Luyen thi DH 2010

Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước; tương giao giữa hai đồ thị một trong hai đồ thị là đường thẳng;.... Theo chương trình Chuẩn: VI.a Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và

CẤU TRÚC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG

I

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

I

• Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số

 Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ

thị của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số Cực trị Giá trị

lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Tiếp tuyến, tiệm cận (đứng

và ngang) của đồ thị hàm số Tìm trên đồ thị những điểm có

tính chất cho trước; tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai

đồ thị là đường thẳng);

2,0

II • Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số.

Hình học không gian (tổng hợp):Quan hệ song song, quan hệ

vuông góc của đường thẳng, mặt phẳng Tính diện tích xung

quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể

tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ

tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

1,0

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2).

1. Theo chương trình Chuẩn:

VI.a

Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian:

 Xác định toạ độ của điểm, vectơ

 Đường tròn, elip, mặt cầu

 Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng

2 Theo chương trình Nâng cao:

VI.b

Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong khơng gian:

 Xác định toạ độ của điểm, vectơ

 Đường trịn, ba đường cơnic, mặt cầu

 Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng

 Tính gĩc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt

phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng Vị trí tương đối

của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu

px q

và một số yếu tố liên quan.

• Sự tiếp xúc của hai đường cong

• Khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan hàm số

• Phương trình , Bất phương trình mũ Logarit

• Nguyên hàm - Tích phân

• Số Phức

• Hình Học Không gian cổ điển

• Hình Học Giải Tích trong không gian Oxyz

• ẹaùi soỏ toồ hụùp , xaực suaỏt Nhũ thửực Newton

• Hỡnh hoùc giaỷi tớch trong maởt phaỳng Oxy

Chuyên đề khảo sát hàm số

Vaỏn ủeà 1: ẹụn ủieọu – Cửùc trũ cuỷa haứm soỏ

    

 ẹũnh tham soỏ m ủeồ haứm soỏ luoõn ủoàng bieỏn (nghũch bieỏn ) treõn R :

Neỏu y’= g(x) = ax 2 + bx + c hoaởc daỏu y’ tuứy thuoọc tam thửực g(x)

 Haứm soỏ luoõn ủoàng bieỏn treõn R

g(x)

0 g(x) 0 , x

0

a

 ẹũnh tham soỏ m ủeồ haứm ủoàng bieỏn (NB) trong moọt khoaỷng cho trửụực :

Xeựt haứm soỏ y’ = g(x) = ax 2 + bx + c , tớnh g’(x) vaứ laọp baỷng bieỏn thieõn

Dửa vaứo baỷng BT tỡm ủieàu kieọn ủeà g(x) ≥ 0 ( hoaởc ≤) treõn khoaỷng (a ; b)

 Cửùc trũ cuỷa haứm hửỷu tổ : Neỏu haứm soỏ hửừu tổ : ( ) ( )

0

a≠



⇔ ∆ >

♦ Hs đạt cực đại tại x0

0 0

'( ) 0''( ) 0

'( ) 0

(2)(a) Định m để y mx = 3− (2 m − 1) x2+ ( m − 2) x − 2 đồng biến trên R

(b) Tìm m để hs y=x3+3x2+mx m+ nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1

− đồng biến trên ( 1 ; +∞)

(3) Dùng tính đơn điệâu để chứng minh bất đẳng thức :

[a] cosx≥ −1 x (∀ >x 0) [b] x (0; )

2

tgx x> ∈ π [c] ex > 1 + x (∀x∈ R) [d] 2 ln(1 )

a) Có cực đại và cực tiểu có hoành độ dương

b) Có cực đại và cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa điều kiện x1 +2x2 = 1

đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất

(b) Tỡm m ủeồ haứm soỏ + +

ủaùi vaứ cửùc tieồu ủeỏn ủửụứng thaỳng x+y+2 = 0 baống nhau

y= x −mx + coự cửùc tieồu nhửng khoõng coự cửùc ủaùi (b) CMR haứm soỏ y = 2 x3− 3(2 m + 1) x2+ 6 ( m m + 1) x + 1 vaứ hoaứnh ủoọ caực ủieồm Cẹ, CT thoỷa x1– x2 khoõng phuù thuoọc m

(c) Tỡm m ủeồ haứm soỏ y = 2 x3+ 3( m − 1) x2+ 6( m − 2) x − 1 coự cửùc trũ vaứ

ủửụứng thaỳng qua ủieồm Cẹ vaứ CT song song ủửụứng thaỳng y = –2x

(d) Cho hàm số y = x3− 3mx2 + (m2 + 2m − 3)x + 3m + 1 Tỡm m để đồ thị hàm số cú cỏc điểm cực đại và cực tiểu nằm về cựng một phớa đối với trục tung

Cho hàm số y = x3+2(m-1)x2 +(m2-4m+1)x –2(m2+1) tìm m để y đạt cực đại , cực tiểu tại x1 x2 sao cho

1 2

2

x + x = Tỡm m ủeồ haứm soỏ coự cửùc trũ vaứ caực ủieồm cửùc trũ thoỷa ủieàu kieọn

a) y x = 3− 3 mx2+ ( m2+ 2 m − 3) x + 4 coự 2 ủieồm cửùc trũ naốm 2 phớa cuỷa truùc tung

c) y x= 3−3mx2+4m3 coự 2 ủieồm cửùc trũ ủoỏi xửựng qua ủthaỳng y = x

d) y x= 4 −2mx2+2m m+ 4 coự 3 ủieồm cửùc trũ laọp thaứnh moọt tam giaực ủeàu Tớnh dieọn tớch tam gớac theo m

cửùc tieồu vaứ khoaỷng caựch 2 ủieồm ủoự baống 20 (KhoỏiB2005)

(b) ẹũnh m ủeồ (Cm) :y mx = + 1

x coự cửùc trũ vaứ khoaỷng caựch tửứ ủieồm cửùc tieồu

ủeỏn tieọm caọn xieõn (Cm) baống 1

2 (KhoỏiA2005)

(c)Tỡm m ủeồ y = mx4+(m2−9)x2+10 coự 3 cửùc trũ (KhoỏiB2002)

(a) CMR y x= 3−3x2 +4m luoõn coự 2 ủieồm cửùc trũ Khi ủoự tỡm m ủeồ moọt trong

2 ủieồm cửùc trũ naày thuoọc truùc hoaứnh (CẹSPMG2004)

(b) Tỡm m ủeồ y x = 3− 3 mx2+ ( m2+ 2 m − 3) x + 4 coự ủieồm cửùc ủaùi vaứ cửùc tieồu naốm 2 phớa cuỷa truùc tung (CẹCaoThaộng2006)

x maứ tieỏp tuyeỏn taùi ủoự vuoõng goực vụựi

ủửụứng thaỳng qua 2 ủieồm cửùc ủaùi vaứ cửùc tieồu (CẹYTeỏ2006)

+

2xy=

1

x m

x coự 2 giaự trũ cửùc trũ traựi daỏu (CTCN_2006)

xứng nhau qua đờng thẳng y = x+2

(e) Tìm m để hàm số y = x4 –2mx2 +2m +m4 có cực đại , cực tiểu đồng thời các điểm

đó là các đỉnh của một tam giác đều

Sửỷ duùng tớnh ủụn ủieọu ủeồ tỡm ủieàu kieọn coự nghieọm cuỷa Phửụng trỡnh –Baỏt phửụng trỡnh Tỡm m ủeồ phửụng trỡnh sau coự nghieọm

m x x

a) Giải phương trình (1) khi m=0

b) Tìm các giá trị của tham số m để 1 cĩ nghiệm

Vấn đề 2 Giá Trị Lớn Nhất, Nhỏ Nhất Của Hàm Số

    

 Tìm GTLN và NN trên khoảng ( a; b ) hoặc nửa khoảng : với a có thể

là –∞ và b có thể là +∞

Ta lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng (a , b ) Nếu f(x) là hàm số liên tục trên (a ; b ) chỉ có 1 cực trị duy nhất :

+ Là cực đại thì Max f(x) = y CĐ và không có Min f(x)

+ Là cực tiểu thì Min f(x) = y CT và không có Max f(x)

 Nếu bài toán tìm GTLN và GTNN của hàm số mà không chỉ ra tập X thì ta tìm trên toàn tập xác định D

 Ứ NG D Ụ NG GTLN – GTNN Đ Ể GI Ả I PH ƯƠ NG TRÌNH VÀ BP T

Để giải phương trình F x m ( , ) = 0 ta biến đổi về dạng f x ( ) = g m ( ) (1)

 Lập luận số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao i đ ểm của đồ thị

y=sin cos (0; )

2

π ππ

− +

Tìm Maxf(x) và Minf(x) của các hàm số :

y = sinx+ 2 sin x − ( đặt t = sinx ∈ {- 1 ; 1] )

(b) y=2sin8x+cos 24 x ( đặt t = cos2x ∈ {- 1 ; 1] )

i) Khi m = – 4 , phương trình có mấy nghiệm

ii) Tìm m để phtrình có 3 nghiệm phân biệt Khi đó hãy xét dấu các nghiệm Tìm m để phương trình : m.16x + 2.81x = 5 36x có 2 nghiệm

i) Giải phương trình khi m=2

ii) Tìm m để phương trình có nghiệm

ii) Tìm m để phương trình f(x) ≥ m có nghiệm ∀x∈ R

Giải phương trình bằng phương pháp tìm Max(f(x)) và Min(f(x))

1) Tìm tham số m để phương trình x3−3x2+ =m 0 cĩ ba nghiệm phân biệt

2

1

2 x − x m − =

4) Cho phương trình sin6x+cos6 x m= sin 2x

b) Với giá trị nào của tham số m thì phương trình cĩ nghiệm

b) Tìm m để phương trình cĩ đúng hai nghiệm thuộc đoạn 0;5

8) Cho phương trình ( m + 2 sin ) x − 2 cos m x = 2 ( m + 1 )

2 3

x∈ − π π

b) Giải và biện luận phương trình với nghiệm x ∈ ( 0; π )

9) Tìm mđể phương trình sin3x−cos3 x m= cĩ 3 nghiệm phân biệt

Tìm mđể phương trình cĩ nghiệm x x1, 2 thoả mãn 4 < < x1 x2 < 7

Giải bất phương trình

6) Giải và biện luận bất phương trình mx + ≥ 3 4 x x − 2

7) Tìm m để bất phương trình cos2x+2 cosm x m+ + ≥2 0 , ∀ ∈ x R

1) Viết phương trình tiếp tuyến (C) tại M 0 (x 0 ,y 0 ) ∈ (C) :

 Cho hoành độ tiếp điểm x 0 ⇒ Tính y 0 và f ‘ (x 0 )

 Cho tung độ tiếp điểm y 0 ⇒ Tìm x 0 và f ‘ (x 0 )

 Cho hệ số góc tiếp tuyến k ( hay là tiếp tuyến // hoặc ⊥ một

đường thẳng khác ) Giải có phương trình k = f’(x 0 ) ta có x 0

y – y 0 = f ’(x 0 ).( x - x 0 ) 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) đ i qua A (x A ,y A ) (hoặc phát xuất từ A)

 Viết phương trình (d ) qua A và có hệ số góc k :

y – y A = k ( x – x A ) ⇒ y = k ( x – x A ) + y A (*)

 Ta có hệ phương trình hoành độ tiếp điểm :

( ) ( ) (1) '( ) (2)

+ Nếu (C 2 ) và (C 2 ) là 2 đường cong thì tại đó có tiếp tuyến chung

Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm cho trước :

(f) y =

1 2

x+3 [b] (C) : y = ; ( ) : y = -2x + m

x+1

∆2

x 3 3[c] (C) : y = ; ( ) : y = 3x + m

1

x x

− [d] (C)

=

− +

−

=

8 6 5 2 :

)

(

4 7 4 :

)

(

2 3 2

2 3 1

x x x y

C

x x x y

C

Viết phơng trình tiếp tuyến của (C1) , (C2) tại

các giao điểm chung của (C1) và (C2)

Chứng minh rằng mọi đờng cong (Cm) y mx = 3− (2 m − 1) x2+ ( m − 2) x − 2 đều

Lập phương trỡnh tiếp tuyến d của (C) y =

Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + ( m + 1) x + 1 , (1) Tỡm cỏc giỏ trị của m để tiếp

tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm cú hoành độ x = –1 đi qua điểm A(1 ; 2) Cho (C) y = f ( x ) = x3 − 3 x + 7 Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo với y=2x+3 góc 45 0

Cho (Cm) y = f ( x ) = − x4 + 2 mx2 − 2 m + 1Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc với nhau

(b)Chứng minh họ đường cong ( ) Cm luụn tiếp xỳc với một đường thẳng cố định

1

x y x

(c) Tỡm taỏt caỷ caực ủieồm thuoọc ủoà thũ (C ) sao cho tieỏp tuyeỏn taùi ủoự taùo vụựi hai ủửụứng tieọm caọn moọt tam giaực coự chu vi beự nhaỏt.

Tìm m để từ điểm A(1;2) kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB,AC đến đồ thị (C)

sao cho tam giác ABC đều (ở đây B,C là 2 tiếp điểm)

 Đề Thi về Ph ơng trình tiếp tuyến các năm tr ớc

Vieỏt phửụngtrỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa (C)

2

x x 1 y

x 2

+ −

=

vuoõng goực vụựi tieọm caọn xieõn cuỷa (C) (Khoỏi B_ 2006)

+

− [b] Cho ủieồm A(0,a) ẹũnh a ủeồ tửứ A keừ ủửụùc 2 tieỏp tuyeỏn ủeỏn (C) sao cho 2 tieỏp ủieồm tửụng ửựng naốm veà 2 phớa ủoỏi vụựi truùc Ox

(ẹHQGkhoỏi B2001)

[a] Khaỷo saựt sửù bieỏn thieõn vaứ veừ ủoà thũ (C) : y = x3 + 3 x2

[b] Tỡm caực ủieồm treõn truùc hoaứnh maứ tửứ ủoự keừ ủửụùc ủuựng 3 tieỏp tuyeỏn cuỷa (C) , trong ủoự coự 2 tieỏp tuyeỏn vuoõng goực nhau

Cho đồ thị (Cm ) y = x4 + mx2 − m − 1 Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đờng thẳng y=2.x với A là điểm cố định có hoành độ dơng (Cm )

ủeồ tieỏp tuyeỏn taùi ủieồm M song song ủửụứng thaỳng 5x– y = 0

(KhoỏiD 2005)

(6) Cho haứm soỏ 2 3 3

1

y x

− +

=

soỏ sao cho tieỏp tuyeỏn taùi A,B cuỷa ủoà thũ song song vụựi nhau vaứ ủoọ daứi ủoaùn AB ngaộn nhaỏt

(ẹHAninh - 01 D): Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa ủoà thũ haứm soỏ

5 4

cận tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A,B

(a) CMRằng M là trung điểm AB (b) CMR diện tích tam giác IAB không

đổi

(c) Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất

Cho đồ thị (Cm)

m x

mx y

−

+

thẳng tiệm cận tạo nên 1 tam giác có diện tích bằng 8

(ẹHTCKT – 030) Tỡm treõn ủoà thũ

2

2 21

tuyeỏn taùi ủoự vuoõng goực vụựi tieọm caọn xieõn

(ẹHANinh – 01A): Tỡm treõn ủoà thũ h soỏ

2

21

y x

+ +

=

tuyeỏn cuỷa ủoà thũ taùi A vuoõng goực vụựi ủửụứng thaỳng ủi qua A vaứ taõm ủoỏi xửựng cuỷa ủoà thũ

(HVQY – 0)1: Chửựng minh raống taùi moọt ủieồm cuỷa ủoà thũ haứm soỏ

cửùc tieồu

(ẹHTM – 98): Tỡm m ủeồ ủoà thũ haứm soỏ

(ẹHQGHN – 95B): Tỡm taỏt caỷ caực giaự trũ cuỷa k ủeồ moùi ủửụứng thaỳng

y kx b= + khoõng theồ tieỏp xuực vụựi ủoà thũ haứm soỏ ( ) ( )2

3

y= f x =x x−

(ẹHDửụùc HN – 99): Chửựng minh raống qua A ( ) 1;0 coự theồ keỷ ủửụùc hai tieỏp tuyeỏn ủeỏn ủoà thũ haứm soỏ

2 2 21

goực vụựi nhau

(HVHCQG – 01D): Chửựng minh raống tửứ ủieồm A ( 1; 4 − )coự theồ keỷ ủửụùc ba tieỏp tuyeỏn vụựi ủoà thũ haứm soỏ y = 2 x3+ 3 x2− 5

(ẹHLuaọt HN – 95): Tỡm caực ủieồm treõn truùc hoaứnh sao cho tửứ ủieồm ủoự keỷ

ủửụùc ủuựng moọt tieỏp tuyeỏn ủeỏn ủoà thũ

1

y x

(HVBCVT TPHCM 98): Tỡm ủieồm M treõn ủửụứng thaỳng y= −4 sao cho qua M

keỷ ủửụùc tụựi ủoà thũ y x = −3 12 x + 12 ba tieỏp tuyeỏn

Tiệm cận của đồ thị hàm số

(a) Tìm a để khoảng cách từ gốc toạ độ đến tiệm cận xiên

2

1sin.2cos

2

−

++

=

x

a x a

x

1 2 3 2 ) (

2

− +

−

=

=

x x x x f

)(

2

−

−+

=

=

x

mx x x f

tạo với 2 trục một tam giác có diện tích bằng 4

2 2

2

m x

m m x m m mx x f y

−

+

−+

−+

−

=

=

CMR khoảng cách từ gốc toạ độ đến tiệm cận xiên không lớn hơn 2

ủieồm )

 Baứi toaựn : Tỡm ủieàu kieọn cuỷa tham soỏ (hoaởc chửựng minh) 2 ủửụứng (C1) : y = f(x) vaứ (C2) : y = g(x) coự n giao ủieồm

(a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (1)

(b) Đường thẳng (d) đi qua điểm A(-3 ; 1) cú hệ gúc là k Xỏc định k để (d) cắt

đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phõn biệt

Cho hàm số y =

1 2

(b) Tỡm cỏc giỏ trị m sao cho đường thẳng (d) đó cho cắt (H) tại hai điểm thuộc cựng một nhỏnh của (H)

(a) Bieọn luaọn theo m soỏ cửùc trũ cuỷa (Cm): y = – x4 + 2mx2 – 2m + 1

caỏp soỏ coọng naày

Tìm các giá trị của tham số m để đờng thẳng y = x + m cắt đồ thị (C) y=

2 2

Tỡm m ủeồ y x= 3 +3x2+(m+2)x+2 ( )m C m caột truùc hoaứnh taùi ba ủieồm phaõn bieọt coự hoaứnh ủoọ aõm laứ soỏ aõm

3

) 1

(a) Tỡm a để hàm số luụn luụn đồng biến

(b) Tỡm a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phõn biệt

Cho (D)y=m(1+x)+2 và (C) y = x3 − 3 x Tìm m để (D) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A,B,C trong đó A là điểm cố định và tiếp tuyến với đồ thị tại B,C vuông góc với nhau

Xỏc định m để đường thẳng y = 2 x m + cắt (C) 1

1

x y x

+

=

− tại hai điểm phõn biệt

A và B sao cho tiếp tuyến tại A và B của (C) song song với nhau

Cho( Cm) y = x3− 3 mx2 + 4 m3Tìm m để ( Cm) cắt đờng thẳng y = x tại 3

điểm phân biệt lập thành cấp số cộng

1

x y

x−

điểm phõn biệt, trong đú ớt nhất một giao điểm cú hoành độ lớn hơn 2

Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + 3.Tỡm m để (d) cắt (C) tại M(-1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuụng gúc nhau

1

x y

x +

M, N sao cho tam giỏc OMN vuụng gúc tại O ( O là gốc tọa độ)

1

x y x

+

= − tại hai điểm phõn biệt sao cho tam giỏc AOB cú diện tớch bằng 3

2

1

x y x

−

hai điểm phõn biệt A, B Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB

Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1 ; 2) với hệ số gúc k ( k >–3) đều cắt đồ thị của hàm số y = x3 – 3x2 + 4 tại ba điểm phõn biệt I , A, B đồng thời

I là trung điểm đoạn thẳng AB (Khối D_2008)

điểm phân biệt A,B thuộc 2 nhánh của (C)

CMR với mọi m đờng thẳng y= m luôn cắt đồ thị (C) :

−

=

x

x x

phân biệt Tìm m để độ dài AB nhỏ nhất

Cho haứm soỏ: y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x – m3 (Cm) Tỡm m ủeồ ủoà thũ (Cm) caột truùc hoaứnh taùi ba ủieồm phaõn bieọt, trong ủoự coự ủuựng hai ủieồm coự hoaứnh ủoọ aõm

Cho ủieồm M treõn (C) y = x4 – 6x2 + 5 coự hoaứnh ủoọ xM = a Tỡm nhửừng giaự trũ cuỷa a ủeồ tieỏp tuyeỏn cuỷa (C) taùi M caột (C) taùi hai ủieồm khaực nhau.Tìm m để đờng thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (C)

2 3 3 2( 1)

Gọi d là đường thẳng đi qua I(2; 0) và cĩ hệ số gĩc m Định m để d cắt đồ thị (C)

Tìm m để đồ thị hố y = x3 + mx + 2 cắt trục hịanh tại một điểm duy nhất

(a) Tìm m để (C): y=x3+ −(1 m x) 2−m2 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương (ĐHQG

+

=

− có đồ thị (C) (CĐSPHCM 2004)(b) CMR (d) y= 2x + m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B Tìm m để 2 tiếp tuyến tại A và B song song nhau

(c) Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận Tìm M trên (C) để độ dài IM

(b) Định a để đường thẳng y = a (x +1 ) +1 cắt (C) tại hai điểm có hoành độ trái dấu

Định m để (Cm) y x = 3− 3( m + 1) x2+ 2( m2 + 4 m + 1) x − 4 ( m m + 1)cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ > 1

(ĐHNgoạiThương94)

Vấn đề 5: Khoảng cách

 Khỏang cách giữa 2 diễm A và B :

AB = (x B−x A)2+(y B −y A)2

 Khỏang cách từ điểm M đến (∆):Ax+By+C=0 là :

B A

C Bx Ax

+

++

 d(M,Oy) = x M

 (∆) : x = a ⇒ d(M, ∆) = xM− a

 (∆) : y = b ⇒ d(M, ∆) = yM− b

Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y=2( 1)

33

3

x x

+

tieọm caọn baống nhau

Tỡm m ủeồ (Cm) y = x3 – 3x2 + 3mx + 3m + 2 coự hai ủieồm cửùc trũ caựch ủeàu ủửụứng thaỳng: x + y – 1 = 0

Tỡm phtrỡnh đ thẳng (d) qua điểm A ( − 2;0 )sao cho khoảng cỏch từ điểm cực đại của ( C ) y = − + x3 3 ( m − 1 ) x2+ 3 m ( 2 − m x ) − 2 đến (d) là lớn nhất

Gọi (D) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và cú hệ số gúc k Tỡm k sao cho (D) cắt

(a) Tỡm nhửừng ủieồm M thuoọc (C)

tửứ M ủeỏn hai tieọm caọn nhoỷ nhaỏt

(b) Tỡm ủieồm A ,B thuoọc 2 nhaựnh khaực nhau cuỷa (C) ủeồ khoaỷng caựch giửừa chuựng nhoỷ nhaỏt (ẹHQG 2000)

(a) Chửựng minh raống ủửụứng thaỷng (D) : y = 2x –1 khoõng caột ủoà thũ (C) :

cửùc tieồu cuỷa (Cm) ủeỏn ủửụứng tieọm caọn xieõn cuỷa (Cm) baống 1

2

( KhoỏiA_2005)

Tìm hai điểm A,B phân biệt trên hai nhánh khác nhau của đồ thị

y = 1 +

1

1

−

x .sao cho AB ng¾n nhÊt

Vấn đề 6: Bài toán đối xứng

    

qua điểm I cho trước:

 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và có hệ số góc k

 Lập phương trình hoành độ giao điểm (d) và (C) (*)

Giả sử phương trình có 2 nghiệm x A ; x B

 Do I là trung điểm AB nên S = x A + x B = 2 x I Từ đó tìm được k

 Thay k vào phương trình (1) tìm được tọa độ A , B

qua đường thẳng (d) : y = ax + b :

 Viết phương trình đường thẳng (∆) ⊥ (d) là : y = 1 x m

a

 Lập phương trình hoành độ giao điểm (∆) và (C) (*)

 Dùng định lý Viét tìm toạ độ trung điểm I của AB

 A và B đối xứng nhau qua (d) nên I ∈ (d) Từ đó tìm được

2

3

−++

nhau qua trục tung

53

Tìm các cặp điểm A , B ∈ (C) :

1

y x

Tìm m để hàm số y = x3 – 3x2 + m2x + m cĩ cực đại , cực tiểu và các điểm CĐ,CT của đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua đường thẳng

y = 12x−52

Định m để (C m) :

2 4 52

nhau qua O ( 0 ; 0 ) (ĐH Thùy Sản 2000)

Tìm 2 điểm phân biệt A , B trên (C)

2

1

x y x

=

thẳng y = x – 1 (ĐH Hàng Hải 99)

Định a để điểm cực đại và cực tiểu của hàm số : y x= 3 −3ax2+4a3

đối xứng qua đường thẳng y = x (ĐH YDược TPHCM 96)

đường thẳng y = x ( ĐH Luật TPHCM 95)

 Bài toán : Cho đồ thị (C) của hàm số :y = f(x) Từ đồ thị (C)

suy ra đồ thị hàm số sau :

Do đó (C 1 ) gồm 2 phần đều nắm trên trục hoành :

 Phần 1 trùng với phần của đồ thị (C) nằm phía trên trục

 Phần 1 trùng với phần bên phải của Oy của (C)

 Phần 2 sẽ đối xứng với phần 1 trên qua Oy

° Phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành.

° Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Ox

( )x g

x f

Ta có: y = ( )

( ) x g

x f

f-

0xf nếu

x g

x g

x f

( ) x g

x f

x f

• Các bớc làm tơng tự nh phần d)

4

(b) Biện luận số nghiệm phương trình :

3 2

4 x -3x - 6 x -4a = 0

(a) Khảo sát và vẽ (C): y= 2x3 − 9x2 + 12x− 4

(b)Tìm m để ptr có 6 nghiệm phân biệt 2 x 3−9x 2+12 x =m

(KhốiA_2006)

x 1

− + (b) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình : 2x

x 1−(a) Khảo sát hàm số y = x4 – 6x2 + 5

(b) Tìm m để ph/tr sau cĩ 4 nghiệm phân biệt : x4 – 6x2 – log2 m = 0(a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = (x + 1)2(x - 2) (b) Đường thẳng ∆ qua M(2; 0) và cĩ hệ số gĩc k Tìm k để đường thẳng ∆

cắt đồ thị của hàm số y = x3−3 x −2 tại bốn điểm phân biệt:

(a)Khảo sát hàm số y = 1

3x

3 – 2x2 + 3x (b) Dựa và đồ thị (C) ở câu trên, hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: 1

128)44

12

2 2 2

2

=++

−

+

−

−+

−

+

x x

x x x

x

x x

Bửụực 1: Goùi M0( x0; y0) laứ ủieồm coỏ ủũnh (neỏu coự) maứ hoù (Cm) ủi qua Khi ủoự phửụng trỡnh: y0 = f ( x0, m ) nghieọm ủuựng ∀m (1)

Bửụực 2: Bieỏn ủoồi phửụng trỡnh (1) veà moọt trong caực daùng sau:

0 0

0 0

2

C B

A m C

điểm đó

Tìm điểm cố định

( Cm) y = x4 + mx2 − m − 5Cho hàm số ( Cm) y = x3+ mx2 − m − 1 , Viết phơng trình tiếp tuyến tại các điểm cố định mà họ đờng cong luôn đi qua với mọi m

2

42

2+

−

−+

=

x

m mx x y

CMR đồ thị ( Cm)

m x

x m x y

+

+++

nào

CMR đồ thị ( Cm)

m x m

m x y

4)2(

13

++

−+

Cho y = -(m2 +5m ) x3 +6mx2 +6x – 6 tìm các điểm cố định của đồ thị Tiếp tuyến tại đó có cố định hay không

Tìm những điểm cố định của họ các đờng cong: y = mx3 – 3mx2 1)x +2 cmr: những điểm cố định đó thẳng hàng từ đó suy ra họ đ- ờng cong có chung một tâm đối xứng

3) Gọi ∆ là đường thẳng cú phương trỡnh y = 1 Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từE ∈∆ với (C).

4) Tỡm E ∈∆ để qua E cú ba tiếp tuyến với (C) và cú hai tiếp tuyến vuụng gúc với nhau.

5) Định p để trờn (C) cú 2 tiếp tuyến cú hệ số gúc bằng p, trong trường hợp này chứng tỏ trung điểm của hai tiếp điểm là điểm cố định.

6) Tỡm M ∈ (C) để qua M chỉ cú một tiếp tuyến với (C).

II Phõ̀n 2 Trong phần này cho tham số m thay đổi.

7) Tỡm điểm cố định của ( Cm) Định m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố định này vuụng gúc nhau.

8) Định m để ( Cm)cú 2 điểm cực trị Viết ph trỡnh đường thẳng qua 2 điểm cực trị.

9) Định m để ( Cm)cắt Ox tại 3 điểm phõn biệt.

10) Định m để : (a) Hàm số đồng biến trong (1, 2)

(b) Hàm số nghịch biến trong (0, +∞).

11) Tỡm m để ( Cm)cắt Ox tại 3 điểm cú hoành độ tạo thành cấp số cộng.

12) Tìm điều kiện giữa k và m đểDk cắt ( Cm) tại 3 điểm phân biệt Tìm k để

k

D cắt ( Cm) thành hai đoạn bằng nhau.

13) Viết phương trình tiếp tuyến với ( Cm) và đi qua điểm (-1, 1).

14) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với ( Cm) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.

BÀI TẬP ÔN VỀ HÀM TRÙNG PHƯƠNG

1) (a) Khảo sát hàm số y = − + x4 2( m + 1) x2− 2 m − 1 khi m =0

(b) Xác định tham số m để phương trình − + x4 2( m + 1) x2− 2 m − = 1 0 có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

2) (a) Khảo sát hàm số: y x = − +4 x2 1 (C)

(b) Tìm tất cả các đỉnh thuộc Oy mà từ đó kẽ được đúng 3 tiếp tuyến đến (C).

3) Cho hàm số y x = 4− ( m2+ 10) x2+ 9CMR ∀ ≠ m 0đồ thị luôn cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt và trong các giao điểm đó có 2 giao điểm mà hoành

+

=+ có đồ thị (C).

(b) Tìm trên đồ thị (C) những điểm có tọa độ nguyên.

(c) Tìm trên đồ thị (C) những điểm có tổng khoảng cách từ đó đến 2 đường tiệm cận của (C) là nhỏ nhất.

(d) Đường thẳng (d) đi qua A(1 ;1) có hệ số góc k Định k để (d) cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị.

(e) Lập pt tiếp tuyến vơi (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

(a) CMR đồ thị hàm số 1

1

x y x

−

= + nhận các đường thẳng y=x+2 và y=-x làm

các trục đối xứng.

(b) Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ M đến các trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất.