1 điểm Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân SO vuông góc với mặt phẳng ABCD và mặt bên SAB là tam giác đều.. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và tính cosin góc giữa hai
Trang 1ĐỀ KHẢO SÁT KIẾN THỨC TRƯỚC THI 2011
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút I- PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 2
3 4.
yx x
2 Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: 22
1
m x
x
Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình x 2log 2x 3 log 3x 2 x 1
2 Tính các góc của tam giác ABC biết
2
sin sin 1 osA sin 2 sin 2 os A-B osC.
Câu III (1 điểm) Tính tích phân
3 5 3 2 0
2 1
x
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân
SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt bên SAB là tam giác đều Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và
BC
Câu V (1 điểm) Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
P
a b c a b c b c a
II- PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ chọn một trong hai phần (A hoặc B)
để làm bài
A- Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa (2 điểm)
1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2
2 4 20 0
x y x y và điểm A(5;-6)
Từ A kẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (C) với B, C là các tiếp điểm Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC
2.Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d): 3 2 1
x y z
và
2 2 4 19 0
x y z x y z Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho mặt phẳng qua M vuông góc (d) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi 8
Trang 2Câu VIIa (1 điểm) Tìm số phức Z thõa mãn z z 2 2i và 2
2
z i z
là số ảo
B- Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb (2 điểm)
1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1; 1);
đường cao từ đỉnh A có
phương trình 2x y 1 0, các đỉnh B, C thuộc đường thẳng :x 2y 1 0 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết diện tích tam giác ABC bằng 6
2.Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1): 1 1
x y z
,
x y z
và điểm A(1; -1; 2) Tìm tọa độ điểm B, C lần lượt thuộc (d1), (d2) sao cho đường thẳng BC thuộc mặt phẳng qua A và đường thẳng (d1) đồng thời đường thẳng BC vuông góc với (d2)
Câu VIIb (1 điểm) Cho số phức z thõa mãn z 2icó một acgumen bằng một acgumen của z 2cộng với
4
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T z 1 z i -Hết -
HƯỚNG DẪN GIẢI
I- PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm)
3 4.
yx x
2).Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: 22
1
m x
x
Giải:
1) BBT
x -2 0
+
y’ + 0 - 0
+
y
0 +
-4
Lưu ý: Đồ thị (C) của hàm số cắt trục hoành tại điểm A(1; 0)
2)
2 1 4 4 ( 1)
1
m
x
Trang 3Xét hàm số
2
3 2
Dựa đồ thi:
+ m< 0 phương trình vô nghiệm
+ m = 0 phương trình có một nghiệm
+ 0 < m < 4 phương trình có 4 nghiệm
+ m = 4 phương trình có 3 nghiệm
+ m > 4 phương trình có 2 nghiệm
Câu II (2 điểm)
1) Giải phương trình x 2log 2x 3 log 3x 2 x 1 (1)
1 log 3 log 2
2 3
x
x x
3 ln 2 2 ln 3
- > Hàm số đồng biến trên khoảng (3; + ∞)
2
0
x
+ ∞)
Do đó phương trình f x g x có không quá một nghiệm trên khoảng (3; + ∞) Còn có f 5 2 g 5 x 5 là nghiệm duy nhất của phương trình
2
sin sin 1 osA sin 2 sin 2 os A-B osC.
2
sin sin 1 osA os2B+cos2C os 2 cos
cos B-C osA-2 2
c
c
osA=0
c
90
A
Ta có: sin 2B sin 2Ccos A-B cosC … cos B-C sinB.… 2 cosB 1 B 600
Kết luận: A = 90 0 , B = 60 0 , C = 30 0
Câu III (1 điểm) Tính tích phân
3 5 3 2 0
2 1
x
1 2
1
x x
Tính được tích phân K= 58
3
5
I
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân
Trang 4SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt bên SAB là tam giác đều Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và
BC
Giải:
+ Gọi H là hình chiếu của C trên AB và M, N lần lượt là trung điểm của
2
AB CD
a CH a ON a
vuông cân tại O Suy được OA = OB = 2a 2, do đó SO = OB = 2a 2
.
1
3
2
DM BCa SD SO OD a
2 3.
SM a
Vậy osSDM 2
5
Kết luận: os =2
5
c
Câu V (1 điểm) Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
P
a b c a b c b c a
Giải:
Đặt x = a + b + c, y = b + c + 4a, z = c + a + 16b Khi đó x, y, z > 0 và
21 5
a b c
21 5 21 5
3 15 15 15 15 3
P
6 5 20 5 16
15 15 15
4 1 1 4 16 1 1 4 4 8 4 16
5 3 15 3 15 3 15 5 3 15 5 15
2 2
5
4 2
16
7
a c b c
II- PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ chọn một trong hai phần (A hoặc B)
để làm bài
A- Theo chương trình Chuẩn
S
A
B
C
N
O
D
M H
Trang 5Câu VIa (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2
2 4 20 0
x y x y
và điểm A(5;-6)
Từ A kẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (C) với B, C là các tiếp điểm Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Giải:
+ Đường tròn (C) có tâm I(-1; 2), bán kính R =
5, BC cắt IA tai H Ta có AI = 10
2
5 2
IB
IH
IA
Do đó 1
4
IH IA
; 0 ; osAIB
+ Suy ra tâm đường tròn nội tiếp ABC trùng
với trọng tâm G của tam giác Ta có:
2
2; 2 3
AG AH G
2
rGH Suy ra phương trình đường tròn nội tiếp ABC là: 22 22 25
4
x y
2) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d): 3 2 1
x y z
và
2 2 4 19 0
x y z x y z Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho mặt phẳng qua M vuông góc (d) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi 8
Mặt cầu (S) có tâm I(1; -1; 2), bán kính R = 5 Từ giả thiết suy được phương trình mặt phẳng qua M vuông góc (d) cắt (S) theo đường tròn có bán kính r = 4 Đường thắng (d) có VTCP u 2;1; 2 ; MdM3 2 ; 2 t t;1 2 t
Phương trình của (P): 2x 3 2t y 2 t 2z 1 2t 0 2xy 2z 9t 6 0
Câu VIIa (1 điểm) Tìm số phức Z thõa mãn z z 2 2i và 2
2
z i z
là số ảo
Giải: Đặt z = x+yi
z z i xyi x y i x y x y y x
2 2
2
z i
i
2
2
z i
z
2 2 2
= 0
Thay (1) vào (2) ta được:
2
1 1
0, 2 2
x
x
Trang 6B- Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb (2 điểm)
1).Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1; 1);
đường cao từ đỉnh A có
phương trình 2x y 1 0, các đỉnh B, C thuộc đường thẳng :x 2y 1 0 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết diện tích tam giác ABC bằng 6
Giải:
5 5
H
phương trình
5 5
x y dAH I I
Ta có HA 3HI A1;3
2 6
, 5
ABC
S
d A BC
3
MA MG
> M(1; 0)
1
1
;
2
x
B x
1
3
1
x
x
+ Với x1 = 3 > B(3; -1) - > C(-1; 1) + Với x1= -1 > B(-1; 1) > C(3; -1) > Kết luận
2).Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1): 1 1
x y z
,
x y z
và điểm A(1; -1; 2) Tìm tọa độ điểm B, C lần lượt thuộc (d1), (d2) sao cho đường thẳng BC thuộc mặt phẳng qua A và đường thẳng (d1) đồng thời đường thẳng BC vuông góc với (d2)
Giải:
+Ta có 1đi qua D(0; 1; 1), có VTCP u2;1;1
, AD 1; 2 1 u AD1 , 3;1;5
Gọi (P) xác định bỡi A và đường thẳng 1 - > PT của (P) -3x +y +5z -6 =0
2
cắt (P) tại C > C(-1; 3; 0)
+B 1 B2 ;1t t;1 t 2có VTCP u2 1; 1;1 , BC 1 2 ; 2t t; 1 t
Vì BC 2 BC u 2 0 t 2 B 4; 1; 1
Câu VIIb (1 điểm) Cho số phức z thõa mãn z 2icó một acgumen bằng một acgumen của z 2cộng với
4
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T z 1 z i Giải: Đặt z = x+yi Vì z 2i có một acgumen bằng một acgumen của z+ 2 cộng với
4
Trang 7
Nên 2 os sin , 0
4 4 2
z
2 2
i
2 2
2 2
2
2 0
x y
x y
x yi x y i x y x y = 3 2 x 3 2 y
2 6 2 2 2 6 2 2 20
T x y x y
Suy ra: T 2 5, dấu đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi x = y = 1 axT=2 5, 1
-Hết -