TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1 : Tính đơn điệu của hàm số I.. Qui tắc xét tính đơn điệu a.. Qui tắc B1: Tìm tập xác định của hàm số B2: Tính đạo hàm của hàm số.. B3: Sắp xếp các điểm xi
Trang 1Bïi V¨n Lu
HÀM SỐ
1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1 : Tính đơn điệu của hàm số
I Kiến thức cơ bản
1 Định nghĩa
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K:
+ Hàm số y = f(x) được gọi đồng biến trên khoảng K nếu:
1 , 2 , 1 2 ( ) 1 ( ) 2
x x K x x f x f x
∀ ∈ < ⇒ <
+ Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu:
1 , 2 , 1 2 ( ) 1 ( ) 2
x x K x x f x f x
∀ ∈ < ⇒ >
2 Qui tắc xét tính đơn điệu
a Định lí
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K:
+ Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến
+ Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến
b Qui tắc
B1: Tìm tập xác định của hàm số
B2: Tính đạo hàm của hàm số Tìm các điểm xi (i = 1, 2,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
B3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên
B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến
II Các ví dụ
Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số
Ví dụ 1 Xét sự đồng biến và nghịc biến của hàm số:
y = 2 2 b y = -x 3 4 e y = x ( 3), (x > 0)
x - 1
c y = x 2 3 y =
x +1
Ví dụ 2 Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
2
2
y = 3x 8 b y = x 8 5 c y = x 6 9
y = e y = f y = 25-x
x d
x
− + +
Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định.
Phương pháp
+ Dựa vào định lí
Ví dụ 3.
Chứng minh hàm số y= 2x x− 2 nghịch biến trên đoạn [1; 2]
Ví dụ 4
a Chứng minh hàm số y= x2 − 9 đồng biến trên nửa khoảng [3; +∞)
b Hàm số y x 4
x
= + nghịc biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2]
Ví dụ 5 Chứng minh rằng
Trang 2Bïi V¨n Lu
a Hàm số 3
2 1
x y
x
−
= + nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b Hàm số 2 2 3
2 1
y x
+
= + đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
c Hàm số y= − +x x2 + 8 nghịch biến trên R
Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trước đồng biến, nghịch biến trên
khoảng xác định cho trước
Phương pháp:
+ Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số
+ Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai
Ví dụ 6
Tìm giá trị của tham số a để hàm số 1 3 2
3
f x = x + + x+ đồng biến trên R.
Ví dụ 7
Tìm m để hàm số ( ) 2 5 2 6
3
x x m
f x
x
=
+ đồng biến trên khoảng (1;+∞)
Ví dụ 8 Với giá trị nào của m, hàm số: 2
1
m
y x
x
= + +
− đồng biến trên mỗi khoảng xác
định của nó
Ví dụ 9
Xác định m để hàm số 3 ( 1) 2 ( 3)
3
x
y= − + m− x + m+ x đồng biến trên khoảng (0; 3)
Ví dụ 10
Cho hàm số y mx 4
x m
+
= +
a Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định
b Tìm m để hàm số tăng trên (2; +∞ )
c Tìm m để hàm số giảm trên ( −∞ ;1)
Ví dụ 11
Cho hàm số y x= − 3 3(2m+ 1)x2 + (12m+ 5)x+ 2 Tìm m để hàm số:
a Liên tục trên R
b Tăng trên khoảng (2; +∞ )
Ví dụ 12 (ĐH KTQD 1997)
Cho hàm số y x= − 3 ax 2 − (2a2 − 7a+ 7)x+ 2(a− 1)(2a− 3) đồng biến trên [2:+ ) ∞
Dạng 3 Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT
Phương pháp
Sử dụng các kiến thức sau:
+ Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn
+ f ( x) đồng biến trên [a; b] thì f a( ) ≤ f x( ) ≤ f()
+ f(x) nghịch biến trên [a; b] thì f a( ) ≥ f x( ) ≥ f b( )
Ví dụ 1 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Trang 3Bïi V¨n Lu
2
tanx > sinx, 0< x < b 1 + 1 1 , 0 < x < +
cosx > 1 - , 0 d sinx > x - , x > 0
x
≠
Ví dụ 2
Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x
a Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0;
2
π
÷
b Chứng minh rằng 2sin tan 3 , (0; )
2
x+ x> x x∀ ∈ π
Ví dụ 3
Cho hàm số f x( ) t anx - x =
a.Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0;
2
π
÷
b Chứng minh tan 3, (0; )
x
x x> + ∀ ∈x π
Ví dụ 3
Cho hàm số ( ) 4 t anx, x [0; ]
4
π
a Xét chiều biến thiên của hàm số trên [0; ]
4
π
b Chứng minh rằng tan 4 , [0; ]
4
π
Dạng 4 : Dùng đơn diệu của hàm số để giải và biện luận phương trình bất phương trình
Ví dụ 1: Giải phương trình:
3 (2x + 9x + + 3) (4x+ 2)( 1 + +x x + = 1) 0 (x = -1/5)
b, x3 − 4x2 − 5x+ = 6 3 7x2 + 9x− 4
Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm duy nhất
2
2x x− = 2 11
Ví dụ 3: Giải bất phương trình:
a, 5x− + 1 x+ ≥ 3 4
2 1
x
−
BÀI TẬP TỬ GIẢI :
Bài 1 : Tìm các khoảng biến thiên của các hàm số sau :
Trang 4Bïi V¨n Lu
k ( m là tham số )
Bài 2 : Cho hàm số định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
Bài 3 : Cho hàm số định m để hàm số
a Ngịch biến trên R
b Đồng biến trên (1,2)
c Nhịch biến trên
Bài 4 : cho hàm số định m để hàm số ngịch biến trên
Bài 5 : cho hàm số sau định m để hàm số :
a Giảm trên từng khoảng xác định
b Giảm trên ( -1,0).
c Tăng trên (-2,2).
a Hàm số nghịch biến trên R
b Đồng biến trên (0,1) và (2,3)
c Đồng biến trên khoảng có độ dài là 1
3
3
2
2
x x y
y y x