2 Dạng 2 : Không giải phương trình hãy tính tổng, tích hai nghiệm, tính nghiệm còn lại khi biết trước một nghiệm... Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai có các nghi
Trang 1A Kiến thức cần nhớ
I.Định nghĩa : Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng 2
0
ax + + =bx c trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a≠0
II.Công thức nghiệm của phương trình bậc hai :
Phương trình bậc hai 2
0 ( 0)
ax + + =bx c a≠
∆ = ư
1 Nếu ∆ >0 phương trình có hai nghiệm phân biệt :
ư + ∆ ư ư ∆
2 Nếu ∆ =0 phương trình có nghiệm kép :
2
b
a
ư
= =
3 Nếu ∆ <0 phương trình vô nghiệm
III.Công thức nghiệm thu gọn :
Phương trình bậc hai 2
0 ( 0)
ax + + =bx c a≠ và b=2b '
' b ' ac
∆ = ư
1 Nếu ' 0∆ > phương trình có hai nghiệm phân biệt :
x1 b' ';x2 b' '
ư + ∆ ư ư ∆
2 Nếu ' 0∆ = phương trình có nghiệm kép :
a
ư
= =
3 Nếu ' 0∆ < phương trình vô nghiệm
IV.Hệ thức Vi-et và ứng dụng :
1 Nếu x1; x là hai nghiệm của phương trình 2 ax2+ + =bx c 0 (a≠0) thì :
Chuyờn ủề 3: Phương trỡnh bậc hai – ủịnh lý viet
Trang 2Trang 2
1 2
b
a c
x x a
+ = ư
2 Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình :
x Sx+ =P (Điều kiện để có u và v là 2
S ư4P≥0)
3 Nếu a + b + c = 0 thì phương trình 2
0 ( 0)
ax + + =bx c a≠ có hai nghiệm :
x1 1;x2 c
a
= =
4 Nếu a - b + c = 0 thì phương trình 2
0 ( 0)
ax + + =bx c a≠ có hai nghiệm :
x1 1; x2 c
a
= ư = ư
V.Cách giải một số dạng toán về phương trình bậc hai :
Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai 2
0
ax + bx + c = (trong đó
a, b, c phụ thuộc tham số m ) thỏa mãn
1 Có hai nghiệm phân biệt ⇔
>
∆
≠ 0
0
a
hoặc
>
∆
≠ 0
0
'
a
2 Có một nghiệm hay nghiệm kép ⇔
≠
= 0
0
b
a
hoặc
=
∆
≠ 0
0
a
hoặc
=
∆
≠ 0
0
'
a
<
∆
≠ 0
0
a
hoặc
<
∆
≠ 0
0
'
a
4 Có Hai nghiệm cựng dấu ⇔
>
=
≥
∆
0 0
a
c
P hoặc
>
=
≥
∆
0
0
'
a
c
5 Có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0 hoặc a.c < 0
Trang 36 Có hai nghiệm dương ⇔
>
ư
=
>
=
≥
∆
0 0 0
a
b S a
c
P hoặc
>
ư
=
>
=
≥
∆
0 0
0
'
a
b S a
c
<
ư
=
>
=
≥
∆
0 0 0
a
b S a
c
P hoặc
<
ư
=
>
=
≥
∆
0 0
0
'
a
b S a
c
8 Có hai nghiệm đối nhau ⇔ 0
0
S
∆ ≥
=
9 Có hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ 0
1
P
∆ ≥
=
10 Có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ . 0
0
a c S
<
<
11 Có hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ . 0
0
a c S
<
>
B Bài tập :
Dạng 1 : Giải phương trình
Bài 1 Giải các phương trình sau :
1 2
2x 3x 5 0
ư + + =
4 2 3 6
x
x+ + = x
2
2x + 5 x = 0 6 2
x ư x =
7 2
2x + 3 = 0 8 2
2x + 5 x + 2 = 0
10 2
6x + x + 5 = 0 11 2
2x + 5 x + 3 = 0 12 2
25x ư20x+ =4 0
3x ư2 3xư =2 0 14. 2 ( )
3x + ư3 2 xư 2=0 15 2 ( )
Dạng 2 : Không giải phương trình hãy tính tổng, tích hai nghiệm, tính nghiệm còn lại
khi biết trước một nghiệm
Trang 4Trang 4
Bµi 1 Cho ph−¬ng tr×nh 2
x - 8x + 15 = 0 , kh«ng gi¶I ph−¬ng tr×nh h·y tÝnh
1 x1+ x2 2 x x 3 1 2 x12+ x22
4 ( )2
x + x 5
x + x 6 1 2
x + x
7 2 2
x + x 8 x13+ x32 9 4 4
x + x
10 1 2
− + −
11
− − 12 x1−x2
13 1 2
x + x 14 1 2
+ + + 15 1 2
+ + +
16 2 2
1- 2
x x 17 x1 x2 +x2 x1 18 8 8
x + x
Bµi 2 Cho ph−¬ng tr×nh 2
x + x+ = , cã hai nghiÖm x1, x , kh«ng gi¶I ph−¬ng tr×nh h·y tÝnh : 2
A
=
Bµi 3
1 Cho ph−¬ng tr×nh 2
x mx+ = Cã mét nghiÖm b»ng 2, h·y t×m m vµ tÝnh nghiÖm cßn l¹i
2 Cho ph−¬ng tr×nh 2
x + x+ =q , Cã mét nghiÖm b»ng 5, t×m q vµ tÝnh nghiÖm cßn l¹i
D¹ng 3 : T×m hai sè khi biÕt tæng vµ tÝch cña chóng
Bµi 1 T×m hai sè a, b biÕt
1 Tæng cña chóng b»ng 27 vµ tÝch cña chóng b»ng 180
2 Tæng cña chóng b»ng 6 vµ tÝch cña chóng b»ng -315
3 Tæng cña chóng b»ng 4 vµ tÝch cña chóng b»ng 50
Bµi 2 T×m hai sè u, v biÕt
1 u+ =v 32 vµ u v=231 2 u+ = −v 8 vµ u v= −105
3 u− =v 5 vµ u v=24 4 2 2
85
u + =v vµ u v=18
Trang 55 uư =v 10 và u v=24 6 2 2
25
u + =v và u v= ư12
Dạng 4 : Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm
Bài 1 Lập phương trình bậc hai khi biết
1 x1 =8 và x2 =3 2 x1 =5 và x2 = ư7
3 x1 = +1 2 và x2 = ư1 2 4 1 1
x = + và 2
1
x =
ư
Bài 2 Giả sử x1, x là hai nghiệm cửa phương trình 2 2x2ư7xư =3 0 Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm sau :
1 3x và 1 3x 2 2 ư2x1 và ư2x2
3 2
1
1
x và 2
2
1
2
1
x x
+
và 2 1
1
x x
+
5 1
2
1
x x
+ và 2
1
1
x x
+ 6
2
1 1
x + và 1
1 2
x +
Bài 3 Gọi p, q là hai nghiệm của phương trình 2
3x +7x+ =4 0 Không giảI phương trình, hãy lập
phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là
1
p
qư và 1
q
pư
Bài 4 Chứng minh rằng nếu a1, a2 là hai nghiệm của phương trình 2
x +px+ = và b b là hai 1, 2 nghiệm của phương trình 2
x +qx+ = thì :
a ưb a ưb a +b a +b = q ưp
Bài 5 Chứng minh rằng nếu tích một nghiệm của phương trình 2
x +ax+ = với một nghiệm nào đó của phương trình 2
x + + =bx thì : 242 12 12 2
a b ưa ưb =
Bài 6 Cho phương trình 2
0
x +px+ =q chứng minh rằng nếu 2
2p ư9q=0, thì phương trình có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn về sự có nghiệm của phương trình bậc hai
Bài 1 Cho phương trình 2
x ư x+ ư =m , tìm m để phương trình
Trang 6Trang 6
1 Có hai nghiệm phân biệt
2 Có nghiệm kép
3 Vô nghiệm
4 Có hai nghiệm trái dấu
5 Có hai nghiệm x1, x thoả mãn 2 x12+x22 =5
Bài 2 Cho phương trình 2
3x ư2xư + =m 1 0, tìm m để phương trình
1 Có nghiệm
2 Có hai nghiệm trái dấu
3 Có hai nghiệm dương
Bài 3 Cho phương trình ( ) 2
mư x ư mx+ ư =m Có hai nghiệm x1, x Tìm hệ thức liên hệ 2
giữa x và 1 x không phụ thuộc giá trị m 2
Bài 4 Gọi x1, x là hai nghiệm của phương trình 2 ( ) 2
mư x ư mx+ ư =m Chứng minh rằng biểu thức A=3(x1+x2)+2x x1 2ư8 không phụ thuộc giá trị m
Bài 5 Cho phương trình 2 ( ) ( )
x ư m+ x+ m+ = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x 2
thỏa : x1 =2x2 Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm của phương trình
Bài 6 Cho phương trình 2
x ư + =x m Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x thỏa một 2
trong các hệ thức sau :
1 2 2
x + x = 2 x1 =7x2
3 2x1+3x2 =26 4 x1ư =x2 2
Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
Bài 1 Cho phương trình 2 ( )
x + mư xư =m Gọi x1, x là hai nghiệm của phương trình, tìm m 2
để : 2 2
A=x + ưx x x có giá trị nhỏ nhất
Trang 7Bài 2 Cho phương trình 2
x ưmx+ ư =m , Gọi x1, x là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị 2
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức :
1 2
x x B
+
=
Bài 3 Cho phương trình 2
x ư mư xư ư =m Gọi x1, x là hai nghiệm của phương trình, tìm 2
giá trị m để 2 2
x +x ≥
Bài 4 Cho phương trình 2 2
x ư mư x+m ư = Xác định m để phương trình có hia nghiệm
x1, x thỏa mãn : 2
1 A= + ưx1 x2 3x x1 2, đạt giá trị lớn nhất
2 2 2
B=x + ưx x x , đạt giá trị nhỏ nhất
Dạng 7: Các bài toán tổng hợp
Bài 1 Cho phương trình: 2 ( ) 2
1 Giải phương trình với m = -1 và m = 3
2 Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 4
3 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
4 Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện x1 =x2
Bài 2 Cho phương trình : ( ) 2
m+ x + mx+ mư =
1 Giải phương trình với m = -2
2 Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
3 Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho vô nghiệm
4 Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 2x2
Bài 3 Cho phương trình: 2
x ưmx+ mư =
1 Giải phương trình với m = - 5
2 Tìm m để phương trình có nghiệm kép
3 Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
Trang 8Trang 8
4 Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m
5 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 4 Cho phương trình: 2 ( ) 2
x ư mư x+m ư m=
1 Giải phương trình với m = - 2
2 Tìm m để phương trình có một nghiệm x= ư2 Tìm nghiệm còn lại
3 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
4 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x và 1 x thỏa mãn: 2 x12+x22 8=
5 Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2
A x= +x
Bài 5 Cho phương trình: 2 ( )
x ư aư xư ư =a
1 Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a
2 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a
3 Tìm giá trị nhỏ nhật của biểu thức 2 2
A = x +x
Bài 6 Cho phương trình: 2 ( )
x ư mư x m+ ư =
1 Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
1 2 1 2
A=x x ưx ưx
Bài 7 Cho phương trình: ( ) 2
mư x + mx m+ + =
1 Giải phương trình với m = 4
2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
3 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn: 2 2
A=x x +x x
4 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài 8 Cho phương trình: 2 ( ) ( )
mx ư m+ x+ mư = (m là tham số)
1 Xác định m để các nghiệm x1; x của phương trình thoả mãn 2 x1+4x2 =3
2 Tìm một hệ thức giữa x1; x mà không phụ thuộc vào m 2
Trang 9Bài 9 Cho phương trình 2 ( ) ( )
1 Tìm m để phương trình có nghiệm
2 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá
trị tuyệt đối lớn hơn?
3 Xác định m để các nghiệm x1; x của phương trình thoả mãn: 2 x1+4x2 =3
4 Tìm một hệ thức giữa x1; x mà không phụ thuộc vào m 2
Bài 10 Gọi x1; x là nghiệm của phương trình: 2 2 ( ) 2
2x +2 m+1 x+m +4m+ =3 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A= x x1 2ư2x1ư2x2
Bài 11 Cho phương trình 2 ( )
x ư m+ x+ + =m (1)
1 Giải phương trình (1) khi m = - 3/2
2 Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
3 Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của pt (1), tìm giá trị của m để: ( ) ( ) 2
Bài 12 Cho phương trình x2 - 2mx + 2m - 1 = 0
1 Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm x1 , x2 với mọi m
2 Đặt ( 2 2)
A= x +x ư x x
A= m ư m+
b Tìm m sao cho A = 27
3 Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia
Trang 10Trang 10
Bài 13 Cho phương trình 2
3 0
x +mx+ ư =n (m, n là tham số)
1 Cho n = 0, chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m
2 Tìm m và n để 2 nghiệm x1, x của phương trình thỏa mãn hệ: 2 12 22
1 7
ư =
ư =
Bài 14 Cho phương trình ( ) 2
2mư1 x ư4mx+ =4 0
1 Giải phương trình với m = 1
2 Giải phương trình với m bất kì
3 Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm bằng m
Bài 15 Cho phương trình ( ) 2 ( )
1 Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m
2 Cho m = 5, không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức:
2 2
A=x +x và 3 3
B=x +x
3 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có các nghiệm đều là số nguyên
Bài 16 Cho phương trình 2 ( ) ( )
1 Giải phương trình khi m = 3
2 Tìm m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1, một nghiệm lớn hơn 1
3 Tìm m để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2
Trang 11Bài 17 Cho phương trình 2 ( ) ( )
1 Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m
2 Chứng minh rằng phương trình không thể có nghiệm bằng - 1
3 Biểu thị x theo 1 x 2
Bài 18 Tìm m để phương trình ( ) 2 ( )
mư x ư mư x+ ư =m có
1 Hai nghiệm cùng dấu
2 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
3 Đúng một nghiệm dương
4 Có ít nhất một nghiệm không âm
Bài 19 Cho phương trình :2x2 ư2mx+m2ư2=0
1 Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
2 Giả sử phương trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dương lớn nhất của phương
trình
Bài 20 Cho phương trình x2 ư2(m+1)x+2m+10=0 (với m là tham số)
1 Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình
2 Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2; hãy tìm một hệ thức liên
hệ giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m
3 Tìm giá trị của m để 2 2
10
A= x x + +x x đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 21 Cho phương trình (mư1)x2ư2mx+m+1=0 với m là tham số
1 CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ∀m≠1
Trang 12Trang 12
2 Xác định giá trị của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai
nghiêm của phương trình
3 Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
4 Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức: 0
2
5
1 2
2
x
x x
x
Bài 21 Giả sử phương trình a.x2+bx+c=0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2.Đặt n n
S = 1 + 2 (n nguyên dương)
1 CMR a.S n+2+bS n+1+cS n =0
2. áp dụng Tính giá trị của : A=
5 5
2
5 1 2
5 1
ư +
+
Bài 22 Cho phương trình : x2ư(2mư3)x+m2ư3m=0
1 CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
2 Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2thoả mãn 1< x1 < x2 <6
============== HẾT ===============