KIẾN THỨC VỀ DÃY SỐ MÔN TOÁN

: Dãy số bị chặn được định nghĩa như sau:  Dãy số ( ) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số sao cho: .Số nhỏ nhất được gọi là cận trên đúng của ( ).Ký hiệu sup u n.  Dãy số ( ) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số sao cho: . Số lớn nhất được gọi là cận dưới đúng của ( ).Ký hiệu inf u n.  Dãy số ( ) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại số và số sao cho .  Hệ Quả:

KIẾN THỨC VỀ DÃY SỐ

 Dạng Truy hồi

Dạng TQ: a.x =P(n) + ∑dα

với deg (P)= k phương pháp: gọi xi , xj lần lượt là nghiệm của pt:

ax = P(n) và ax = ∑dα khi đó số hạng tổng quát có dạng:

xn = ∑c.λ +xi +xj

với: λ là nghiệm của pt: ax = 0

x , x được xét như trên và TM các TH của ∑ai =/≠0

Dãy số được xd từ pt tổng & xét giới hạn đó:

 MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐÁNG NHƠ:

 Định Nghĩa 1.1:

: Dãy số bị chặn được định nghĩa như sau:

 Dãy số (u n) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho:

* , n

.Số M nhỏ nhất được gọi là cận trên đúng của (u n

).Ký hiệu sup u.

 Dãy số (u n) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho:

* , n

Số m lớn nhất được gọi là cận dưới đúng của (u n

).Ký hiệu inf u.

 Dãy số (u n) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại số m và số M sao cho

*

n

∀ ∈ ¥

n

m u≤ ≤M

 Hệ Quả:

: Mọi dãy số (u n) giảm luôn bị chặn trên bởi u1

Mọi dãy số (u n) tăng luôn bị chặn dưới bởi u1.

 Định Nghĩa 1.2:

: Dãy con: Cho dãy (u n) ∀ ∈n ¢+ Lập dãy (Vn k) với các số hạng:

Vn1, Vn2,… , Vn k,……. Trong đó dãy (n) là các số tự nhiên tăng vô hạn.

Dãy (Vn k) được gọi là dãy con của (un)

 Định Nghĩa 1.3:

: Dãy tuần hoàn cộng tính:

Dãy (u n) được gọi là tuần hoàn cộng tính khi và chỉ khi ∃ ∈l ¢+ sao

cho u n+l = u n

n

Số l min được gọi là chu kì cơ sở của dãy (u n)

Dãy tuần hoàn nhân tính:

Dãy (u n) được gọi là tuần hoàn nhân tính khi và chỉ khi ∃ ∈l ¢+, l>1

sao cho

u n.l = u n

n

+ Số l min được gọi là chu kì cơ sở của dãy (u n)

A MỘT SỐ DÃY ĐẶC BIỆT:

1: Dãy Cấp Số Cộng:

 Tính Chất đặc biệt:

: Với mọi k,l,m,n ∈  mà thỏa mãn k + l = m + n thì: u + u = u

+ u

: S = u + u + + u = =

: một số tổng đặc biệt:

• 1+2+3+ + n =

• 1+3+5+ + (2n−1) = n

• 1 + 2 + 3 + + n =

• 1 + 2 + 3 + + n =

2: Cấp Số Nhân:

 Tính chất:

 Với mọi k,l,m,n ∈  nếu k + l = m + n thì u.u = u.u

 S = u + u + + u = u.

3 Dãy Fibonacci

 Định Nghĩa: Dãy xác định bởi:

được gọi là dãy Fibonacci

 Tính chất:

 u = u−1

 u = u u = u − 1

 iu = n.u − u + 2.

 u = u.u

 u.u − u = (−1)

 Số hạng tổng quát ( công thức Binet)

u =

 Hệ quả:

 khi n→ + ∞ thì u ≈

 =

4 Dãy Farey:

 Định Nghĩa:

: Dãy Farey bậc n là dãy số gồm các phân số tối giản nằm giữa 0

và 1 có mẫu số không lớn hơn n và sắp theo thứ tự tăng dần

 Tính Chất:

 Nếu và là các số kề nhau trong dãy Farey với thì

 Nếu với nguyên dương và thì và là các số kề nhau trong dãy Farey bậc Max

 Nếu với các số và trong dãy Farey nào đó vớithì ( được gọi là mediant của và )

5 Dãy Lucas:

 Định Nghĩa:

: Dãy xác định bởi:

6 Dãy số điều hòa

: dãy số {Un} được gọi là dãy số diều hòa khi và chỉ khi

un = ∀ n ∈*

7 Dãy số tuần hoàn:

: Dãy số tuần hoàn cộng tính là với mọi l ta có:

u n+l =u n

Dãy số tuần hoàn nhân tính :

u sn = u n với mọi s > 1.(s∈)

Phản tuần hoàn cộng tính (Nhân tính) là:

u n+l = u n (u ns = u n)

 Nhận xét/:

dãy phản tuần hoàn nhân tính (cộng tính) chu kỳ s (chu kỳ l) là một dãy tuần hoàn nhân tính (cộng tính) chu kỳ 2s (2l).

 Tính Chất:

: u = φ + (1− φ) = φ + = +

Với là tỉ lệ vàng (

Tính chia hết giữa các số Lucas

u chia hết cho u nếu m là số lẻ

Mối liên hệ với các số Fibonacci:

• Số Lucas liên hệ với số Fibonacci bởi các hằng đẳng thức sau:

L = F + F

• Hoặc tổng quát hơn là công thức sau:

1 L = F.L + F.L với mọi k < n.

2

3

4

 Khi chỉ số là số nguyên tố Ln đồng dư với 1 mod n nếu n là số nguyên tố

Số nguyên tố Lucas: Số nguyên tố Lucas là số Lucas, và đồng

thời là một nguyên tố Các số nguyên tố Lucas nhỏ nhất được biết là:

 Định Nghĩa 1.4:

: Cho dãy số thực và một số thực Khi đó nếu: ∀ε > 0, ∃n∈ ,

∀n > n , < ε thì được gọi là giới hạn của dãy Khi đó ta cũng nói

dãy hội tụ

 Tính chất:

 Nếu dãy có giới hạn hữu hạn thì nó bị chặn

Dãy hội tụ chỉ có một giới hạn





Dãy đơn điệu tăng (giảm) hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn trên (dưới)

 Nếu 2 dãy và hội tụ và có limx = a, limy = b thì:

• lim x.y = a.b, lim = , lim (x + y) = a+b

 các giới hạn cơ bản:

• = 0 nếu p > 0

• n = 1

• a = 1 nếu a > 0