định lý viét

Ông đã phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình bậc hai và ngày nay nó được phát biểu thành một định lí mang tên ông... a Chỉ rõ các hệ số a,b,c của phươn

Chuyeõn ủeà Toồ Toaựn

Trường : thcs ngô quyền

Δ ’= b’2 – ac = 9 – 5 = 4 > 0 ⇒ ∆, = 2

Vậy pt có hai nghiệm phân biệt là:

∆

1

2

;

Ta có : a = 1 , b’= -3 , c = 5

Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx +c = 0

có nghiệm thì dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép ta đều có thể viết các nghiệm đó dưới dạng:

a

b x

, a

b x

2

1

∆

−

−

=

∆ +

−

=

Hãy tính : x 1 +x 2 = ?

x 1 x 2 = ?

1 2

x x

− + ∆ − − ∆

( ) 2

2 2

a b

a

− + ∆ + − − ∆

=

−

= = - b

a

1 2

x x

− + ∆   − − ∆ 

=  ÷ ÷ × ÷÷

2

4 4

ac a

= = c

a

1 HÖ thøc vi- Ðt

Phrăng-xoa Vi-ét là nhà Toán học- một luật sư và là một nhà chính trị gia nổi tiếng người Pháp (1540 - 1603) Ông đã phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm

và các hệ số của phương trình bậc hai

và ngày nay nó được phát biểu thành một định lí mang tên ông

F.Viète

§Þnh lÝ vi- Ðt

NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña ph­

¬ng tr×nh ax 2 + bx + c= 0 (a≠0) th×















=

−

= +

a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

Áp dụng: Biết rằng các phương trình sau có nghiệm, không giải phương trình, hãy tính tổng và tích của chúng:

a/ 2x2 - 9x + 2 = 0

b/ -3x2 + 6x -1 = 0

Gi iả a/ x1+ x2 =

x1.x2 = 1

( )9 9

2 2

− −

=

b/ x1+ x2 =

x1.x2=

6 2 3

− =

−

− =

−

¸p dông

§Þnh lÝ vi- Ðt

NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña ph­

¬ng tr×nh ax 2 + bx + c= 0 (a≠0) th×















=

−

= +

a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

Hoạt Động nhóm

Nhóm 1 và nhóm 2 ( Làm ?2 )

Cho phương trình 2x2- 5x+3 = 0 a) Xác định các hệ số a,b,c rồi tính a+b+c b) Chứng tỏ x1 = 1 là một nghiệm của phư

ơng trình

c) Dùng định lý Vi- ét để tìm x2.

Nhóm 3 và nhóm 4 ( Làm ?3 )

Cho phương trình 3x2 +7x+4=0

a) Chỉ rõ các hệ số a,b,c của phương trình v tính a-b+cà

b) Chứng tỏ x1= -1 là một nghiệm của phương trình

c) Tìm nghiệm x2.

1 Hệ thức vi ét

Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm

của phương trình ax2 + bx + c= 0(a≠0) thì













=

−

= +

a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

áp dụng

Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm

của phương trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0)

thì :

n g

q u

á t 1

:

N ế u

p h

ư

ơ n g

t r

ì n h

a x

2

+ b x + c

= 0

( a

≠ 0 )

c ó

a + b + c

= 0

t h

ì

p h

ư

ơ n g

t r

ì n h

c ó

m

ô t

n g h i ệ m x

1

= 1 ,

c ò n

n g h i ệ m

k i a

l à

x

2

=

Phương trỡnh 2x2 -5x + 3 = 0 a/ a =2 ; b = - 5 ; c = 3

a+b+c =2+(-5)+3=0 b/ Thay x=1 vào phương trỡnh ta được: 2+(-5)+3=0

Vậy x=1 là một nghiệm của phương trỡnh

c/ Ta cú x1.x2= => x3 2 =

2

c

2

ĐÁP ÁN: ?2 –SGK-51















=

−

= +

a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

1 Hệ thức vi ét

Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm

của phương trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì

áp dụng

ĐÁP ÁN ?3-sgk-51















=

−

= +

a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

a/ a =3 ; b = 7 ; c = 4 a-b+c =3 + (- 7) + 4 = 0 b/ Thay x= -1 vào phương trỡnh

ta được: 3+(-7)+4=0 Vậy x= -1 là một nghiệm của phương trỡnh

c/ Ta cú x1.x2= =>x2 =

Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm

của phương trình ax2 + bx + c= 0(a≠0) thì













=

−

= +

a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

áp dụng

?4 :Tính nhẩm nghiệm của phương trình

b/ 2004x2+2005x +1=0

có a=2004 ,b=2005 ,c=1

=>a-b+c=2004-2005+1=0

x2= - 1

2004

Vậy x1= -1,

a/ -5x2 +3x+2=0 có a=-5, b=3, c=2

=>a+b+c= -5+3+2= 0

−

Lời giải

ax2+bx+c = 0 (a 0) có a+b+c =0 thì ≠

phương trình có một nghiệm là x1 = 1

Còn nghiệm kia là

Tổng quát 2:Nếu phương trình

ax2+bx+c =o (a 0) có a- b+c = 0 thì phư≠

ơng trình có một nghiệm là x1 = − 1

Còn nghiệm kia là 2 c

x

a

= −

2

c x

a

=

1.Hệ thức vi ét

Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm

của phương trình ax2 + bx + c= 0(a≠0) thì













=

−

= +

a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

áp dụng

Tổng quát 1 :(SGK-51)

Tổng quát 2:(SGK-51)

2 Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng :

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P

thì hai số đó là hai nghiệm của phương

trình x2 – Sx + P = 0

Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ≥0

+ giả sử hai số có tổng là S và tích bằng P Gọi một số là x thì số kia là

x(S – x) = P

Nếu Δ= S2- 4P ≥0, thì phương trình (1) có nghiệm.Các nghiệm này chính là hai số cần tìm

áp dụng

Ví dụ 1: Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180

Giải :

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình

x2_ 27x +180 = 0

Δ = 272- 4.1.180 = 729-720 = 9 >0

12 2

3 27 15

2

3

27

2

1 = + = ,x = − = x

Vậy hai số cần tìm là 15 và 12

S -x

Theo giả thiết ta có phương trình

<=> x 2 - Sx + P= 0 (1)

Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm

của phương trình ax2 + bx + c= 0(a≠0) thì













=

−

= +

a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

áp dụng

Tổng quát 1 :(SGK)

Tổng quát 2:(SGK)

2 Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng :

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P

thì hai số đó là hai nghiệm của phương

trình x2 – Sx + P = 0

Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ≥0

?5 Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5

Giải Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình : x2- x + 5 = 0

Δ= (-1)2 – 4.1.5 = -19 < 0

Phương trình vô nghiệm

Vậy không có hai số nào có tổng bằmg 1

và tích bằng 5

Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của phương trình x2-5x+6 = 0

Giải

Δ = 25 – 24 = 1>0

Vì: 2+3 =5; 2.3 = 6, nên x1= 2, x2= 3 là hai nghiệm của phương trình đã cho

1.Hệ thức vi ét

Định lí Vi-ét:

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương

trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì       = − = + a c x x a b x x 2 1 2 1 áp dụng Tổng quát 1 :(SGK) Tổng quát 2:(SGK) 2.Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng : Nếu hai số có tổng bằng S và tích

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của

phương trình x2 – Sx + P = 0

Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ≥0 Luyện tập Bài tập 25: Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có) Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống ( )

a/ 2x2- 17x+1= 0, Δ = x1+x2=

x1.x2=

b/ 5x2- x- 35 = 0, Δ = x1+x2=

x1.x2=

c/ 8x2- x+1=0, Δ = x1+x2=

x1.x2=

d/ 25x2 + 10x+1= 0, Δ = x1+x2=

x1.x2=

2

1 2

5 -7

-31

5

−

1 25

Khụng cú Khụng cú

Định lí Vi-ét:

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương

trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì













=

−

= +

a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

áp dụng

Tổng quát 1 :(SGK)

Tổng quát 2:(SGK)

2.Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng :

Nếu hai số có tổng bằng S và tích

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của

phương trình x2 – Sx

+ P = 0

Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ≥0

a) Bài vừa học:

-Học thuộc định lớ Vi-ột và

cỏch tỡm hai số biết tổng và tớch -Nắm vững cỏch nhẩm nghiệm: a+b+c=0; a-b+c=0 -Trường hợp tổng và tớch của hai nghiệm ( S và P) là những số nguyờn cú giỏ trị tuyệt đối khụng quỏ lớn BTVN : 28bc / tr53 , 29/ tr54 (SGK)

Bổ sung thờm: Bài tập 38,41 trang 43,44 SBT

Chuyên đề Tổ Toán