P là một điểm khác trên parabol sao cho OP ⊥ OM.. Viết phương trình đường thẳng MP; 2.. Chứng minh rằng khi M di động, thì đường thẳng MP đi qua một điểm cố định; 3.. Tìm quỹ tích điểm I
Trang 1SỞ GD & ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10
TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC (Thời gian làm bài 120 phút)
Năm học 2010-2011
Câu 1: (6 điểm)
Cho parabol y = x2 M là một điểm bất kỳ trên parabol và M ≠ O (O là gốc tọa độ)
P là một điểm khác trên parabol sao cho OP ⊥ OM
1) Viết phương trình đường thẳng MP;
2) Chứng minh rằng khi M di động, thì đường thẳng MP đi qua một điểm cố định; 3) Gọi I là trung điểm của MP Tìm quỹ tích điểm I.
Câu 2: (4 điểm)
Giải phương trình và hệ phương trình sau:
1) x3 +1=23 2x−1 ;
2)
= +
−
=
− +
− 6
2 3
2 5 2 6 1 3
2
y x
y x
x y
.
Câu 3: (3 điểm)
Cho a, b, c, d ≥ 0 và a+b+c+d ≤ 4 Chứng minh bất đẳng thức sau:
d 1
d c
1
c b
1
b a
1
a d
1
1 c 1
1 b 1
1 a 1
1
+
+ +
+ +
+ +
≥ +
+ +
+ +
+
Câu 4: (3 điểm)
Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau:
(C): x2 + y2 -1 = 0; (C’): (x - 8)2 + (y - 6)2 = 16.
Câu 5: (4 điểm)
1) Cho tam giác ABC cân tại C cạnh AB: 2x - 3y + 11= 0, cạnh AC: x + 5y – 14 = 0 Cạnh BC đi qua điểm M(3;-3) Hãy viết phương trình cạnh BC.
2) Cho ba điểm A(-1;-2), B(4;-1), C(3;2) và đường thẳng d: x−2y−2=0 Tìm M thuộc d sao cho MA+MB+MC đạt giá trị nhỏ nhất.
- Hết
Trang 2-SỞ GD & ĐT HÀ NỘI ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10
TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC (Đáp án vắn tắt và biểu điểm)
Năm học 2010-2011
điểm Câu 1:
(6 đ) Cho parabol y = x2 M là một điểm bất kỳ trên parabol và M ≠ O (O là gốc tọa độ)
P là một điểm khác trên parabol sao cho OP ⊥ OM
1) Viết phương trình đường thẳng MP;
Giả sử điểm M(m ; m2) lập luận chỉ ra được tọa độ điểm P(-1/m ;1/m2), m ≠ 0 1 đ
Viết được phương trình đường thẳng MP : m(m2 – 1)x – m2y + m2 = 0 1 đ
2) Chứng minh rằng khi M di động, thì đường thẳng MP đi qua một điểm cố định;
3) Gọi I là trung điểm của MP Tìm quỹ tích điểm I
Câu 2:
(4 đ) Giải phương trình và hệ phương trình sau: x3 +1=23 2x−1
1) Đặt t =3 2x−1, ta có t3 = 2x -1 Do đó ta có hệ phương trình:
= +
= +
x t
t x
2 1
2 1 3
3
⇔
= + + +
−
= +
0 ) 2 )(
(
2 1
2 2
3
t xt x t x
t x
1 đ
Giải hệ tìm được tập nghiệm
=
2
5 1
; 2
5 1
; 1
2)
= +
−
=
− +
− 6
2 3
2 5 2 6 1 3
2
y x
y x
x y
⇔
=
+
−
= +
− +
−
5
2 )
1 3 (
5
2 1 3
2 1 3
2 2
y x
y
x y
x
1 đ
= +
= + +
5
5
2
2 v u
v v u u
Suy ra được (x, y) = {(5/3 ; 2 ), (2/3 ; 2 /2)
Câu 3:
(3 đ)
Cho a, b, c, d ≥0 và a+b+c+d≤4 Chứng minh bất đẳng thức sau:
d 1
d c
1
c b
1
b a
1
a d
1
1 c 1
1 b 1
1 a 1
1
+
+ +
+ +
+ +
≥ +
+ +
+ +
+
* Cã
4 ( 1 a )( 1 b )( 1 c )( 1 d )
4 d
1
1 c 1
1 b 1
1 a 1
1
+ + +
+
≥ +
+ +
+ +
+ +
4
4 ) 1 )(
1 )(
1 )(
1 (
4 +a +b +c +d ≤ +a+c+b+d ≤ nên VT ≥ 2 (1) 1 đ
2
1 a 1
a a
2 a
+
⇔
≥
Trang 3Từ (1), (2) có Đpcm, dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=d=1 1 đ
Cõu 4:
(3 đ)
Viết phương trỡnh tiếp tuyến chung của hai đường trũn sau:
(C): x2 + y2 -1 = 0; (C’): (x-8)2 + (y-6)2 = 16
Đường thẳng Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến chung của hai đường trũn, ta phải cú :
1 2
A
C
2
+
+ +
B A
C B A
Từ đú suy ra 8A+6B+C =4C hay 8A+6B+C = ± 4C 1 đ
TH1: 8A+6B+C = 4C … cú hai tiếp tuyến chung:
0 91 8 18 55 ) 91 3 48
(− + x+ y− + = và (−48−3 91)x+55y−18−8 91=0 1 đ
TH2: 8A+6B+C = - 4C … cú hai tiếp tuyến chung:
0 3 40 30 39 ) 3 25 48
(− + x+ y+ − = và (−48−25 3)x+39y+30+40 3 =0 1 đ
Cõu 5:
(4 đ)
1) Cho tam giỏc ABC cõn tại C cạnh AB: 2x - 3y + 11= 0, cạnh AC: x + 5y – 14 = 0 Cạnh BC đi qua điểm M(3;-3) Hóy viết phương trỡnh cạnh BC.
Ta cú gúc A của tam giỏc ABC là gúc tạo bởi hai đường thẳng (AB) và (AC) , do đú
0
2
4 9 1 25 13 2
r với ( 2 2
0
a +b ≠ ) là một VTPT của đường thẳng (BC) , vỡ (BC) đi qua M(3;-3) nờn phương trỡnh (BC) cú dạng:
a(x-3) + b(y+3) = 0 hay ax + by - 3a + 3b = 0 ∆ABC cõn tại C nờn cos cos 2
2
A= B=
Từ đú:
2 2
2
a b
a b
−
(Loại)
1 đ
1 đ
Xột
2
1
5
b
a
b = − Với 1
5
a
b = thỡ phương trỡnh (BC):
x+5y+12=0 Với a 5
b = − thỡ phương tinh (BC): 5x – y – 18 = 0 Nhận thấy đường thẳng x+5y+12=0 song song với (AC) nờn bị loại Do đú đường thẳng (BC): 5x – y – 18 = 0
1 đ
2)
Cho ba điểm A(-1;-2), B(4;-1), C(3;2) và đường thẳng d: x−2y−2=0
Tỡm M thuộc d sau cho MA+MB+MC đạt giỏ trị nhỏ nhất
Gọi G là trọng tõm của tam giỏc ABC thỡ (2; 1)
3
G − M thuộc (∆) ta cú
MA MB MC+ + = MG⇒ MA MB MC+ + = MG
uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur
.Từ đú MA MB MCuuur uuur uuuur+ + nhỏ nhất khi
MG
uuuur
nhỏ nhất khi M là hỡnh chiếu vuụng gúc của G trờn (∆) Tỡm được (28; 1)
15 15
1 đ