trưng của bất đẳng thức Bernoulli rất dễ nhận ra vì đó là bất đẳng thức với những số mũ vô tỉ dương hay sự chuyển đổi số mũ vô tỉ Kỹ thuật chủ yếu để xử lí dạng toán đó là kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa Xét các ví dụ điển hình sau đây.

Ví dụ 1.2.1 Giả sử a, b là hai số thực dương Chứng minh rằng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b.=

Ví dụ 1.2.2 Giả sử a, b, c là ba số thực dương Chứng minh bất đẳng thức

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c.= =

Ví dụ 1.2.3 Giả sử a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a b c 3

Ví dụ 1.2.4 Giả sử a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a b c 3.

2

+ + = Chứng minh rằng

trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp, h , h , h là độ dài đường cao a b c

tương ứng với đỉnh của tam giác ABC

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều

Ví dụ 1.2.6 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng

Lời giải Phát biểu của bài toán gợi cho ta nhớ đến kết quả quen thuộc sau

2 2 2 9sin A sin B sin C

4

Như vậy ta đánh giá thông qua số mũ 2 Vì A, B, C là ba góc của tam giác ABC nên sin A 0, sin B 0, sin C 0.> > > Ta suy ra

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

Ví dụ 1.2.7 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng với mọi số thực 0 k 1< < ,

n n

a j

……….………;

1.2.2 Kỹ thuật chọn điểm rơi.

Khi áp dụng bất đẳng thức Bernoulli thì việc áp dụng sao cho đẳng thức xảy

ra là điều quan trọng, đặc biệt là bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Bernoulli

Ví dụ 1.2.11 Giả sử x, y 0> thỏa mãn x2 +y2 =1 Chứng minh rằng

4 2

4x + ≥1 4x ;

4 2

4y + ≥1 4y Cộng hai bất đẳng thức trên theo vế, ta được

Ví dụ 1.2.12 Giả sử x, y 0> thỏa mãn x2 +2y2 =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 M x= 3 +y3

2 N x= n + yn, với n 3≥ cho trước

Lời giải 1 Giả sử tồn tại x , y0 0 >0 sao cho x20 +2y20 =1 để M x= 3+y3 đạt giá trị nhỏ nhất tại đó Ta suy ra

{ 3 3} 3 3

0 0

min M min x= +y =x +y ;

x, y 0> ;

1 2 − 4

=+ ,

n 2 0

n 2

2y

1 2 − 4

=+ ,

n 2

n 2

2y

0 0 3

Giải hệ phương trình ta tìm được x0 = −3 3, y0 = 3 1−

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c.= =

Nhận xét Vế trái và vế phải của bất đẳng thức trong Ví dụ 2.1.1 được biểu thị

Từ đó, ta có một ý tưởng để xây dựng bất đẳng thức về hàm đơn điệu qua Ví

      là hàm số đơn điệu tăng trên (0;+∞).

Khi đó với mọi ,α β∈ +∞(0; ) sao cho α ≥ β, ta luôn có

Nhận xét Vì bất đẳng thức đúng với mọi ,α β∈ +∞(0; ) sao cho α ≥ β nên

bằng phương pháp đặc biệt hóa ta sẽ xây dựng được rất nhiều bất đẳng thức

trong các trường hợp riêng

Ví dụ 2.1.3 Giả sử a, b, c là số đo ba cạnh một tam giác Chứng minh rằng

Hay

− + −

(p b) (p c) a(p b)(p c)

− + −

(p a) (p c) b(p a)(p c)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= =

Từ ví dụ trên ta xây dựng bất đẳng thức mới qua Ví dụ 2.1.4 sau

Ví dụ 2.1.4 Giả sử a, b, c là số đo ba cạnh một tam giác và , α β là hai số thực thỏa mãn α ≥ β ≥1 Chứng minh rằng

Ta cần chứng minh F(t) là một hàm số đơn điệu tăng trên [1;+∞)

Hay với mọi t , t1 2∈ +∞[1; ), t1 <t2, thì

4 4 4 2

4 4 4 2

4 4 4 2

Ví dụ 2.1.7 (Japan MO 2002) Giả sử a, b, c là ba số thực dương Chứng

2

(c 1)2c 6c 9 5 25≤ − −

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế, ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

Từ đó ta có bài toán sau

Ví dụ 2.1.8 Giả sử a, b, c là các số thực dương và , α β là hai số thực thỏa mãn α ≥ β ≥1 Chứng minh rằng

Lời giải Nhận thấy rằng với a, b, c là các số thực dương và với mọi t 1≥ , ta có

Ta chứng minh F(t) là một hàm số đơn điệu tăng trên [1;+∞)

Hay với mọi t , t1 2∈ +∞[1; ), t1<t2 thì

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= =

Một số bài tập về xây dựng hàm đơn điệu.

Bài 2.1.1 Giả sử a, b, c là số đo cạnh của một tam giác và , α β là hai số thực thỏa mãn α ≥ β ≥1 Chứng minh rằng

Bài 2.1.5 Giả sử a, b, c là các số dương, α ≥ β ≥1 Chứng minh rằng

Dựa trên bất đẳng thức Bernoulli và các bài toán cụ thể, ta có thể xây dựng

được nhiều bài toán tổng quát Từ đó bằng phương pháp đặc biệt hóa để được

2 3

Từ đó, ta xét bài toán tổng quát

Mệnh đề 2.2.1 Giả sử có n số thực dương a , a , , a (với mọi n N,1 2 n ∈

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 =a2 = = a n

Một vài trường hợp đặc biệt

Mệnh đề 2.2.2 Giả sử a, b là hai số thực dương Khi đó ta luôn có

Ví dụ 2.2.2 Giả sử a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn ab bc ca 1+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

6 a b c

abc

+ + ≤ Nên

3 3

abc abc3

Hơn nữa

( )2 3

1 ab bc ca 3 abc= + + ≥ Tương đương với

Cách xây dựng bài toán.

+ Cho α =2,x0 =3, ta suy ra x2 ≥ +32 2.3(x 3)−

+ Cho α =2, y0 =1, ta suy ra y2 ≥ +32 2.3(y 1)−

Cộng hai bất đẳng thức trên theo vế, ta được

2 2 2 2

x +y ≥ + +3 1 2 2 x 3 − + x y 4+ − .Như vậy, nếu cho x 3, x y 4≥ + = thì x2 +y2 ≥ +32 12 Từ đó ta có bài toán

Ví dụ 2.2.4 Giả sử x 3, x y 4≥ + = Chứng minh rằng

2 2

x +y ≥10

Lời giải Bài toán trên xây dựng dựa trên bất đẳng thức Bernoulli, nhưng

ngoài cách chứng minh sử dụng bất đẳng thức Bernoulli, ta có thể giải bằng cách khác

Ví dụ 2.2.7 Giả sử a, b, c là các số dương thỏa mãn a 5, a b 8,≥ + ≥

a b c 9+ + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 3 3 3 3

a +b +c ≥5 +3 +1 + 3.A.Trong đó

Vậy giá trị nhỏ nhất của P 5= 3 +3 3 +1 khi a 5, b 3, c 1= = =

Ví dụ 2.2.8 Giả sử a, b là các số thực dương thỏa mãn a b, a 3, a b 4≥ ≤ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2014 2014

Lời giải Đây là một cách nữa để xây dựng bài toán mới từ bất đẳng thức

Bernoulli, kỹ thuật làm ngược chiều bất đẳng thức Bernoulli.

Ta có thể đánh giá như sau

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 3 2014 +1 khi và chỉ khi a=3, b=1

Một số bài toán được xây dựng theo cách trên.

Bài 2.2.11 Giả sử ba số thực x, y, z thỏa mãn

x 2, x y 3, x y z 4≥ + ≥ + + = .

Bài 2.2.15 Giả sử a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn a 6,≥ a b 11,+ ≥

a b c 14, a b c d 15+ + ≥ + + + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 2.2.19 Giả sử a, b, c là số đo ba cạnh một tam giác Chứng minh rằng

2014 2014 2014 2014

3 a 3 b 3 c 3 dP

Chứng minh • Với α =0, bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

2 3

2 2≥ − α + α − α2 Tương đương với

Mệnh đề được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi α =0 hoặc α =1

2.3.1 Một số bài toán trong tam giác

Ví dụ 2.3.1 Cho tam giác ABC có hai góc A, B nhọn và thỏa mãn điều kiện

sin A sin B sin C 2 2 2

2 +2 +2 > +3 sin A sin B sin C + +

Mặt khác, với mọi tam giác ABC, ta luôn có

Với mọi tam giác ABC không tù, ta luôn có

sin A sin B sin C

2 +2 +2 >5

Ví dụ 2.3.2 Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C thỏa mãn điều kiện

2 2 2

c < +a b Theo định lí hàm số côsin, ta được

Do đó góc C nhọn Vì C là góc lớn nhất trong tam giác ABC nên hai góc A, B cũng là góc nhọn.

1 Do sin A,sin B,sin C∈( )0,1 nên

sin A sin B sin C

sin A sin B sin C

Vì tam giác ABC là tam giác nhọn nên theo kết quả Ví dụ 2.3.1 ta có

sin A sin B sin C

2 +2 +2 >5.Vậy

sin A sin B sin C

sin C sin A sin B sin C

sin A sin B sin C sin A sin B sin C

sin A sin B sin C 2 2 2

Suy ra

( ) ( )

sin A sin B

sin C

sin A sin B sin C sin A sin B sin C

sin A sin B sin C 5

A tan 2

2

≥ + Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế, ta được

A B C tan tan tan 2 2 2

A sin 2

2

> + Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế, ta được

A B C sin sin sin 2 2 2

cos x sinx 2 2

2 +2 ≥ +2 cos x sin x 3+ =

Bất đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 2.3.5 Chứng minh rằng

1 2cosα1 +2s inα1 cosα2 +2sin sinα1 α2 ≥4

2 2cosα1 +2s inα1 cosα2 +2sin sinα1 α2 cosα3 +2sin sinα1 α2 sinα3 ≥5

Lời giải 1 Ta có

1 1 2 1 2

cosα + sin cosα α + sinα sinα =1

Vì cosα1, sin cosα1 α2 , sinα1sinα ∈2 [ ]0,1 ,

2 2 2

1 1 2 1 2 3

1 2 n 1 n 1 2 n 1 n

sin sin sin −cos sin sin sin − sin 1

2.4 Về bất đẳng thức AM-GM suy rộng

2.4.1.Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli để chứng minh BĐT AM-GM suy rộng.

Mệnh đề 2.4.1 Giả sử a,b 0;≥ α β, > 0 và α + β =1 Chứng minh rằng

a b a bα β

α + β ≥ (2.4.1)

Chứng minh Xét a 0= hoặc b 0= , bất đẳng thức hiển nhiên đúng

Xét a,b > 0.

+ Với a b= Bất đẳng thức hiển nhiên đúng

+ Với a b≠ Vì a,b > 0 nên a 0

α

< + − α Hay

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia1 =a2 =a3.

Mệnh đề 2.4.4.(Bài toán tổng quát) Giả sử n số không âm a , a , , a với 1 2 n

mọi n 2≥ và n số dương α α1, , , 2 αn thỏa mãn α + α1 2+ +α =n 1

Chứng minh rằng

1 2 n

1 1a 2 2a n na a a a1α α2 nα

Chứng minh Theo Mệnh đề 2.4.1, Mệnh đề 2.4.2 cứ tiếp tục với quá trình đó

ta sẽ chứng minh được (2.4.4) đúng với n 2,4,8, = và nói chung (2.4.4) đúng với n là lũy thừa của 2 Đây chính là quy nạp theo hướng lên trên.Bây giờ ta thực hiện quy trình quy nạp theo hướng xuống dưới Ta chứng minh rằng khi (2.4.4) đúng với mọi n 2≥ thì nó cũng đúng với n 1−

Mệnh đề 2.4.5 Giả sử n số dương a , a , , a với mọi n 21 2 n ≥ Chứng minh rằng

2.4.2 Xây dựng lại một số bất đẳng thức cổ điển.

Ví dụ 2.4.1 (Bất đẳng thức Yuong) Giả sử a, b không âm và p, q thỏa mãn

víi mäi i=1,2, n.

víi mäi i=1,2, n

Ta có

1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n

a b + a b + + a b ≤ a + a + + a b + b + + b Hay

1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n

a b + a b + + a b ≤ a + + +a a b +b + + b Mặt khác

( )2 ( 2 2 2) ( 2 2 2)

1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n

a b +a b + + a b ≤ a + + +a a b +b + + b Bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 2.4.4 Giả sử ba dãy số thực không âm (a ,a , ,a , 1 2 n) (b ,b , ,b 1 2 n)

Ví dụ 2.4.5 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh rằng

1 ( )tan A( )tan B( )tan C ( ) 3

3 3 2 sin A sin B sin C 2

sin A sin B sin C

3

 

>  ÷ 

Lời giải 1 Theo Mệnh đề 2.4.6 với n 3= , ta được

( )tan A( )tan B( )tan C ( )tan A+ tan B tan C

3

Mặt khác, trong tam giác nhọn ABC, ta luôn có

tan A tan B tan C tan A tan Btan C 3 3+ + = ≥

Ta suy ra

( )tan A( )tan B( )tan C ( )tan A+ tan B tan C3

Do đó

( )tan A( )tan B( )tan C ( ) 3

Bất đẳng thức được chứng minh

2 Áp dụng Mệnh đề 2.4.6 với n 3= , ta có

( )sin A( )sin B( )sin C sin A sin B sin C sin A sin B sin Csin A sin B sin C

sin A sin B sin C sin A sin B sin C

( )cos A( )cos B( )cos C cosA cos B cosC cos A cos B cos C

cos A cosB cosC 1+ + > (vì sinAsin sinB C 0

cos A cos B cos C cos A cos B cos C

3

 

>  ÷  Bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 2.4.6 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh rằng

1 ( )tan A( )tan B( )tan C 1 3 3

sin A sin B sin C

2

 

≤  ÷ .

Lời giải 1 Ta có

(cos A)tan A+ tan B tan Ctan A (cos B)tan A+ tan B tan Ctan B (cosC)tan A+ tan B tan Ctan C

tan A+ tan B tan C tan A+ tan B tan C

tan C +

2tan A tan B tan C 3 3

+

Từ đó suy ra

( )tan A+ tan B tan Ctan A ( )tan A+ tan B tan Ctan B ( )tan A+ tan B tan Ctan C 1

2

Do đó

( )tan A( )tan B( )tan C 1 tan A tan B tan C

2

+ +

 

≤  ÷  Mặt khác

( )tan A( )tan B( )tan C 1 3 3

2

 

≤  ÷ 

2 Ta có