Chuyên đề Tích Phân chi tiết, đầy đủ các dạng.

Trang 1

GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

cos sin

Mọi hàm số liên tục trên đoạn [ ] a b đều có nguyên hàm trên đoạn ; [ ] a b ;

4 BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

6 ∫ cos xdx = sin x C + ∫ cos udu = sin u C +

7 ∫ sin xdx = − cos x C + ∫ sin udu = − cos u C +

Trang 2

8

2 tan cos

Trang 3

Trang 4

Trang 5

Bài tập tương tự

Dạng 2: Tính nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm

Ví dụ 1 Tính nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm có sẵn

Trang 6

2 2

• I = ∫ ( 1 3sin − 2x ) cos xdx = ∫ ( 1 3sin − 2x d ) ( sin x )

( sin ) 3sin2 sin sin3

Trang 7

Trang 8

x

++

x + + +

5

44

3

5 3

4

2

3

Trang 9

6 f(x) = 1 32

x

x − ĐS F(x) =

C x

9 f(x) =

2sin

12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C

13 f(x) =

x

x 2

2 cossin

1

ĐS F(x) = tanx - cotx + C

14 f(x) =

x x

x

2

2 cossin

2cos

3ln

2

20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = e3x+ 1+C

31

Dạng 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến

Trang 10

5 ∫ f ( cos sin x ) xdx Đặt t = cos x

a x

=++

−

=++

>

±

=++

0

;

2 2

a t

x a c

bx ax

c bx ax x

x t c bx ax

c c xt c bx ax

b ax

−

∫

Trang 11

Đặt : t= cosx ↔ =t2 cosx⇒2tdt=-sinxdx.

Do đó : sin3x cosxdx= −(1 cos2x) cosx sinxdx= t( 4−1 2)t tdt=2(t6−t dt2) .

x t x

Trang 12

Trang 13

Trang 14

t c

x x = x = t c t = =

.sint-1 sint+1

C t

Trang 15

x x

++

dt x

udu u

du u I

tan 3 tan

2

cos3

11tan.33

1tan3

C x

x

x C

t

t C

++

+

=++

=+

=

74

23

11

3

1sin

3

1

2 2

Bài 20.Tính nguyên hàma) =∫ + +

1

2 x x

xdx

12

x x

dx I

+

3 1

2

132

1

4

32

1

t

dt t

t x

xdx x

x

xdx

C x

x x

x

C t

t t

dt t

t I

+

=

+++

−+

=+

−

=

12

1ln2

11

1ln

2

112

31

13

2

1

2 2

3

1

Trang 16

t

dt dx t

x= ⇒ =−

t t

dt x

+

−

=+

21

2

C

x C

11

Trang 17

2 1 2

x x

Trang 18

Tính 1 1 cos 4

2

I = ∫ x xdx Đặt

1 1

2 2

Trang 19

2 2 2

1 1 1

dx

x x

Ta có

2 2

2ln ln

Trang 20

PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Bài 10: Tính tích phân I = ∫ sin xdx

Vậy I = 2sin x − 2 x cos x C +

Bài 11: Tính tích phân I = ∫ sin ln ( ) x dx

Trang 21

GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ơn thi ĐHCĐ

Bài 6: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:

1)ịx e dx x = ex(x–1) + c 2)ịx cos(2x - 3)dx=1 sin(2 3) 1cos(2 3)

Trang 22

DẠNG 4: TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG NGUYÊN HÀM PHỤ

PP:

Giả sử cần tính I = ∫ f x dx ( ) Khi đó ta tìm nguyên hàm phụ J = ∫ g x dx ( ) sao cho việc

tính I J + và I J − đơn giản hơn

Bài 1: Tính nguyên hàm sin

Trang 23

4cos sin cos

Trang 24

Bài 1: Tìm nguyên hàm sau 1 21

Trang 25

- Trường hợp mẫu số có nghiệm kép hoặc vô nghiệm, ta biến đổi tử thành đạo hàm của mẫu

và cộng thêm một tích phân đơn giản

- Trường hợp mẫu có 2 nghiêm phân biệt x1<x2

Trang 26

Biến đổi tử thành đạo hàm của mẫu

Trang 27

Trang 28

TH1: Nếu bậc của P(x)> Q(x) ta chia tử cho mẫu

TH2: Q x có các nghiệm đơn khác nhau, giả sử ( ) Q x ( ) ( = − x a x b x c ) ( − ) ( − ) Khi đó ta tìm A , B , C sao cho ( )

+

∫ Giải:

Ta thực hiện chia tử cho mẫu: Ta có : 3 2 22 4 9 2 21

Trang 29

Tính tích phân J=

2 2 0

Trang 30

C C

2 2

Trang 31

( ) ( )

2 2

Trang 32

=

∫ Giải:

=

∫ Giải:

Trang 33

11

∫ Giải:

Chia tử và mẫu cho 2

0

x ≠ , ta có :

( )

2 2

11

x

I dx x

+

=+

Trang 34

x x

=

+

∫ Giải:

x x

=

−

∫ Gỉai

x x x x

Trang 35

Trang 36

Trang 37

Đs:

Trang 38

Bài 3: Tính nguyên hàm

Trang 39

DẠNG 6: NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC.

PP:

Để xác định nguyên hàm các hàm số lượng giác ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau :

1 Sử dụng dạng nguyên hàm cơ bản

2 Sử dụng phương pháp biến đổi lượng giác đưa về các nguyên hàm cơ bản

3 Phương pháp đổi biến

4 Phương pháp tích phân từng phần

sina.sinb = 1/2[cos(a-b) - cos(a+b)]

cosa.cosb = 1/2[cos(a-b) + cos(a+b)]

sina.cosb = 1/2[sin(a-b) + sin(a+b)]

Loại 1: Nguyên hàm vân dụng công thức biến đổi I= ∫ f x dx( )

Bài 1: Tính nguyên hàm I = ∫ cos3 cos 4 x xdx

Trang 40

1 cos 1 cos7 1 sin 1 sin 7

Ta có:

Trang 41

3 sin 2 3 sin 4 1 sin 6 1

x x

=∫ Giải

Nhân cả tử và mẫu cho Cosx

x x

=∫ Giải

Nhân cả tử và mẫu cho Cosx

sin 4 cos 2 cossin 3

Trang 42

x

=∫ Giải

x u

Bài 12 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số :

Trang 43

Loại 2: Nguyên hàm chứa Sinx, Cosx: ∫ R ( sin ,cos x x dx )

với R ( sin ,cos x x ) là một hàm hữu tỉ theo sinx, cosx

+) Nếu R ( sin ,cos x x ) là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là

R ( − sin , cos x − x ) = R ( sin ,cos x x ) thì đặt t = tan x hoặc t = cot x , sau đó đưa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t.

+) Nếu R ( sin ,cos x x ) là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là:

Trang 44

R ( − sin ,cos x x ) = − R ( sin ,cos x x ) thì đặt t = cos x

+) Nếu R ( sin ,cos x x ) là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là:

R ( sin , cos x − x ) = − R ( sin ,cos x x ) thì đặt t = sin x

Loại 3: Nguyên hàm có dạng sin ( ) ( sin )

dx I

( 1 ) sin ( ) ( cos ( ) ) ( cos ( ) ) ( sin )

Trang 45

Ta có:

cos

4 1

2 cos

Trang 46

Trang 47

1 sin

Trang 48

Trang 49

Đặt

2

2 2 2 2

2 1 2 sin

1 tan

cos

1 2 tan

1

dt dx

t t x

t x

t t x

=

∫ Giải

Đặt

2

2 2 2

2 1 2

1 cos

1

dt dx

t

t t x

=

∫ Giải

Đặt

2

2 2 2

2 1 2

1 cos

1

dt dx

t

t t x

Trang 50

x t

=

+

∫ Giải

Đặt

2 2 2

2 1 2

2 tan

1

dt dx

t

t t x

Trang 51

t

= + và

2 2

1 cos

1

t x

t

−

= + Đã biết cách tính ở dạng 5

3 sin cos

dx I

=

+

∫ Giải

=

−

∫ Giải

Ta có:

1 2

=

∫ pp: Chia cả tử và mẫu cho cos x2

( tan2 tan ) cos2

dx I

Trang 52

3sin 2sin cos cos

dx I

=

∫ Giải

Chia cả tử và mẫu cho cos x2

=

∫ Giải:

Chia cả tử và mẫu cho cos x2

Trang 53

Trang 54

Trang 55

2 1 2

1 cos

1

dt dx

t

t t x

x t

Vậy:

tan 2

Biến đổi : 5sinx a= (2sinx c− osx+1) (+b 2 cosx+sinx)+ =c (2a b+ )sinx+ 2b-a osx+a+c( )c

Trang 56

Bài tập tương tự

Bài 1

Bài 2

Trang 57

Trang 58

C C

Trang 59

Trang 60

1 2

0 3

x+

3 25

51

x dx x

−+

5 2

3 2

Trang 61

Trang 62

GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ơn thi ĐHCĐ

Do

2 2

3 1 tan

2 3

2

tan2

dx

x dt

x t

00

t x

π

6

121

15

1

131

24

12

1 0

2 1

0

2

2 2

2 1

=+

−

=

+

=++

−++

t

t t

t

t I

c) Đặt :

5cos3sin45cos3sin4

sin3cos45

cos3sin

4

6cos7sin

++

+++

−+

=++

++

x x

C x

x

x x

B A x

x

x x

9ln25

cos3sin4ln

5cos3sin4

15

cos3sin4

sin3cos415

cos3sin4

6cos7sin

1 2 0

2 0

2

0

2

++

=+++

+++

−+

=++

++

π

π π

I x

x x

dx x

x x

x

x x

dx x x

x x

dxe

32

x t

đặt

;

Trang 63

x t

π

, đặt t = 2sinx + 3.

i) I=

1 2 0

2 5

3

) 1

(

1

0

5 3

Trang 64

1 x dx−

1 2

2 0

Trang 65

Bài tập tương tư

Bài 1: Tính các tích phân sau:

x dx2x 1+

π

dx x

π

dx x

x

3

5ln2

= 18) ∫

++

1 2

Trang 66

Bài 2: Tính các tích phân sau:

2

x x

dx x

1 4

− −

∫2 2 1

6

x dx

∫04sin3 sinx 2 coscosx dx

15.2

3 0

( osx+sinx)

x x

dx c

sin sin 3 cos

e dx

e +

6

Trang 67

2 ln x

dx2x

dx

x 3+ + x 1+

37)

.dx

+ +

x x

4x 1

dx2x 1 2

−+ +

2

x x

dx x

π

++

Trang 68

dx x

1

π

xdx x

tancos 2

x dx x

2 sin x dx

Trang 69

e =

8

2 33

ln x x x

dx x

11

x dx x

++

cos cos sin

x x =

7 32

Trang 70

ax

f x cosax dx e

dx du x

u

0 1

0

1 0 1

xdx dv

xdx du

x u

sincos

2

4sin

.2cos

0

2 0

2 2

0 1

0

π π

x x dx e x

I x

Trang 71

Ta đi tính tích phân ∫2

0

sin

π

xdx x

xdx dv

dx du x

u

cossin

0 2 0 2

0

2 0 2

0

=+

−

=+

−

π π π

x x xdx x

x xdx x

Thế vào (1) ta được :

4

8

2 1

0 1

dv

dx x du x

u ln 1

1

1 1

x x x dx x

x xdx I

cos

π

dx x

xdx dv

dx e du e

cossin

0 0 0

1 e sinxdx e cosx e cosxdx e 1 J 1

xdx dv

dx e du e

sincos

Vậy : J =∫πe x xdx=e x xπ −π∫e x xdx=−I

0 0 0

sin.sin

.cos

Thế vào (1) ta được :

2

11

I e

dx x dv

dx du x

u

tancos

ln4tan

tan

4 0 4 4

0

2

π π π

x xdx

x x dx x

x I

dv

dx x x

du x

u cosln 1sin ln

Vậy : I ( )x dx x ( )x ( )x dx (e ) J

e e

e

++

−

=+

=

1

1 1

π π π

Trang 72

dv

dx x x

du x

u sin ln 1cosln

1

1 1

3 sin lnx dx x.sin lnx cos lnx dx 0 I

I

e e

2 0

x

xe dx

2 0

1 4

Trang 73

π

++

x

=

16

2ln2

3−

Trang 74

++

tgx dx x

π

ln 3 16

11

3

2 0

Trang 75

x

0 6

p 2

Trang 76

a

dx x f dx x f dx x f I

0

)()

()

J ( )Đặt x=−t⇒dx=−dt

a t a x

0

4 sin

xdx I

0

4 sin

xdx I

)1

1ln(

.2cos

x

x x

4

3.sin

Trang 77

Bài toán 2.Cho hàm số y = f x ( ) liên tục và chẵn trên đoạn [ − a a ; ] Khi đó

0

4 sin

x

dx x

Trang 78

x I

x x I

Bài toán 3.Cho hàm số y = f x ( ) liên tục và chẵn trên đoạn[−α:α] Khi đó

∫ ∫

−

= +

α

α α

dx x f dx

a

x f

2

1 1

) (

Chứng minh: Đặt t= -x ⇒ dt= - dx

Ta có f(x) = f(-t)= f(t); ax+1= a-t+1= t 1

t

a a

= +

α

α α

dt t f a

a dt

a

t f a dx

a

x f

t t

t

1

1 1 1

) ( 1

) (

+

= α

α

α α

I dx x f dt

a

t f dt

t

1

) ( )

α

α α

dx x f dx

a

x f

2

1 1

) (

Ví dụ : Tính tích phân:

1 4

4 4

1

4

1 2

2 1

t dx

x

t t

1

t dt

Trang 79

Suy ra

5

1 5

2

1 2

1

5 1

1

2cos

π

+

Giải: Đặt x = − π t ( 0 ≤ ≤ t π ) ⇒ dx = − dt

Trang 80

2

2)]

1[ln(

cos

π

dx x x

2 1

2

1ln)sin2sin4

x

x x

Trang 81

1

3 2

0

)sin(sinx mx dx

−

0 1 2

2

dx e

a b a b x

dx

e 2

2

2 ) (

với a, b dương bất kì (Bài toán 2)

Bài 3 Tính các tích phân sau (Bài toán 3)

2

12007

)1ln(

2

1)12(

)1ln(

dx x

x x

x

2 2

2

15sin

x

n n

sin

π

dx x x

π

dx x x

1

π

dx x

2 0

1

sin

cossin

π

dx x x

x x

n n

Phương pháp giải toán:

B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’)

Dùng phơng pháp xét dấu để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

TH1: Nếu phương trình f(x) = 0 vô nghiệm trong (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:

Trang 82

Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm làm tương tự trường hợp 3

* Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x)=0

Có thể dùng pháp xét dấu để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

Nếu tích diện tích hình phẳng giới hạn bởi x = f(y) và x = g(y) thì ta giải như trên nhưng nhớ đổi vai trò x cho y (xem Bài 13)

Trang 83

1 A

sinx dx sinxdx sinxdx = cosxπ0 + cosxπ2π = 4

Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx , trục hoành , trục tung và đường

lnln

2

x v

dx x du xdx

421

ln2

1.21

ln2ln

2 2

2 1

2 2

x xdx x

S

e e

Trang 84

Trang 85

Trang 86

Hoành độ của hai giao điểm A, B là nghiệm phương trình:

Trang 87

2 THỂ TÍCH HÌNH PHẲNG

Dạng 1: Giả sử (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng

x = a , x = b , trong đó ( a < b)

Quay hình phẳng (H) quanh trục hoành ta được một vật thể tròn xoay

Thể tích của vật thể này được tính theo công thức :

Bài 1: Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 – 2x, y

= 0, x = 0, x = 1 quanh trục hoành Ox

Giải: Theo công thức (2), ta có:

13

xdx du

Trang 88

x

V

e e

dx x x du

e uv xdx

1

2 2 1

2 e

1 1

1 ln vdu 1

dx x

du dx

dv

x

u ln 1

1)1(1)(1lnln1

)ln(

ln

1 1

e e

33b

Trang 89

Trang 90

Trang 91

Trang 92

Trang 93

p p

Trang 94

t t

.Vậy S = 2- 2 ln 2

Trang 95

-GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ

Trang 96

7) Tung độ giao điểm

8) Hoành độ giao điểm x2 + 2 = 4- x2 Û x = ±1

Tiêu đề	Chuyên đề Tích Phân chi tiết, đầy đủ các dạng
Tác giả	Nguyễn Đức Kiên
Trường học	Trường Đại học Văn Lang
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Chuyên đề
Thành phố	Văn Lang - Hưng Hà - Thái Bình

Định dạng
Số trang	96
Dung lượng	6,21 MB